Chúng ta đều biết một số phương pháp thông thường để tính tích phân là: đổi biến số, từng phần, đồng nhất đa thức, truy hồi. Phương pháp tích phân từng phần là một trong hai phương pháp chính để tính tích phân. Khi đó ta phải chia biểu thức trong dấu tích phân làm hai phần: u và dv.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Mã số: ………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY HỌC SINH
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
Người thực hiện: VÕ NAM
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục:
- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN
- Phương pháp giáo dục:
- Lĩnh vực khác:
Có đính kèm:
Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác
Năm học: 2011 – 2012
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
Trang 2-I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1 Họ và tên: VÕ NAM
2 Ngày tháng năm sinh: 9 – 6 – 1963
3 Nam, nữ: nam
4 Địa chỉ: 105D Kp8 Phường Tân Phong, Biên Hòa, Đồng Nai
5 Điện thoại: 0919469877
6 E-mail: vonamvo@yahoo.com
7 Chức vụ: Giáo viên
8 Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị: Cử nhân Khoa học
- Năm nhận bằng: 1987
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: dạy toán THPT
- Số năm có kinh nghiệm: 27 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để chứng minh bất đẳng thức (2010 – 2011)
Trang 3Tên SKKN:
MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY HỌC SINH TÍNH TÍCH PHÂN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Để trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp về phương pháp dạy tích phân
từng phần, cũng như nêu ra một số kinh nghiệm của tôi trong vấn đề này
II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1 MỞ ĐẦU
Chúng ta đều biết một số phương pháp thông thường để tính tích phân là: đổi biến số, từng phần, đồng nhất đa thức, truy hồi Phương pháp tích phân từng phần
là một trong hai phương pháp chính để tính tích phân Khi đó ta phải chia biểu thức trong dấu tích phân làm hai phần: u và dv
Ta có công thức: ∫ = −∫b
a
b
a
b
a
vdu uv
udv
Vấn đề ở đây là việc đặt u và dv Nếu đặt đúng thì làm được Thông thường ta đặt
dv cho phần dễ thấy nguyên hàm và u là phần còn lại, bởi vì từ u tìm du thì chắc chắn tìm được còn từ dv mà tìm v thì không phải dễ
2 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA CHO ĐIỀU NÓI Ở TRÊN
Sau đây là một số ví dụ để minh họa cho điều nói ở trên và tôi cũng phân tích cho học sinh thấy tại sao phải đặt như vậy
Trong các bài giải tôi xin lướt qua một số tiểu tiết
1) Ví dụ 1: ( bài dễ ) Tính: I = ∫21lnx dx
• Phân tích: rõ ràng bài này phải dùng phương pháp tích phân từng phần (vì không
có cơ sở nào để đổi biến số) và khi dùng phương pháp tích phân từng phần thì ta không có một chọn lựa nào ngoài cách đặt: u = lnx ; dv = dx
Trang 4Bởi vì nếu đặt ngược lại thì ta không thể tìm được ngay nguyên hàm của lnx
• Giải:
đặt u = lnx ⇒ du =
x dx
dv = dx ⇒ v = x
suy ra: I = −∫
2
1
2
1 dx xlnx = ln4 - 1
2) Ví dụ 2: ( bài hơi khó) Tính: I = ∫3 −
2
2 x)dx ln(x ( Đề thi ĐH 2004 khối D )
• Phân tích: cũng giống như ví dụ 1, ta chỉ có một cách đặt: u = ln(x2 – x) ; dv = dx
• Giải:
đặt u = ln(x2 – x) ⇒ du = dx
x x
1 2x
2 −
−
dv = dx ⇒ v = x
Suy ra: I = − −∫3 −−
2
3 2
1 x
1 2x x)
= 3ln6 – 2ln2 - ∫3 + −
2
)dx 1 x
1 (2 = = 3ln3 – 2
3) Ví dụ 3: ( bài khó) Tính: In =∫π
0
nx cos(nx)dx
• Phân tích: Thật ra bài này nằm trong nhóm bài dùng phương pháp truy hồi, nhưng phương pháp truy hồi lại sử dụng phương pháp từng phần để làm Và cũng giống như phân tích của ví dụ 1 ta chỉ có một cách đặt duy nhất:
đặt: u = cosnx ; dv = cosnx
• Giải:
đặt u = cosnx ⇒ du = - n cosn-1x sinx dx
dv = cosnx ⇒ v = sinnx
n 1
0
1 n π
0
nx sinnx cos x sinnx sinx dx cos
n 1
Trang 5= ∫π − − − +
0
1
n x[cos(n 1)x cos(n 1)x]dx
cos
2
1
−
π
0
1 n 1
n cos x cos(n 1)x dx
2
1
I
2
1
− − π
0
1 n 1
n cos x (cosnx cosx -sinnx sinx)dx
2
1
I
2
1
2
1 I 2
1
I
2
Suy ra: n In 1
2
1
Mà: I1 =
2
π
Vậy: In = n
2
π
( dùng qui nạp )
-LƯU Ý CHO HỌC SINH LÀ:
1) Không phải lúc nào cũng chỉ có một cách đặt, có bài có hai cách đặt
2) Không phải chỉ từng phần một lần mà có khi phải tiến hành nhiều lần
Những trường hợp này tôi sẽ nói rõ ở phần số 3 đó là phần phân loại một số dạng
3 PHÂN LOẠI:
Sau đây là một số kinh nghiệm của tôi đã được đúc kết lại sau nhiều năm dạy học
về tính tích phân từng phần Tôi sẽ phân loại một số dạng và cách giải chúng
Dạng 1: Nếu gặp 1 trong 3 bài sau đây:
∫P(x)sin(ax+b)dx; ∫P(x)cos(ax+b)dx; ∫P(x)eax + bdx
trong đó P(x) là một đa thức bậc n của x
Ta đặt: u = P(x); dv là phần còn lại và phải tiến hành từng phần n lần mới xong Mỗi lần từng phần thì P(x) giảm một bậc cho tới khi không còn P(x)
Ví dụ: tính I = ∫π + −
0
2 3x 1)sin2xdx (x
Giải: ( Đa thức bậc 2 nên ta phải tiến hành từng phần 2 lần )
( Lần 1)
Trang 6đặt u = x2 + 3x - 1 ⇒ du = (2x + 3)dx ;
dv = sin2x dx ⇒ v =
2
cos2x
Sau đó ta phải tính: ∫π +
0
3)cos2xdx (2x
(Lần 2)
đặt u = 2x + 3 ; ⇒ du = 2dx ;
dv = cos2x dx ⇒ v =
2 sin2x
Sau đó ta phải tính: ∫π
0 sin2xdx (tích phân đơn giản)
• Bài tập tham khảo:
Tính các tích phân sau đây:
1) I = dx
4
x )cos 2x (1
π
0
3
2) I = (x 3x)2e 2xdx
2
1
Dạng 2: Nếu gặp bài: ∫b
a
nx dx ln P(x)
trong đó P(x) là một đa thức bậc n của x
Ta đặt: u = lnnx ; dv = P(x)dx và phải tiến hành từng phần n lần mới xong Mỗi lần từng phần thì mũ của lnx giảm một bậc cho tới khi không còn lnx
Ví dụ: tính I = ∫ − + +
e
1
2 2
3 4x x 2)ln xdx (x
Giải: ( mũ của lnx là 2 nên phải từng phần 2 lần )
( Lần 1)
đặt u = ln2x ⇒ du = dx
x 2lnx
dv = (x3 – 4x2 + x + 2)dx ⇒ v = 2x
2
x 3
4x 4
+ +
−
Trang 7Sau đó ta phải tính: 2 lnx dx
2
x 3
4x 4
x
e
1
2 3
∫ − + + ( Lần 2 )
đặt: u = lnx ; ⇒ du =
x
dx
;
2
x 3
4x 4
x (
2 3
+ +
4
x 9
4x 16
+ +
−
4
x 9
4x 16
x e
1
2 3
∫ − + + (tích phân đơn giản)
• Bài tập tham khảo: tính I = ∫2 + −
1
3
2 2x 1)ln x dx
Dạng 3: Nếu gặp dạng: I =∫b + +
a
d
cx sin(mx n)dx
a
d
cx cos(mx n)dx e
Ta đặt: u = ecx+d ; dv là phần còn lại (hoặc đặt ngược lại cũng được – 2 cách đặt) Từng phần lần thứ nhất thì dạng này chuyển sang dạng kia, từng phần lần thứ hai thì lại về dạng cũ Khi đó ta được một phương trình với I ( hoặc J ) là ẩn số, giải tìm I ( hoặc J )
Ví dụ: Tính I = ∫π
0
1 -2x sin3x dx e
Giải:
đặt u = e2x-1⇒ du = 2e2x-1 dx
dv = sin3x ⇒ v =
3
cos3x
−
0
1 2x cos3x) (e
3
0
1 -2x cos3x dx e
3 2
= )
e
1 (e
3
1 2π 1
+
0
1 -2x cos3x dx e
3
2
( dạng I chuyển về J )
gọi J =∫π
0
1 -2x cos3x dx e
đặt u = e2x-1⇒ du = 2e2x-1 dx
Trang 8dv = cos3x ⇒ v =
3 sin3x
0
1 2x sin3x) (e
3
-
3
2
I ( dạng J lại chuyển về I )
= -
3
2
I
e
1 (e
3
1 2π 1
+
9
4
I
e
1 (e
13
3 2π−1+
• Bài tập tham khảo: tính I =∫π −
0
x
2
x cos e
III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Học sinh tính tích phân từng phần tốt hơn và nhanh hơn nếu gặp các dạng này, nếu gặp dạng tương tự thì cũng có thể làm được Hoặc ít ra cũng lựa chọn cách đặt đúng đối với một bài tích phân nào đó nếu dùng phương pháp tích phân từng phần
IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG:
Các đồng nghiệp có thể tham khảo và áp dụng
V TÀI LIỆU THAM KHẢO: không
NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên)
VÕ NAM
Trang 9SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc , ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học:
––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm:
Họ và tên tác giả: Chức vụ:
Đơn vị:
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học bộ môn:
- Phương pháp giáo dục - Lĩnh vực khác: Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị Trong Ngành
1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)
- Có giải pháp hoàn toàn mới
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có
2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị
có hiệu quả
3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
Trang 10- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong
Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)