Phương trình sóng mô tả thanh đàn hồi nhớt-Nguyễn Lê Kim Hằng

Lời đầu tiên, tôi trân trọng kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long lời cảm ơn sâu sắc nhất về sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt khóa học và nhất là trong việc hoàn thành

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Lê Nguyễn Kim Hằng

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MÔ TẢ THANH

ĐÀN HỒI NHỚT

Chuyên ngành : Toán Giải Tích

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Thành Long

TP Hồ Chí Minh – 2006

Người hướng dẫn: TS NGUYỄN THÀNH LONG

Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh

Người nhận xét 1:………

Người nhận xét 2:………

Học viên cao học: Lê Nguyễn Kim Hằng

Bộ môn Toán-Khoa Khoa Học, Đại học Nông Lâm Tp Hồ Chí Minh

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trường tại trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh vào lúc …….giờ ……ngày…….tháng

……….năm 2006

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại

học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh

Lời đầu tiên, tôi trân trọng kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long lời cảm ơn sâu sắc nhất về sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt khóa học và nhất là trong việc hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Bích Huy và Thầy Nguyễn Công Tâm đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi

Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán – tin học, trường Đại Học Sư Phạm và trường Đại Học Khoa học –Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian tôi học tập và làm việc

Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Phòng quản lý sau Đại học Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi về thủ tục hành chính trong khóa học

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Lãnh Đạo trường, Bộ môn Toán - Khoa Khoa học, trường Đại học Nông Lâm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi mọi mặt để tôi có thể yên tâm học tập và làm việc

Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn thân thương nhất đến gia đình tôi -chỗ dựa tinh thần trong cuộc sống của tôi bây giờ và mãi sau này, đã tạo điều kiện tốt nhất giúp tôi hoàn thành bản luận văn này, đến anh Nguyễn Hữu Thái – người đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong việc in ấn tài liệu và sữa chữa luận văn

Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp

Tp.HCM, ngày 20 tháng 11 năm 2006

Lê Nguyễn Kim Hằng

Mở đầu 1

Chương 1: Một số công cụ chuẩn bị 6

1.1 Các không gian hàm 6

1.2 Về không gian hàm L p(0, ;T X), 1≤ ≤ ∞p 8

1.3 Bổ đề về tính compact của Lions 13

Chương 2: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 14

Chương 3: Sự ổn định của nghiệm 38

Chương 4: Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo ba tham số bé 48

Chương 5: Minh họa bằng bài toán cụ thể .58

Kêết luận 64

Tài liệu tham khảo 65

K λ λ là các hằng số không âm cho trước Hàm chưa biết u x t( ), và giá trị biên

chưa biết P t( ) thỏa phương trình tích phân tuyến tính sau:

với K0 là hằng số cho trước, và ,g k là những hàm cho trước

Trong trường hợp này, bài toán ( ) ( )0.1 − 0.5 là mô hình toán học mô tả sự

va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền

chịu tác dụng của lực cản nhớt Một bài toán khác cùng loại bài toán này cũng

được thành lập từ bài toán (0.1) – (0.4), trong đó hàm chưa biết u x t( ), và giá trị

biên chưa biết P t( ) thỏa một bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường

trong đó ω>0, K0 ≥0,P P0, 1 là các hằng số cho trước

Từ ( )0.7 và ( )0.8 ta biểu diễn P t( ) theo ω,K0, P P u0, 1, tt( )0,t và sau đó

tích phân từng phần, ta được

t

Khi đó, chúng ta đưa bài toán ( ) ( ) ( ) ( )0.1 − 0.4 , 0.7 , 0.8 về ( ) ( )0.1 − 0.4 ,

( ) (0.9 − 0.11) hay (0.1), (0.3), (0.4), (0.12)

Trước đây, các tác giả Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình Triều [1] đã

nghiên cứu một trường hợp riêng của bài toán ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.1 , 0.2 , 0.4 , 0.7 , 0.8 và

( )1, 0

u t = với μ( )t =1, u0 =u1 =P0 =0 và f u u( , t)=Ku+λu t, trong đó ,K λ là

các hằng số không âm cho trước Bài toán này là mô hình toán học mô tả sự va

chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền

cứng [1] Như vậy, bài toán nghiên cứu trong luận văn này tương tự với bài toán

được xét trong [1]

Trong [2], Đặng Đình Áng và Alain Phạm Ngọc Định đã thiết lập định lý

tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục cho bài toán giá trị biên và ban đầu (0.1),

(0.2), (0.4) và u( )1,t =0 với μ( )t =1, u u P0, ,1 là các hàm cho trước và

F x t f u u u α− u α

Bằng sự tổng quát hóa của [2], Long và Alain Phạm [6, 7], Long và

Thuyết [9], Long và Dũng [10], Long, Tâm và Trúc [11] đã xét bài toán (0.1),

(0.4) liên kết với điều kiện biên thuần nhất tại x=1 và không thuần nhất tại

Các tác giả nêu trên đã lần lượt xét nó trong [6] với μ( )t ≡1,k ≡0,

( )= 0 ,

H s K s trong đó K0 >0; trong [6,11] với μ( )t ≡1, H s( )=K s0 , trong đó

0 >0

K

Liên quan đến bài toán (0.1) – (0.6), ta xét bài toán nhiễu dưới đây theo

ba tham số bé ( ) 3

Ta giả sử rằng K0 ≥0,λ1 >0 là hai số thực cố định và các hàm

(u u0, , ,1 μ μ1, , ,F g k) cho trước cố định và thỏa các giả thiết nào đó sao cho với

1,K,

ε λ ∈ + cho trước, bài toán ( ) ( )0.1 − 0.6 có duy nhất một nghiệm yếu

(u P, ) phụ thuộc vào ba tham số (ε1,K,λ)

1 , ,K , 1 , ,K

u =uε λ P=Pε λ

Luận văn này sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán

(Pε1 , ,Kλ) theo ba tham số bé (ε1,K,λ), tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo ba biến (ε1,K,λ)

, ,

1 ,

+ + + ≤ ∈

N

N N

N

theo các chuẩn i*, i** trong các không gian hàm thích hợp và với các tham số

(ε1,K,λ) đủ bé, các hằng số C N1,C N2 độc lập với các tham số (ε1,K,λ)

Các kết quả liên quan đến bài toán xấp xỉ tiệm cận theo nhiều tham số đã được một số tác giả quan tâm, chẳng hạn như: Long, Alain Phạm, Diễm [12], Long, Út, Trúc [13], Long, Giai [14], Long, Trường [15]

Trong luận văn này, tác giả đã mở rộng một kết quả của [12] với trường hợp K1 =0, trong đó các tác giả Long, Alain Phạm, Diễm đã xét bài toán (2.1)-(2.6) với hàm μ≡1 và đã thu được khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán

( )P K,λ dưới đây theo hai tham số bé (K,λ)

Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:

Phần mở đầu, tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn

Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một số không gian hàm và một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm

Chương 2, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu toàn cục của bài toán (0.1) – (0.6) Chứng minh được dựa vào phương pháp Faedo-Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và tính compact

Chương 3, chúng tôi chứng minh rằng nghiệm yếu (u P, ) của bài toán

( ) ( )0.1 − 0.6 là ổn định đối với các hàm (μ,F g k, , ) và các hằng số

Sau cùng là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Nhìn chung, các kết quả trình bày trong các chương 2 – 4 là một nới rộng nhỏ kết quả trong [12] như là một đóng góp khá khiêm tốn của tác giả

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Các không gian hàm

Đầu tiên, ta đặt các ký hiệu

W Có thể xem trong [3]

Để cho gọn, ta kí hiệu lại như sau

Khi đó, ta có bổ đề sau

Bổ đề 1.1 Phép nhúng 1

Bổ đề 1.2 Đồng nhất 2

L với ( )2 /

L (đối ngẫu của 2

L ) Khi đó ta có

Chứng minh

Trước hết ta chứng minh rằng 2

L nhúng trong ( )/

1

( )1/

1 1

và triệt tiêu trên ( )2

T L thì cũng triệt tiêu trên ( )/

1

H và ( )1 /

H

Chuẩn trong 2

L được ký hiệu bởi i Ta cũng ký hiệu i X để chỉ chuẩn

trong một không gian Banach X và gọi /

X là không gian đối ngẫu của X

1.2 Về không gian hàm L p(0, ;T X), 1≤ ≤ ∞p

1.2.1 Giới thiệu không gian hàm L p(0, ;T X), 1≤ ≤ ∞ p

Cho X là không gian Banach thực đối với chuẩn i X Ta kí hiệu

( )

0

T

p X

u t dt<∞

∫ , với 1≤ < ∞p ,và ∃ >0 : ( ) ≤ , , ∈( )0, ,

Bổ đề 1.3 (Lions[5]) L p(0, ;T X), 1≤ ≤ ∞ là không gian Banach p

Bổ đề 1.4 (Lions[5]) Gọi /

X là đối ngẫu của X và 1 1/ 1, 1 p

1.2.2 Phân bố có giá trị vectơ

Định nghĩa 1.1 Cho X là một không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính

liên tục từ D( ( )0,T ) vào X được gọi là một phân bố (hàm suy rộng) có giá trị

trong X Tập các phân bố có giá trị trong X ký hiệu là

/

D T X =L D T X = u D T → X u tuyến tính, liên tục }

Chú thích 1.3 Ta sẽ ký hiệu D( )0,T thay cho D( ( )0,T ) hoặc C c∞( ( )0,T ) để chỉ không gian các hàm số thực khả vi vô hạn có giá compact trong ( )0,T

Định nghĩa 1.2 Cho /( )

0, ;

u∈D T X Ta định nghĩa đạo hàm du

dt theo nghĩa phân bố của u bởi công thức

o Ánh xạ T v:D( )0,T →X là tuyến tính

o Ta kiểm tra ánh xạ T v:D( )0,T →X là liên tục

Giả sử { }ϕi ⊂D( )0,T , sao cho ϕi→0 trong D( )0,T Ta có:

/ /

D T X Do đó ta có thể đồng nhất T v =v Khi đó, ta có kết quả sau

Bổ đề 1.6 (Lions [5]) L p(0, ;T X 1) /( )

0, ;

D T X với phép nhúng liên tục

1.2.3 Đạo hàm trong L p(0, ;T X )

Do bổ đề 1.6, phần tử u∈L p(0, ;T X) ta có thể coi u và do đó du

dt là phần tử của /( )

0, ;

Ta có các kết quả sau

Bổ đề 1.7 (Lions [5]) Nếu 1( )

Bước 2: Ta sẽ chứng minh rằng u H C= + theo nghĩa phân bố với C là hằng số

Thật vậy, giả sử v H u= − Từ kết quả ở bước 1, ta có /

sẽ thuộc D( )0,T Chọn ( ) ( ( ) 0( ) )

Điều này có được là vì ánh xạ w T w từ 1( )

0, ;

0, ;

D T X là đơn ánh – theo tính chất (ii) ở trên

Từ các bước 1, 2, 3 ở trên ta suy ra rằng f H C= + theo nghĩa phân bố

Tương tự ta có bổ đề sau

Bổ đề 1.8 (Lions [2]) Nếu u∈L p(0, ;T X) và / ( )

0, ;

p

u ∈L T X thì u bằng hầu hết với một hàm liên tục từ [ ]0,T vào X

1.3 Bổ đề về tính compact của Lions

Cho ba không gian Banach X0, X1, X thỏa X 1 X 10 X1 với các phép

nhúng là liên tục, sao cho:

Dưới đây là một kết quả liên quan đến phép nhúng compact

Bổ đề 1.9 (Bổ đề về tính compact của Lions [5]) Với giả thiết (1.17 , 1.18) ( ) và

nếu 1< p i < ∞ , i=0,1 thì phép nhúng W( )0,T 1 L p0(0, ;T X) là compact

Chứng minh bổ đề 1.9 có thể tìm thấy trong Lions [5], trang 57

Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Trong luận văn này chúng tôi xét bài toán sau

với K, ,λ λ1 là các hằng số không âm cho trước; μ,u0, ,u F1 là những hàm

cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau Hàm chưa biết u x t( ), và

giá trị biên chưa biết P t( ) thỏa phương trình tích phân tuyến tính sau:

trong đó K0 là hằng số cho trước và ,g k là các hàm cho trước

Trước hết, ta thành lập các giả thiết sau

2

2 4

một nghiệm yếu (u P, ) mà thành phần u của nó thỏa

(ii) Mặt khác, từ (2.7) ta cũng nhận thấy rằng , , ,u u x u u t xx,u xt,u tt thuộc về

không gian L∞(0, ;T L2)⊂L Q2( )T Do đó

u u H H thì thành phần u của nghiệm yếu

(u P, ) sẽ thuộc vào không gian hàm 2( )

T

H Q Và nghiệm như thế một phần nào khá giống với nghiệm cổ điển thuộc C2( )Q T , vì dữ kiện đầu (u0,u1) không cần

thiết thuộc về C2( )Ω ×C1( )Ω

Chứng minh: Phần chứng minh của định lí 2.1 gồm 4 bước Chứng minh dựa

vào phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó rút ra

được các dãy con hội tụ yếu về nghiệm trong các không gian hàm thích hợp nhờ

một số các phép nhúng compact

Bước 1: Xấp xỉ Galerkin

Gọi { }w j là một cơ sở đếm được của H2 Ta tìm nghiệm xấp xỉ dưới

Từ các giả thiết trong định lí 2.1, ta dễ thấy với mọi m∈ *, tồn tại duy

nhất nghiệm u m( )t có dạng (2.8) thỏa( ) (2.9 − 2.11) hầu khắp nơi trên [0,T m]

với T m nào đó thỏa 0<T m ≤T

Các đánh giá tiên nghiệm ở bước 2 dưới đây cho phép ta lấy hằng số

m

T =T với mọi m

Bước 2:

™ Đánh giá tiên nghiệm 1

Thay (2.11) vào ( )2.9 và nhân phương trình thứ j của ( )2.9 với c mj/ ( )t ,

sau đó lấy tổng theo ,j ta được

0 2

2 2

L Q

Khi đó, từ các đánh giá (2.16 , 2.19 , 2.21) ( ) ( ) (− 2.26 , 2.30) ( ) và (2.31) ta

thu được

2 1

1 0,

Kết hợp (2.19) và (2.36) ta thu được

21

T và K0, , , , μ F g k

™ Đánh giá tiên nghiệm 2

Lấy đạo hàm (2.9) theo biến thời gian, ta có

1 0

trong đó C2 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào μ( )0 , , ,K λ u0, ,u1 F( )0

Bây giờ ta sẽ lần lượt đánh giá các số hạng ,J i i =1,5 ở vế phải của (2.46)

ƒ Đánh giá số hạng J1

Từ giả thiết ( )A3 và (2.47), ta suy ra

ƒ Đánh giá số hạng J2

Từ giả thiết ( )A3 , ta có

3 2 0

/ 0,

εμ

μμ

2 / 2

0 0 //

Ta lại lần lượt đánh giá 4( )i , 1.4

J i= bằng cách dùng (2.47), tích phân từng phần và bất đẳng thức (2.20)

(i) Đánh giá (1)

m

t m

Mà với mọi x∈[ ]0,1 , ta có

/

/ /1

2

2 2

0 /

0, 0,

0, 0,

2 2

2 2

2 2

/

2 2

2 0,

2 0,

ε μ μ

ƒ Đánh giá số hạng J5.

2 /

/

0 2

L T t

μεμ

μμ

N N N N là các hằng số không phụ thuộc vào m mà chỉ

phụ thuộc vào T và K K0, , , , , , λ μ F g k

Mặt khác, từ (2.11), (2.66), (2.70) ta suy ra rằng

2

0 0,

Bước 3: Qua giới hạn

Từ (2.17), (2.42), (2.47), (2.86) và (2.91), ta có thể chọn ra một dãy con của dãy

{ u m,P m }, vẫn kí hiệu là { (u m,P m) }, sao cho:

m

Theo bổ đề compact của Lions (bổ đề 1.9 ở chương 1), từ (2.92) – (2.97) ta suy

ra tồn tại một dãy con { (u m,P m) }, vẫn kí hiệu là { (u m,P m) }, sao cho:

mạnh trong C0( [ ]0,T )

Ta suy được từ (2.102) và (2.103) rằng

Qua giới hạn (2.9) nhờ vào (2.92) – (2.94) và (2.103), ta có (u P, ) thỏa bài toán

biến phân sau đây

Do đó u∈L∞(0, ;T H2).

Vậy sự tồn tại nghiệm u của bài toán (2.1) - (2.6) trong định lí 2.1 đã

được chứng minh Bây giờ ta tiếp tục chứng minh tính duy nhất của nghiệm

Bước 4: Tính duy nhất của nghiệm

Giả sử bài toán (2.1), (2.6) có hai nghiệm (u P i, i),i=1, 2 thỏa (2.7)

Ta đặt u= −u1 u2 và P= −P1 P2 Lúc này (u P, ) thỏa bài toán

0 2

0 /

Lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t đẳng thức (2.110), sau đó dùng

tích phân từng phần, ta được

2 2

2 1

Áp dụng bổ đề Gronwall, ta thu được từ (2.120) rằng σ( )t ≡0, nghĩa là u1 =u2

Vậy định lí 2.1 đã được chứng minh xong.

Chương 3: SỰ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM

Trong chương này, chúng tôi giả sử các hàm (F,μ, ,g k) thỏa các giả thiết ( ) ( )A2 − A4 và các hằng số (K K, 0, ,λ λ1) thỏa giả thiết ( )A5

Theo định lí 2.1, bài toán ( ) ( )2.1 − 2.6 có duy nhất nghiệm yếu (u P, )

phụ thuộc vào (F,μ, , ,g k K K, 0, ,λ λ1):

( , , , , , 0, , 1), ( , , , , , 0, , 1),

u =u F μ g k K K λ λ P=P F μ g k K K λ λ (3.1) trong đó u0,u1 là các hàm cố định thỏa 2 1

Khi đó ta thu được định lí sau

Định lí 3.1 Giả sử ( )A1 thỏa, khi đó với mỗi T >0, nghiệm của bài toán (2.1) – (2.6) là ổn định đối với (F, μ, , ,g k K K, 0, ,λ λ1)∈ ℑ[ ]μ0 theo nghĩa:

Nếu (F,μ, , ,g k K K, 0, ,λ λ1),(F j,μj, g j,k j, K j,K0j,λ λj, 1j)∈ ℑ[ ]μ0 sao cho

Chứng minh: Trước hết, ta chú ý rằng, nếu (F,μ, , ,g k K K, 0, ,λ λ1)∈ ℑ[ ]μ0

F μ g k K K λ λ là các hằng số dương cố định, thì các

đánh giá tiên nghiệm của các dãy xấp xỉ Galerkin { }u m và { }P m như trong định

* * * * * *

, , , ,λ λ,

g k K K (độc lập với F, μ, , ,g k K K, 0, ,λ λ1) Do đó giới hạn

(u P, ) trong các không gian hàm thích hợp của dãy { (u m,P m) }xác định bởi (2.8)

– (2.13) là một nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.6) thỏa các đánh giá tiên

nghiệm (3.5) – (3.7)

Bây giờ ta sẽ chứng minh định lí 3.1 dựa vào nhận xét trên Do (3.2) nên

ta có thể giả sử tồn tại các hằng số dương * * * * * * * *

Nhờ nhận xét trên, ta suy ra các nghiệm (u P j, j) của bài toán (2.1)–(2.6)

tương ứng với (F,μ, , ,g k K K, 0, ,λ λ1)=(F j,μj, g j,k j,K j,K0j,λ λj, 1j) thỏa