PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 7 điểm Câu I.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 2.. Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 4 Câu II..
Trang 1ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2013 Môn TOÁN – THPT Phân ban
ĐỀ SỐ 1
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (3 điểm)
Cho hàm số = −
−
1 2x y
x 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1
4
Câu II (3 điểm)
1. Giải phương trình mũ: 32x −12.3x +27 0=
2 Tính tích phân: = ∫
2 2 e
2
x.ln x
3. Định m để hàm số y x3 mx2 1
= − + đạt cực tiểu tại x = 2
Câu III (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B cạnh AB = BC =
a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc
300 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
II PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN (3 điểm)
A Theo chương trình chuẩn:
Câu IV.a (2 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;-1;3) và mặt phẳng ( )α : x − 2 y + 3 z − = 1 0
1.Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ( )α .
2.Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với mp( )α
Câu V.a (1 điểm)
Giải phương trình: z2 − 7 z + = 18 0 trên tập số phức
B Theo chương trình nâng cao:
Câu IV.b (2 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;4 ; 2) , B(-1;2;4) và đường thẳng
−
1 Viết phương trình của đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB)
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2 +MB2 nhỏ nhất
Câu V.b (1 điểm)
Tìm số phức z sao cho: z2 = − − 21 20 i
Hết
Trang 2-ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ SỐ 1
I
(3,0) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
−
=
−
1 2x y
x 1
2,0
Điểm
b) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
( )
= > ∀ ≠
− 2
1
y ' 0, x 1
x 1 Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng (−∞ ; & ; 1) (1 +∞)
Hàm số không có cực trị
0,25 0,25
Giới hạn, tiệm cận
+ xlim y →±∞ = − ⇒ = − 2 y 2là tiệm cận ngang
+ 1
1
lim
1 lim
x
x
y
x y
+
−
→
→
= −∞
= +∞
0,25
0,25
Bảng biến thiên:
0,25
c) Đồ thị (C): Một số điểm đồ thị đi qua ( − ) − − ÷
3 0; 1 , 1;
2
Đồ thị nhận điểm I(-2;1) làm tâm đối xứng
0,5
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 14 1,0
Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C ), (x0; y0) là tiếp điểm
Ta có: ( )
( )2 0
'
o
y x
x
−
Giải phương trình suy ra x0 = 3, x0 = -1 rồi tính 0 0
,
y = − y = −
0,5
Trang 3 Kết luận:
Có 2 tiếp tiếp tuyến cần tìm là: 1
:
d y= x− và 2
:
d y= x−
0,5
II
(3,0)
1 Giải phương trình: 3 2x − 12.3 x + 27 0 = 1.0
+ Đặt t= 3 ,x (t> 0)
3
t
t t
t
=
− + = ⇔ =
0,25 0,25 Với t= ⇒ 9 3x= ⇔ = 9 x 2
2 Tính tích phân: = ∫
2
2 e
2
Đặt t ln x = ⇒ = dt dx
x
1
0,25 Đổi cận: 2 1
2
x e t
x e t
= ⇒ =
Khi đó: = ∫2 2 = − 2 =
1 1
3 Định m để hàm số y x3 mx2 1
3 2 3
TXĐ: R
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ( )
( )
2
" 2 0
m
y
=
− > <
III
(1,0)
+ A là hình chiếu của S trên mp(ABCD), suy ra góc giữa SC và mp(ABCD)
30
SCA=
0,25
+ Diện tích mặt đáy: ABCD = 2
3a S
+ Chiều cao: = 0 = a 6
SA a 2.t an30
+ Thể tích của khối chóp là: S.ABCD = ABCD = 3 ( )
Trang 4+ VTPT của mặt phẳng ( )α : nuurα = −(1; 2;3) 0,25 + Vì d đi qua A(0; -1;3) và d mp ⊥ ( )α nên VTPT của mp( )α cũng là VTCP
của đường thẳng d
0,25
Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là:
=
= − −
= +
x t
1 2
3 3
0,5
Vì (S) có tâm I(1;2;3) tiếp xúc với mp( )α nên bán kính của (S) là:
( )
= α =
14
0,5
PT mặt cầu (S) cần tìm là: ( ) (x − 12+ − y 2) (2+ − z 3)2 =25
V.a Giải phương trình z2 −7z+ =18 0 trên tập số phức 1,0
Kết luận phương trình có 2 nghiệm phức là: 1 7 23
2
i
1
2
i
z = +
0,5
+ G là trọng tâm tam giác OAB⇒G(0; 2; 2)
0,25 VTPT của mp(OAB) là nr=OA OBuuur uuur, =(12; 6;6− ) =6 2; 1;1( − ) 0,25
Vì d vuông góc với mp(OAB) nên VTCP của d là: ur=(2; 1;1 − ) 0,25 Vậy PT của đường thẳng d là:
2 2 2
x t
y t
z t
=
= −
= +
0,25
Vì M∈∆ ⇒M(1 ; 2 − − +t t t; 2 )
( )2
12t t 48t 76 12 t 2 28
0,25 0,25
0,25
MA2 + MB2 nhỏ nhất ⇔ =t 2 Khi đó M(− 1;0; 4) 0,25
Gọi số phức z = a + bi, a b R, ∈
Khi đó
2 2
21 20
10
ab
− = −
= − − ⇔ = −
Giải hệ phương trình suy ra 2, 2
= ± = ±
= = −
0,5
