Định lí Ta let, Định lí Pi Ta Go và áp dụng khóa luận tốt nghiệp

Nó được dùng để chứng minh các đường thẳng song song, suy ra các tỉ lệ thức bằng nhau, nhận dạng tam giác lên bậc trung học phổ thông thì hai định lí này được tiếp tục mở rộng trong khôn

TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2

LOI CAM ON

Do chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em không tránh khỏi những bỡ ngỡ và còn nhiều lúng túng Được sự

chỉ bảo và giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm, cùng các thầy cô

trong khoa toán, các thầy cô trong trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, em đã

nỗ lực hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình Qua đề tài nghiên cứu em

đã lĩnh hội thêm nhiều kiến thức giúp em tự tin hơn khi đứng trên mục giảng

Do điều kiện thời gian và tính chất của đề tài chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên để khoá luận được hoàn thiện hơn Qua đây em xin gửi lời cảm

ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ hình, các thầy cô trong khoa, trong trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy Nguyễn Năng Tám đã tận tình hướng dẫn em hoàn thiện khoá luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

LOI CAM DOAN

Tôi xin cam đoan khoá luận này được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực

tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự tận tình giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm

Bản khoá luận này không trùng với kết quả của tác giả khác, nếu trùng

tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Rất mong nhận được đóng góp ý kiến của bạn đọc để khoá luận được

hoàn thiện hơn

Sinh viên

Lê Ngọc Hải

MUC LUC

l0: 0 1

Chuong | Dinh li Talet va Dinh li Pitago ee eeseeeeeeeeeeeeeeeeseeeeeeeeeee 3 In 0) 1 o 3

1.1.1 Đoạn thẳng tỈ lỆ - 525% +t+2k£E2Y£ExEEEEEEEEEEEEkEErEtrkerkrrrrrrrrerrrree 3 1.1.2 Cac dang ctia 0 0) 1n 3

1.1.2.1 Kién thttc vo 3

1.1.2.2.M6 rong cla 0i 01) 6

1.2 Định lí Pitago_ 12

1.2.1 Kién thitc co ban 12 I1 00 1 15

Chương 2 Áp dụng của định lí Pitago và định li Talet - - 17

2.1.Áp dụng của định lí Talet trong giải toán . ¿s¿©sz©csecss+¿ 17 2.1.1 Định lí Talet với bài toán tính toán -«<««+s£+£+s£eeesessees 17 2.1.2 Định lí Talet với bài toán chứng minh - -s + s«ssss+s£ss+s£zxe 22 2.1.3 Áp dụng bổ đề hình thang và đường thẳng đồng qui vào việc giải toán 27

2.1.4 Định lí Talet với bài toán họ các đường thẳng đi qua điểm cố định 32

2.1.5 Dinh lí Talet với bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 36

2.1.6 Định lí Talet với bài toán vê diện tÍCh 5< «<< s£+s££+ss+ees+ex 42 2.2 Áp dụng của định lí Pitago trong giải toán . ¿ ccccccsce- 47 2.2.1 Định lí Pitago với bài toán tính toán . - -<««5s£+s<+s£e+sessess 47 2.2.2 Định lí Pitago với bài toán chứng minh: - -s- «s <s+s«ss+s<zxe 51 2.2.3 Định lí Pitago với bài toán nhận dạng tam giác . - -« +s«s 55 {80 0 58

Tai liu tham Khao 3 59

MO DAU

1 Li do chon dé tai

Hình học là một bộ phận cấu thành nên toán học, đây là một môn học

thú vị nhưng tương đối khó với học sinh

Trong chương trình môn học ở trung học cơ sở chúng em đã được học

về định lí Talet và định lí Pitago Nó được dùng để chứng minh các đường thẳng song song, suy ra các tỉ lệ thức bằng nhau, nhận dạng tam giác lên bậc trung học phổ thông thì hai định lí này được tiếp tục mở rộng trong không gian Hai định lí này sẽ theo suốt học sinh trong quá trình học phổ thông

Định lí Talet và định lí Pitago ứng dụng rất nhiều để giải quyết các bài toán Nhờ có hai định lí này mà các bài toán như chứng minh tính song song, các tỉ lệ thức bằng nhau, nhận dạng tam giác, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất hay

các bài toán về diện tích nói chung được giải quyết một cách dễ dàng

Với mong muốn trên, được sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm em

đã mạnh dạn chọn đề tài Dinh li Talet, dinh li Pitago va dp dung

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Qua các dạng toán, các ví dụ tham khảo mẫu sẽ cho học sinh thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng định lí Talet và định lí Pitago trong lời giải

các bài tập hình học Giúp học sinh coi đây là kết quả tốt, dùng một cách rất

hữu hiệu trong việc giải toán

3 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là định lí Talet, định lí Pitago và cách áp dụng chúng vào việc giải bài tập hình học

Do khuân khổ thời gian có hạn, đề tài chỉ đề cập tới vấn đề áp dụng hai

định lí trên để giải quyết các bài toán hình học phẳng với đối tượng là học sinh

phổ thông.

(Hình 1) Chứng mình:

Cho AABC cé MN // BC (Me AB, Ne AC)

S(apc) AB

Stave) AC

Ma S(acw) = Scan) + Sica) (3)

Mặt khác do MNCB là hình thang nên dé dang chứng minh

Nếu một đường thang cắt hai cạnh của một tam giác v_ định ra trên

hai cạnh đó những đoạn thắng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song

với cạnh còn lại của tam giác (hình 1)

Chứng mình:

Giả sử ta có tam giác ABC

Các điểm M, N định ra trên 2 cạnh AB và AC những đoạn thẳng tương ứng tỉ

lệ

AM AN

“ae AB AC q)

Trên AC lấy điểm N' sao cho MN'//BC

Theo dinh li Talet, ta có: AM _ AN’ (2)

AB AC AN' AN

Từ (1) và (2) suy ra (1) và (2) suy AC =—— AC

=> AN'=AN> N'=N=> MN//BC (đpcm)

Trên hình 1: Cho tam gidéc ABC

AM _ AN

MB NC a/BC<> AM _ AN

AB AC

BM _CN

“AB AC

Hé qua

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác v_ song song với

cạnh còn lại thì nó tạo th nh một tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho (hình 2)

Tứ giác B'C'DB là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối song song) nên ta có:

Hệ quả trên vẫn đúng nếu đường thẳng a song song với một cạnh v

cắt hai đường thắng chứa hai cạnh kia (hình 3a, 3b)

Định lí về chùm đường thắng đồng qui (Bài văn Tuyên, 2010, Bài tập nâng

cao và một số chuyên đề toán 8)

Nếu các đường thẳng đồng qui cắt hai đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

AB BC _ AC

AB BC! AC

AB _ A'B'

BC BIC!

Định lí trên có hai định lí đảo

Một định lí đảo cho ta một cách chứng minh hai đường thẳng song

song

Một định lí đảo cho ta một cách chứng ba đường thắng đồng qui, chẳng hạn: Nếu ba đường thẳng, trong đó có hai đường thẳng cắt nhau, định ra trên hai đường thăng song song các cặp đoạn thắng tương ứng tỉ lệ thì ba đường thang đó đồng qui

Bồ đề hình thang

Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, giao điểm của hai đường thắng chứa hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo v_ trung điểm của hai đáy nằm trên một đường thẳng

(hình 6)

Chứng mình:

Cho hình thang ABCD ( AB//CD, AB<CD)

AC¬BD=O; ADn¬ BC = K; MA=MB (M e 48); NC=ND (N eCD) khi dé: K, M, O, N thang h ng.

That vay, vi AB//CD, ADM BC=K v AM = MB (do MA=MB; NC=ND),

DN NC nên theo định lí phần chùm đường thắng đồng qui ta được AD, BC, MN đồng qui tại K

Thật vậy, lần lượt kẻ các đường thẳng AA,, BB,, CC, cùng vuông góc với các đường thẳng chứa A', B', C'

A'B BIC C'A_

—————=l A'C B'A C'B tdpem đpcm [©] Nếu có Z8,%C A'C B'A C'B € 4] trì A', B', C' thẳng hàng

(hinh 7) Trường hop có hai điểm trong, một điểm ngoài thì đường thẳng nối điểm trong và điểm ngoài luôn cắt cạnh thứ 3 bởi điểm trong cạnh đó

Trường hợp không có điểm nào trong các cạnh của tam giác; có thể

chứng minh rằng: đường thẳng nối hai điểm, chẳng hạn A'B', phải cắt AB (vì nếu không đẳng thức (*) không xảy ra)

Vậy không làm mất tính tổng quát ta giả sử A'B'¬ AB =C),

A'B BIC C'A A'C B'A C'B Suy ra:

Ca c4

CB 'B

>C',=C' Vậy A', B', C' thẳng hàng (đpcm)

Định lí Xê-Va

Cho tam giác ABC v_ 3 điển A',B',C' lần lượt nằm trên 3 cạnh BC, CA, AB

(A',B',C' khong tring với các đỉnh của tam giác) Khi đó ta có:

AA", BB’, CC' đồng qui O5, A'C BA CB BC, CÁ _¡ (hình 8)

(hình 8) Chứng mình:

Nhân vế với vế của (1) và (2) rồi ước lược các đại lượng cần thiết ta có:

Và AA', BB', CC' không song song

Chẳng hạn có AA'=¬ BB' = I, ta dễ dàng chứng minh CI luôn cắt AB

Gia st CIN AB=C',

Chứng mình:

Giả sử tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AC=b, AB=c, bc=a,

b'=HC va c'= BH

Xét hai tam giác vuông AHC và BAC

Hai tam giác vuông này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau

Dinh li Pitago dao

Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai

cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông (hình 9)

Xét AABC vuông tại A, theo định lí Pitago ta có AB” + AC” =BC” nên:

Xét ADEF vuông tại D, theo định lí Pitago ta có DE” + DF” = EE” nên:

Tir (1) va (2) suy ra AB’ = DE” nén AB=DE

Tu d6 suy ra AABC = ADEF (c.c.c)

14

1.2.2 M6 rong cua dinh li Pitago

Tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a thì cạnh góc vuông bằng a2

Khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng toạ độ (hình 10)

a, AABC c6 AB’ + AC’ = 24° +32” = 1600

Ma BC’ =1600, nén AB’ + AC’ =BC’

Suy ra AABC vuông tại A (Định lí Pitago đảo)

b, Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AMB, ta có:

BM’ = AB + AMỸ =24” +7! =625

= BM =4625 =25

Mặt khác, MC=AC-AM=32-7=25 Vậy MB=MC

= AMBC cân tại M, do đó B,=C

Mà AMB =B, +C (tính chất góc ngoài của AMBC)

(36; 77; 85) (39; 80; 89) (48; 55; 73) (65; 72; 97)

16

Chuong 2

ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ TALET VÀ ĐỊNH LÍ PITAGO

2.1 Áp dụng của định lí Talet vào giải toán

2.1.1 Định lí Talet với bài toán tính toán

Bài I: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai đường chéo AC va BD cat

nhau tại O Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC Cho biết:

Bài2: Qua trọng tâm G của tam giác ABC, kẻ đường song song với AC cắt AB

và BC lần lượt tại D và E Tính độ dài đoạn DE, biết AD + EC = 16 (cm), chu

vi của tam giác ABC bằng 7(cm)

(3) (4)

=> DE= 5 AC==-27 =18(em)

Vay DE=18 (cm)

Bai 3: Cho AABC cé AB=4(cm); AC=4,5(cm) Trén AB va CD lay cac

điểm M,N sao cho AM= AN =3(cm) Gọi O là giao điểm của BN va CM Tinh OB OC » OM

Lời giải

19

Bai 4: Cho AABC, M 1a diém bat ki trong tam giác, các đường MA, MB, MC

theo thứ tự cắt các cạnh BC, CA, AB tại A,, B,,C,

inn: MAL, MBL, MC, ,

AA, BB, CC 1 1 1

20

Lời giải

Gọi K và H lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M và A xuống cạnh BC

Ta có MK//AH, theo hệ quả định lí Talet, ta có:

AA, BB, CC,

21

2.1.2 Định lí Talet với bài toán chứng mỉnh

Bài I: Cho hình thang ABCD(AB//CD), M là trung điểm cạnh CD Goi I 1a

giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC

Theo định lí đảo Talet đối với AABM, ta suy ra: IK//AB

b, Xét AADM có El//DM, theo hệ quả định lí Talet ta có:

KE EG _ 1 hay AE? =EK.EG AE AE (dpem)

b, Do BK//AD, theo hệ quả của định lí Talet ta có:

(5) (6)

Bai 3: Cho AABC, I 1a diém trong tam giác AI, IB, IC theo thứ tự cát BC,

Từ (1) (2) và (3) suy ra: — = —— + — (1), (2) va (3) suy IM NC’ PB (dpem) dpcm)

Bai 4: Cho AABC, trén canh BC lay 2 diém M vaN

CMR: MAB=NAC @ MBNB _{ AB MC.NC (AC

[=>] Gia sit MAB=NAC

Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AM và AN theo thứ tự tại E và E

(2Ì -=

(2) 3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra:

(4)

MB.NB _ AB J

[<=] Gia sir MCNC = (AC

Nhưng MAB và NAC không bằng nhau

Khi đó, trên BC lấy điểm N' sao cho MAB=N'AC

2.1.3 Áp dụng bổ đề hình thang và đường thẳng đồng qui vào việc giải

toán

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, từ một điểm M trên đường chéo AC (M không là trung điểm của AC) ta vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành Chúng lần lượt cát AB, BC, CD, DA tai E, F, G, H

Từ (1) va (2) suy ra: ——=—— (1) và (2) suy AB AD

= HE//BD (định lí đảo Talet)

Tương tự ta chứng minh được GF//BD— HE//GF

_ AE//MH(t)

b, Xét tứ giác AEMH có:

= AM và HE cắt nhau tại trung điểm N của HE

Tương tự ta cũng có P là trung điểm của GE

27

Goi O 1a giao điểm của EF và HG, do GF//HE => HEEM là hình thang

Theo bổ đề hình thang thì 4 điểm M, N, P, O thẳng hàng

= Ba dudng thang EF, GH, AC đồng quy

Bài 2: Cho tứ giác ABCD, vé dudng thang d song song BD cat AD va AB lan lượt tại P và Q Vẽ đường thẳng d'song song BD cắt BC và CD lần lượt tai M

và N, cho biết hai đường thắng MQ và NP cắt nhau tại K

Chứng minh rằng đường thẳng AC đi qua K

Lời giải

Gọi E là giao điểm của d và AC,

E là giao điểm của d'và AC,

O là giao điểm của AC và BD

Xét 3 đường thẳng AB, AC, AD đồng qui tại A cắt 2 đường thẳng song song

= 3 dudng thang PN, AC, MQ déng qui tai 1 diém K

Vay dudng thang AC di qua K

Bài 3: Cho AABC, G là trọng tâm của tam giác Lấy điểm P trên cạnh BC, các đường thẳng qua P theo thứ tự song song với CG và BG cắt AB và AC tại

a, Gọi BM và CN là các đường trung tuyến của AABC

BG cắt EP tai R, CG cat FP tai S

Do RI//PE, theo định lí Talet ta có:

EI ER

EF EP Xét 3 đường thẳng BA, BM, BC đồng qui tại B và cắt 2 đường thẳng song song

= PG đi qua trung điểm của RS hay P, G, K thẳng hàng (6)

Tir (5) va (6) suy ra: P, G, H, K thang hang

=> PG di qua trung diém EF

Bài 4: Cho hình chữ nhật EFGH có tâm O nội tiếp tam giác ABC, trong đó E

thuộc AB, F thuộc AC, G và H thuộc BC Gọi M và N lần lượt là trung điểm

của BC và đường cao AI

CMR: 3 diém O, N, M thang hang

Lời giải

30