skkn phát triển năng lực trí tuệ của học sinh qua bài toán chứng minh hai góc bằng nhau

Do đó các lập luận trong bài toán chứng minh hình học của các emthường dài dòng, rời rạc thiếu căn cứ, không đảm bảo tính khoa học vàlogic.. Có thể nói hầu hết các em học sinh ở bậc học

I PHẦN MỞ ĐẦUI.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong toán học có nhiều bộ môn, bộ môn nào cũng có cái hay cái thú

vị của nó Ở cấp phổ thông trung học cơ sở hiện nay học sinh được học vànghiên cứu một số bộ môn như: số học đại số và hình học Riêng bộ mônhình học là một bộ môn rất mới lạ và rất khó đối lứa tuổi học sinh cấp 2.Trước những bài toán hình học, đặc biệt về bài toán chứng minh hình họcthường học sinh rất lúng túng, không biết bắt đầu đi từ đâu và đi từ hướngnào Do đó các lập luận trong bài toán chứng minh hình học của các emthường dài dòng, rời rạc thiếu căn cứ, không đảm bảo tính khoa học vàlogic Có thể nói hầu hết các em học sinh ở bậc học trung học cơ sở hiệnnay còn gặp nhiều khó khăn trong việc học tập môn hình học nói chung vàtrong việc chứng minh các bài toán hình học nói riêng Nói cách khác các

em chưa nắm vững được phương pháp chứng minh một bài toán hình học

Về phía giáo viên trong quá trình giảng dạy môn hình học ở trung học

cơ sở không ít giáo viên chỉ thiên về xây dựng khái niệm, hình thành kháiniệm, liệt kê các định lý, tính chất.v.v mà không dạy cho học sinh sử dụngnhững khái niệm tính chất đã học vào việc giải bài toán chứng minh hìnhhọc Mặt khác giáo viên chỉ chú ý đến việc giải nhiều các bài toán có liênquan đến vấn đề đã học và thỏa mãn với việc đã tìm ra kết quả bài toán,

mà chưa khái quát cách giải từng loại bài, dạng bài khác nhau Dặc biệtgiáo viên chưa dạy cho học sinh phương pháp tư duy tìm hướng giải tối ưunhất đối với từng loại bài, dạng bài cụ thể Do đó học sinh rất khó xuấtphát điểm tư duy và tìm ra hướng giải nhanh nhất, cách giải tối ưu nhất

Vì thế học sinh hay lúng túng trong việc giải quyết bài toán và lời giảinhiều khi không logic, thiếu chặt chẽ, máy móc không sáng tạo quá trìnhnày sẽ làm hạn chế năng kực tư duy học sinh

Việc giải bài toán hình học ở chương trình trung học cơ sở thực chất

là đi chứng minh lại các mệnh đề toán học Do đó phương pháp chứngminh các bài toán hình học đối với các em học sinh cấp 2 là rất cần thiết,rất quan trọng, nó giúp các em phát triển được năng lực tư duy, từng bướcgiúp các em giúp các em hoàn thành và hoàn thiện các thao tác tư duynhư: So sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa góp phần phát triển nănglực trí tuệ cho các em

Các bài toán về chứng minh hình học rất đa dạng phong phú như:Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, chứng minh hai đường thẳng songsong, chứng minh hai tam giác bằng nhau, chứng minh hai góc bằngnhau.v.v Đối với học sinh cấp 2 thì việc chứng minh hai góc bằng nhaucũng còn gặp nhiều khó khăn, hầu hết các em đều mắc phải các nhượcđiểm như đã nêu trên Để giúp các em khắc phục nhược điểm khi giải bàitoán chứng minh hình học nói chung và bài toán chứng minh hai góc bằngnhau nói riêng, với những kinh nghiệm trong những năm giảng dạy ởtrường trung học cơ sở, từ thực tế tôi xin được trình bày một đề tài nhỏ là:

“Phát triển năng lực trí tuệ của học sinh qua bài toán chứng minh hai

góc bằng nhau“ ở hình học phẳng trong chương trình hình học ở trung

học cơ sở

I.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Mục đích của đề tài là thông qua các dạng bài toán cơ bản đượctổng hợp thành các kiểu phương pháp chứng minh hai góc bằng nhau Từ

đó nâng cao năng lực trí tuệ của học sinh trong việc phát hiện vấn đề nângcao việc rèn kuyện kỹ năng cho học học sinh, chứng minh có luận cứ, cóhướng đi rõ ràng trong bài toán chứng minh hai góc bằng nhau Khắc phụcnhững việc dạy và học giải bài toán hai góc bằng nhau

- Làm cho học sinh lựa chọn khám phá ra hướng đi mới, lời giải đúng

và nhanh nhất trong bài toán Kích thích sự tìm tòi say mê học toán của họcsinh Làm cho học sinh vận dụng hợp lý những tri thức của mình để tìm ramối liên hệ giữa bài toàn này bài toán khác

- Mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận của bài toán từ đó học sinhđưa ra cách giải nhanh chóng đưa ra cách giải hợp lý Biết tìm ra nhiềuphương pháp giải toán hình và từ đó học sinh thích học, tự tin hơn không lo

Từ đó có cách trình bày phần chứng minh cho rõ ràng, lập luận chặt chẽ,logic hơn

I.3 THỜI GIAN, ĐỊA ĐIỂM

* Thời gian: Thực hiện 4 năm từ 2006 đến 2010

* Địa điểm: Tại trường THCS Mạo Khê II

I.4 ĐÓNG GÓP MỚI VỀ MẶT LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Môn Hình là một bộ môn khó và trừu tượng đối với học sinh THCS vìvậy đòi hỏi người giáo viên phải luôn tìm tòi suy nghĩ, có những phươngpháp để truyền đạt đến học sinh một cách dễ hiểu

Trong thời gian qua, tôi đã cùng với nhóm, tổ Toán Lý trực tiếp giảngdạy nhiều năm bộ môn Toán, Lý từ lớp 6 đến lớp 9, đã cùng với tổ từngbước nâng cao chất lượng giảng dạy và đã có nhiều học sinh đạt học sinhgiỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh trong các năm học 2007 – 2008

Năm học 2007 – 2008 đã có 4 học sinh giỏi bộ môn Toán cấp Huyệntrong đó có 3 em lớp mình phụ trách.

II PHẦN NỘI DUNGI.1 CHƯƠNG I: TỔNG QUAN

Tên đề tài là: “Phát triển năng lực trí tuệ của học sinh qua bài

toán chứng minh hai góc bằng nhau“ ở hình học phẳng trong chương

trình hình học ở trung học cơ sở

Thời gian thực hiện đề tài là 4 năm Trong đề tài này tôi đi sâu vàonghiên cứu phát triển năng lực trí tuệ của học sinh qua bài toán chứngminh hai góc bằng nhau ở hình học phẳng Từ đ ó rèn cho học sinh có k ĩnăng làm một bài tập chứng minh hình học ở cấp THCS một cách dễ hiểu

và gần gũi với học sinh, vận dụng các bài tập chứng minh hình học khác

II.2 CHƯƠNG II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

II.2.1 Thế nào là chứng minh

Chứng minh một mệnh đề chẳng hạn A→B=1 là đi xây dựng hữu hạncác mệnh đề : A1, A2 An và B sao cho B là mệnh đề cuối cùng trong dãy và

là hệ quả logic của mệnh đề Ai Mỗi Ai của dãy phải là mệnh đề đúng hayđược suy ra từ các mệnh đề A1, A2 A i-1.

Trong đó B gọi là luận đề, các Ai gọi là các luận cứ Các quy tắc suyluận dùng trong chứng minh gọi là luận chứng Trong chứng minh luận đềphải rõ ràng, luận cứ phải đúng không lẫn lộn, luận chứng phải hợp logic.Hay nói cách khác phải nói rõ tại sao với những điều kiện nào thì nhất thiếtrút ra được những kết luận gì Phải đưa ra được bằng cớ để chứng thựccác kết luận là đúng, nêu nên được mối quan hệ bên trong của chúng

Để đạt được các yêu cầu trên trước khi chứng minh cần phải lưu ýcác vấn đề sau :

a Đọc kỹ đầu bài, hiểu rõ được các dữ kiện đã cho dữ kiện cần

chứng minh và mối liên hệ giữa điều đã cho và cần chứng minh

b Phân biệt rõ giả thiết và kết luận, vẽ hình chính xác, dùng ký hiệu

làm nổi bật hình vẽ, thay ngôn từ toán bằng ký hiệu toán học cho bài toánđơn giản dễ phân biệt hơn

VÍ DỤ : Cho ∆ABC cân (đỉnh A ) một đường thẳng song song với BC

cắt AB và AC lần lượt tại E và F Chứng minh tam giác AEF cân

Cho học sinh đọc kỹ đầu bài điều cần chứng minh là tam giác AEFcân Điều đã cho là tam giác ABC cân và EF song song với BC Từ đó chohọc sinh vẽ hình và tóm tắt giả thiết, kết luận bằng ký hiệu toán học :

II.2.2.1 Bài tập chứng minh

Là những mệnh đề trong hình học cần chứng minh, thông quacác mệnh đề ( định lý ) đã được biết Hay nói cách khác là đi bài tậpchứng minh là một mệnh đề, một định lý Do đó chứng minh bài tập làchứng minh định lý toán học

II.2.2.2 Hai phần cơ bản trong bài tập chứng minh định lý Bất cứ một định lý nào hay một bài tập nào đều có hai phần:

- Phần quy định những yếu tố đã cho (hoặc có sẵn) gọi là phầngiả thiết

- Phần nêu rõ kết quả của sự suy diễn logic hay phần phải tìmphải chứng minh gọi là phần kết luận Phần này đúng hay sai

là do sau khi chứng minh mới kết luận được

VÍ DỤ : Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau:

Phần giả thiết : Hai góc đối đỉnh

Phần kết luận : Bằng nhau

Dạng tổng quát của một định lý có thể viết như sau :

Giả thiết Kết luận

Tuy nhiên phần định lý, bài tập giả thiết kết luận tương đối phức tạp.Dạng tổng quát của chúng là:

C là D thì I là K

Khi giải cần lưu ý đâu là giả thiết đâu là kết luận

II.2.3 Các phương pháp thường gặp trong chứng minh

II.2.3.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp

Khi chứng minh một bài tập hình người ta thường dùng phương phápphân tích để tìm ra hướng chứng minh, rồi dùng phương pháp tổng hợp đểviết ra phần chứng minh Cách làm đó gọi là phương pháp chứng minh trựctiếp

Phương pháp này chủ yếu dùng để tìm ra hướng chứng minh Nótổng hợp giữa hai phương pháp: phân tích và tổng hợp

Phân tích là đi từ kết luận (điều chưa biết) tìm những điều kiện cầnphải có để dẫn tới kết luận Phân tích tìm ra những cái đã biết liên quanđến vấn đề cần chứng minh.

Có hai cách chứng minh:

 Phân tích đi xuống :(hay suy ngược tiến) sơ đồ suy luận như sau:

B =B1→B2→B3→ →Bn =A gt

Trong cách suy luận này cần lưu ý :

Nếu A đúng thì chưa kết luận được B đúng hay sai

Nếu A sai thì chắc chắn B sai

 Phân tích đi lên (suy ngược lùi) :

A =A1→A2→A3→ →An =BKhi chứng minh thì những điều kiện cần thiết và thích hợp choviệc chứng minh trên là điều lựa chọn khó và có khi không làm được.Cho nên đã nói ở phần trên, khi chứng minh bài tập toán người ta kếthợp cả phương pháp phân tích và phương pháp tổng hợp Phân tích

để tìm ra hướng chứng minh, còn tổng hợp là chứng minh bài toán

Sơ đồ như sau :

VÍ DỤ 2 : Cho góc xOy trên cạnh Ox và Oy lần lượt lấy các điểm C, A

và B, D sao cho C nằm giữa A và O, D nằm giữa O và B, OA=OB,OC=OD

Chứng minh rằng góc ABC= góc BAD

Tổng hợp

Với sơ đồ này chúng ta hướng cho học sinh bắt đầu từ điều đã cho ởgiả thiết và đi đến tam giác AOB cân, tam giác AOD = tam giác BOCsau đó sử dụng tính chất cộng góc.

Dùng phép tổng hợp để trình bày bài toán như sau:

2.góc OAB=góc OBA tính chất tam giác cân

góc AOD=góc BOC chung góc

tam giác AOD=tam giác BOC Trừơng hợp c.g.c

4.góc OAD= góc OBC T/c bằng nhau ∆

5.góc AOD+ góc DAB= góc OAB cộng góc

góc OBC+ góc CBA= góc OBA cộng góc

6 góc DAB = góc ABC do (5) và (2)

II.2.3.2 Phương pháp chứng minh gián tiếp:

Như chúng ta đã biết mỗi định lý có bốn cách biểu diễn, trong đó định

lý thuận, định lý đảo, định lý phản đảo hoặc cùng đúng, hoặc cùng sai

Tương tự như vậy với mệnh đề đảo và phản đảo Dựa và đó khi định lýkhông chứng minh được hoặc là khó có phương pháp chứng minh thìngười ta có thể chứng minh địng lý phản đảo Nếu phản đảo đúng thì thuậncũng đúng Đó là phương pháp chứng minh gián tiếp.

Một cách khác là chứng minh phản chứng Để chứng minh bằngphản chứng mệnh đề dạng:

A→B=1

Ta chứng minh mệnh đề phủ định là sai: A→ B =0 là sai

A là giả thiết, B là kết kuận

Các bước của phương pháp phản chứng gồm:

Bước 1 : Phủ định mệnh đề cần chứng minh là B

Bước 2 : Tìm điều phủ định trên cùng với giả thiết của bài toán ta suy

ra mâu thuẫn với giả thiết hay trái với những điều đã biết ( dẫn đếnmâu thuẫn)

Bước 3 : Từ mâu thuẫn trên ta kết luận điều giả sử là sai Vậy kếtkuận của bài toán là đúng

VÍ DỤ 3:Chứng minh rằng nếu tam giác có hai đường phân giác trong

bằng nhau thì tam giác ấy cân

Dựng hình bình hành :BFME ta được BE=FM và góc B1= góc M1

Theo giả sử góc B > góc C → góc B1> góc C2, góc M1>góc C2 (1)

Trong tam giác CME có CE> ME vì ME = BF→ Góc M2>Góc C3 (2)

Từ (1) và (2) ta được góc M1 + góc M2 > góc C1 + góc C3

hay góc M > góc FCM Trong ∆FMC có góc M> góc FMC → FC>FM =BE

Điều này trái với giả thiết FC=BE

→ Vậy điều giả sử góc B >góc là sai

→ góc B= góc C → ∆ABC cân

II.2.4 Những điều chú ý khi chứng minh.

Hình học là môn học suy diễn bằng lý luận chặt chẽ nên khi chứngminh phải có lý do chính xác, có lập luận chắc chắn logic Những lý do đóphải có căn cứ Phần chứng minh chỉ giới hạn trong 4 điểm sau:

 Giả thiết của bài toán

 Những định nghĩa đã học

 Những tiên đề định nghĩa đã học

 Những bài tập áp dụng được chứng minh

Nếu ngộ nhận vấn đề nào bài toán khó tìm được lời giải hoặc

lời giải đó sai

Khi chứng minh cần kẻ thêm đường phụ để giải quết vấn đề hìnhhọc Những đường phụ đó cần được ghi vào phần chứng minh

Muốn vẽ được đường phụ cần hiểu rõ mục đích của nó và nhằm vàomột số mục đích sau :

 Kẻ các đường phụ phải liên quan đến các vấn đề cần chứng minh.Phải có mối quan hệ mật thiết với các vấn đề cần chứng minh

 Khi vẽ đường phụ không được làm cho rối hình thêm, phải tuânthủ các bước dựng hình Đường phụ phải chính xác không tùy tiệnNhững loại đưòng phụ cơ bản có thể có :

 Kéo dài đoạn cho trước.

 Nối 2 điểm cho trước hoặc hai điểm cố định

 Dựng đường song song hoặc hạ vuông góc

 Kẻ dây cung tiếp tuyến với đường tròn

II.2.5 Tóm lại

Khi chứng minh bài toán hình học cũng như bài toán nói chung cómột nội dung và phạm vi nhất định, đó chính là tiềm lực của bài toán.Những tiềm lực của bài toán mà ta biết khai thác hết thì khả năng phát triểncao nhất trong tư duy, nhận thức, kỹ năng làm bài tập cho học sinh Vớimỗi bài toán khác nhau có cách giải khác nhau sự khai thác khác nhau Do

đó cần phải có hướng tổng hợp vấn đề để đưa ra cái chung nhất để giảihay là đưa dạng toán cơ bản nhất để sử dụng trong mọi tình huống Từ đóbiết loại trừ phương pháp tôi ưu

Khi giải toán có thể làm thay đổi một số vấn đề, hoặc có thể thay đổigiả thiết mà kết luận vẫn không thay đổi

Có thể đặt bài toán vào thế tương tự một bài toán nào đó

Dùng ký hiệu của toán học thay hành văn trong toán làm cho bài toánđơn giản hơn Để từ đó có bước đi hướng giải mới

Khi giải cần nghiên cứu các dữ kiện đã cho, dữ kiện cần tìm để tìm raphương pháp tối ưu, chính xác

Khi giải xong bài toán cần nhìn lại con đường mình đã đi, từng bướctừng phần cần phải có sự kiểm tra, phát hiện kịp thời và sửa chữa nhữngsai sót mắc phải nếu có

Đây là giai đoạn nâng cao nhận thức tư duy rèn kuyện kỹ năng chohọc sinh qua bài tập

II.3 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

+ Hai góc có cạnh tương ứng song song.

Khi dạy cho học sinh cách chứng minh này cần kưu ý học sinh mấyđiểm sau :

 Thế nào là hai góc bằng nhau

 Để chứng minh hai góc bằng nhau ta đưa chúng về dạng hai gócđối đỉnh, 2 góc so le, 2 góc đồng vị hoặc 2 góc có cạnh tương ứngvuông góc hoặc tương ứng song song

Muốn thế cần cho học sinh ôn tập nắm chắc các kiến thức cơ

bản có liên quan Khi giải bài tập yêu cầu học sinh phát hiện dấu hiệu củabài có liên quan vấn đề cần xét, như : song song, vuông góc, cắt nhau

Cách 2 : Lợi dụng trường hợp bằng nhau hoặc đồng dạng của tam

+ Làm cho học sinh biết ghép các góc cần chứng minh vào hai tamgiác bằng nhau hay đồng dạng Khi chứng minh chúng bằng nhau hayđồng dạng ta suy ra hai góc bằng nhau.

CÁCH 3 : Lợi dụng tam giác cân, hình bình hành.

Để sử dụng được cách này chúng ta phải cho học sinh nắm chắc tínhchất của tam giác cân, tính chất của hình bình hành Cách chứng minh tamgiác cân, chứng minh hình bình hành đã học Từ đó có vấn đề liên quancủa bài chứng minh góc đó là:

- Hai góc ở đáy của tam giác cân bằng nhau

- Hai góc đối đỉnh của hình bình hành

Do đó yêu cầu học sinh gắn vào tam giác cân nào đó, hình bình hành cógóc đối đó một cách hợp lý để chứng minh

CÁCH 4 : Lợi dụng các định lý về dường tròn kiến thức cơ bản.

- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung

- Góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung chắn một cung

- Góc có đỉnh ở trong đường tròn cùng chắn hai cung bằng nhau

- Góc có đỉnh ở ngoài đường tròn cùng chắn hai cung

- Hai góc chắn hai cung bằng nhau

Khi dùng phương pháp này học sinh phải nắm toàn lai toàn bộ

các kiến thức đã học có liên quan đến phương pháp này Phải ghép chúngvào tính chất các dường tròn, tính chất góc trong đường tròn

CÁCH 5 : Dùng góc thứ 3 làm trung gian.

Phương pháp này sử dụng tính chất bắc cầu Tìm một góc thứ

3 có thể bằng 2 góc cần chứng minh hoặc góc thứ 3 có tổng bằng nhau với

2 góc cần chứng minh

Khi dùng tính chất này giáo viên phải hướng dẫn các em phát hiệngóc trung gian để thực hiện phép cộng góc, hoặc phép bắc cầu Góc thứ 3này phải hợp lí, có thể vẽ hêm đường phụ để tìm góc thứ 3