tóm tắt luận án phương pháp giải gần đúng một số lớp bài toán biên của phương trình elliptic

Mục đích và phương pháp nghiên cứu Mục đích của luận án: Nghiên cứu lời giải gần đúng bài toán biên của phương trình elliptic vàphương trình song điều hòa với hệ số gián đoạn hoặc với đi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

TRƯƠNG HÀ HẢI

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

Chuyên ngành : Toán học tính toán

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Nhiều bài toán vật lý và cơ học được mô hình hóa bởi các phương trình đạo hàm riêng Vấn

đề giải số hiệu qua phương trình đạo hàm riêng vẫn luôn là một trong những vấn đề được quantâm nhất trong toán học tính toán, đặc biệt khi hệ số không trơn (gián đoạn trên một mặt phâncách nào đó) hoặc điều kiện biên hỗn hợp mạnh (cả hai điều kiện biên dạng Dirichlet và Neumannđều xuất hiện và chuyển đổi tại một hay nhiều điểm trên biên) Mặc dù đã có rất nhiều công trìnhnghiên cứu lời giải gần đúng cho các bài toán hệ số gián đoạn và điều kiện biên hỗn hợp mạnhbằng các phương pháp khác nhau, đây vẫn là một vấn đề được các nhà khoa học quan tâm Cáclược đồ sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn, các phương pháp xấp xỉ biên, đều trở nên phứctạp hơn khi phải chú ý đến mặt gián đoạn hay sự chuyển đổi của các điều kiện biên Mặt khác cáccấu trúc của hệ phương trình đại số tuyến tính sẽ không còn đẹp đẽ như các trường hợp hệ số liêntục hay điều kiện biên đơn giản Khi đó độ phức tạp của thuật toán tăng đáng kể Trong khoảng 3thập kỷ gần đây, một hướng tiếp cận mới được các nhà khoa học đặc biệt quan tâm và có thể giảiquyết tốt vấn đề giải số lớp bài toán biên hỗn hợp mạnh hay hệ số gián đoạn Đó là phương phápchia miền với ý tưởng chính là đưa bài toán phức tạp trên miền lớn về các bài toán đơn giản hơntrên các miền con và kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh để sau đó giải các bài toán con này bằngcác phần mềm có sẵn Đây chính là hướng nghiên cứu được lựa chọn để giải gần đúng một số lớpbài toán biên của phương trình elliptic

2 Mục đích và phương pháp nghiên cứu

Mục đích của luận án: Nghiên cứu lời giải gần đúng bài toán biên của phương trình elliptic vàphương trình song điều hòa với hệ số gián đoạn hoặc với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

Phương pháp nghiên cứu: Sử dụng các phương pháp trong giải tích số cho phương trình đạohàm riêng như: Phương pháp chia miền, phương pháp đưa bài toán cấp cao về dãy các bài toáncấp hai, kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm, phương pháp sai phân Các phương pháp trên sẽ đượckết hợp một cách linh hoạt để xây dựng phương pháp mới phù hợp với từng bài toán cụ thể Đểnghiên cứu sự hội tụ của các phương pháp được đề xuất, luận án sử dụng kỹ thuật đưa vào toán

tử biên thích hợp dẫn bài toán được xét về phương trình với toán tử đối xứng xác định dương hoặcdương và hoàn toàn liên tục trong không gian Hilbert và áp dụng lược đồ lặp hai lớp cho chúng.Việc hiện thực hóa các bước lặp này chính là việc giải các bài toán đối với phương trình cấp haitrong các miền hình học đơn giản

3 Những đóng góp mới của luận án

- Phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm giải bàitoán biên của phương trình elliptic với hệ số gián đoạn

- Đề xuất phương pháp lặp song song giải bài toán biên của phương trình elliptic với các điều kiệnbiên hỗn hợp mạnh, áp dụng giải bài toán Motz

- Đề xuất phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phương trình và lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàmgiải bài toán biên của phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

- Giải gần đúng các bài toán vết nứt, bài toán về độ uốn của bản hình chữ nhật có một hoặc haigiá đỡ bên trong

4 Bố cục của luận án

Luận án được bố cục thành 3 chương với nội dung tóm tắt như sau:

Chương 1 : Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho các nội dung trong luận án và các kết quả xâydựng thư viện chương trình giải số các bài toán biên hỗn hợp yếu trong trường hợp toán tử vi phân

là toán tử elliptic với hệ số là hằng số trong miền chữ nhật

Chương 2 : Trình bày các kết quả nghiên cứu về phát triển phương pháp chia miền kết hợp kỹ thuậtlặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán elliptic cấp hai với hệ số gián đoạn, phương pháp lặp songsong giải bài toán elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh cho phép giải bài toán cỡ lớn trên các

hệ thống tính toán song song

Chương 3 : Trình bày các kết quả nghiên cứu về phương pháp kết hợp chia miền, hạ cấp phươngtrình và kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợpmạnh Giải gần đúng bài toán vết nứt và bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong

Trong luận án, các kết quả lý thuyết được kiểm tra, thử nghiệm bằng các chương trình cài đặttrong môi trường Matlab 8.0

Chương 1MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Phần này giới thiệu một số khái niệm và kiến thức cơ sở được tham khảo từ các cuốn sách củacác tác giả Aubin, Adams, Cioranescu, Quarteroni và Rectorys:

• Không gian Sobolev : Các khái niệm và định nghĩa về miền Lipschitz, không gian Sobolev, định

lý vết, bất đẳng thức Poincare, công thức Green

• Bài toán biên của phương trình elliptic cấp hai và phương trình song điều hòa: Phát biểu các bàitoán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất và các công thức yếu tương ứng.Trình bày về toán tử song điều hòa, phương trình song điều hòa và các loại điều kiện biên

• Các vấn đề cơ bản về phương pháp lặp: Các sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình toán tử, định lý

cơ bản về sự hội tụ của các sơ đồ lặp

1.2 Kết quả bổ trợ

Với mục đích đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh về các bài toán biên hỗn hợp yếu nên nhiệm vụđầu tiên của luận án là: Xây dựng một thư viện chương trình giải số các bài toán biên hỗn hợp yếutrong trường hợp toán tử vi phân là toán tử elliptic với hệ số là hằng số Trên cơ sở của phươngpháp thu gọn khối lượng tính toán Samarskii-Nikolaev, trong phần này giới thiệu tóm tắt về cáckết quả xây dựng thư viện chương trình RC2009 Đây là một công cụ quan trọng để thực hiện việccài đặt các thuật toán được đề xuất trong chương 2 và chương 3 Các kết quả xây dựng thư việnchương trình đã được công bố trong công trình [6]

Kết luận Chương 1 đã trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Sobolev, các khái niệm

và công thức yếu cho các bài toán biên của phương trình elliptic với các điều kiện biên hỗn hợpkhông thuần nhất, phương trình song điều hòa và các điều kiện biên thường gặp trong các ứngdụng, lý thuyết về các sơ đồ lặp của Samarskii-Nikolaev và sự hội tụ của các sơ đồ lặp Đặc biệt,luận án đã đưa ra các kết quả xây dựng thư viện chương trình RC2009 giải số các bài toán biênhỗn hợp yếu của phương trình elliptic cấp hai với hệ số hằng trong miền chữ nhật với các loại điềukiện biên khác nhau Đây là một công cụ quan trọng để cài đặt thử nghiệm tất cả các thuật toánđược đề xuất để giải các bài toán được xét đến trong các chương sau Các kết quả đã đưa ra trong

chương 1 là nền tảng quan trọng cho việc trình bày các nội dung nghiên cứu về lý thuyết và thựcnghiệm trong các chương tiếp theo của luận án.

Chương 2PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN

CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAIChương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu phát triển phương pháp chia miền kết hợp với kỹ thuậtlặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm qua mặt phân cách, giải bài toán biên của phương trìnhelliptic với hệ số gián đoạn là mô hình toán học của bài toán mặt phân cách và phương pháp lặpsong song giải bài toán biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh Các kết quả này đã đượccông bố trong các công trình [1] và [4]

2.1 Phương pháp gần đúng giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn

2.1.1 Mô hình bài toán mặt phân cách

Bài toán mặt phân cách (Interface Problem) là bài toán biên elliptic, trong đó các hệ số củaphương trình hoặc hàm vế phải bị gián đoạn qua một hoặc vài mặt phân cách giữa các vật liệuxuất phát từ tính chất vật lý của bài toán Bài toán này thường dẫn tới phương trình elliptic dạng:

với các điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trong đó, x = (x1, x2), Ω là miền giới nội trong R2với biên ∂Ω, hệ số k(x) = (k1(x), k2(x)) là hàm số gián đoạn qua mặt phân cách Γ ⊂ Ω Sự tồntại và duy nhất của nghiệm yếu u ∈ H1

0 của bài toán Dirichlet (2.1.1) đã được đưa ra trong sáchcủa Gilbarg và Trudinger

2.1.2 Một số hướng tiếp cận

Để giải bài toán mặt phân cách, một số các phương pháp khá hiệu quả đã được nghiên cứu như:Các phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp sử dụng các phép nhúng, Phần này trình bàymột phương pháp giải bài toán mặt phân cách trên cơ sở phát triển phương pháp chia miền kếthợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm trên các biên phân cách, từ đó đưabài toán mặt phân cách trong môi trường phân lớp không đồng nhất về một dãy các bài toán controng các miền con trong đó tính chất của môi trường là liên tục Sự hội tụ của phương pháp đãđược chứng minh bằng lý thuyết và được thử nghiệm qua nhiều ví dụ Kết quả này đã được công

trong đó x = (x1, x2), Ω là miền giới nội trong R2 với biên∂Ω, các hệ số k1(x) và k2(x) gián đoạnqua mặt phân cáchΓ, kí hiệu [u]Γ là bước nhảy củau qua mặt phân cách, ∂u/∂νLlà đạo hàm theohướng củau gắn với toán tử L được xác định bởi công thức

ui = u |Ω i, fi = f |Ω i k1i= k1(x), k2i= k2(x), x ∈ Ωi, i = 1, 2 và ký hiệu ni là pháp tuyến ngoàicủa Γ so với Ωi Khi đó đạo hàm pháp tuyến củaui trênΓ là

Xét sơ đồ lặp tìm hàm g = ∂u1/∂νL 1 trên biên Γ

(i) Xuất phát từ một giá trị xấp xỉg(0) trênΓ, ví dụ, g(0) = 0 trên Γ

(ii) Biết g(k), (k = 0, 1, 2, ) trên Γ, giải lần lượt hai bài toán

trong đóτ là tham số lặp tối ưu cần lựa chọn

Nghiên cứu sự hội tụ

Giả thiết về tính trơn của các dữ kiện như sau: fi ∈ L2(Ωi), (i = 1, 2), ϕ ∈ H1/2(∂Ω), ψ1 ∈

H1/2(Γ), ψ2 ∈ H−1/2(Γ), trong đó Hs(G) là không gian Sobolev Với các giả thiết này, theo Aubincác bài toán (2.2.6), (2.2.7) có nghiệm duy nhất uk

i ∈ H1(Ωi, L), trong đó H1(Ωi, L) = {v ∈

H1(Ωi)|Lu ∈ L2(Ωi)} và theo định lý vết, ta có g(k+1) ∈ H−1/2(Γ) Giả sử bài toán mặt phân cách

0(Ω)} và không gian đối ngẫu H0 = H00−1/2(Γ).

Từ công thức nghiệm yếu (2.2.15), ta có định nghĩa tương đương của các toán tử Si

và xác định dương (trong 2.2.3) Vì vậy, hS1ξ, ηiH,H0 xác định một tích vô hướng của ξ, η ∈ H và

chuẩn sinh bởi tích vô hướng này là tương đương với chuẩn của H1/2(Γ) Ký hiệu tích vô hướngnày và chuẩn tương ứng bởi(., )S1 và k.kS

1 Với (ξ, η)S1 = hS1ξ, ηiH0 ,H, ta có(Bξ, η)S1 = 1(I + S1−1S2)ξ, η

H 0 ,H = hS1ξ, ηiH0 ,H+ hS2ξ, ηiH0 ,H

Vì S1 và S2 là đối xứng, toán tửB là đối xứng Hơn nữa, giả sử khi chia Ω thành hai miền con

Ω1 và Ω2, tồn tại các hằng số0 < m 6 M sao cho

τopt= 2

Giá trị này của τ thỏa mãn đánh giá e(k)1

Γ S 1

≤ ρ(k) e(0)1

2.1.5 Các ví dụ thử nghiệm

Ví dụ 2.1.3 Xét bài toán trong miền Ω = [0, 1] × [0, 1] biết nghiệm đúng là

u (x1, x2) =

((x2

1+ 1) ex 2 trong Ω1 = [0, r] × [0, 1] ,(x2

1+ x1+ 0.5) ex 2 trong Ω2 = [r, 1] × [0, 1] với điều kiện biên Dirichlet và các hệ số là các hằng số

Hình 2.3: Đồ thị nghiệm tương ứng với

Các kết quả nghiên cứu cho thấy phương pháp lặp được đề xuất để giải bài toán mặt phân cáchvới mục đích đưa bài toán mặt phân cách về một dãy các bài toán trên các miền con đã chứng tỏđược một số ưu điểm: Có thể tận dụng được những thuật toán với độ chính xác cao có sẵn để giảicác bài toán con này, sự hội tụ nhanh của phương pháp cũng đã được chứng minh và kiểm tra quacác ví dụ thử nghiệm Hơn nữa, phương pháp lặp này còn đặc biệt hiệu quả khi miền tính toán baogồm các hình chữ nhật, khi đó miền tính toán sẽ được chia thành nhiều miền con và mỗi bài toán

Hình 2.6 Miền Ω với lớp cách nhiệt Ωδ.

Hình 2.7 Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bàitoán trong môi trường 3 lớp không đồng

nhất

bậc hai trong các miền con sẽ được giải bằng các phần mềm hiệu quả có sẵn

2.2 Phương pháp lặp song song giải bài toán biên hỗn hợp mạnh đối với phương trìnhelliptic

Phần này trình bày một phương pháp lặp song song mới đưa bài toán biên hỗn hợp mạnh vềmột dãy các bài toán hỗn hợp yếu, dễ giải Sự hội tụ của phương pháp đã được chứng minh vàcác thử nghiệm tính toán cũng được thực hiện để kiểm tra hiệu quả của phương pháp Kết quả đãđược công bố trong công trình [4]

2.2.1 Mô tả phương pháp

Trong miền chữ nhật Ω = {(x1, x2) | 0 < x1 < l1, 0 < x2 < l2} với biên ∂Ω được cấu thành từhai phần biên ΓN = {(x1, 0) | a < x1 < l1} và ΓD = ∂Ω\ΓN, xét bài toán biên hỗn hợp mạnh códạng:

ai(x) > ci > 0, (i = 1, 2) Chia miền Ω thành hai miền con Ω1 và Ω2 bởi đường thẳng x1 = a vàbiên phân cách các miền con làΓ Ký hiệu biên của miền Ωi bởi∂Ωi,(i = 1, 2) và ΓD 1 = ∂Ω1∩ ΓD,

ΓD2 = ∂Ω2 ∩ ΓD, u = (u1, u2), với ui là nghiệm trong miềnΩi, νi là pháp tuyến ngoài của ∂Ωi,(i = 1, 2) Bài toán (2.3.1) giải được nếu tìm được ∂u1/∂ν1 trênΓ Đặt ∂u1/∂ν1 = ψ trên Γ, khi

đó sơ đồ lặp song song tìm ψ như sau:

(i) Cho trướcψ(0)∈ L2(Γ), chẳng hạn ψ(0) = 0, x ∈ Γ

(ii) Với mỗi giá trịψ(k), k = (0, 1, 2, ) trên Γ tiến hành giải song song các bài toán hỗn hợp yếu

Γ = u(k)1 |Γ −u(k)2 |Γ và τ là tham số lặp tối ưu cần lựa chọn.

2.2.2 Nghiên cứu sự hội tụ

Đưa vào toán tử biên B xác định trên L2(Γ) bởi công thức Bh = [w]Γ, trong đó [w]Γ =

w1|Γ− w2|Γ,w1 và w2 là nghiệm của các bài toán

Mệnh đề 2.2.3 Quá trình lặp (2.3.3)-(2.3.5) là sự thực hiện lược đồ lặp (2.3.14)

Giả sử f ∈ L2(Ω), g ∈ H1(ΓD) và ϕ ∈ L2(ΓN) Với các kết quả đã chứng minh ở trên về tínhchất của toán tử B, ta có định lý:

Định lý 2.2.4 Lược đồ lặp (2.3.14) hội tụ trongL2(Γ) nếu 0 < τ < 2/ kBk

2.2.3 Một trường hợp riêng

Đánh giá ||B|| khi toán tử vi phân L là toán tử Laplace và đặt l1 = l2 = 1

kBk ≤ γ2(a), với γ2(a) = tanh(πa)

2.2.4 Kết quả thử nghiệm và so sánh với một số phương pháp

Ngoài phương pháp lặp song song đã trình bày, để dẫn bài toán biên hỗn hợp mạnh về mộtdãy các bài toán hỗn hợp yếu có thể áp dụng các phương pháp chia miền khác, trong đó trên mỗibước lặp cần giải liên tiếp hai bài toán hỗn hợp yếu trong từng miền con: Phương pháp lặp tìm giátrị hàm trên biên phân chia của Saito-Fujita (2001) và phương pháp lặp tìm giá trị đạo hàm trênbiên phân chia của ĐQA-VVQ (2006) Cả hai phương pháp này đều tiến hành giải tuần tự các bàitoán hỗn hợp yếu trên hai miền con Tiến hành thử nghiệm cả 3 phương pháp cho bài toán tronghình chữ nhật với l1 = 2, l2 = 1, a = 1 Xuất phát từ nghiệm đúng cho trước u(x1, x2) tính vếphải và các điều kiện biên tương ứng của bài toán (2.3.1) Sau đó tiến hành xác định nghiệm xấp

xỉu(k)(x1, x2) bằng cả ba phương pháp Chọn bước lưới h = 1/64, tiêu chuẩn dừng lặp ε = 10−4.Các thuật toán được thực hiện trên cùng một máy tính tuần tự với một bộ vi xử lý, các kết quảthử nghiệm trong phần 2.3.4 của luận án đã chứng tỏ sự đúng đắn của các phương pháp lặp vàtốc độ hội tụ của cả ba phương pháp là tương đương Tuy nhiên phương pháp lặp song song có ưuđiểm: cho phép giải các bài toán hỗn hợp mạnh cỡ lớn trên các hệ thống xử lý song song

2.2.5 Áp dụng giải bài toán Motz Phương pháp lặp song song được áp dụng giải bài toánMotz, một bài toán biên hỗn hợp mạnh thường được sử dụng để thử nghiệm các phương pháp giải

số Kết quả khảo sát dáng điệu đạo hàm khi có sự thay đổi đột ngột các loại điều kiện biên quađiểm kỳ dị phù hợp với tính chất của các bài toán cơ học trong thực tế

Kết luận chương 2 Chương 2 đã trình bày các kết quả nghiên cứu mới về việc phát triển phươngpháp chia miền kết hợp với kỹ thuật lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm của ẩn hàm, dựa vào tính chấtgián đoạn của hệ số qua mặt phân cách đưa bài toán biên với hệ số gián đoạn về các bài toán đơngiản hơn trong các miền con có tính chất liên tục Với bài toán biên của phương trình elliptic vớiđiều kiện biên hỗn hợp mạnh đã xây dựng được một sơ đồ lặp song song cho phép giải bài toánbiên hỗn hợp trên các hệ thống tính toán song song Áp dụng phương pháp giải bài toán Motz vàkhảo sát sự kỳ dị xuất hiện tại điểm phân cách các loại điều kiện biên Sự hội tụ của các phươngpháp lặp đều đã được chứng minh về lý thuyết và trong một số trường hợp riêng đã thiết lập đượccông thức tính tham số lặp tối ưu hoặc xác định được khoảng tham số lặp tối ưu Sự hội tụ củaphương pháp và độ chính xác của nghiệm xấp xỉ còn được kiểm tra qua nhiều ví dụ thử nghiệm.Các kết quả áp dụng giải một số bài toán mẫu và so sánh với các phương pháp khác cho thấy hiệuquả của các phương pháp lặp được đề xuất trong chương này Trên cơ sở những kết quả đã đạtđược, chúng tôi sẽ tiếp tục phát triển phương pháp chia miền kết hợp với các phương pháp kháccho bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh được trình bày trong chương 3

Chương 3PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNGBÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP MẠNHChương này trình bày kết quả nghiên cứu về phương pháp kết hợp các ý tưởng: hạ cấp phươngtrình, chia miền và kỹ thuật lặp hiệu chỉnh đạo hàm giải phương trình song điều hòa với các điềukiện biên hỗn hợp mạnh, từ đó đưa ra lời giải của hai bài toán: Bài toán vết nứt (Crack Problem)

và bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong (Problems for Plates with Partial InternalSupports) Các kết quả đã được công bố trong các công trình [2] và [3]

3.2 Phương pháp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh3.2.1 Phát biểu bài toán

Xét bài toán song điều hòa với các điều kiện biên hỗn hợp mạnh

Chương 3PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNGBÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA

VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP MẠNHChương trình bày kết nghiên cứu phương. .. song có ưuđiểm: cho phép giải toán hỗn hợp mạnh cỡ lớn hệ thống xử lý song song

2.2.5 Áp dụng giải toán Motz Phương pháp lặp song song áp dụng giải toánMotz, toán biên hỗn hợp mạnh thường... tục Với tốn biên phương trình elliptic vớiđiều kiện biên hỗn hợp mạnh xây dựng sơ đồ lặp song song cho phép giải toánbiên hỗn hợp hệ thống tính tốn song song Áp dụng phương pháp giải toán Motz vàkhảo