tính chất đặc trưng của hàm tựa lồi lipschitz địa phương

382.3 Đặc trưng của hàm tựa lồi dưới ngôn ngữ đạo hàm theo phương suy rộng.. 392.4 Đặc trưng của hàm tựa lồi dưới ngôn ngữ Jacobian suy rộng Clarke... Sach [10] đã nghiên cứu các tính ch

TRẦN THỊ YẾN MAI

TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG

CỦA HÀM TỰA LỒI LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

Thái Nguyên - Năm 2011

Mục lục

Mục lục i

1.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ 41.2 Đặc trưng của ánh xạ tựa đơn điệu 131.3 Các ánh xạ đơn điệu và tựa đơn điệu 171.4 Đặc trưng của tính tựa lồi vô hướng và tính lồi của ánh xạ

Lipschitz địa phương 28

2.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ 352.2 Tính chất hình học của hàm tựa lồi 382.3 Đặc trưng của hàm tựa lồi dưới ngôn ngữ đạo hàm theo

phương suy rộng 392.4 Đặc trưng của hàm tựa lồi dưới ngôn ngữ Jacobian suy rộng

Clarke 42

Kết luận 45

P H Sach [10] đã nghiên cứu các tính chất đặc trưng để một hàmvéc tơ Lipschitz địa phương f : Rm → Rn là K- tựa lồi vô hướng theonghĩa: ∀η ∈ K+ (nón cực không âm của nón lồi đóng K), ηTf là hàmtựa lồi giá trị thực Tác giả đã thiết lập các điều kiện cần và đủ để f

là K- tựa lồi vô hướng dưới ngôn ngữ các khái niệm tựa đơn điệu củaJacobian suy rộng Clarke củaf và các ánh xạ đa trị được xây dựng từ nóntiếp tuyến Bouligand, Clarke và nón tiếp tuyến trung gian (intermediatetangent cone) của đồ thị của f (.) + K J Benoist [3] đã thiết lập các tínhchất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitz địa phương f : C → Y là K- tựa

lồi theo nghĩa: với mọi y ∈ Y, tập mức dưới {x ∈ C : f (x) ≤K y} làlồi trong không gian Banach, K là nón lồi đóng trong Y Các tiêu chuẩnđược thiết lập dưới ngôn ngữ khái niệm K- tựa đơn điệu của đạo hàm theophương suy rộng và jacobian suy rộng Clarke.

Luận văn trình bày các tính chất đặc trưng để một hàm véc tơ Lipschitzđịa phương f là K- tựa lồi vô hướng của Sach [10] dưới ngôn ngữ các kháiniệm tựa đơn điệu của jacobian suy rộng Clarke của f và các ánh xạ đatrị được xây dựng từ các nón tiếp tuyến Bouligand, trung gian, Clarke của

đồ thị hàm f (.) + K, và các tính chất đặc trưng để hàm véc tơ Lipschitzđịa phương f là K- tựa lồi của của Benoist [3] dưới ngôn ngữ K- tựa đơnđiệu của đạo hàm theo phương suy rộng và jacobian suy rộng Clarke của

xạ đa trị được xây dựng từ các nón tiếp tuyến Bouligand, trung gian vàClarke của đồ thị hàm f (.) + K Tính K- lồi của f được đặc trưng quacác khái niệm i- đơn điệu và s- đơn điệu thích hợp

Chương 2 trình bày các tính chất đặc trưng để một hàm véc tơ Lipschitzđịa phương là K- tựa lồi của Benoist [3] Các tiêu chuẩn được trình bàydưới ngôn ngữ khái niệm K- tựa đơn điệu của đạo hàm theo phương suyrộng và jacobian suy rộng Chú ý rằng một hàm là K- tựa lồi vô hướng làK- tựa lồi

Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS ĐỗVăn Lưu đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luậnvăn Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc

sắc đến thầy.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòngĐào tạo, khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên

đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thànhviên trong lớp cao học toán K3b đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôitrong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bảnthân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được

sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc

Thái Nguyên, 20 tháng 10 năm 2011

Tác giảTrần Thị Yến Mai

Chương 1

ĐẶC TRƯNG CỦA ÁNH XẠ TỰA LỒI VÔ HƯỚNG

K-Chương 1 trình bày các điều kiện cần và đủ để một hàm véc tơ Lipschitzđịa phương f : Rm → Rn là K- tựa lồi vô hướng Các tiêu chuẩn đượctrình bày dưới ngôn ngữ các khái niệm tựa đơn điệu của jacobian suy rộngcủaf và các ánh xạ đa trị được xây dựng từ các nón tiếp tuyến Bouligand,trung gian, Clarke của đồ thị hàm đa trị f (·) + K Các kết quả trình bàytrong chương này là của P H Sach [10]

1.1 Các khái niệm và kết quả bổ trợ

Trong chương này, ta sẽ sử dụng những kí hiệu và kết quả sau

Một phần tử trong không gian Euclide Rm được đồng nhất với mộtvéc tơ cột (tức là m × 1- ma trận) Tích vô hướng của ξ ∈Rm và u ∈ Rm

được kí hiệu là ξTu trong đó T là phép chuyển vị

Cho một ánh xạ đa trị f : Rm ⇒ Rn; domF và grF kí hiệu là miềnhữu hiệu và đồ thị của F:

domF = {x ∈ Rm : F (x) 6= ∅},

grF = {(x, y) ∈Rm ×Rm : y ∈ F (x)}

đóng của tập B ⊂ Rm Nếu K ⊂ Rn là nón lồi đóng và y, y, là hai điểmcủa Rn, ta đặt [y, y,] = co{y, y0, } và viết S(y, y0, ) ≤ 0 nếu và chỉ nếumin{ηTy, ηTy,} ≤ 0 với tất cả η ∈ K+ Theo [ 12, Hệ quả 11.4.2], ta có

S(y, y,) ≤ 0 ⇔ [y, y,] ∩ (−K) 6= ∅ (1.1)Cho A ⊂ Rm, B ⊂ Rm và α ∈ R := R1 Ta định nghĩa

supA = −∞ và infA = +∞, nếu A = ∅

Nếu F : Rm ⇒ R là một ánh xạ đa trị từ Rm vào tập số thực R thìinfF là một hàm giá trị thực mở rộng định nghĩa bởi:

(infF )(x) = infF (x) (∀x ∈ Rm)

Tương tự đối với supF

Cho f : Rm → R là một hàm Lipschitz địa phương Kí hiệu ∂0fx làdưới vi phân Clarke của f tại x (xem [2]):

∂0fx = {ξ ∈Rm : ξTu ≤ f0(x, u) ∀u ∈ Rm}, (1.2)trong đó

f0(x, u) = lim

x 0 →xsup

t↓0

t−1[f (x0 + tu) − f (x0)] (1.3)Theo [2],

f0(x, u) = max{ξTu : ξ ∈ ∂0fx} (1.4)

Từ bây giờ ta giả sử rằng f :Rm → Rn là một hàm Lipschitz địa phương.Jacobian suy rộng Clarke của f tại x, kí hiệu bởi J fx được định nghĩatrong [2] là bao lồi của một tập:

{lim 5fxi : xi → x, f là khả vi Freschet tạixi},

trong đó 5fxi kí hiệu Jacobian thông thường của f tại xi và giới hạn của

5fxi được lấy trong không gian các (m × n)- ma trận Chú ý rằng mọiphần tử Acủa J fx là một m × n- ma trận Khi n = 1, J fx là dưới vi phânClarke của f tại x ( xem [4, Mệnh đề 2.6.2])

Với mọi η ∈ Rn ta có [4, Định lý 2.6.6]

√

b2 − 4ac

∂0(ηTf )x = [J fx]Tη := {ATη : A ∈ J fx}, (1.5)trong đó ATη kí hiệu tích của m × n- ma trận AT (chuyển vị của ma trận

A) và n × 1- ma trận η

Cho K ⊂ Rn là một nón lồi đóng Đồ thị của ánh xạ f (.) + K đượcgọi là K- trên đồ thị của f và được kí hiệu là epiKf (Sau này ta bỏ kíhiệu dưới K cho đơn giản) Khi n = 1, K = R+ (nửa đường thẳng khôngâm) epif quy về định nghĩa thông thường của trên đồ thị của một hàm số

Ta sẽ cần kết quả dưới đây nó là hệ quả đơn giản của một định lý tách[12, Hệ quả 11.4.2]:

y ∈ K ⇔ ηTy ≥ 0(∀η ∈ K+) ⇔ ηTy ≥ 0(∀η ∈ K+\ {0}) (1.6)

Kí hiệuT0(epif, (x, f (x)))(tương ứngT (epif, (x, f (x))) là nón tiếp tuyếnClarke ( tương ứng nón Bouligand) của epif tại (x, f (x)) Ta cũng sử dụngnón tiếp tuyến trung gian (intermediate tangent cone) Tb(epif, (x, f (x)))

trong đó %(x, M ) kí hiệu khoảng cách từ x ∈ Rm tới M và x0 → xM

nghĩa là x ở trong M và hội tụ tới x Kí hiệu bằng Cfx(tương ứng

Dbfx, Dfx, Dfx) là ánh xạ đa trị từ Rm vào Rn mà đồ thị của nó trùngvới T0(epif, (x, f (x))) (tương ứng Tb(epif, (x, f (x))), T (epif, (x, f (x))),

cl coT (epif, (x, f (x)))) Ta nhấn mạnh rằng tất cả các ánh xạ đa trị nàyphụ thuộc vào K, bởi vì đồ thị của chúng được xây dựng từK- trên đồ thịcủa f mà định nghĩa của nó phụ thuộc vào K Vì vậy có thể sử dụng các

kí hiệu như CKfx, DbKfx thay thế cho Cfx, Dbfx tương ứng Ở đây vàsau này ta xóa chỉ số dưới K để kí hiệu được đơn giản Chú ý rằng

Cfx ⊂ Dbfx ⊂ Dfx ⊂ Dfx (1.7)Khi f là K- lồi ta có

Cfx = Dbfx = Dfx = Dfx (1.7’)Điều đó được suy ra từ tính lồi của epif và một sự kiện trong giải tích lồi:các nón tiếp tuyến Clarke và Bouligand của một tập lồi là trùng nhau và

là các tập lồi đóng

Bổ đề 1.1

Cfx(.) = {v ∈ Rn : v − J fx(.) ⊂ K} (1.8)Hơn nữa, domCfx = Rm, nếu int K 6= ∅

Chứng minh

Từ [9, Bổ đề 11], ta có

T0(epif, (x, f (x))) = {(u, v) : ηTv ≥ (ηTf )0(x, u), ∀η ∈ K+}

Sử dụng (1.4), (1.5) và (1.6) ta có

T0(epif, (x, f (x))) = {(u, v) : ηTv ≥ ηTA(u), ∀η ∈ K+, ∀A ∈ J fx}

= {(u, v) : v − A(u) ∈ K, ∀A ∈ J fx}

Để chứng minh phần hai của bổ đề, ta giả sử rằng intK 6= ∅ Lấy mộtđiểm u bất kì thuộc Rm Cho v ∈ intK và V là lân cận của 0 ∈ Rm saocho v − V ⊂ K Bởi vì tập J fx(u) là bị chặn [4, hệ quả 2.6.2], tồn tại

γ > 0 sao cho γJ fx(u) ⊂ V Do đó, v − γJ fx(u) ⊂ K Do tính thuầnnhất dương của K, từ đó suy ra γ−1v − J fx(u) ⊂ K Nói cách khác,

v0 := γ−1v ∈ Cfx(u) và chứng minh của đẳng thức dom Cfx = Rm là đầy



Nhắc lại: hàm f : Rm → R là tựa lồi (quasiconvex) nếu với mọi

Một ánh xạ K-tựa lồi vô hướng (scalarly K- quasiconvex) f : Rm →Rn

là một ánh xạ sao cho với mọi η ∈ K+, ηTf là một hàm tựa lồi

Dễ thấy rằng f là K- lồi nếu và chỉ nếu f là K- lồi vô hướng theonghĩa: với ∀η ∈ K+, ηTf là một hàm lồi

Định nghĩa 1.4

Hàm giá trị thực mở rộng g : Rm×Rm →R∪ {±∞} là tựa đơn điệu(quasimonotone) nếu với tất cả x1 ∈ Rm và x2 ∈ Rm (x1 6= x2), ta có

min{g(x1, x2 − x1) + g(x2, x1 − x2)} ≤ 0

Nếu bất dẳng thức trên được thay thế bởi

g(x1, x2 − x1) + g(x2, x1 − x2) ≤ 0,

thì g được gọi là đơn điệu ( Ở đây ta đặt −∞ + ∞ = ∞ − ∞ = 0)

Bổ đề 1.4 [8]

Cho f : Rm → R là một hàm Lipschitz địa phương Khi đó, các phát

biểu dưới đây là tương đương:

1 f là tựa lồi, tức là

f (tx1 + (1 − t)x2) ≤ max{f (x1), f (x2)},

với mọi xj ∈ Rm (j = 1, 2) và t ∈ [0, 1]

2 f0 là tựa đơn điệu

3 df là tựa đơn điệu

Một cách tương đương, tính i- tựa đơn điệu của một ánh xạ đa trị

F như vậy có nghĩa là với ∀x1 ∈ Rm và ∀x2 ∈ Rm(x1 6= x2) tồn tại

y1 ∈ F (x1, x2 − x1) và y2 ∈ F (x2, x1 − x2) sao cho S(y1, y2) ≤ 0, tức là

với t nào đó t ∈ [0, 1] (xem (1.1)).

⇒ Rn(j = 1, 2) là hai ánh xạ đa trị sao choF1 ⊂ F2

theo nghĩa F1(x, u) ⊂ F2(x, u) với tất cả x ∈ Rm và u ∈ Rm

1 Nếu F1 là i- tựa đơn điệu thì F2 cũng i- tựa đơn điệu

2 Nếu F2 là s- tựa đơn điệu thì F1 cũng s- tựa đơn điệu

Từ Mệnh đề 1.1 suy ra các kết quả dưới đây

- Nếu Fj là i- tựa đơn điệu thì Fk cũng là i- tựa đơn điệu k ≥ j

- Nếu Fj là i- tựa đơn điệu thì Fk cũng là s- tựa đơn điệu k ≤ j.Nhận xét 1.3

Bây giờ ta hãy "vô hướng hóa" ánh xạ đa trị F : Rm × Rm

⇒ Rn

Điều này có nghĩa là với bất kì η ∈ K+, ta xây dựng ánh xạ đa trị

ηTF : Rm × Rm

⇒ R Ta thiết lập hai hàm giá trị thực mở rộng từ

Rm ×Rm → R∪ {±∞}: Hàm thứ nhất nhận được từ ηTF bằng cách lấyinfimum, còn hàm thứ hai nhận được từ ηTF bằng cách lấy supremum.Tiền tố "i" (tương ứng "s") của cụm từ "i- tựa đơn điệu"(tương ứng "s- tựađơn điệu") là viết tắt của từ "infimum" (tương ứng " supremum") Tiền tố

"i" hay "s" tương ứng với sự kiện sau đây: nếu ta muốn kiểm tra tính chấti- tựa đơn điệu (hay s- tựa đơn điệu) của F qua cách tiếp cận vô hướngtrên, thì sau khi có ηTF ta phải lấy infimum ( tương ứng supremum) của

ηTF và kiểm tra tính tựa đơn điệu của hàm thu được bằng cách sử dụngđịnh nghĩa 1.4 Chú ý này được xử lí trong mệnh đề dưới đây

Mệnh đề 1.2

1 F là i- tựa đơn điệu nếu và chỉ nếu

a Với mọi x1 ∈ Rm và x2 ∈ Rm (x1 6= x2) thì ít nhất một trong cáctập F (x1, x2 − x1) và F (x2, x1 − x2) khác rỗng

b Với mọi η ∈ K+(η 6= 0) hàm giá trị thực mở rộng inf ηTF là tựađơn điệu

(nói riêng, khi domF =Rm×Rm, tính i- tựa đơn điệu của F là tươngđương với điều kiện (b))

2 F là s- tựa đơn điệu nếu và chỉ nếu với mọi η ∈ K+, η 6= 0 hàm

sup ηTF là tựa đơn điệu

≥ min{inf ηTF (x1, x2 − x1),inf ηTF (x2, x1 − x2)}.

Điều này chỉ ra rằng Fη là tựa đơn điệu, tức là điều kiện (b) đúng

Giả sử F không là i- tựa đơn điệu Trong trường hợp này điều kiện (b)

bị vi phạm tức là tồn tại véc tơ η 6= 0, η ∈ K+ sao cho Fη không là tựađơn điệu Thật vậy, lấy x1 ∈ Rm và x2 ∈ Rm (x1 6= x2) sao cho

0 6∈cl co{H(x1, x2) + K}, (1.19)trong đó theo giả thiết (a) tập H(x1, x2) định nghĩa bởi (1.14) là khôngrỗng

Theo định lý tách, tồn tại số dương và véc tơ khác không η ∈ Rn saocho

0 <  ≤ ηT(h + k), (1.20)với mọi h ∈ coH(x1, x2) và k ∈ H Do tính chất thuần nhất dương của K,

ta suy ra từ (1.20) rằng η ∈ K+ Bây giờ cho k = 0 trong (1.20) ta nhậnđược  < ηTh với mọi h ∈ coH(x1, x2) Từ đó suy ra

Fη(x1, x2 − x1) > ,

Fη(x2, x1 − x2) > 

Điều đó chỉ ra rằng Fη không tựa đơn điệu.

2 Giả sử F là s- tựa đơn điệu Với mọi η 6= 0, η ∈ K+, ta có Fη làtựa đơn điệu Thật vậy giả sử ngược lại rằng tồn tại η 6= 0 thuộc K+, Fη

không là tựa đơn điệu, tức là

y2 ∈ F (x2, x1− x2) sao cho (1.15) không đúng với bất kì t ∈ [0, 1], tứclà

Hơn nữa F (x1, x2 − x1) và F (x2, x1 − x2) là các tập lồi thì (1.22) trởthành

y1 ∈ F (x1, x2 − x1), y2 ∈ F (x2, x1 − x2), ta có

Nhận xét 1.4

Đặt Rm0 = Rm \ {0} và lấy x ∈ Rm, u ∈ Rm0 Khi đó, bằng cáchđặt x1 = x, x2 = u + x trong (1.21) ta đạt được 0 ∈ cl co{F (x, u) +

F (x + u, −u) + K} Điều đó kéo theo F (x, u) 6= ∅ tức là (x, u) ∈ domF

Vì vậy, với F là i- đơn điệu, ta có Rm × Rm

0 ⊂ domF Bao hàm thứcnày không đòi hỏi phải thỏa mãn với F là s- đơn điệu Do đó, nói chungtính s- đơn điệu của F không kéo theo tính i- đơn điệu của F ngoại trừtrường hợp domF ⊃ Rm× RM

0 Cũng như vậy khi F là ánh xạ đơn trị vàdomF ⊃ Rm × Rm

0 thì hai khái niệm về tính đơn điệu trong định nghĩa1.7 và 1.8 là tương đương

Mệnh đề 1.3

Giả sử Fj : Rm×Rm

⇒ Rn(j = 1, 2) sao cho F1 ⊂ F2

1 Nếu F1 là i- đơn điệu thì F2 cũng i- đơn điệu

2 Nếu F2 là s- đơn điệu thì F1 cũng s- đơn điệu

Chứng minh

Ta sẽ chỉ ra rằng hai khái niệm đơn điệu đưa ra ở trên có thể đặc trưngdưới ngôn ngữ các khái niệm tựa đơn điệu Kí hiệu L(Rm,Rn) là họ cácánh xạ tuyến tính từ Rm →Rn và với mọi E ∈ L(Rm,Rn) ta định nghĩa

x1 ∈ Rm và x2 ∈ Rm sao cho (1.21) không đúng Ta có vế phải của (1.21)

là một tập không rỗng, bởi vì domF ⊃ Rm ×Rm

0 (điều đó kéo theo tập

inf ηTF (xe 2, x1 − x2) > 0 (1.29)

Từ (1.27)- (1.29) ta suy ra rằng

0 ≥ inf{ηTev : ev ∈ F (x1, x2 − x1) ∪F (xe 2, x1 − x2)} > 0,

Từ các Bổ đề 1.5, 1.2, 1.3 và 1.1 ta nhận được hệ quả sau

Hệ quả 1.5.1

1 Df là i- đơn điệu nếu và chỉ nếu với mọi E ∈ L(Rm,Rn), Df + E

là i- tựa đơn điệu

2 Với ánh xạ khả vi theo phương f, Dbf là i- đơn điệu nếu và chỉ nếu

với mọi E ∈ L(Rm,Rn), Dbf + E là i- tựa đơn điệu

3 Với giả thiết inf K 6= ∅, Cf là i- đơn điệu nếu và chỉ nếu với mọi

E ∈ L(Rm,Rn), Cf + E là i- tựa đơn điệu

Nếu F là s- đơn điệu, thì với mọi E ∈ L(Rm,Rn), F + E là s- đơn

điệu, và do đó là s- tựa đơn điệu Để chứng minh tính đủ của bổ đề, ta chú

ý rằng, đối với bất kì η 6= 0, η ∈ K+, hàm giá trị thực mở rộng sup ηTF

là đơn điệu Thật vậy, lấy ξ ∈Rm bất kì

như là trong chứng minh của Bổ đề 1.5 Theo giả thiết F + E là s- tựađơn điệu Điều đó được suy ra từ mệnh đề 1.2 rằng sup ηT(F + E) là tựađơn điệu.

Định nghĩa hàm giá trị thực mở rộng g : Rm×Rm → R∪ {±∞} bằngcách đặt

y2 ∈ F (x2, x1 − x2) sao cho y1 + y2 6∈ −K Từ (1.6) ta suy ra tồn tại

η 6= 0, η ∈ K+ sao cho ηT(y1 + y2) > 0 Bất đẳng thức này chỉ ra rằng

sup ηTF không là đơn điệu Điều đó là không thể được Mệnh đề 1.4

⇒ Rn là s- đơn điệu nếu và chỉ nếu với mọi η 6= 0, η ∈

K+, hàm giá trị thực mở rộng sup ηTF là đơn điệu

Chứng minh

Giả sử F là i- đơn điệu Khi đó theo Bổ đề 1.5, Rm ×Rm

0 ⊂ dom F

Ta còn phải chỉ ra rằng với mọi η 6= 0, η ∈ K+, inf ηTF là đơn điệu Lấy

ξ ∈ Rm và η ∈ K+ \ {0}, E ∈ L(Rm,Rn) được xây dựng từ η và ξ nhưtrong chứng minh bổ đề 1.5

Theo Bổ đề 1.5 F + E là i- tựa đơn điệu Áp dụng Mệnh đề 1.2 cho

F + E ta được inf(F + E) là tựa đơn điệu Định nghĩ hàm giá trị thực mởrộng g :e Rm ×Rm → R∪ {±∞} bằng cách đặt:

Giả sử rằng Rm×Rm

0 ⊂ domF và với mọi η 6= 0,

η ∈ K+, inf ηTF là đơn điệu Để chứng minh rằng F là i- đơn điệu, do Bổ

đề 1.5 ta chỉ cần chỉ ra rằng với mọi E ∈ L(Rm,Rn), F + E là i- tựa đơnđiệu

Thật vậy, lấy η ∈ K+\ {0} Đặt ξT = ηTE và định nghĩa eg bởi (1.30)

ta lại nhận được (1.31) Do đó inf ηTF là đơn điệu

⇒ Theo (1.30) eg là đơn điệu, và do đó eg là tựa đơn điệu

⇒ Theo (1.31) inf ηT(F + E) là tựa đơn điệu

⇒ F + E là i- tựa đơn điệu (Mệnh đề 1.2)

Như vậy ta đã chứng minh xong phần đầu tiên của Mệnh đề 1.4 Phầnthứ 2 có thể lí luận tương tự, trong đó ta áp dụng Bổ đề 1.6 (thay cho Bổ

Định nghĩa 1.9

Ánh xạ đa trị F : Rm×Rm →Rn được xác định bởi

F (x, u) = {v ∈ R : v − F (x, u) ⊂ K}, (1.32)với mọi (x, u) ∈ Rm ×Rm được gọi là ánh xạ đa trị liên kết với ánh xạ