ĐỀ TÀI: XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CAO HÌNH CHÓP VÀ HÌNH LĂNG TRỤ TỪ ĐÓ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ

Bài toán tính thể tích của một khối chóp hoặc tính thể tích của một khối lăng trụ là một bài toán rất phổ biến trong các kì thi tốt nghiệp phổ thông , cao đẳng , đại học . Để tính được thể tích của một khối chóp hoặc thể tích của một khối lăng trụ đòi hỏi thí sinh phải nắm thật chắc nhiều kiến thức, phải vẽ đúng dạng hình đề bài cho , phải tính được diện tích của mặt đáy và chiều cao của hình . Việc tính diện tích đáy có thể dể dàng nhưng việc xác định được đường cao và tính độ dài đường cao của hình đôi khi lại là một vấn đề khó đối với thí sinh .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị: Trường THPT Nam Hà

Mã số: ………

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CAO HÌNH CHÓP VÀ HÌNH LĂNG TRỤ TỪ

ĐÓ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ

Người thực hiện: VOÒNG VĨNH SUN

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

- Bài toán tính thể tích của một khối chóp hoặc tính thể tích của một khối lăng trụ là một bài

toán rất phổ biến trong các kì thi tốt nghiệp phổ thông , cao đẳng , đại học

-Để tính được thể tích của một khối chóp hoặc thể tích của một khối lăng trụ đòi hỏi thí sinh phải

nắm thật chắc nhiều kiến thức, phải vẽ đúng dạng hình đề bài cho , phải tính được diện tích

của mặt đáy và chiều cao của hình Việc tính diện tích đáy có thể dể dàng nhưng việc xác

định được đường cao và tính độ dài đường cao của hình đôi khi lại là một vấn đề khó đối với

thí sinh

-Do những yêu cầu trên, với những kinh nghiệm được rút ra từ những năm giảng dạy môn Toán ,

tôi xin giới thiệu chuyên đề “Xác định đường cao hình chóp và hình lăng trụ từ đó tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ” nhằm trao đổi với các đồng nghiệp và hy vọng chuyên đề này

có thể giúp cho học sinh có được kinh nghiệm để giải tốt bài toán nêu trên trong các kì thi tốt nghiệp phổ thông ,cao đẳng và đại học

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Nội dung chuyên đề gồm 2 phần :

PHẦN I : XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CAO HÌNH CHÓP VÀ HÌNH LĂNG TRỤ TỪ ĐÓ TÍNH

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ ( 8 Trường hợp thường gặp)

Trường hợp 1 : Đường cao của hình chóp S.A1A2…An ( hoặc hình lăng trụ ) đã có sẵn

+ Hoặc đề bài cho sẵn một đoạn thẳng hạ từ đỉnh S vuông góc xuống mặt phẳng đáy(A1A2…An )

+ Hoặc theo định nghĩa hình chóp , hình lăng trụ ta xác định được ngay đường cao Trường hợp 2 : Hình chóp có đỉnh S nằm trên đường thẳng d và d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp

Trường hợp 3 : Hình chóp có đỉnh S nằm trong một mặt phẳng đang vuông góc với .Trường hợp 4 : Hình chóp có đỉnh S thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) , (Q) và hai mặt phẳng này cùng vuông góc với

Trường hợp 5 :

+Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

+Hình chóp có các cạnh bên tạo với mặt đáy cùng một góc

Trường hợp 6 : Hình chóp có đỉnh S cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy

Trường hợp 7 : Hình chóp có từ ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc

Trường hợp 8 :Hình chóp có hai mặt bên liên tiếp tạo với mặt đáy cùng một góc

PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

NỘI DUNG CỤ THỂ

PHẦN I : XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CAO HÌNH CHÓP VÀ HÌNH LĂNG TRỤ TỪ ĐÓ TÍNH

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ (8 Trường hợp thường gặp)

Nhận xét : Vì hình lăng trụ có hai đáy nằm trong hai mặt phẳng song song do đó nếu ta lấy một

đỉnh bất kì của mặt đáy này nối đến tất cả các đỉnh của mặt đáy kia thì ta có được một hình chóp

có chiều cao cũng chính là chiều cao của hình lăng trụ

Vậy cách xác định đường cao của hình lăng trụ tương tự như xác định đường cao của hình chóp.

Minh họa :

B

C A

S

B

C A

B’

Dưới đây chúng ta xét một số trường hợp xác định đường cao của hình chóp có đỉnh S và mặt

đáy đang nằm trong mặt phẳng

 Trường hợp 1 : Đường cao của hình chóp S.A 1 A 2 …A n ( hoặc hình lăng trụ ) đã có sẵn

+ Đề bài cho sẵn một đoạn thẳng hạ từ đỉnh S vuông góc xuống mặt phẳng đáy (A 1 A 2 …A n ).

+ Hoặc theo định nghĩa hình chóp , hình lăng trụ ta xác định được ngay đường cao

Ví dụ 1: ( Đề thi tốt nghiệp THPT 2009)

Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a , SA (ABC)

Biết , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

S

Ví dụ 2

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy

bằng Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và

Bài giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO là đường cao hình

chóp S.ABCD

SO vuông góc (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của

SC trên (ABCD) là OC

Suy ra góc giữa SC và (ABCD) là góc

Tam giác SOC vuông tại O ,ta có:

Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a

Tính thể tích khối lăng trụ này theo a

Bài giải

D A

S

O

Do ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ đều nên DD’ là đường

cao của lăng trụ

2 4a 18a

9a2

5a 4a

B' A'

B A

Ví dụ 4

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều ; AB = 4a ; tứ giác

AA’B’B có diện tích bằng 20 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Bài giải

Do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng suy ra

AA’ là đường cao của lăng trụ

B’

Gọi H là trung điểm BC

Theo giả thiết ta suy ra A H'  (ABC) nên

A’H là đường cao của lăng trụ đã cho

B’

H

 Trường hợp 3 : Hình chóp có đỉnh S nằm trong một mặt phẳng đang vuông góc với mặt phẳng .

Nhận xét : Nếu theo giao tuyến là đường thẳng d và điểm H là hình chiếu vuông góccủa S trên d thì SH sẽ vuông góc mặt phẳng suy ra SH là đường cao hình chóp

Định lí

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

d a a

S

Gọi H là trung điểm AB

Do ∆SAB là tam giác cân tại S nên SH

SH là đường cao hình chóp S.ABCD

SH vuông góc (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của SC

trên (ABCD) là HC

Suy ra góc giữa SC và (ABCD) là góc

Nên ta có

Vậy

3 2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng

(SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2 3 a và = 300

Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài giải

D A

S

H

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC

1

6 2

1

2 3 3

Hình chóp có đỉnh S thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) , (Q) và hai mặt

phẳng này cùng vuông góc với mặt đáy

Nhận xét : Đường cao hình chóp xác định theo định lí sau

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB =AD =2a,

CD = a , góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60 0 Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết

các mặt phẳng (SIB) ,(SIC) cùng vuông đáy (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

S

H

B A

S

I

C C

Suy ra SA là đường cao hình chóp S.ABCD

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt

phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của

AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng

S

60 O

Xác định góc giữa mp (SBC) với mặt phẳng (ABC)

Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N

nên suy ra MN song song BC và N là trung điểm AC

Ta có

2

3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; AC = 2 3a, BD = 2a ; AC và BD cắt

nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết

khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3

4

a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Bài giải

Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc

với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng

là SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

Suy ra SO là đướng cao hình chóp S.ABCD

B

C A

S

M

N

Suy ra tam giác ABD là tam giác đều.

Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của

Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI  SK và

AB  OI nên suy ra OI  (SAB) , hay OI là khoảng

OI OK  SO  

Diện tích đáy S ABCD  4 SABO  2.OA OB  2 3a2;

đường cao của hình chóp là

2

a

SO  Thể tích khối chóp S.ABCD:

3

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vì S và O cùng cách đều các điểm A,B,C,D nên

S

A

B K

H C

O

I D

3

a

hình chóp S.ABCD

Ta có BD AB2 AD2 a 5

Do SB = SD =BD = nên tam giác SBD là

tam giác đều có SO là đường cao (do SO vuông

Trường hợp 6 : Hình chóp có đỉnh S cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy

Nhận xét : Hình chóp có đỉnh cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 đỉnh đó

Ví dụ 14:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , =600; SB = 2a Đỉnh S

cách đều các đỉnh A,B,C của mặt đáy ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Bài giải

Lời giải Vẽ hình( Vẽ hình bình hành ABCD , vẽ O

là giao điểm hai đường chéo AC và BD , lấy điểm H thuộc BO thỏa 2

3

BH  BO

từ Hvẽ HS vuông góc (ABCD))Tam giác ABC là tam giác đều ( do AB = BC

và  60)

Gọi H là tâm tam giác đều ABC

Vì S và H cùng cách đều các điểm A,B,C nên

SH vuông góc (ABC) do đó SH là đường cao

D A

S

O

a) Tính thể tích khối tứ diện DA’C’D’, tính thể tích V của khối hộp đã cho.

b) Gọi V1 là thể tích của khối đa diện BCDA’C’ Tính V V1

Bài giải

a)

Tam giác A’D’C’ là tam giác đều ( do

A’D’=D’C’ = A’C’)

Gọi I là tâm tam giác đều A’D’C’

Vì D và I cùng cách đều các điểm A’,D’ ,C’

nên DI vuông góc (A’D’C’) do đó DI là

đường cao tứ diện DA’C’D’ và khối hộp đã

' 2 2 2 a2

b I

D DD

12

3

3 4

3 3

1

3

1

2 2

2

2 2 2

' ' ' '

'

'

a b

a

a b a

S DI

2 2 2 '

'

'

a b a V

1 6

1

' ' ' ' ' '

D'

C' B'

A'

D

C B

A

D A

S

O H

 Trường hợp 7 :

Hình chóp có từ ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc

Nhận xét : Hình chóp có ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

Ví dụ 16 :

Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a,BC = 6a , CA = 7a Các mặt bên (SAC),

(SBC), (SCA) tạo với mặt đáy một góc 60 0 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Do đó các tam giác vuông SHE,SFH,SJH bằng nhau

Từ đó suy ra HE = HF =HJ nên H chính là tâm đường

tròn nội tiếp tam giác ABC

-Ta có HE = HF = HJ = r với r là bán kính đường tròn

nội tiếp tam giác ABC

Nửa chu vi tam giác ABC bằng p = 9a

Theo công thức Hê-rông, diện tích S của tam giác ABC

B

F

C A

S

H J E

 Trường hợp 8 :

Hình chóp có hai mặt bên liên tiếp tạo với mặt đáy cùng một góc

Nhận xét : Hình chóp có hai mặt bên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao thuộc đường phân giác của góc  với  là góc của đa giác đáy có đỉnh là đỉnh chung của mặt đáy với hai mặt bên nêu ở trên

Do đó các tam giác vuông SHE,SFH bằng nhau

Từ đó suy ra HE = HF nên suy ra H thuộc đường phân

giác của góc

Vì ABC là tam giác cân tại A, I là trung điểm BC nên

đường trung tuyến AI cũng là đường phân giác của góc

nên H thuộc AI

S

H F E

Ví dụ 18;

Cho khối hộp ABCDA’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng và ba góc ở đỉnh A đều bằng

600 Tính thể tích của khối hộp đó theo

Bài giải

 Xác định hình chiếu vuông góc của đỉnh

A’ trên mặt phẳng (ABCD )

Từ đó suy ra HE = HF nên suy ra H thuộc

đường phân giác của góc

Vì ABCD là hình thoi nên H thuộc AC

 Tính thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’

+ 600 , AA’ = a nên là nữa

tam giác đều cạnh a do đó ta có

Tam giác HAE vuông tại E có góc HAE bằng

A’

H

F E

B’

D’

C’

PHẦN II: BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 :

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60o.Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

Bài 2 :

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Góc giữa cạnh bên và cạnh đáy bằng

60o Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

Bài 3 :

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a Mặt bên tạo với mặt đáy một góc

45o Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Mặt bên (SCD ) tạo với mặt

đáy một góc 60o Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a

Bài 5: ( Đề thi đại học khối D -2006 )

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM

Bài 8 : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mp (SAB) và mp (SAC )

cùng vuông góc với đáy (ABC) và biết diện tích tam giác SBC bằng a2 57

Cho tứ diện A.BCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác cân tại D , ABC)(BCD) ,

AD = a và hợp với (BCD) một góc 60o Tính thể tích tứ diện A.BCD

Bài 11 :

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy (ABCD ) Góc giữa SC và đáy bằng 60và M là trung điểm của SB.Tính thể tích của khối chóp M.ABCD

Bài 12 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB =BC = a

,AD = 2a SA vuông góc (ABCD ) , góc giữa SC và mặt đáy bằng

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Bài 13 :

Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 4 cm và diện tích tam giác A’BC bằng

8 cm2 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Bài 14 :

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt phẳng

( A’BC) hợp với mặt đáy ( ABC) một góc 60 0 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a

1/ Tính thể tích khối chóp C.A’AB 2/ Chứng minh AN vuông góc A’B

3/ Tính thể tích khối chóp A’AMN 4/ Tính diện tích tam giác AMN

Bài 17 ( đề thi đại học khối D-2008)

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông , AB = BC = a , AA’ =

2

a M trung điểm BC

1/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 2 / ínhT d AM B C , '  .

Bài 18 ( đề thi đại học khối B-2009)

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, góc BAC bằng 60 0, BB’

= a Cạnh bên BB’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0.Hình chiếu vuông góc của B’ trên (ABC)

là trọng tâm tam giác ABC

1/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 2/ Tính thể tích khối tứ diện A’ABC

Bài 19 ( đề thi đại học khối A-2008)

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = , AA’

2.Tính cosin góc giữa 2 đường AA’ và B’C’.

IV KẾT QUẢ :

V BÀI HỌC KINH NGHIỆM :

VI KẾT LUẬN

Tôi mong rằng với chuyên đề này các em học sinh sẽ có kinh nghiệm để giải bài toán tính thể

tích khối chóp hay tính thể tích khối lăng trụ trong các kì thi tốt nghiệp, cao đẳng

Cách suy nghĩ và cách trình bày bài giải của tôi trong chuyên đề nêu trên chưa hẳn là tối ưu nên tôi mong nhận được sự góp ý chân tình của quý thầy cô và các đồng nghiệp