Sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình Laplace liên kết với điều kiện biên Newman phi tuyến trong nửa không gian trên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Minh Chính SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN PHI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Phan Minh Chính

SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN PHI TUYẾN TRONG NỬA KHÔNG GIAN TRÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2005

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN PHI TUYẾN TRONG NỬA KHÔNG GIAN TRÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 1 01 01

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Thành Long Khoa Toán – tin học Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp HCM

Học viên cao học: Phan Minh Chính

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2005

LỜI CẢM ƠN

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN

Trong luận văn nầy, chúng tôi xét bài toán Neumann phi tuyến sau (1.1) Δ = 0 , ∈ = {( /, ) : / ∈ −1, > 0 },

n n

n

x IR x x x IR

x u

(1.2) − ( /, 0 ) = ( /, ( /, 0 )), / ∈ n−1.

u n

Trong [1] các tác giả Bunkin, Galaktionov, Kirichenko, Kurdyumov, Samarsky đã nghiên cứu bài toán (1.1), (1.2) với n= 2 và phương trình Laplace (1.1) theo dạng tọa độ trụ

Các tác giả Long, Ruy [7] đã được mở rộng một kết quả trong [1] với (1.4) được thay bởi điều kiện biên phi tuyến tổng quát

(1.5) −u z(r, 0 ) = g(r,u(r, 0 )), r≥ 0

Trong [8] Ruy, Long, Bình đã xét bài toán (1.1), (1.2) với n= 3 và hàm g là liên tục, không giảm và bị chận dưới bởi một hàm lũy thừa bậc

α đối với biến u và đã chứng minh rằng nếu 0 < α ≤ 2 thì bài toán như thế không có nghiệm dương

Các tác giả Bình, Diễm, Ruy, Long [2]; Bình, Long [3]; Long, Bình [9]; Ruy [12]; Long, Ruy [10]; và Long [11] đã xét bài toán (1.1), (1.2) với

và một số điều kiện phụ

Trong [5, 6] các tác giả đã chứng minh sự không tồn tại nghiệm dương của bài toán (1.1), (1.2) với

(1.7) g(x/,u) =uα,

ởû đó [5] Hu và Yin[5] đã xét với 1 ≤α < (n− 1 ) /(n− 2 ),n≥ 3 và Hu [6] với

), 2 /(

1 <α <n n− n≥ 3 Cũng cần chú ý rằng hàm α

u u x

g( /, ) = không thỏa các điều kiện trong các bài báo [2, 7, 8]

Trong luận văn nầy, chúng tôi xét bài toán (1.1), (1.2) với n≥ 3

Hàm g(x/,u) liên tục thỏa điều kiện (1.6) mà (1.7) là một trường hợp riêng Bằng cách xây dựng một dãy hàm thích hợp chúng tôi chứng minh rằng nếu, 0 ≤α ≤ (n− 1 ) /(n− 2 ),n≥ 3 , bài toán (1.1), (1.2) không có nghiệm liên tục dương Cũng chú ý rằng các tác giả trước đây khi xét n= 3 đã không chú ý đến trường hợp α = 0

Luận văn nầy ngoài phần kết luận và phần tài liệu tham khảo sẽ được trình bày trong 4 chương

Trong chương 1, là phần tổng quan về bài toán, trình bày sơ lược về tình hình bài toán và nội dung cần trình bày trong các chương sau đó của luận văn

Trong chương 2, là phần thiết lập phương trình tích phân phi tuyến theo giá trị biên xuất phát từ phương trình Laplace n−chiều trong nửa không gian trên liên kết với điều kiên biên Neumann

Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm dương của bài toán (1.1), (1.2) cụ thể với n= 3

Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm dương của bài toán (1.1), (1.2) với n> 3 Phần kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và một số chú ý kèm theo

Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 2 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

Trong chương nầy, chúng ta thiết lập phương trình tích phân phi tuyến theo ẩn hàm là hàm giá trị biên xuất phát từ phương trình Laplace

: )

, (

n n

n n

x IR x IR x x x IR

}, 0 ,

: )

, (

n n

n n

x IR x IR x x x IR

1

2

n n

( )S1 u∈C2( )IR+n IC( )IR+n , u x C( )IR n ,

0 , 0

>

=

>

= +∞

n

x R x

n

x IR x x x IR

x u

và điều kiện biên Neumann

(2.2) − ( /, 0 ) = 1( /), /∈ n−1,

u n

1 )

,

n

x a x

a n

x a

ωn là diện tích của quả cầu đơn vị trong IR n.

Ta chú ý rằng với n

B IR a

x IR x

∂ Ω

−

−

−

= Δ

− Δ

ε

ν ν ν

ν

S

dS uG Gu dS

uG Gu dx

G u u G

R R

Ta có bổ đề sau

Bổ đề 2.1 Với giả thiết ( )S1 ta có

0 Gu uG dS u a

a x

Chứng minh Ta phân tích hàm Green G(a,x) dưới dạng tổng

(2.8) G(a,x) =s(a,x) + Ψ (a,x),

trong đó

) 2 (

1 )

,

n

x a n

x a

1 )

,

n x

Ψ

− Ψ

=

−

ε

ν ν ε

ν ν ε

ν ν

a x a

x a

x

dS s u u s dS

u u dS

, 0 )

( )

2 (

) (

) ,

(

1

1 1

−

=

+ +

εω

ε

ωεε

ε

ν

ν ε

ν

y n

y n a

x

d y a u n

d y a u y a a s dS

u s

Tương tự

(2.12)

0 khi

), ( )

( 1

) ,

( ) (

1

1 1

=

+ +

εω

ωεε

ε ν

a u d y a u

d y a a s y a u dS

us

y n

y n a

Từ (2.9), (2.10), (2.13) ta suy ra bổ đề 2.1 được chứng minh.„

Từ (2.6), thay ΔG= 0 , ∀x≠a và Δu = 0 , sau đó cho ε → 0+ ta thu được

∂

với mọi a∈ ΩR.

Khi đó ta có Bổ đề sau

Bổ đề 2.2 Giả sử u là nghiệm của (2.1), (2.2) thỏa các điều kiện

R =D ∪S

Ω

∂

}, :

) 0 , {(x/ x/ R

}.

0 , :

) , ( { = / = >

(2.16) (G u uG )dS (G u uG )dS (G u uG )dS.

R R

ν ν ν

ν ν

uG u G

n n R

x IR D

1 )

n x

x a

a x x

a

a x x a n n

x x a s n

Tương tự

~

1 ) ,

;

n n x

x a

a x x

x a n

−

+

−

= Ψ

và do đó

G (a;x/ , 0 ) =s (a;x/ , 0 ) + Ψ (a;x/ , 0 ) = 0 ,

n n

Gν

) 2 (

2 )

;

2 2 /

D

a x a n

x a G

Từ (2.19) và (2.20) ta suy ra

lim

lim

lim )

( lim

/ / /

→

R n R

R R

D

x R

D R

D R D

R

dx u G

dx u G

dx u G

dS u G dS

uG u G

ν

ν ν

ν

(2.17) được chứng minh

Chứng minh (2.18)

Trước hết ta đánh giá các tích phân trên S R :

(i) Đánh giá tích phân ∫ .

R

S

dS u

2 )

; (

2 ) ( sup )

2 ( 2

) ( 1

) 2 ( 2

1 )

2 ( 2

2 1

2 1

1

1 2

2

x u a

R n R

x u a

R

R n

d R y R u a

R n

dS u a

R n

dS u G

R R

R R

S x n n

n S

x n n n

y

n n

n

S n n

S

ν ν ν

ν ν

ωω

ωω

1 1

)

νν

(2.25)

1

, 1

) 2 ( ) 2 (

1 )

;

n i x

a

a x

x a

a x x a n n

x a s

n i i n

i i n n

(2.26)

, 1 1

,

~ 1

~

~ ) 2 ( ) 2 (

1 )

a

a x

x a

a x x a n n

x a

n i i n

i i n n

;

n n x

x a

a x x

x a

+

−

= Ψ

1 1

1 )

; (

1 1

1

n i a

R

a x

x a x

a

a x x

a s

n n

n n

n n

n i i n

ωω

Tương tự

(2.29)

~ 1 1

~

1 1

~

1 )

; (

1 1

−

−

−

n i a

R a

x

x a x

a

a x x

a

n n

n n

n n

n i i n

x i

ωω

ωω

~ 1 1

~

1 )

n n n n n

x

a R x

a x

a

a x x

a

Ta suy từ (2.24), (2.28), (2.29), (2.30) rằng

i x x

a R

n s

( sup 1

2

) ( sup 1

2

1 1

1 1

1

x u a

R nR

R x u a

R n

dS x u a

R

n dS uG

R R

R R

R

S x n n

n n S

x n n

S S

x n n

2 ( )

(

1 1

2 1

x u a

R nR

x u a

R n

R dS

uG u G

R

R R

S x n n

S x n n S

Kết quả sau đây được suy ra từ (2.14) và Bổ đề 2.2

Bổ đề 2.3 Giả sử u là nghiệm của (2.1), (2.2) thỏa các điều kiện ( )S1 , ( )S2 ,

ta có

1 1

/ / 1 / /

n

IR IR

x dx G a x g x dx u

G a

Ta có định lý sau

Định lý 2.1 Nếu nghiệm u của bài toán (1.1), (1.2) với

+ +

2 )

, (

1

2 ) 2 ( 2 2 / /

/ /

/ /

n

a a x

dx x

u x g n

a a

u

CHƯƠNG 3

SỰ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM DƯƠNG

CỦA BÀI TOÁN VỚI N = 3 Chúng tôi xét bài toán (1.1), (1.2) cụ thể với n= 3 như sau:

, , (x y u M uα

2 2 2 2

=

>

= + + +∞

z R z y x R

0 ,

2 2 2 2

=

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

>

= + + +∞

z

u z z y x y

u y z y x x

u x

z R z y x R

Khi đó ta có định lý sau

Định lý 3.1 Nếu nghiệm u của bài toán (3.1), (3.2) với g:IR2×IR+ →IR+

là hàm liên tục thỏa các tính chất ( )S1* ,( )S2*. Khi đó u là nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến

2

1 ) ,

,

(

2 2

ηξ

ηξηξ

u g z

y

x

Ta cũng giả sử rằng giá trị biên u(x,y, 0 ) của nghiệm bài toán (3.1), (3.2) thỏa điều kiện

( )*

3

ηξ

ηξηξ

d d y

x

u g

R

∫∫

− +

−

) ( ) (

)) 0 , , ( , , ( tồn tại ∀ (x,y) ∈IR2.

Ta phát biểu kết quả chính trong phần nầy như sau:

) ( ) (

)) 0 , , ( , , ( 2

1 ) 0 , ,

(

ηξ

ηξη

ξ

u g y

)) , ( , , ( 2

1

) , ))](

, ( , , ( [ ) , (

2 2

2

2

IR y x d

d y

x

u g

y x u

g A y x u

R

∈

∀

− +

ηξη

ξπ

ηξηξ

trong đóA là một toán tử tuyến tính xác định bằng công thức:

) ( ) (

) , ( 2

1 ) , )](

, ( [

x v

A

ηξ

ηξη

ξπ

η

Để chứng minh định lý 3.2, ta chỉ cần chứng minh rằng phương trình tích

Trước hết ta thiết lập một số đánh giá A ( 1 + ξ2 +η2 ) −α (x,y) như sau: Bổ đề 3.1 Với mọi (x,y) ∈IR2, ta có

(i) ( 1 + 2 + 2 ) − ( , ) = +∞ ,

y x

(ii) A ( 1 + ξ2 +η2 ) −α (x,y) hội tụ và

, ) 1

)(

1 ( 2

1 )

, ( ) 1

(

1 2 2 2

2

−

−

+ +

−

≥ +

+

α

α

αη

ξ

y x y

ln(

) , ( ) 1

(

2 2

2 2 2

2 2

y x

y x y

x A

+

+ +

≥ +

2 2

) ( ) ( ) 1

( 2

1 ) , ](

) 1

(

d d y

x A

η ξ

η ξ

η

ξ π

η ξ

α α

(i) 0 ≤α ≤ 1: Sử dụng bất đẳng thức sau đây

(3.7)

2 2 2

2 2

2

1 )

( ) (

1

ηξη

x

, ,

, ,y IR

2 2

2

d d

ηξη

ξ

ηξ

∫

+∞

+ + +

≥

0

2 2

) (

) 1 ( r r x y

rdr

) (

) 1 (

1

2

2 = +∞ +

+ +

≥+∞∫

y x r r rdr

α

vì α α

r y

x r r

~ ) (

(ii) α > 1: Trước hết ta chứng minh rằng A ( 1 + ξ2 + η2 ) −α (x,y) hội tụ khi 1

( 2

1

IR

d d

η ξ η

ξ

η ξ

1

1 )

1 (

r dr

) ( ) ( ) 1

( 2

1 ) , ](

) 1

(

d d y

x A

η ξ

η ξ

η

ξ π

−

− +

− +

+

=

R y x

y x

d d

2

2 ( ) ) (

2 2

2 2

) ( ) ( ) 1

( 2

1

η ξ

ηξ

η

ξπ

∫∫

≥

− +

−

− +

− +

+ +

R y x

y x

d d

2

2 ( ) ) (

2 2

2 2

) ( ) ( ) 1

( 2

1

η ξ

ηξ

ηξπ

).

, ( )

,

) 1 (

y x H y x

≡

(j) Đánh giá .

) ( ) ( ) 1

( 2

1 ) , (

2

2 ( ) ) (

2 2

2 2 )

1 (

∫∫

≤

− +

−

− +

− +

+

=

R y x

R

y x

d d y

x H

η ξ

ηξ

ηξπ

1

1 sup 2

1

) ( ) ( 1

sup 2

1

) ( ) ( ) 1

( 2

1 ) , (

2 2

) ( ) (

0 2

0

2 2

) ( ) (

2 2 2

2 )

( ) (

) ( ) (

2 2

2 2

) ( ) (

) ( ) (

2 2

2 2 )

1

(

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

+∞

<

+ +

=

+ +

=

+ +

+

=

− +

− +

+

≤

− +

− +

−

−

≤

− +

−

≤ +

−

≤

− +

−

≤

− +

−

−

≤

− +

−

≤

− +

ξ

π α η

ξ

η ξ

α η

ξ

η ξ

α η

ξ

η ξ

α

ηξ

ϕη

ξπ

ηξ

ηξη

ξπ

ηξ

ηξη

ξπ

ηξ

ηξ

ηξπ

R y x

R

R y x

R R

y x

R y x R

y x

R y x R

R

r

rdr d

d d

y x

d d

y x

d d y

x

H

) ( ) ( ) 1

( 2

1 ) , (

2

2 ( ) ) (

2 2

2 2 )

2 (

∫∫

≥

− +

−

− +

− +

+

=

R y x

R

y x

d d y

x H

η ξ

ηξ

ηξπ

Chú ý rằng

(3.13) {( ξ , η ) : (x− ξ )2 + (y− η )2 ≥R} ⊂ {( ξ , η ) : ξ2+ η2 ≥R− x2 + y2},

) ( ) (x− ξ + y− η ≥ ξ + η − x +y với mọïi (ξ,η), (x,y) ∈IR2.

Ta có:

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

) ( ) (

2 2

2 2

) 2 (

) 1 (

1 2

1

) ( ) ( 1

2 1

) ( ) ( 1

2

1 ) , (

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

y x r r rdr

y x

d d

y x

d d

y x

d d y

x H

y x R

y x R

y x R

R y x R

+

− +

=

+

− + +

+

≤

− +

− +

+

≤

− +

− +

+

−

≥ +

≥

− +

−

α

η ξ

α

η ξ

α

η ξ

α

ηξηξ

η

ξπ

ηξ

ηξ

η

ξπ

ηξ

ηξ

ηξπ

) 1 ( 2 2

2 2

α

r

dr y

x r r

y x R

+

× +

−

= +∞∫+

−

Chú ý rằng, do R> 3 x2 +y2 > 0 , ta có

, 0

2 2 2 2 2

2 2 2

2 + = − + ≥ − + > + >

− x y r x y R x y x y r

y x R

) 1 ( 2 2

2 2

r

dr y

x r r

y x R

+

× +

−

∫+∞

(3.16) H R(2)(x,y) hội tụ khi α > 1

Tổ hợp lại (3.10), (3.11), (3.12) và (3.16) ta thu được

(3.17) ∀ (x,y) ∈IR2, A ( 1 + ξ2 + η2 ) −α (x,y) hội tụ khi α > 1 Hơn nữa, với α > 1 , tương tự như (3.8), ta có

(3.18) A ( 1 + ξ2 +η2 )−α (x,y) +∞∫

+ + +

) 1 (

2 2

2 2

∫+∞

)(

1 ( 2

1

1 2

(3.21) A ( 1 + ξ2 +η2 ) −2 (x,y) +∞∫

+ + +

≥

0 ( 1 r)2( r x2 y2 )

rdr

) (

) 1 (

1

2 2 2

∫

+∞

+ + +

≥

y x r r rdr

Sử dụng bất đẳng thức

4

1 ) 1 ( r 2 r

r

≥ + ∀r≥ 1 ,

ta suy ra

(3.23) A ( 1 + ξ2 +η2 ) −2 (x,y) +∞∫

+ +

dr

+∞

+ +

− +

x

+∞

+ +

× +

=

1 2 2 2

4

1

y x r

r y

x

2 2

2 2

4

) 1

ln(

y x

y x

+

+ +

Bổ đề 3.1 được chứng minh.„

Bây giờ, để tiếp tục chứng minh định lý 3.2, ta giả sử rằng tồn tại 2

}.

) (

) ( : ) , {(

) , (

) , ( 2

) , )](

, ( [

) , ))](

, ( , , ( [ ) , (

d d u

M

y x u

M A

y x u

g A y x u

ηξ

ηξηξπ

ηξ

ηξηξ

α α

, ) ( ) ( 2

) (

) , (

2 2

0

0 0 0

≥

y x

d d m

M

ηξ

η

ξπ

α

) , (x y ∈IR2

∀

Sử dụng bất đẳng thức sau đây

(3.26)

), 1

)(

1 (

) ) (

) ( 1

)(

1 (

1 )(

1 (

) ( ) (

2 2 2 2

2

2 0 2

0 2

0 2 0 2

2

2 2 2

2

2 2 2 2 2

2

r y x y

x

y x

y x y

x

y x

y x y

x

+ + + +

+

≤

− +

− + + + +

+

≤

+ + +

+

≤

+ + +

≤

− +

−

ηξ

ηξ

ηξη

ξ

1 )

1 ( 2

) (

) 1

)(

1 (

2

) (

) 1

)(

1 (

2

) (

) ( ) ( 2

) (

2 2 2

0 2 0 2 0

2 0 0

2 0 2 0 2 0 2 0 2

2

0

) , ( 2 0 2 0 2 0 2

2

0

) , (

2 2

0

0 0 0

0 0 0

y x r

y x

r m M

r r y x y

x

m M

d d r

y x y

x

m M

y x

d d m

M

y x B

y x B

r r

+ +

× + + +

≥

+ + + +

+

≥

+ + + +

+

≥

− +

−

∫∫

∫∫

ππ

ππ

ηξπ

ηξ

η

ξπ

α

α

α α

Ta suy từ (3.25), (3.27) rằng

1

) ,

2 2

y x

m y

x

+ +

) 1

(

2 02 02 02

2 0 0 1

r y x

r m M m

+ + +

Ta xét các trường hợp khác nhau của α

Trường hợp 1: 0 ≤ α ≤ 1 Ta thu được từ (G2), (3.5), (3.28) và tính đơn điệu của toán tử A, rằng

(3.29)

, ) , ( ) 1

(

) , )](

, ( [

) , )](

, ( [

) , ))](

, ( , , ( [ ) , (

2 2 1

1

+∞

= +

m M

y x u

M A

y x u

M A

y x u

g A y x u

α α

α α

ηξ

ηξ

ηξ

ηξηξ

do bổ đề 3.1, (i) Đây là điều vô lý

Trường hợp 2: 1 < α < 2 Áp dụng bổ đề 3.1, (ii), ta thu được từ (G2), (3.5), và tính đơn điệu của toán tử A, rằng

(3.30)

), , ( )

1 (

) 1

)(

1 ( 2

) , ( ) 1

(

) , )](

, ( [

) , )](

, ( [

) , ))](

, ( , , ( [ ) , (

2 2

2 2

2 2 1

2 2 1

1

2 1

y x u y

x m

y x

m M

y x A

m M

y x u

M A

y x u

M A

y x u

g A y x u

q

≡ +

+

=

+ +

−

≥

+ +

ηξ

ηξ

ηξηξ

α

α α

α α

trong đó

(3.31) ,

) 1 ( 2

1 2

Bằng quy nạp ta giả sử rằng

(3.32) ( , ) ( , ) ( 1 2 2 ) 1 ,

1 1

1 (

) 1

)(

1 (

2

) , ( )

1 (

) , )](

, ( [

) , )](

, ( [

) , ))](

, ( , , ( [ ) , (

2 2

2 2 1

1

2 2 1

1

1 1

y x u y

x m

y x q

m M

y x A

m M

y x u

M A

y x u

M A

y x u

g A y x u

k k

k

k

q k

k

k q

k q k

≡ +

+

=

+ +

−

≥

+ +

ηξ

ηξ

ηξηξ

α

α α

α α

trong đó các dãy số {q k}, {m k}được xác định bởi công thức qui nạp:

(3.34) q k =αq k−1− 1 , k = 2 , 3 , ; q1 = 1 ,

2 1

k

k k

q

m M m

k

k k

q

m M m

1 ln

) 2 ln(

(

) , )](

, ( [

) , )](

, ( [

) , ))](

, ( , , ( [ ) , (

0 0

m M

y x u

M A

y x u

M A

y x u

g A y x u

k

q k

k

α α

α α

ηξ

ηξ

ηξ

ηξηξ

Định lý 3.2 được chứng minh cho trường hợp 2

Trường hợp 3: α = 2 Áp dụng bổ đề 3.1, (iii) với trường hợp α = 2 ,ta thu được từ (G2),(3.5), và tính đơn điệu của toán tử A, rằng

(3.40)

4

) 1

ln(

) , ( ) 1

(

) , )](

, ( [

) , ))](

, ( , , ( [ ) , (

2 2

2 2 2

1

2 2 2 2

1 2

y x

y x m

M

y x A

m M

y x u

M A

y x u

g A y x u

+

+ +

≥

+ +

ηξ

ηξηξ

≥ +

0

, 1 ,

) 2

1 ln(

) , ( ) , (

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

y x

y x y

x y

x

C y

x v y x u

≥ +

0

, 1 ,

) 2

1 ln(

) , ( )

, (

2 2

2 2 2

2 2

2 1 1

1

y x

y x y

x y

x

C y

x v y x

u

k

p k

k

trong đó p k−1,C k−1 là các hằng số dương

Sử dụng giả thiết (G2) và (3.5), (3.43), ta có:

(3.44)

) , )](

, ( [

) , )](

, ( [

) , ))](

, ( , , ( [ ) , (

2 1

2

y x v

M A

y x u

M A

y x u

g A y x u

k ξ η

ηξ

ηξηξ

−

≥

− +

−

=

2 2

2 1

2 2

2 1

2

) ( ) (

) , ( 2

) ( ) (

) , ( 2

ηξ

ηξηξπ

ηξ

ηξηξπ

y x

d d v

M

y x

d d v

M

k R

k

) (

) 2

1 ln(

) (

(

) 2

1 ln(

2

) ( ) ( ) (

) 2

1 ln(

2

2

2 1

1

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 1

1

2 2

2 2

2 2

2 1

1

2 2

1

2 2

−

≥ +

−

≥ +

−

+ +

− +

dr r

MC

y x

d d MC

y x

d d MC

k

k k

p

k

p

k k

η ξ

η ξ

ηξηξ

ηξη

ξπ

ηξ

ηξ

ηξη

ξπ

Ta xét trường hợp x2 + y2 ≥ 1 , ta có

+

∞ +

+

∞ +

+ +

2 2

1 1

) (

) 2

1 ln(

) (

) 2

1 ln(

) (

) 2

1 ln(

2 2

2 2 2

2 2 2

2

y x

p y

x

p p

y x r r

dr y

x

y x r r

dr r

y x r r

dr r

k

k k

2 ln )

2

1 ln(

ln

1 )

2

1 ln(

) 1

1 (

1 )

2

1 ln(

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

1

2 2

1

2 2 1

y x

y x

y x r

r y

x

y x

dr y x r r y

x

y x

k k k

p

y x

p

y x p

× +

− +

+

∞ +

1 ln(

2 ln

) (

) 2

1 ln(

) , (

1 1

2 2 2 2

2

2 1

2

2 1

− ∫

k k

p k

p

k

y x y

x MC

y x r r

dr r

MC y

x u

≥ +

0

, 1 ,

) 2

1 ln(

) , ( ) ,

(

2 2

2 2 2

2 2

2

y x

y x y

x y

x

C y

x v y x

u

k

p k

ln

1 1

m M

2 ln 4

1 2 ln

1 )

, ( ) , (

2

2 2 2 2

1 2 2

M y

x M y x v y x

2

1 ln(

2 ln 4

4 exp(

2

1 2 2

2 + > − + ≡ρ

m M y

x

k x2 + y2 >ρ0.Điều nầy vô lý Định lý 3.2 được chứng minh cho trường hợp 3

Tổ hợp các trường hợp 1-3 ta suy ra rằng định lý 3.2 được chứng minh.„

Chú thích 3.1 Để thu được kết quả như định lý 3.2 các tác giả Ruy, Long, Bình [8] phải bổ sung thêm các giả thiết sau:

)

(G3 g(x,y,u) không giảm đối với biến thứ ba, i.e.,

, 0 ) ))(

, , ( ) , , ( (g x y u −g x y v u−v ≥ ∀x,y∈IR,∀ v u, ≥ 0

)

(G4 Tích phân ∫∫

+ +

1

) 0 , , (

dxdy y

x

g tồn tại và dương

Tuy nhiên, trong chứng minh của định lý 3.2 không sử dụng đến các giả thiết (G3) và (G4).

Chú thích 3.2 Chú ý rằng với 0 <α ≤ 2 , trong [8] không giải được với hàm

g( , , ) = vì giả thiết (G4) không thỏa

Chú thích 3.3 Trường hợp α = 2 , các tác giả Bunkin, Galaktionov, Kirichenko, Kurdyumov, Samarsky [1] có cho một đánh giá tương tự như (3.47) nhưng phức tạp hơn, mà ở đó v k được cho dưới dạng của một chuỗi hàm

Chú thích 3.4 Kết quả của định lý 3.2 không còn đúng với α > 2 Ta xét phản ví dụ sau đây với α = 3 và g(x,y,u) =u3. Ta có g thỏa các giả thiết

),

(G1 (G2). Khi đó hàm số

2 2

2

) 1 (

1 )

, , (

+ + +

=

z y x z y x

bài toán (3.1), (3.2) và thỏa ( )S1* ,( )S2*,( )S3*