phương pháp giải bài toán thời gian và quãng đường trong dao động điều hòa

bài toán về thời gian và quang đường trong chuyển động điều hòa, rất hữu ích cho các bạn làm khóa luạn vè phần này, đặc biệt là các bạn ôn thi đại học. đây là một phần trong ki thi đại học.bài viết chi tiết rõ ràng chuẩn xác, giúp người đọc dễ dàng nắm bắt được vẫn đề

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ -

NGUYỄN VĂN SƠN

BÀI TOÁN THỜI GIAN VÀ QUÃNG ĐƯỜNG TRONG

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Chuyên ngành: Vật lý đại cương

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS ĐÀO CÔNG NGHINH

HÀ NỘI – 2014

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Bài toán thời gian và quãng đường

trong dao động điều hòa” đã hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự

giúp đỡ tận tình, chu đáo của thầy giáo TS Đào Công Nghinh, cùng các thầy

cô trong Khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó, đồng thời em xin chân thành cảm ơn thư viện nhà trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành đề tài này

Trong quá trình nghiên cứu, bản thân em là một sinh viên bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót

Vì vậy, em rất mong được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này hoàn thiện hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Văn Sơn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những nội dung tôi đã trình bày trong khóa luận này

là kết quả của quá trình nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của

thầy cô giáo, đặc biệt là thầy giáo TS Đào Công Nghinh Những nội dung

này không trùng lặp với kết quả nghiên cứu của tác giả khác

Hà Nội, tháng 5năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Văn Sơn

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

NỘI DUNG Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA MỐI LIÊN HỆ GIỮA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU 3

1.1 Đại cương về dao động điều hòa 3

1.1.1 Khái niệm 3

1.1.2 Phương trình dao động điều hòa 3

1.1.3 Các đại lượng trong dao động điều hòa 4

1.1.4 Năng lượng 5

1.2 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều 6

1.2.1 Chuyển động tròn đều 6

1.2.2 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều 6

Chương 2: BÀI TOÁN THỜI GIAN VÀ QUÃNG ĐƯỜNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 8

2.1 Bài toán thời gian 8

2.1.1 Cho phương trình dao động của vật:x A.cos( t   ) Tìm khoảng thời gian để vật chuyển động từ li độ x1 đến x2 theomột tính chất nào đó 8

2.1.2 Cho phương trình dao động của vật: x = A.cos(t +α) Tìm thời điểm t vật qua li độ x nào đó lần thứ n 13

2.1.3 Cho phương trình dao động của vật: x A.cos( t   ) Biết tại thời điểm t vật qua li độ x, theo 1 chiều nào đó Tìm li độ dao động, vận tốc, gia tốc, lực phục hồi tại thời điểm trước hoặc sau thời điểm t một khoảng ∆t 19 2.1.4 Cho phương trình dao động của vật: x A.cos( t   ) Tìm thời điểm để vật cách VTCB một khoảng l lần thứ n nào đó 23 2.1.5 Cho phương trình dao động của vật: x A.cos( t   ) Tính

số lần vật qua li độ x* trong thời gian từ t1 đến t2 252.1.6 Cho phương trình dao động của vật:x  A.cos(t  ) Tính thời gian nhỏ nhất, lớn nhất để đi được cùng quãng đường S 30 2.2 Bài toán quãng đường 33 2.2.1 Cho phương trình dao động của vật: x = A.cos(t +α) Tính quãng đường mà vật đi được trong thời gian từ t1 đến t2 33 2.2.2 Cho phương trình dao động của vật: x = A.cos(t +α) Tính quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất mà vật đi được trong thời gian ∆t 38

KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài

Dao động là một trong các phần quan trọng của chương trình Vật lý lớp

12 Nó đóng góp một lượng lớn bài tập trong hệ thống kiến thức thi tốt nghiệp, đại học Mặt khác, hiện nay thi đại học môn Vật lý lại sử dụng hình thức thi trắc nghiệm, điều đó đòi hỏi mỗi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức, làm thành thạo các dạng bài tập mà còn phải có phương pháp giải

Chính vì lí do trên mà tôi chọn và nghiên cứu đề tài: “Bài toán thời gian

và quãng đường trong dao động điều hòa” để làm khóa luận xét tốt nghiệp

của mình

2.Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các bài toán về thời gian và quãng đường trong dao động điều hòa nhằm phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải nhanh cho từng dạng bài tập

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

Khái quát lý thuyết chương phần “Dao động điều hòa” Sử dụng mối liên

hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa cùng các phương pháp

giải bài tập để giải các bài toán về thời gian và quãng đường trong dao động điều hòa

4.Đối tượng nghiên cứu

Lý thuyết chương phần dao động điều hòa, lý thuyết của chuyển động tròn đều

Bài tập về thời gian và quãng đường trong dao động điều hòa

5.Phương pháp nghiên cứu

Đọc và tra cứu tài liệu liên quan

Giải các bài tập về dao động

NỘI DUNG

CHƯƠNG I ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA MỐI LIÊN HỆ GIỮA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Phương trình dao động x = A.cos(t + α)(cm, m)

Các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa:

x: Li độ dao động hay độ lệch khỏi VTCB (cm, m)

A: Biên độ dao động hay li độ cực đại (cm, m)

: Là tần số góc của dao động, đại lượng đặc trưng trung gian cho phép xác định chu kỳ, tần số dao động (rad/s)

α: Pha ban đầu của dao động (t = 0) giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm ban đầu (rad)

(t + α): Pha dao động tại thời điểm t giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm t bất kỳ (rad)

1.1.2.2 Phương trình vận tốc

v = x’ = -.A.sin (t + α) = .A.cos (t + α + π/2)(cm, m)

* Nhận xét

Vận tốc nhanh pha hơn li độ góc π/2

v luôn cùng chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì

v > 0, chuyển động theo chiều âm v < 0)

Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc góc π/2, nhanh pha hơn li độ góc π

Gia tốc luôn hướng về VTCB

Phương trình liên hệ giữa x, A, v và độc lập với thời gian:

*Chú ý: Nếu trong khoảng thời gian ∆t vật thực hiện được N dao động

1.2 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều

1.2.1 Chuyển động tròn đều

Chuyển động tròn là chuyển động có quỹ đạo là một đường tròn

VD: Chuyển động của các điểm trên ghế đu quay

Chuyển động tròn đều là chuyển động có quỹ đạo tròn và có tốc độ trung

bình trên mọi cung tròn là như nhau

Vận tốc góc: Là góc quay của bán kính trong 1 đơn vị thời gian

t



  

 (rad/s)

Trong đó là góc mà bán kính nối từ tâm đến vật quét được trong

những khoảng thời gian ∆t

Chu kỳ của chuyển động tròn đều là thời gian cần thiết để vật đi được 1

vòng

Tần số của chuyển động tròn đều là số vòng đi được trong 1 s

Công thức liên hệ giữa , T, f:

2

   f 

T

1.2.2 Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều

Độ dài đại số của hình chiếu trên

trục x của véctơ quay OM biểu diễn

dao động điều hòa chính là li độ của

dao động

Nói cách khác: Khi véctơ OM

quay đều với tốc độ góc  quanh điểm

O thì hình chiếu P của điểm M dao

động điều hòa trên trục x’Ox thuộc mặt

x

α

x0

P

M

A -A

Hình 1.1

phẳng quỹ đạo của điểm M, biên độ dài bằng OM, tần số góc bằng tốc độ góc

 và pha ban đầu α bằng gócxOM ở thời điểm t = 0

x = A cos(t +α)

* Chú ý:

Tại t = 0, v0 < 0 thì OM ở trên trục Ox, khi đó α > 0 Ngược lại, v0 > 0 thì

OM ở dưới trục Ox, khi đó α < 0

Thời gian vật dao động từ vị trí x1 đến x2 bằng thời gian OM quay đều được góc M OM với tốc độ góc 1 2 : ∆α = .∆t

Phương pháp biểu diễn dao động có thể áp dụng đối với sóng cơ học, sóng điện từ…

CHƯƠNG II BÀI TOÁN THỜI GIAN VÀ QUÃNG ĐƯỜNG

TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

2.1 Bài toán thời gian

2.1.1 Cho phương trình dao động của vật: x = A.cos(t +α).Tìm khoảng thời gian để vật chuyển động từ li độ x 1 đến x 2 theo một tính chất nào đó 2.1.1.1 Phương pháp giải

Cách 1: Sử dụng mối liên hệ giữa

chuyển động tròn đều và dao động điều

Cách 2: Sử dụng toán học thuần túy

Thay x1 và x2 vào phương trình li độ ta được:

Từ các phương trình trên ta tìm được các họ t1 và t2

Khi đó thời gian để vật chuyển động từ x1 đến x2 là ∆t = t2– t1

M2

M1

2.1.1.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5.cos(4πt –

π/3) cm Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1 = - 2.5 cm đến li

độ x2 = 2.5 3 cm?

Giải

Thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1 = - 2.5 cm đến li độ x2 = 2,5 3

cm chỉ có thể là thời gian để vật đi theo 1 chiều trực tiếp từ M1 đến M2

Ví dụ 2: Một vật dao động với phương trình x = 4.cos(2t – π/6) cm Tìm

khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ x1 = 2 cm đến li độ có gia tốc

c

Ở vị trí kích thích, lò xo giãn 7.5 cm nên vị trí đó cách VTCB 5 cm Vì ở đây vận tốc bằng 0 nên điểm kích thích chính là biên của quỹ đạo chuyển động  A = 5 cm

Thời gian lò xo nén trong 1chu kỳ là khoảng thời gian từ - 2.5 cm đến – 5 cm rồi quay lại - 2.5 cm

Do bài toán này chưa cho phương

trình dao động, nên khi thực hiện giải

theo cách 2 thì cần phải viết phương

trình dao động, do đó tôi chỉ trình bày

giải bài này theo cách 1

Như vậy tỉ số giữa thời gian lò xo nén và thời gian lò xo giãn là 2

Kết luận: Như vậy, bài toán tìm thời gian để vật chuyển động từ x 1 đến

x2 có thể giải theo nhiều cách Tuy nhiên việc sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa sẽ giúp ta giải quyết bài toán một cách nhanh nhất

2.1.1.3 Các bài tập tương tự

1.Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với phương trình x = A.cos(t – α) Biết khi vật ở VTCB lò xo bị giãn ∆l và thời gian lò

xo giãn gấp 5 lần thời gian lò xo nén Tìm liên hệ giữa ∆l và A

2 Một mạch dao động lí tưởng có chu kỳ dao động là T Tại một thời điểm điện tích trên tụ là 8.10-7

C và đang có xu hướng giảm Sau đó một

M2

M1

α -2.5 -5

5

Hình 2.4

khoảng thời gian ∆t = 3T/4 thì cường độ dòng điện tức thời trong mạch là 1,6π.10-3

A Tìm chu kỳ của mạch dao động

3 Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ 5cm Biết trong 1 chu kỳ khoảng thời gian để nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100cm/s2

là T/3 Tìm tần số của dao động

4 Cho mạch LC, thời điểm ban đầu tụ có điện tích Q0 Sau khoảng thời gian ngắn nhất 2π.10-4 s điện tích giảm từ giá trị cực đại đến nửa giá trị cực đại Hỏi sau khoảng thời gian nhỏ nhất bằng bao nhiêu năng lượng điện trường giảm từ giá trị cực đại đến nửa giá trị cực đại

5 Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T Trong khoảng thời gian ngắn nhất từ biên đến li độ A/2 vật có tốc độ trung bình bằng bao nhiêu

2.1.2 Cho phương trình dao động của vật: x = A.cos(t + α) Tìm thời điểm t vật qua li độ x nào đó lần thứ n

2.1.2.1 Tìm thời điểm t vật qua li độ x nào đó lần thứ n khi kể đến chiều dao động

2.1.2.1.1 Phương pháp giải

Cách 1: Sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động

điều hòa

Ta xác định vị trí ban đầu của vật

tại thời điểm ban đầu t = 0:

x0 = Acosα và dấu của v = - .sinα

Xác định vị trí tương ứng của li độ

trong dao động điều hòa với vật chuyển

động tròn đều Khi kể đến chiều chuyển

động, mỗi vị trí của x tương ứng với 1 vị

trí của vật chuyển động tròn đều

Xác định góc α rồi tính thời điểm theo công thức t = α/

Cách 2: Thay tọa độ x vào phương trình dao động và phương trình vận

tốc để thu được họ nghiệm thời điểm t theo các số nguyên k:

x = A.cos(t +α) và dấu của v = -.A.sin(t + α) Theo thứ tự của lần thứ n sẽ ứng với giá trị của k Biết được k thay ngược trở lại ta được thời điểm t cần tìm

2.1.2.1.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ: Vật dao động điều hòa với phương trình x = 4.cos(4πt + π/6) cm

Tìm thời điểm vật qua vị trí x = 2 cm theo chiều dương lần thứ 3?

Giải

Cách 1: Vì α = π/6 nên vị trí ban

đầu của vật ứng với chuyển động tròn

đều là M0

Vật đi qua li độ x = 2 cm theo chiều

dương tương ứng là điểm M

Lần thứ nhất bán kính quay một góc

ỏ tâm là 3π/2 Muốn qua thêm lần 3 thì

phải quay thêm 2 vòng nữa, tức là thêm góc 2.2π Vậy tổng góc quét là 11π/2

Do đó thời điểm vật đi qua li độ x = 2 cm theo chiều dương lần thứ 3 là:

6π

Để t > 0 thì k =1, 2, 3… và theo thứ tự của dãy số thì lần thứ 3 sẽ tương

Ta xác định vị trí ban đầu của vật tại thời điểm ban đầu t = 0: x0 = Acosα

và dấu của v = - .sinα

Xác định vị trí tương ứng của li độ

x trong dao động điều hòa với vật

chuyển động tròn đều Khi không kể

đến chiều chuyển động, mỗi vị trí của x

tương ứng với 2 vị trí của vật chuyển

Theo thứ tự của lần thứ n sẽ ứng với giá trị của k và m Biết được k hoặc

m thay ngược trở lại ta được thời điểm t cần tìm

A

2.1.2.2.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos(4πt + π/6)

cm Vật qua vị trí x = 2,5 cm lần thứ 2013 vào thời điểm nào?

Giải

Cách 1

Vị trí ban đầu của vật ứng với chuyển động tròn đều là điểm M0 (hình

2.8) Vì không kể đến chiều chuyển động nên cứ mỗi vòng vật qua vị trí này 2

lần là M1 và M2

Lần thứ nhất là M1, so với OM0 bán

kính đã quét được góc π/6

Muốn có lần 2013 vật phải qua thêm

2012 lần nữa Vậy chuyển động tròn

tương ứng phải quay thêm 1006 vòng

nữa Như vậy, tổng góc quét là:

π/6 + 1006.2π = 12073π/6

t = 12073/24 s

Cách 2:Thay x = 2,5 cm vào phương trình dao động ta được:

x = 5.cos (4πt + π/6) = 2,5 cos(4πt + π/6) = 0,5 = cos π/3

k m

t 1, 2,3

k k

m m

M2

5

0

Hình 2.8

Nhận xét: Việc giải bài toán theo cách biến đổi toán học thông thường

phức tạp hơn việc sử dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa Ngoài ra giải theo cách biến đổi toán học dễ gây cho học sinh việc nhầm lẫn giữa các lần

Chú ý: Từ việc tìm thời điểm vật đi qua li độ x nào đó lần thứ n, một

cách tương tự ta sẽ tìm được thời điểm:

+ Vật nhận vận tốc hay gia tốc nào đó lần thứ n

+ Động năng bằng một giá trị nào đó của thế năng lần thứ n

+ Lực phục hồi hay lực đàn hồi nhận giá trị nào đó lần thứ n

+ Điện áp, cường độ dòng điện, điện tích nào đó lần n

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình

Cực đại lần 2 tương ứng với

điểm M2 trên vòng tròn So với OM0

bán kính OM đã quét được góc:

α = π + π/3 = 4π/3 rad  t = 1/3 s

Ví dụ 2: Vật dao động điều hòa với phương trình x = A.cos(4πt + π/6)

cm Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có động năng bằng thế năng lần 2014?

* Khi tính đến chiều dao động, thời điểm vật qua tọa độ x* theo một

chiều nào đó lần thứ n sẽ được tính bằng công thức:

Trong đó:

t 1 là khoảng thời gian từ vị trí ban đầu đến tọa độ x* lần thứ nhất

t 2 là khoảng thời gian từ vị trí ban đầu đến tọa độ x* lần thứ hai

T là chu kỳ dao động

2.1.2.3 Các bài tập tương tự

1 Vật dao động điều hòa với phương trình x = 4.cos(4πt + π/6) cm Tìm

thời điểm thế năng gấp 3 lần động năng lần thứ 2015?

2 Vật dao động điều hòa với phương trình x = 7.cos(5πt + π/3) cm Tìm

thời điểm để lực phục hồi có giá trị cực đại lần thứ 2?

3 Dao động điều hòa của một vật có phương trình x = 2.cos(10πt - π/3)

cm Hỏi lần thứ 10 vật qua li độ x = - 1 cm đang tiến về VTCB vào thời điểm

nào?

4 Dòng điện xoay chiều qua một đoạn mạch RLC nào đó có biểu thức I

= I0cos(100πt – π/3) A Tìm thời điểm để cường độ dòng điện có giá trị bằng

giá trị hiệu dụng lần thứ 2013 và 2014?

2.1.3 Cho phương trình dao động của vật: x = A.cos(t + α) Biết tại thời

điểm t vật qua li độ x, theo 1 chiều nào đó Tìm li độ dao động, vận tốc,

gia tốc, lực tại thời điểm trước hoặc sau thời điểm t một khoảng ∆t

2.1.3.1 Phương pháp giải

Với loại bài toán này việc đầu tiên ta nên kiểm tra xem tỉ số

/ 2

t T



nhận giá trị nào Có 3 khả năng xảy ra:

+ Nếu giá trị đó là một số nguyên chẵn thì sẽ có kết quả: x1 = x2 và

v2 = v1 Gia tốc a = - 2

.x1 và lực F = - K.x1 = - m.2.x1.

Vì cứ sau nguyên lần chu kỳ thì vật quay về vị trí cũ

+ Nếu giá trị đó là một số nguyên lẻ thì sẽ có kết quả: x1 = - x2 và

v2 = - v1 Gia tốc a = 2

.x1 và lực F = K.x1 = m.2.x1