bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 10 tập 2 - lê hoành phò

Vay bốn điểm M,M,N c Gọi I là trung điểm của AB và N là giao điểm của MỸ với AB, N' cùng nằm trên đường tròn D.. b Gọi O¿ và Oz là các đường tròn đi qua B và lần lượt tiếp xúc với Ví dụ

& nang cao kĩ năng làm bời

- Chuổn bị cho các kì thi quốc gia

do Bộ GD&.ĐT tổ chức

Ví dụ 21: Cho hai diém P, Q nằm ngoài đường tron

Vẽ đường tròn ( bất kì đi qua P, Q Chứng mình rằng trục d

phương của (Ø) và ( đi qua một điểm cố định

Gidi: (Cc)

Goi (©) là đường tròn cố định có tâm O

va di qua P, Q Do I không thuộc đường

trung trực của PQ nên trục đẳng phương

A của (¡) va (I) không song song với

Do đó: 2? xo = P sp, hay J thudc truc dang phuong cua (@) va (1): dpcm

Chi ¥: Diém J là tâm ding phuong của ba đường tròn trê ên

HAB bằng nhau

Giả:

Goi R, Bị, Ra, Rs lần lượt là bán kính các

đườ ng tròn ngoai tiếp các tam giác ABC, HBC,

HCA, HAB Áp dụng định lí sin trong tam

greg ) sete "3 anne on T ® #§ 7 “TY ae

“et SOK WEEE BG Đá “ng re R I

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC Chứng rainh rằng điề

tcung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là

Giải: - trọng tâm tam gidc ABC Khi dé:

xe TẠI be wr ow YUCTIS if OD Vat

1D Sl4

1

M hai

là trục đẳng phương của chúng Gọi I là raột điểm thay đổi trên d Từ ï Vì vậy tập hợp điểm N là đường zh ron đường kính OH

kẻ các tiếp tuyén IM, IN, IM’, IN' téi hai dudng tron - 1-22 ce foe ee oe + ; yt ^ ` * 4A Ẹ Đ) Ta c6 Pyyo,) = “4O, = = MP? nên MB là trục đẳng phương của (O¡) và (O2)

a) Chứng mình ane điểm M, N » M,N năm trên đường tròn có lâm : Gọi C là giao điểm thứ hai của (Ơi) và (O;) ta có C thuộc đường thẳng

I, ta kí hiệu đường tròn dé la (1) | _ MB và MB.MC = MP? = MN.MO Suy ra bốn điểm B, C, O, N thuộc

b) Với điểm Í _mãm trên d tương tự có chàng tròn () Chứng mình Tông đường tròn đường kính OB = đpem

a) Ta cé P yo) = IM? = IN?, Py pe 2 67 ớ MAO =e - IN? | b) Chứng minh rằng H là điểm cố định khi đường thẳng PAB tha ay doi, a) Chứng mình rằng năm điểm O, A, B, M, H nam trén mot đường tròn

2 MG) ™ 2 Mo›, Suy ra IM = IN = IM’ = IN’ Vay bốn điểm M,M,N c) Gọi I là trung điểm của AB và N là giao điểm của MỸ với AB,

N' cùng nằm trên đường tròn (D Chứng minh rằng PA.PB = PIL.PN; IP.IN = IA’

Vậy đường th hang QO' là trục đẳng phương € của hai đường tròn (1); (7) cho nên năm điểm O, A, B, M, H cùng nằm trên một Ậ

và (O) Néu IM là tiếp tuyến cua (O) thì: IM" = = 10? — R* > IO’ ~ OH? > IH” PH.PO = PAPB Nhung PA.PB khéng déi af Lb

góc với d, Xét điểm M đi động trên d MP và MP' là các tiếp tuyến với _ Vi PA = PI-IA, PB = PI+IB=PI+IA

a) Ching minh rang: OA.OB = OM.ON = R? Ty suy ra điểm B cố —> pl? — IA? = PLPN = PI’ — PLPN = IA’

định Tầm tập hợp điểm N —> PI(PI - PN) = LA? Vay PLIN = IA’

b) Gọi (O¿) và (Oz) là các đường tròn đi qua B và lần lượt tiếp xúc với Ví dụ 19: Tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; R) với ÏÌ là giao

(O) tại P và P', Chứng minh rằng giao điểm thứ hai C của (O;) và điểm hai đường chéo AC và BD Đặt AB = a, BƠ = b, CD = c, DA = đ,

(Oy) năm trên đường tròn đường kính OB MS _— AC = x, BD = y va géc AID = a Tit C vé đường thẳng song song với

b) Suy ra điều kiện cần và đủ để một tứ giác là hình bình hành

14 Hình thang ABCD có hai đáy AB = a, CD =b, 2 cạnh bên

AD =c, BC = dva 2 dudng chéo AC = p, BD = q

Chitng minh: p* + 9% = c* + d? + 2ab

HUD dung dinh lí cosin và chú ý hai góc cùng bù nhau

tam giác ABC có a +c= 9b

16 Tính diện tích tam giác ABC trong mỗi trường hợp:

3 cot A + cotB + cotC

4

20 Cho tam gidc ABC Ching minh: S = 7 (a2 sin 2B + bŸ gin 2A)

21 Các đường phân gidc trong của rnột tam giác ABC kéo đài cắt đường tròn oe ng

ngoai tiép tam gidc ¢ cac diém L, M, N Ching minh: Sutin = 4 5 P- R

22, Cho một điểm M tuỳ ý ở trong một tam giác ABC Đường thẳng AM,

BM, CM lần lượt cắt BC, CA, AB tai A’ _B, C’

Ching minh: ———+ Me + Me =] AA BB` CC!

HUD ding ti sé dién tich

23 Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên cạnh BC

Dat BAM = «,CAM =8 Ching minh: AM =e Sin(@ +

_94 Các đường phân giác trong của tam giác ABC cất các cạnh đôi diện bại

các điểm Ay, Bi, Ci

Tim dién tich A,B,C, theo a, b, c vA dién tich S cua ABC

_ HD dùng tỉ số điện tích

a) a? +b? 4% < 2(ab+ be + ca) b) a®

MD dùng biến đổi tương đương

7 Cho tam gidc ABC Ching minh bat dang

r+b+e b) hi, +h, +h, 2 9r

thú Set

3 a) qgierb+o<m, +m, +m, <a+

28 Chứag minh tam giác ABC cân nếu:

sin A

29 Ching minh tam giác ABC có góc 1202 nếu đồng

3 cạnh J3, M2, C6 — ⁄2)/ 2

30 Ching minh tam gidc ABC déu nếu:

dang với tam giác có

HD dùng công thức Hêrông và dùng định lí diện tích

39 Cho tam giác ABC và đường tròn CV) Tìm M thuộc (CV) để tổng bình

#ừ M đên 3 đỉnh tam giác bé nhất trọng tâm G của tam giác ABC

deat Bhd Lễ, at BB

1731

Cc iem

1

p

n

; dương)

"Vi dụ 1 Viết phương trình tổng quát của:

Ở nên có phương trình: I(x - 0) + 0(y-0)=0<x=0_

e) Phân giác của góc phần tư thứ I, II đi qua gốc O và hợp với trục hoành góc nhọn 45Ợ nên có hai phương trình:

= (tan45ồ).x=xeox-y=0 ẹ

và y = (tana135đồ).x = Ởx ẹ x + y = ỷ

Vi du 9: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng:

a) Di qua M(x,; y.) và song song với Ox

b) Di qua M(x; y,.) và vuông góc với Ôx c) Di qua M(x; y,) khac géc O va diém O

nén cé phuong trinh: yox Ở Xoy = O

Vắ dụ 3: Cho hai điểm Mi(x1; yi) va Molxe; yo) Lap phương trình tổng

quat cua:

a) Đường thang qua My, Me È

b) Đường trung trực của đoạn thẳng M:MƯ,

Gidis

, có phương trình:

hay 2(X2 — XỊ)x + 2(ya¿ — Vl)y — xã + xi + Ví — Vs = 0

Ví dụ 4: Chứng mình rằng đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b)

voi a # 0, b # 0 cé phương trình theo đoạn chắn Š ta =1

Ví dụ 5: Cho đường thẳng A có phương trình Ax + By + C = 0 va diém |

M(xo; yo) Viết phương trình đường thẳng di qua M, va:

a) Song song với đường thẳng A

b) Vuông góc với đường thẳng A

trở:

a) Acé6 VTPT n = (A; B)

Vi A'//A nén chon VTPT n'=n =(A;B)

b) Vi A" Anén chon VTPT n " = (B; —A)

A": Bx — x.) - Ay — y.) = 0 <= Bx — Ay — (Bx, — Ay,) = 0

Ví dụ 6: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng

a) d qua M(3; 4) và có vectơ pháp tuyến n = (—2; 1)

b) d qua M(2; —-3) và có vectơ chỉ phương a = (4; 6)

Gidi:

a) Đường thẳng d đi qua M(3; 4) và có vectơ pháp tuyến n = (—2; 1)

Phương trình tổng quát của d có dạng:

du 7: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng:

a) qua A(2; 0) va B(O; —3)

b) qua M(-5; -8) và có hệ số góc k = -3

Gidi:

a) Phương trình theo đoạn chắn : si nn =] o3x-2y-6=0 b) Phuong trinh theo hé sé géc: y= kx +m = -3x+m Đường thẳng qua M(-5; —8) nên -8 = lỗ +m —=m = -23

Do đó phương trình tổng quát: y = —3x —- 23 = 3x + y + 23 =0

Ví du 8: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d a) Qua M(-1; —4) và song song với đường thẳng 3x + ðy — 2 = 0 b) Qua N1; 1) và vuông góc với đường thẳng 2x + 3y + 7 = 0

Gia:

a) Vectơ pháp tuyến của d cũng là vectơ pháp tuyến của đường thang

3x + ðy — 2 =0 nên phương trình của d là: 3x + 5y +ec= 0Ô

Vì đ đi qua điểm M(-—1; -4) nên —3 — 20 + c= 0 =>c= 23

Vậy phương trình tổng quát d: 3x + 5y + 23 =0 7

b) Dudng thang d vuông góc với đường thẳng 2x + 3y + 7 = 0 nên lay VTCP

(3; -2) làm VLEPT' của d

đ: 3(x — 1) — 23(y —- i1) = O0 <> 3x — 2y - L=O

Ví dụ 9: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d:

a) Qua hai điểm A(2; 1), B(-4; 5)

Gigi:

a) d qua A, Bnéncé VTCP AB = (-6; 4), chon VIPT n = (2; 3)

Vậy d: 2x —- 2) + 3(y — 1) = Ö <> 2x + 3y-7=0

b) đ qua I(-3; 2) và có VFCP u =(5ð;-1) => VTPTn =(1;5)

Vậy ở: 1(x + 3) + 5(y —- 2) =O<>x+ð5y-/=0 Cách khác: Khử tham số của hệ:

x+5y=-34+5¢4+52-t)=7>x+5y-7=0 x-5 yl

47

; Viét phuong trinh tham số của đường thang qua

y,) vA vuong góc với dutng thang Ax + By C = 0

© 7(%x - 5) = ~2(y + 1) © 7x + 2y - 33 =0

179

Ví dụ 17: Cho điểm A(—5; 2) và đường thang d:

O nên không có 6 phương trình chính tác

x3 a “TT -#—° 3 Viết phương -

_2 `

trình đường thẳng d':

a) qua À và song song với d,

b) qua À và vuông góc với d

Ví dụ 18: Viết phương trình các đường trung trực của tarma giác ABC biết

M(-1; 1); N1; 9); P9; 1) là các trung điểm của ba cạnh tam giác

Gidi:

Gia su M, N, P theo thứ tự là trung diém cia các cạnh AB, AC, BC của

tam giác ABC

Ta có: MN =(2;8), NP = (8; -8), MP = (10; 0)

thường trung trực của canh BC di qua P

và nhận MN làm vectơ pháp tuyến nên

Vi du 19: Một đường thẳng đi qua điểm M(5; —3) c&t truc Ox va Oy tai A

và B sao cho M là trung điểm của AB Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đó

Ví dụ 29: Cho điểm MỚI; 2) Hãy lập phương trình của đường thẳng di

qua M và chắn trên hai trục toạ độ hai đoạn có độ dài bằng nhau

Gidi:

Theo giả thiết thì la| = |b| LY | -

Nếu b = a thì d: x + y = a LO O 1 AN |

Vid qua M(1; 2) néna=3dod6d:x+y=3 Néu b = —athid:x-y=a

Vì d qua M(1; 2) nên a = —Ì, do đó x— ÿy = —Ï Vậy có 3 đường thẳng: 2x - y =0,x+y-3=0,x—-y+1=0

Ví dụ 21: Viết phương trình đường thẳng đi qua M2; 5) và cách đều hai

VTCP MI = (0; —2) nén d': {os

y=5-2t

Ví dụ 232: Đường thẳng d: 2x —- y + 8 =0 cắt các trục Ox và Oy lần lượ các điểm A và B Gọi M là điểm chia đoạn AB theo tỉ số -3

phương trình đường thẳng di qua M và vuông góc với dở

Gigi:

Cho x=Ó —> y= 8; y=0 => x= -4 Do dé A(-4; 0), BO; 8)

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu

a) Ta có: 5 z > nên 2 đường thẳng cắt nhau

Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ

Vậy giao điểm là M(0; —13)

c Thếx =5 +t,y=—1- È vào phương trình d:

_ Vay 2 đường thẳng trùng nhau

Ví dụ 4: Biện luận theo tham số m vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Vậy: Nếu m # 1, m # —1 thì D z0: hai đường thẳng cắt nhau

Ñếu m =f?:thì D =0, D„ z 9: hai đường thẳng song song

thi D = D, = Dy = 0: hai đường thẳng trùng nhau

187

ts mae on Oe = NƯẢ , SLA KSÃ, slice tie set) £8h weed al OtTOI)Ø thang Sau In: va A à là ae > 2 ` xã

BÓC Ai:rnx +y + 8= Ô và As:x—y +m=0 ie i = v ^2: X 3 m= & MONS SAL GAY NUON Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Ax + By + C = Olan (A; B)

di: Ox 4yv—4 l: 2# ty =4 =0; do: ðx — 4y + 3 = 0; dạ: mx + äy - 2 = 0 = : Cho đường thắng d có phương trình tham số | : co TỐ CƠN cà = | và B2; 1) í

2) (ise whe 3 cM , hä „Ò.JX x=8+9tL x=Tt

c) Trùng nhau ho lê) D) Vuông góc 23 LOLS Cc VCl NOaAw với nh ST 5 ly=~4+t ~ y=-10+t >

| Ầ ad — be = 0 va d(x — x2) # e(y1 ~ yo)

c dị =dạ ©u và v cùng phương và Mi; vị) œ dạ _ Tương tự đối với đường thang thit hai ta duge x - y- 10 = 0

<=> ad — be = 0 va d(x; — x2) = ely: — yo) b) Giao diém hai đường thang đã cho là à nghiệm của hệ: -

tan 8: Cho đường thẳng d di qua hai diém phân biệt MŒm; y1 và MaGŒe; ya) š x-y-10=0 z ca - iy=-l Ly |

song song véi d la: Ax 8 8 1+ Đyi + C = Axa + By¿ + C #0 = œ Cách lhác: Xét hệ | - ¬ a J3+2t=t ini ee I2t-t' _ =8 |t=3 ° _

isphuong ctia dudng thang d 1a:M,M, = (xe — xi: yo — + 8 a %2 — X1; ya — ya) ăng có phương trình tham số: 4 ¬ | | J“=3+2t

ý =ä3+È

a) Tìm điểm M nằm trên đường thẳng đó và cách điểm A(O; 1) một

Vay toạ độ giao điểm N = (-2; 1)

b) Tìm điều kiện của m để giao điểm đó nằm trên trục Oy

Ví dụ 13: Lập phương trình của đường thẳng d đi qua giao điểm của hai

a) d di qua diém A( 3; —2)

b)d cùng hương với đường thẳng x + y+ 9= 0

Toa dé giao diém MŒx; y) là nghiệm của hệ: ‘ons +2y-3=0 y=3

d di qua hai diém A(3; -2) và M(-—1; 3) nên có phương trình là:

" - V+" 2 5x-ay+11=0

Vay phuong trinh cia duéng thang d la: x + y- 2 = 0

đd vuông góc với đường thẳng x + 3y + 1 = 0 nên phương trình của d có đạng: -3x + y + =0

d di qua M(-1; 3) > C = -6 |

Phương trình của đường thẳng d là: 3x—y+ 6= 0

ƒ dụ 14: Cho đường thẳng d: x— 2y + 4= 0 và điểm A(4; 1) a) Tim toa d6 hinh chiéu vuông góc của À lên d

b) Tầm toa dé điểm A' đối xứng với À qua d

Phương trình a qua A, vuông góc với d có dạng: 2x + y + = 0

7í dụ 16: Tìm hình chiếu của điểm P(; -2) lân maỗi đường thẳng:

Gọi H là hình chiếu của P trén d thi H là giao điểm của đ và d, trong

Phương trình của d là: l(x — fe + oy + 2 = s @x-3=0

Toa độ EHÍ là nghiệm của hệ J

b) Viết phương trình của đ dưới dang tham số:

3Œ + 3Ð) — 4(-4t) ~ 17 = 0 23 35% — 14 = 0 =t= =

Vậy toạ độ hình chiếu của P là (Bt, 86)

c) Gọi d' là đường thẳng đi qua P và vuông góc với d Do đ' vuông góc với

d nên d có vectơ chỉ phương u = (5; -12)

Ví dụ 17: Với điều kiện nào thì các diém Mx; yi) vA N(xo; yo) đối xứng

với nhau qua đường thẳng A: ax + by +c= 0?

Hai điểm MĨ và N đối xứng với nhau qua A khi và chỉ khi có hai điều kiện:

— Trung điểma Ï của MỊN nằm trên A

Giả sử Ï = (x; y) là điểm đối xing vdi Ix; y.) qua d: Ax + By + C = 0

Khi đó vectơ Il' phải cùng phương với vectơ pháp tuyến n = (A; B) _ của đường thẳng d tức là x' = x, + At; y' = y + Bt Mat khác, trung

diém H cia II' phải thuộc d nên: |

t(A? +B?) : | 2(Ax, + By, + ©)

Ví dụ 19: Cho đường thẳng A: 2x— y + =0 và điểm 11; 2) Tìm phương

trình đường thắng A' đối xứng với A qua diém I

Gidis

Lay một điểm M nằm trên đường thẳng A: 2x — y + 1 = 0, chang han

on (O0; 1) Điểm M' đối xứng với M qua điểm I = (1; 2) cé toa độ

= (2; 3) Đường thẳng A' đối xứng với A qua Ì là đường thẳng di qua điểm M' và song song với A, tức là có vectơ pháp tuyến n = (2; —1) Vậy phương trình của A' là 2(x — 2) —- y(y — 3) = 0 hay 2x — y — 1= Ô

í dụ 90: Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng

Ax + By + C = 0 qua diém I(x; y))

Lấy một điểm M nằm trên đường thang: Ax + By + C = 0, chang han

nếu A z 0 có thể lấy M = CC: 0)

Gọi điểm M' = (xì; y¡) đối xting véi M qua diém I(x); y.) thi: `

2Xo = XI — e va 2y, = yi nén M’' = (2x, + —; 2y,)

Đường thẳng đối xứng với đường thẳng đã cho phải đi qua M' va song

A(x — 3xe— =) + Bly - 2yo) =

y- GÀx, + 2By, + C) = hay Ax#ếT

193

Ví

Vi

đụ 21: Cho hai đường thẳng dị: x + y — 1 = 0 va de: x—3y+ 3= : 0 Hãy lập

phương trình của đường thẳng d; đối xứng với dị qua de

Lấy A(1; O) thuộc di, phương

trình đường thắng AH_ vuông

Gọi NŒxN; yN) là điểm đối xứng với M qua Ox

Khi đó { ~ "Mey ( CĂN

Do đó: M ¢ AS axy + byy +c = 0

Vậy phương trình đường thang đối xứng với A qua Ox la: ax — by +c = 0

Do đó: M e A <> axu + byy +c=O0 <-—axp + byp + c=0-

© axp — byp—€©=Ø <>PeAa<>ax-by-c=0

Vậy phương trình đường thẳng đối xứng với A qua Oy là: ax ~ by —c = 0

Đo đó: M e A <> axw + byw +c= 0 ©= -axa — bya +c= 0

© axa — bya-c=0 <>QQcAs<>ax+by-c=0 |

Vậy phương trình đường thang đối xứng với A qua Oy là: ax + by —c= 0,

AB: 2x -3y-1=0; BC: x+3y+7 =0, CA: 5x—-2y+1=0

Viết phương trình đường cao BH

Gigi

x-1l y-4

Phương trình đường thẳng BƠ có VTCP BỞ = (3; 3) hay (1; 1) Dat BM: 2x-y+1=0,CN:x+y-4=0

b) AH L BC nên AH có phương trình dạng: x+y+C=0

AH di qua A nén thay toa độ điểm A vào phương trình của AH ta

Vậy phương trình đường cao AH la:x+y—-5= 0

Toa dé trung điểm M của BC:'

Tir 3 dinh A(—2; 3), BQ; 5), C@; 1) ta lập phương trình 3 cạnh

AB:x—- 2y +8= 0, BC: 4x + y — 13 =0 và CA: 2x + ðy — 11 =9

Cách khác: Tìm trọng tâm G 1A giao điểm của BM, CN và từ BG; 1+ 9Ð

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x ~ 3y + 11=0,,

đường cao AH: 3x + 7y —- 15 = 0, đường cao BH: 3x — 5y + 13 = 0 Tìm

phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác

Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh ÁC: ðx + 3y + 1 =0 Cách khác: Gọi B (b; 2+ ) và a Cle; 5~e)

Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh BC: 7x — 3y - 13 = 0

Cho tam giác ABC có A(-2; 3) và hai đường trung tuyến:

0 và x+y-4=0 Hãy viết phương trình ba đường thẳng ˆ

inh cua tam giác

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra B, C

Ví du 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm MC-2; -4) và cắt trục

Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho OAB là tam giác vuông cân

Gidi:

Goi A = (a; 0), B = (0; b) Vi OA = OB nen lal = [bl hay a = +b

197

‘Néu a= -b thi hay mg Bay T ead = ~~ +—=1 > a= —b = 2, va ta —2-4 242 Sp ge phương trình: x— 2y + 1= 0 |

Đường thẳng chứa cạnh BC ổi qua hai điểm BG: 2) va MQ; 3) nén có

—

được phương trình 1st 5 =1 hay % —YW —~2=06

_ phương trình: x+ Ay -11=0

el | K=2-t và trung điểm của BƠ là M(-1; 1) Lập phương trình

Vi du 7: Cho tam giác ABC với AQ: 4), B4; 8), Ca 3; 2)

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC, biết đỉnh A(1; 1) và toạ độ trọng tâm G(1; 2) Vậy phương trinh BC: = = ry 5 t -

Cạnh AC và đường trung trực của nó lần lượt có phương trình là x + y - 2 = O

và —x + yÿ -2 = 0 Các điểm M và N lân lượt là trung điểm ‹ của BC và AC

a) Hay tim toa độ các điểm M và N

Vi du 10: Lap phuong trình 3 cạnh tam giác ABC biết đỉnh C(4; 3) và trung tuyến AM: 4x + 13y — 10 = 0; phan giac AD: x + By — 5 = 0

Diém N(x; y) thuộc AC và thuộc trung trực

cua AC nên thoả mãn hệ phương trình:

Vậy phương trình BC qua B, C:x + y-7=0

Vi du 11: Cho tam giác ABC với A(-2; 0), BQ; 4), C(4; 0)

a) Viết phương trình các đường trung trực của tam giác Xác định toa

độ tâm I va ban kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Viết phương trình của các đường cao Từ đó suy ra toạ độ của trực

c) Chứng tổ rằng ba điểm H, + G thang hang với Œ là trọng tâm của

tam giác ABC

+ : Giải:

a) Toa độ trung điểm của AB là M(O; 2), của BC là N3; 2), của CA la

= (4; 4) la vecto phap tuyến của đường trung trực đị của AB

a 4(x - 0) + 4(y - 2) = 9 hay x+ y—2=0

Tương tự ta viết được các đường trung trực da, dạ của ĐC, CA

Suy ra trực tâm H có toạ độ H(2; 2) |

c) Tacé toa dé cua trong tam G: | |

s( Si ) —- a( 4, 3)

Ta có H(2; 2), I(1; 1) nên H, I, G đều thuộc đường thẳng y = x

Ví dụ 12: Cho hình bình hành ABCD có A(4; -1) và phương trình 2 cạnh

Ila trung diém cia AC nén C(3; 9)

Canh BC qua C, song song AD:

a) Viết phương trình các đường thẳng chứa các đường chéo 7

b) Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh

b)

Vi du 15: Cho diém A(-1; 3) và đường thẳng A'có phương trình x — 2y + 2 =0,

: Lập phương trình các đường thẳng chứa bốn cạnh của hình

ABCD là hình vuông nên 1D = [B = LA Do He A nén B = (-1 + 2t; ~2t)

IB? = TA? = (-1 + 2t + 2)? + -2t- 1)? = C1 + 2)? + (2-1)

(2t + 1)?= 1«<>t=0 hoặc t=-—1

-8uy ra B = (1; 0) hoặc B = (3; 2) Néu B = (-1; 0) thi D = (3; 2), néu B = (-3; 2) thi D = (1:0)

Từ toạ độ bốn đỉnh của hình vuông ABCD, ta viết được Phượng trình

Từ 4 đỉnh AÁCS; 0), 0(0; 0), BOS: 4), C(O: A)

ta có: Phương trình đường thẳng chứa các cạnh:

AO:y=0; BC:y=4,OB:4x-3y=0 |

ACG: r1 © 4x - 3y + 12 =0

Dựng hình vuông ABCD sao cho hai đỉnh B, Ở nằm trên A vA cdc toa

độ của đỉnh C đều đương Tìm toạ độ các đính B, C, D

ws dụ Í: Tìm điển M trên đường thẳng ‹ d: x — y +9 = 9, cách đều hai

- điểm E(0; 4) và E(4;-9) ~ |

Do ABCD 1a hinh vuéng nén CD = BA Ví dụ 2: Cho đường thẳng A: ụ “1 at và điểm M(; 1)

a) Tìm điểm A trên A sao cho Á cách M một khoảng bằng V13

b) Tìm điểm B trên A sao cho đoạn MB ngắn nhất

_ Giải:

ly =—2t me | | ằ ) MB nhỏ nhất khi B trùng với hình chiếu vuông góc H của M trê ^,

a) Tìm toạ độ điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC lạ

b) Tìm toạ độ của điểm M trên đường thẳng d sao cho tam giác AM

a) Goi CC; y) € d nên C(-2y-1; y)

Tam giác ABC can tai C khi va chi khi

CA =CB <= CA? = CB’ |

<> (3 + 2y +197 +(-1-y)*= C1+9y+Д + 2-yv)?

nhất

Gidi:

Am luén đi qua điểm cố định Mo; Vo) v6i

(m — 23x, + Gm - Ủy, + 2m —1<0, Vm

<© (xo + yo + 2)m — 2x, — yo— 1= 0, Vm |

Vậy A„ luôn đi qua điểm cố định M1; —-3) với mọi m

Hạ AH L Am Ta có AH < AM với mọi m Vậy AH lớn nhất bằng AM khi và chỉ khi H trùng với M hay AM L Aa

Ta có: AM =(—1; —6), A„ có vectơ chỉ phương u =(1-m;m-—2)

Ví dụ 4: Cho hai điểm P(1; 6); Q(-3; -4) va đường thls A: 2x-y-1=0

vào phương trình A thi duoc t = —5

Vậy giao điểm của đường thẳng PQ và A là N = C9; —19)

“vì XN < Xp, xạ, nên N là điểm phải tìm |

a > Gốc: _ | | ol a Vậy với m = it thi khoang cach từ A đến A„ là lớn nhất

Ta có P, Q là hai điểm cùng phía đối với trục hoành l, 5

205

dụ 11: Cho hai điểm A(a; 0) và B(O; b) cố định với a, b z0 Đường trịn

(C) thay đổi luơn di qua A, B va cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các

điểm thứ hai CŒx; 0) va D(0; y) Goi I va K tuong ting la trung diém

_ của các đoạn AB, oD

Gidie

Chon đường thẳng AB làm trục hồnh và

a) Tứ giác ABDC noi ¡ tiếp nên ‡a cĩ:

đường trung trực của AB làm trục tung Đặt

Vậy: Ỳ Tập hợp các điểm M là đường p hop 2 nem ờng th thăng đ vuơng gĩc với AB tai điểm d a ab rus Ọ CŨ = ax by = +y ~ ax) =0 + |

Tương tự ta chứng mình dude: OK 1 AB Vay tập hợp điểm | K la đường thẳng di qua O và vuơng gĩc với AB cố định

Ví dụ 12: Cho hai điểm A, B trên trục Ox lần lượt cĩ hồnh độ a, b thoả

0<a<b và trên trục Oy cho điểm M di động cĩ tung dé m ¥ 0

a) Lập phương trình các đường thẳng đ; và da lần lượt vuơng gĩc với

b) Tìm toạ độ giao điểm P của dị và dạ Tìm tập hợp điểm P

Giải — |

a) MA = (a; —m) la vectơ pháp tuyến của đường thẳng dị đi qua A va

Ví dụ 10: Cho điểm P = (1; 1) Mot đường thẳng di thay đổi luơn đi qua P

cắt trục Ox, Oy lân lượt tại A¡ và Bị Một đường thẳng da thay đổi,

_ khác dị, luơn luơn đi qua P, cắt trục Ox, Oy lần lượt tại Ao va Bo Tim

quỹ tích giao điểm Q của hai đường thẳng AiBa và AzB¡

u 15; Cho diém MG; G) Viết phương trình của đường thẳng đi qua M và

Ví dụ 13: Trên hai cạnh của góc vuông xOy lần lượt lấy hai cặp điểm A -

Pe các truc Ox, Oy theo thứ tự tại A(a; 0) và B(O; b) với a, b > 0 sao cho:

_A' và B, B' sao cho OA.OA' = OB.OB' Chứng mình rằng đường trun:

Ta c6 OA.OA' = OB.OB' = aa' = bb’ 7 | M Phương trình của đường thẳng đi qua A(a; 0), BC; b) có dạng a te 1 vi Goi M 1a trung diém AB thi: | _.§ | QT " phương trình đi qua điểm M4; 6) nên a | ) — + — = l1 <© 6a + 4b = a 4.6, 6a + 4b = ab

Vi du 14: Cho hai diém A, A' nim trén truc Ox, hai diém B, Bi nằm trên

trục Oy sao cho hai đường: thẳng AB và A'B' cắt nhau tại điểm Q

Chứng mình rằng trung điểm các đoạn thẳng OQ, AB' và A'B nằm

Giả sử A = (a; 0), A’ = (a'; 0), B= (0: b); B' = (0; Độ

và gọi M, N lần lượt 1A trung diém AB' va A'B thì:

Ta có 5 = = ab Ta tìm a, b > 0 thoả mãn 6a + 4b = ab sao cho tích ab

bé nhất

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

MQ = ee 2a'b-ab) 2)2a'b-ab) 2) \2a'b—ab’)’ Xa'b—ab) a, (a=a)bb_ -2)- (a-a)bb_ ab(b—b) _— Vậy điện tích tam giác OAB bé nhất khi M là trung điểm cia AB 6 - ¬

ơng trình tổng quát của duéng cao AH

iém Q', M, N thang hang

# + 2y — 1= 0

209

7 Cho tam giác ABC với A(—1; 4) , B(2; 0) , C(O: 4) |

a) Tim VTCP cua phan giác trong AD Lập phương trình AD

b) Tìm chân phân giác trong AD Lập phương trình AD

c) Xác dinh AB, AC, AM véi M(x,y) thuéc AD Suy ra lại phuong trin

phan gue trong AD

a) Lap phuong trinh duéng thang qua A(7; -1) vuông géc với d

b) Tim M trên d cách B(O; 1) một đoạn bằng 5 ~

HD tìm mệt điểm và VTCP k Hoặc VTPT, cach khác là khử tham sé, | ds

Lập phương trình đường thẳng qua 2 hinh chiéu cua điểm K(4;-3) lạ

Lập phương trình đường thẳng qua A(2; 4) và cắt Ox, Oy tai M Ì

, BE; 5), ; Cb =3) Lập phương trình đường thẳng qua;

Cho A(O; 5), B(4; 1) vA d: x - 4y + 7= 0

a) Lập phương trình đường thẳng qua K(-1, 1) chia đoạn AB theo tỉ -2

b) Lbập phương trình tham số của d Tìm M thuộc d mà tam gidc MAB

DS b) MCI; 2)

Tim 3 đỉnh tam giác ABC biết phương trình 3 cạnh:

:x—Y -2=0, BC:3x-y-5=90 và CÁ:x-4y -1 =Ô

, Tìm 3 đính tam giác ABC và phương trình BC biết L' phương trình AB: bx —2y +6 = 0,AC: 4x + Ty -21 = 0 va tryc tam la O

Lập phương trình các cạnh còn lại của hình thoi ABCD biết dinh A(0; 1),

"cạnh AB: x + 7y — 7= 0, đường chéo BD: x+2y-7=0 Tinh dién tích hình thoi

DS x+y-10=0,x+y-7=0,x+7y-37=0

, Cho hinh chit nhat ABCD véi A(5;1) , C(0;6) và 1 cạnh

_x+2y— 12=0 Lập phương trình các cạnh còn lại

- A,B thuộc trục hoành và có bán kính đường tròn nội tiếp r= 2: Tim

8 Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng, khi cắt nhau hãy ‹ chỉ ) ra giao điểm:

a) 3x -5y + 2=0 va 5x-2y+4=0 b)x-2y+3=Ovà3x-Gy+3=0

rye 8 “%

i i

HC hoac dung quan hé VTCP, VTPT

Ø9 Biện luận vị trí tương đối của 2 đường thẳng:

a) rax + ÿy + 3m -2 = Ö và x + my + 2= 0

b) ụ =8 TS và 6y + (a4 by —1 =0

c) ax + dy — 8= 0 và 4x + by 4 20= 0

HOD gidi va bién luận hệ phương trình

20 Tim tham sé dé cdc duéng thẳng :

a) (3 + n)x -5y + 4 = 0 va ðx - (4- m)y — 5 = 0 trùng nhau

22 Cho tam giác ABC với iA (1; 3); B(O: 1) ; C(-4; ~1)

a) Tìm hình chiếu H của A lên BC

b) Tinh duéng cao AH

c) Tầm điểm đối xứng của A qua BC

25 Cho tam giác ABC biết trọng tâm G3; -1) va 2 cạnh -

AB: 4x +y+15=0, AC: 2x+5y+3=0

a) Tim đỉnh A va trung diém I cia BC

26 Lập phương trình 3 cạnh tam giác ABC biết C(-3; 1), đường cao AHH :

—x+ 7y +32 =0 và phân giác trong AD: x + 3y + 12 = 0

HD tìm điểm đối xứng cuả C qua phan giác AD

9g 7 Lap phương trình 3 cạnh tam giác ABC biết B(—4; 0), du@ng cao AH: , wax + Sy + 2 = 0 va trung tuyén CM: 4x+y+3=0

Lap phuong trinh đường thang qua I(-1; 1) va cắt 2 đường thẳng:

2x+yv—8=0,x¬—y+ð=0tạiP,Q mà: |

-a) Ì là trung điểm PQ

b) Tam gidc MPQ can tai giao điểm M của 2 đường thẳng đã cho

29 Lap phương trình đường thẳng qua giao điểm của 2 đường thang:

—_a)2x—y+ð=0,83x+ 2y —-3 = 0 va qua A(-3; -2)

30 Cho 2 đường thẳng dị : kx— y + k= 0, dạ: —k”) x+2ky-i-k® =0

b) Chứng minh các giao điểm nằm trên 1 đường tròn

_e) Chứng minh khoảng cách từ O đến dị không quá 1

/ DS b)x*4+y%=1

81 Cho đị: rax + y - 3= 0, dạ: x + my — 2m — 1= 0

a) Tìm điểm cố định của dị, đạ,

b) Giả sử đị cắt da tại I Tìm quỹ tích giao điểm I

c) Tìm m nguyên để tọa độ giao điểm Ï là các số nguyên

[1.2 + 2(-1)

215

b)

Ví dụ 5: Cho tam giác A

_đụ 6: Tìm các góc của một tam giác biết phương trình các cạnh ta

Ví du 4: Cho hai đường thẳng d: x— 2y+5=O0vàd:3x—-y=0

Tìm giao điểm và tính góc giữa d và ở

AC) < 90° nên: (AB, AC) = (AB, AG) = 43°86'

giác đó là: x x+ 2y =Ô; 2x+y=0;x+y=Ì

Xét tam giác ABC với phương trình các cạnh của tam giác như đã cho :

khi đó, toạ độ các đỉnh của tam giác là nghiệm của các hệ:

Giải các hệ này ta được toạ độ các đỉnh tam giác, giả sử

A(0; 0), B2; —1), C(—1; 2) Suy ra:

Điều kiện: cos30” = coso :

v3s |J2m-1 3_ (ôm — 1P |

2 Im?a1J4a1 4 (m? +195 _ ©m”- l6m- 19=0€m=8+345

(dụ 8: Xác định các giá trị của a để góc bạo bởi hai đường thẳng:

Tư đó có hai giá trị cần tìm là a = 7 và a = —Ì4

“Ví dụ 9: Tìm các khoảng cách từ các điểm đến các đường thẳng tương ứng sau đây:

c) d(C, A) = [8.8 + 42) - |~10 Tạ,

217

R= d(C: A) = |5(-2) + 12-2 —10| _ 44

_dụ 12: Đường thẳng A: 2x — ðy + 9= 0 cắt 2 trục toa dé tai i A, B Tính

chiều cao OH của tam giác OAB

Chiều cao OH của tam giác vuông OHIB là khoảng cách từ gốc O đến

OH = a(0; ay = 20-5049) 9 J4 + 25 29 - ¬

Ví dụ 18: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

a) Ai: 48x + 14y - 21 =0; As:24x+ 7y 28=0_

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song là khoảng cách từ một

điểm của đường thẳng này đến đường thẳng kia ˆ |

a) Ag: 24x 4+ 7y — 28 = 0 |

Chox=O>y=4=> AQ; 4 & Ag

48.0+14.4-— 21 đ(A; Ap) = (A: Ay) = | + lệ |_ 7

b) Lay M.(x3 yo) € Ai: Ax + By + C = 0 => Ax, + By, +O=0 Jv4+16 vi+4 ' lox 4 4y +74 2(x—2y 3) =0

219

Vi du_7: Lap phương trình đường thang qua POO; 2) và cách đều hai điểm

Vậy quỹ tích là đường thẳng 5x + 3y + 2= 0

b) Diém M(x; y) cach déu hai duéng thang da cho khi va chi khi:

Vi du 8: Cho hai điểm A(1; 1) và B3; 6) Viết phương trình đường thẳng

- đi qua A và cách B một khoảng bằng 2

Gidi:

Đường thẳng A di qua A(1; 1) có phương trình:

a(x — 1) + b(y — 1) = O hay ax + by—a—b= 0 (a2 +b? #0)

Ví dụ ð: Lập phương trình đường thẳng song song và cách đường thắn

ax + by +c = 0 một khoảng bằng h cho trước

Với b = 0, chọn a = 1, ta được đường thẳng Ai: x — 1= = 0

Với 21B + 20a = 0, chọn a = 21,b =-—20 ta được đường thẳng

ax + by +e-hVa” + bỂ = _— Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có A(2; 6), B(-3; -4), C(5; 0) Lập phương

Ví dụ 6G: Viết phương trình của đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cách đều BRook ga: "

AC = (3; —6) > AC = 34/5

M(x: y) ¢ AD = cos(AB, AM) = cos(AC, AM)

Ví dụ i19: Viết phương trình phân giác d của góc nhọn tao bởi 2 đường

Do đó I(—3; —4) Lay A(B 0) « c = dk, B(-1; 0) c

Mx; y) thuéc phan gidc d cua ; góc nhọn tạo bởi dị và đa _

cos( TA , IM) = cos(IB ,IM)'

va 8Gx + 3) + 4(y +4) _ 2+3) +4(y +⁄9

ox-y- -1=0 Vậy d:x—y —_ J1 =0

Chú ý: Nếu góc ATB tù thì M e d khi: cos( iB, IM) = —eos( IA, IM)

í đụ 11: Viết phương trình các đường phân giac trong va ngoài xuất

_ phát từ đỉnh AÁ của tam giác ABC, biết A(1; 1), B(10; 13), CC18; 6)

Hai đường phân giác của góc  có phương trình -

V5? +12 J4? +3?

Íx; y) = 9x + 7y — 16 =0, phân giác đa có phương trình

Ta cần xác định dị là phân giác trong hay ngoài của góc A

—_a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A

: b) nay cho biét géc toa dé O nim trong ney} nằm ngoài tam giác ABC

"Thay lần lượt toạ độ của gốc O vào vế trái phương trình của BC, AC,

Thay toa dé A, B, C 1An lượt vào vế trái phương trình của BC, AC, AB

ta được: 3 + 5.5 + 4= 32 >0, 73) + 1— 12=-32<0,2+2+4=8>0

— Như vậy: O và A nằm cùng phía đối với BC ; O và B nằm cùng phía đối với : AC; O va C nam cing phia déi với AB Vậy O nằm trong tam giác ABC, _ Ví du 18: Cho điểm M2; 5ð) và đường thẳng đ: x + 2y — 2= 0

a) Tim toa dé diém M' déi xting véi M qua d

b) Viết phương trình đường thẳng đ đối xứng với đ qua M

nh (1) ta

Gọi toạ độ cua M' la M' = (x; y) Khi đó MM' = (x — 2; y — 5) va trung

điểm I của MM' có toạ độ r= (=? y+s a)

tơ d phải song song với d nên dđ' có phương trình x + 2y +C=0

Khoang cach từ M tới dvà d "Phat bang nhau

223

_ 2+ 2.5 + CỊ

Vi+ 2? Vv1+ 2?

Chon C = —22 Vậy d có phương trình x + 2y — 22 = 0

thẳng d: x + 3y — 3 = 0 mét géo 45°

Gigi:

Đường thẳng A đi qua A(—2; 0) có phương trình:

a(x + 2) + by = 0 hay ax + by + 2a = 0 (a" +b? #0)

Với a = 2b, chọn b = 1, a = 2 ta được đường thẳng Ai: 2x+ y +4=0

Với a = -Sb, chọn b = —2, a = 1, ta được đường thẳng A;: x — 2y + 2 =0

¡dụ 15: Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; —1) và phương trình cạnh :

0 Lập phương trình hai đường chéo của hình

AB là x + 2y — Ì =

Hai đường chéo AC, BÌ là hai đường thắng qua [|

<> 2(2a — b) = B(a? + b?) © 3a? — 8ab — 3b = 0

<© (a — 3b)(3a + b) = 0 < a = 3b hay b =-äa :

Với a = 3b, chọn b = 1, a = 3 ta có đd: 3x + y— l11=0

Ta co: |cos(u , v )| = cos45° &

Ví dụ 16: Viết phương trình đường thẳng d di qua P(3; i) cat 2 “đường

+ 2y—3=0,A;: 3x— y +2 = 0 tai A, B sao cho d tao véi |

Giả sử đường thẳng đ cắt Aj, Ag IAn lượt

ở A, B Gọi Ï là giao điểm của Ai và Aa

SN

dinh I khi A vuông góc với đường phân „AE BNA,

Phuong trinh hai đường phân giác là: xi3, 3x-y+2 =0

í dụ 12: Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình các đường thẳng

AB, BC lần lượt là x + 2y — 1 = 0 vA 3x — y +5 =0 Viết phương trình

đường thẳng AC biết rằng đường thang AC di qua diém M(1; —3)

Gidi:

Đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến nụ (1; 2), đường thang BC có

-_ vectơ pháp tuyến nọ (3; —1) Đường thẳng AC qua M nên có phương

trình a(x — 1) + b(y + 3) = 0 (a7 +b? + 0)

Tam giác ABC cân tại đỉnh A nén ta cé:

- Với a = 2 b, chon b = 11, a = 2 ta dude dutng thang AC: 2x + lly + 31 =0

11

đường thẳng A Tìm điểm ở đối xứng của Ô qua A

b) Tầm điểm M £ An even OS een,

3ọi đ là đường thẳng di qua O và

Phuong trinh tham sé cia d la: Vi H « dnén HG; —t)

Thế vào phương trình A thi duge t = -1 = HC1; D > O'C2; 2)

A sao cho độ đài của đoạn gấp khúc OMA ngắn nhất,

“Điểm M năm cùng raội phía với điểm Ï đối với đường thẳng thứ nhất

và đường thẳng thứ hai khi và chỉ khi:

(Aix + Bry + Cy)(Aix, + Bury, + Ci) > 0

và (Aox + Boy + Co)(Acx, + Boy, + Co) > 0 Phương trình hai đường phân giác của góc tạo thành bởi hai đường

mia tri Sy = Aux, + Bịy, - Oy 1 VA S25 Ao® + Bevo & Co

Nếu ổ liểm M = (x; vy) nim trong góc chứa điểm I thi:

Aue + Biy + Cy cling dau vdi Si và à Ax Boy + Co cờnag dấu với Sa tức l¿

Nếu điểm a M(x: y) năm trong góc đối đỉnh với cóc có chứa điểm I ¢ Aix + B¡iy + ;¡ khác dấu với Sị và Aazx + Bay + Cạ khác đấu với Sa cho nên (À¡x + Bịy + C¡)(Aax + Bay + C¿) cùng đấu với Ss.S:

b) Ta có độ dài đường gấp khúc OMA Như vậy đường phân giác của góc có chứa điểm Ï và góc đối đỉnh với

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đường thang O'M: Se = Azxo + Bay, + C¿ có cùng dau, và với dấu "—" nếu S¡ và S;¿ khác

mm A(2; 3), BI; 0) Xác định m để Am có ít nhất một điểm chung với đoạn ” Be 2," aT (x ~8y—8=0 e oe Íx=5

Aa cách đều hai duong thang A; va Ag khi va chi khi

c=d Cloai viA, //A,)

<> e=— .e+d

2

Ví du 6: Chứng minh rằng khi m thay đổi các đường thẳng sau đây luô

tiếp xúc với một đường tròn cố định:

Xét: ra 201 — x,) + m(2y — 4) + 3+ x, = —R(m* + 1), Vim e> m1 — x) +R) + my — 4) + 3+X,+ R= 0, Vm

oy, -4=0 =R=-2<0: loại

luôn biếp xúc với đường tròn cế định

Tính khoảng cách từ A(2; 1) đến đường thẳng có phương trình :

CA: 4x — y —19 = 0 cắt nhau tạo thành 1 tam giác ABC

a) Tim A,B,C Chứng mình tam giác ABC cân

b) Tính bán kính đư ường mgoại tiếp Re | o

h) thuộc ở: x — 2y + 1 = O0 và cách đường thẳng: 3x + ấy — l2 =0Ôm

đoạn có đệ dài bằng 1

DS a) M(O:; 15) hode (0: -=) F tee

Tìma các đỉnh của hình chữ nhật ABCT) có tâm MS: O), phương trình

đường thẳng AB: x — 2y + 2 = 0 và cạnh AB = 2AD Biết rằng đỉnh A

có hoành độ âm

ĐS AC2;0), B1; 2), C(3; 9), D(C-1; -2) | %

"Tìm các đỉnh của hình vuông ABCD biết A, B e ở: y = x + 8 và C,

HD dùng quan hệ song song và quan hệ vuông góc

Litp phương trình đường thẳng:

a) qua K2; 5) và cách #G; 1) một đoạn bằng 3

bì qua giao điểm 2 đường thẳng: 3x + 2y —l = Ö, x — y + 3= O0 và các

DS aj)x= 2, 7x + 24y — 134 = 0 ° 5 Cho tam giác ABC có điện tích S = Š và A@; =3) ; BG, — 2) và trọng

B; 3) mét đoạn bằng 4

DS y+i=0, 4x+ 3y+3=.0

7, Cho f(x,y) = Ax + By + C va;2 diém IGu, yi), J(xs, ye) Chimg minh

diém I, J khac phia déi véi d: xy) = O khi f(x, y1).f(xe, ye) < O

8 Tìm quỹ tích các điểm M: ì

a) Cách đều 2 đường thẳng: x+2y —3=0 ,2x+y—8=0

b) Cách đầu 2 đường thẳng: 5x + 3y — 9=0, 5x +3y+5=0

œ) Cách đường thẳng: 3x +2y —1 =0 một đoạn bằng 6

1 Lập phương trình 3 cạnh tam giác ABC biết A(1; 3); B(1; 5) và

Tinh dién tich CH)

a) Lap ; iong trình 2 phân giác giữa d và đ

231

b) Lập phương trình đường thẳng qua A(3,1) và tạo với 2 đường thần

đã cho thành 1 tam giác cân tại giao điểm 2 đường thẳng đó

HID b) dùng kết quả câu a)

23, Cho tam giác ABC với AB : 4x#-— y + 2= 0,

ĐC: x— 4y —8 =0, CA : x+4y—8=0

a) Chứng mình tam giác vuông bại A,

b) Lập phương trình 2 phân giác góc B và C Suy ra tâm dường trò

HUD Goi MG; 4 — t) thuộc d

26 Cho tam giác ABO cân tại A có ó phương trình 2 cạnh BC: 2x—3y—B=

Lap phuong trinh canh AC

DS 17x + 7y — 24 = 0

297, Lap phuong trinh 4 cạnh hình vuông ABCD biết: A(-4; 5) và mộ

28 Lập phương trình 3 cạnh tam giác đều ABC "biế t AG; 1), dinh

thuộc đường thẳng y = 3 và Ơ thuộc trục hoành

29, Cho dị: (3+ a)x— By + 4=0;da:ðx—(4+b)y—-B=0

a) Tìm a, b để dị trùng dạ

b) Khi dị // da, tính khoảng cách giữa dị và đạ

c) Tim a, b để dị cắt dạ Tính cos @

ð là đường tròn tâm I(1; -2), R= V5

= 16 là đường tron tam Í(C2; 5), R = 4

Vay tap hep tam I cua cac đường tròn (#4) là đường thắng y = 1, bo id; D, ban kinh R = 2

=>a’+b*—~c=11>0nén đà 2 Phuong trình đường tròn tâm I(2; 3), bị

ce) x” + — 6x + By + 30 = 0 có a=~3; b=4;c= 30

>a’ +b*—-c=-—5 <0 nén không là phương trình đường tròn

Ví dụ 3: Tìm târa và bán kính của các đường tròn:

“điểm A(1; 1)

74 dụ 5ð: Cho (%n): x?+ y? +max — 2Œn + l)y + 1= 9

a) Với m nào thì (4) là đường tròn

b) Tìm tập hợp các tâm khi m thay đổi

Giải:

) („) là phương trình đường tròn khi

Giat: <> 5m’? + 8m >0 cm<_-Š hoặc m > Ö

trình đường tròn tâm 1C ; ~), R = 1 Khử _ mm từ hệ trên ta được 2x + y 8 8

không phải là phương trình đường tròn

_b) Chứng minh rằng các đường tròn (1) luôn ởi qua hai điểm cố định Với điều kiện a7 + bỄ—c >0 <>33 —- 8m2> 0

GiGi:

1

) Ta tim cặp số (xo; yo) sao cho với mọi m

Biến đổi đẳng thức trên theo m, ta cé:

"phẳng toạ độ mà họ (44) không bao M Z) >

"Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn: MA” + ME” + MCỸ = 44 ˆ

Từ đó suy ra: 2 — Xe — y, = 0 và KA + YS —~2y,=0 Giải ra la có hại

cặp số (Ì; 1) vA (0; 2) là nghiệm Vậy đường tròn (1) luôn di qua hai we

điểm cố định A(1; 1) và B(0; 2}

qua hai điểm cố định

c) Tìm những điểm trong mặt phẳng toạ độ mà họ (%2) không di qua

a2 + bể — = (mr?) '(®šˆ) —(m (m +1) mì +4mm+8 4 Se , V6i moi m ới i mM cố ‹ Koy tes ) Ly =e

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tam Ms 3) có ban kinh R = “3 -

Vay (Gn) 1a đường tròn với mọi giá trị của m

b) Goi M(x; y.) 1A diém cố định mà họ (%„) luôn đi qua Khi đó ta có:

Ti (1) suy ra Xo = y,- 1, thay vao (2), ta được:

(yvo-1) + y- + Wy5 1) — Ay, 4 =0 <2y2 — 4yo =Ð Ví du 9: Cho hai diém A(1; 1) va BO; 7)

=> 2yoWYo— 2) =OŨ <> ly =9 /O : b) Tim quỹ tích các điểm M sao cho 2MA* ~ 3MB? = k’, trong dé k 1a