Bí quyết giải phương trình lượng giác

Nội dung chính gồm có: Các kĩ thuật giải phương trình lượng giác đặc sắc; Các mẹo loại nghiệm nhanh, chính xác; Cách bấm máy tính để tìm hướng giải pt lượng giác. File DOC gồm 50 trang A4, được đánh máy công phu, trình bày đẹp. Nội dung rất hữu ích cho học sinh lớp 11, học sinh ôn thi đại học môn Toán và quý thầy cô giáo dạy Toán THPT.

Trang 1

Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1

I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

sin cos 1 2 sin cos ;

sin cos 1 3 sin cos

sin cos (sin cos )(1 sin cos )

-III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT

 Hai cung đối nhau

cos( - x ) = cos x sin( - x ) = - sin x

tan( - x ) = - tan x cot ( - x ) = - cot x

 Hai cung bù nhau

sin( p - x ) = sin x cos( p - x ) = - cos x

tan( p - x ) = - tan x cot ( p - x ) = - cot x

 Hai cung phụ nhau

 Hai cung hơn nhau p

sin( p + x ) = - sin x cos( p + x ) = - cos x

tan( p + x ) = t an x cot ( p + x ) = cot x

 Hai cung hơn nhau

2

p

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG

Trang 2

sin( x + k 2 ) p = sin x cos( x + k 2 ) p = cos x

tan( x + k p ) = t an x cot ( x + k p ) = cot x

IV CÔNG THỨC CỘNG

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

t an tan tan( )

sin 2 2 sin cos

2 tan tan 2

1 t an

x x

sin 3 3 sin 4 sin cos 3 4 cos 3 cos

V CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG

Trang 3

2cos cos

é = +ê

ìï = +ï

 Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x =m và cos x =m là: - 1 ££m 1

 Sử dụng thành thạo câu thần chú " Cos đối - Sin bù - Phụ chéo" để đưa các phương trình dạng sau

è ø cosu sinv cosu cos 2 v

è ø

sinu = - sinv Û sinu = sin( - v) cosu = - cosv Û cosu = cos(p- v)

 Đối với phương trình

2 2

= - = , nên dựa vào công thức nghiệm ta có

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Trang 4

212

p p p

p

-Û , (k Î ¢)

Chú ý: Đối với phương trình t an x =m ( t an x =m ), trong đó m là hằng số thì điều kiện

cosx ¹ 0 (sinx ¹ 0) là không cần thiết

Bài 2 Giải các phương trình sau

242

-Û ê

ê = +ê

11

212

Trang 5

4 cos x - 2( 3 + 1) cosx + 3 =0  2 cos2x + 5 sinx - 4 =0

 3 t an2x - (1+ 3) tanx + 1=0  sin2 cos2

=êVậy phương trình có nghiệm: 2

6

26

3

x x

êVậy phương trình có nghiệm: 2

6

26

Trang 6

-Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1

 2(sin4 cos ) cos4 2 0

 sin4x + cos4x + sin cosx x =0  2(sin6 cos ) sin cos6

2 cos 1

x x

x

p

-=-

PTÛ 2(sin6x + cos ) sin cos6x - x x =0 3 2 1

Trang 7

23cos

4

x x

 sin 3x + cos 2x - sinx = 0 (D-2013)  2

êë

ê

Trang 8

DẠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX

 Dạng phương trình: asinx+bcosx =c

 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho 2 2

 Điều kiện có nghiệm của phương trình: a2+ b2 ³ c2

 Chú ý: Khi phương trình có a = c hoặc b = c thì dùng công thức góc nhân đôi và sử dụng phép nhóm nhân tử chung

 cosx + 3 sinx = 2  2 sinx + 2 cosx = 6

 3 cos 3x- sin 3x = 2 sinx + cosx = 2 sin 5x

212

Trang 9

é =êêÛ

ê = +ê

Trang 10

1sin 3

 cos 7x- sin 5x = 3(cos 5x- sin 7 )x  t anx - 3 cotx = 4(sinx + 3 cos )x

3cos cos 2

Trang 11

a + b = c + d Nhưng lưu ý rằng, ta phải chuyển vế sao cho mỗi vế có cùng một cung Từ đó

ta có lời giải như sau:

PTÛ cos 7x + 3 sin 7x =sin 5x + 3 cos 5x 1cos 7 3sin 7 1sin 5 3 cos 5

sin 3 cos

4(sin 3 cos )sin cos

 Điều kiện: sinx ¹ 0Û x ¹ k p

PTÛ sin 2x + 3 cos 2x = 3 Û sin 2æçççx + p3ö÷÷÷= 23

Trang 12

cos x + 3 sin cosx x =1

x k

p p p

é =êêÛ

ê = +ê

2

x x

-êê

Û ê

=ê

Kết hợp với điều kiện thu được nghiệm của PT: ; 2

-Û ê

ê = ê

ê+ Với t =1 ta có 4 sinx + 3 cosx = 0 4 3

Ûcos sina x + sin cosa x =0

Trang 13

Vậy phương trình có nghiệm: 2 ; 2

DẠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX

 Dạng phương trình: asin2x + bsin cosx x + c cos2x + d =0

 Cách giải:

Cách 1: + Xét cosx =0 có là nghiệm phương trình không?

+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho cos x2 ta được:

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1)

2 sin x- 3 sin cosx x + cos x = 0

 sin2x - 10 sin cosx x + 21cos2x =0  2 sin2x- 5 sin cosx x + 3 cos2x =0

Hướng dẫn giải:

 2 sin2x + sin cosx x - 3 cos2x = 0

+ Xét cosx =0 (tức sin2x =1): Khi đó PT trở thành 2= 0 nên cosx =0 không thỏa mãn.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho cos x2 ta được:

ê

ê = çç- ÷÷+

ê ççè ø÷÷ê

 2 sin2x- 3 sin cosx x + cos2x = 0

+ Xét cosx =0 (tức sin2x =1): Khi đó PT trở thành 2= 0 nên cosx =0 không thỏa mãn.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho cos x2 ta được:

ê

ê = ç ÷ç ÷+

ê ç ÷çè ø÷ê

(k Î ¢).

 sin2x - 10 sin cosx x + 21cos2x =0

+ Xét cosx =0 (tức sin2x =1): Khi đó phương trình trở thành 1= 0 nên cosx =0 không t/m.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho cos x2 ta được:

p p

 2 sin2x- 5 sin cosx x + 3 cos2x =0

+ Xét cosx =0 (tức sin2x =1): Khi đó phương trình trở thành 2= 0 nên cosx =0 không t/m.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho cos x2 ta được:

Trang 14

ê

ê = ç ÷ç ÷+

ê ç ÷çè ø÷ê

(k Î ¢).

 sin2x + (1- 3) sin cosx x - 3 cos2x =0  3 sin2x + 4 sin 2x + 4 cos2x =0

 3 sin2x - 4 sin cosx x + 5 cos2x =2  3 sin2x + 4 sin 2x - (8 3- 3) cos2x =3

sin x + (1- 3) sin cosx x - 3 cos x =0

+ Xét cosx =0 (tức sin2x =1): Khi đó phương trình trở thành 1= 0 nên cosx =0 không t/m.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho 2

Û ê

ê = +ê

ë

(k Î ¢).

 PTÛ 3 sin2x + 8 sin cosx x + 4 cos2x = 0

+ Xét cosx =0 (tức sin2x =1): Khi đó phương trình trở thành 3=0 nên cosx =0 không t/m.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho 2

3

p p

 3 sin2x - 4 sin cosx x + 5 cos2x =2

+ Xét cosx =0 (tức sin2x =1): Khi đó phương trình trở thành 3=2 nên cosx =0 không t/m.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho cos x2 ta được:

Û ê

ê

(k Î ¢)

 PTÛ 3 sin2x + 8 sin cosx x - (8 3- 3) cos2x =3

+ Xét cosx =0 (tức sin2x =1): Khi đó phương trình trở thành 3=3 nên cosx =0 thỏa mãn.Tức là

2

x p k p

= + là nghiệm của phương trình

+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho cos x2 ta được:

Trang 15

+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho cos x3 với chú ý: 2

2

1

1 t ancos x = + x.

 sinx- 4 sin3x + cosx = 0  2 sin3x = cosx

 2 cos3x = sin 3x  4 cos3x + 2 sin3x - 3 sinx = 0

 sinx- 4 sin3x + cosx = 0

+ Xét cosx =0 (tức sinx = ±1): Khi đó PT trở thành m3=0 nên cosx = 0 không thỏa mãn.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho cos x3 ta được:

t an (1x + t an x)- 4 tan x + (1+ t an x) =0 Û 3 t an3x - t an2x- t anx - 1=0

2(t anx - 1)(3 t an x + 2 t anx + 1)= 0

Nhận xét: Khi giải phương trình bậc 3 các em thường bấm máy tính để ra nghiệm ngay, nên các em

biến đổi phương trình 3t3- t2- t - 1= 0Û t =1 Như thế liệu đã đầy đủ chưa? Câu trả lời là chưa đủ vì chúng ta không hề học công thức nghiệm phương trình bậc 3 Các em cần phải phân tích thành nhân tử trước khi đưa ra nghiệm Vậy làm thế nào để phân tích nhanh nhất?

Bước 1: Dùng máy tính 570ES PLUS thu được nghiệm như sau t =1, 1

0, 473

B A

- = - từ đó suy ra B =2 Vậy ta lập tức phân tích phương trình thành

 2 cos3x = sin 3x Û 2 cos3x = 3 sinx - 4 sin3x

+ Xét cosx =0 (tức sinx = ±1): Khi đó PT trở thành 0= ±1 nên cosx =0 không thỏa mãn.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho 3

cos x ta được:

2=3 t an (1x + t an x)- 4 tan x 3

tan x - 3 t anx + 2=0Û

2(t anx - 1) (t anx + 2) =0

x x

t = t = - Khi đó phân tích phương trình thành t3- 3t + 2=(t - 1)(t + 2) Như thế liệu đầy

đủ chưa? Các em hãy để ý bậc ở hai vế để tự đưa ra câu trả lời nhé Như vậy là đa thức này còn có 1

Trang 16

nhân tử nữa, theo các em nhân tử này là t - 1 hay t + 2 Câu trả lời là t - 1, vì sao lại như vậy? Rất dễ dàng thôi nhân tử thứ ba này là t + 2 thì số hạng tự do của đa thức ban đầu phải là - 4, không ổn rồi Vậy kết quả là t3- 3t + 2=(t - 1)(t + 2)(t 1)- = -(t 1) (2 t + 2).

 4 cos3x + 2 sin3x - 3 sinx = 0

+ Xét cosx =0 (tức sinx = ±1): Khi đó PT trở thành ± =1 0 nên cosx =0 không thỏa mãn.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho cos x3 ta được:

4+ 2 t an x- 3 t an (1x + t an x) =0 3

tan x + 3 t anx- 4 =0Û

2(t anx - 1)(t an x + t anx + 4) = 0

sin sin 2x x + sin 3x =6 cos x  3 3

cos x- sin x =sinx + cosx

6 sinx - 2 cos x = 5 sin 2 cosx x  cos3x + sinx - 3 sin2xcosx = 0

 sin sin 2x x + sin 3x =6 cos3x Û 2 sin2xcosx + 3 sinx- 4 sin3x =6 cos3x

+ Xét cosx =0 (tức sinx = ±1): Khi đó PT trở thành ± =1 0 nên cosx =0 không thỏa mãn.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho 3

2 tan x + 3 tan (1x + t an x)- 4 t an x =6 3 2

tan x- 2 t an x- 3 tanx + 6= 0Û

2(t anx - 2)(t an x- 3) =0

êê

=

Û êê

-ê

433

p p p p

p p

é

ê = +ê

ê

ê = +

Û êêê

= - +ê

ê

(k Î ¢)

 PTÛ cos3x - sin3x- sinx - cosx = 0

+ Xét cosx =0 (tức sinx = ±1): Khi đó PT trở thành ± =2 0 nên cosx = 0 không thỏa mãn.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho cos x3 ta được:

ê = - +ê

(k Î ¢)

6 sinx - 2 cos x = 5 sin 2 cosx x Û 6 sinx - 2 cos3x =10 sin cosx 2x

+ Xét cosx =0 (tức sinx = ±1): Khi đó PT trở thành ± =6 0 nên cosx = 0 không thỏa mãn.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho 3

2

6 t an (1x + tan x) 2- =10 t anx 3

6 tan x- 4 t anx- 2= 0Û

2(t anx - 1)(6 t an x + 6 t anx + 2)=0

cos3x + sinx- 3 sin2xcosx = 0

+ Xét cosx =0 (tức sinx = ±1): Khi đó PT trở thành ± =1 0 nên cosx =0 không thỏa mãn.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho 3

1+ t an (1x + t an x)- 3 t an x = 0 3

2 t an x - t anx- 1= 0Û

2(t anx - 1)(2 t an x + 2 tanx + 1) =0

Trang 17

Thầy Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 Bài 3 Giải các phương trình sau

 cos3x - 4 sin3x - 3 cos sinx 2x + sinx =0  1+ 3 t anx =2 sin 2x

 cos3x - 4 sin3x - 3 cos sinx 2x + sinx =0

+ Xét cosx =0 (tức sinx = ±1): Khi đó PT trở thành ± =1 0 nên cosx =0 không thỏa mãn.+ Xét cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho cos x3 ta được:

1 4 t an- x - 3 t an x + t an (1x + t an x) = 0Û 3 t an3x + 3 tan2x - tanx - 1= 0

2(t anx + 1)(3 t an x - 1)=0

Û

3tan

33tan

3

x x x

é

-êê

Û êêê

-ê

466

ê

ê = +

Û êêê

= - +ê

ê

(k Î ¢)

 Điều kiện: cosx ¹ 0 Khi đó phương trình trở thành: 2

cosx + 3 sinx = 4 sin cosx x Chia hai vế phương trình cho 3

2(1+ 3 tan )(1x + t an x) =4 t anx 3 2

3 t an x + t an x - t anx + 1= 0Û

2(t anx + 1)(3 t an x - 2 t anx + 1)= 0

 Điều kiện: cosx ¹ 0 PT trở thành: 2 sin2xcosx + 2 3 cos2xsinx = 3 sinx + cosx

Chia hai vế phương trình cho cos x3 ta được:

3

x x x

éê

ê

-Û êê

êë

446

p p

é

ê = +ê

ê

ê = - +

Û êêê

êê

(t/m),(k Î ¢)

 Điều kiện: cosx ¹ 0 PT trở thành:sin3x - 2 sin2x cosx =3(2 cos3x + sin cosx 2x - cos )x

Chia hai vế phương trình cho cos x3 ta được:

t an x- 2 t an x = 3(2+ tanx- 1 tan- x) 3 2

tan x + t an x - 3 t anx - 3= 0Û

2(t anx + 1)(t an x - 3)= 0

êê

=

Û êê

-ê

433

p p p p

p p

é

ê = +ê

ê

ê = +

Û êêê

= - +ê

ê

(t/m),(k Î ¢)

 cos3x- sin3x =cos2x- sin2x  3 3

cos x + sin x = cos 2x

Trang 18

 PTÛ cos3x - sin3x = cos2x - sin2x

(cosx- sin )(1x + sin cosx x - cosx- sin )x =0

Û

cos sin (1)

1 sin cos sin cos 0 (2)

 PTÛ (cosx + sin )(1 sin cos )x - x x = cos2x - sin2x

(cosx + sin )(1 sin cosx - x x + sinx- cos )x = 0

Trang 19

Vậy phương trình có nghiệm: ; ( )

 2(sinx + cos )x + sin 2x + 1=0  sin cosx x =6(sinx - cosx- 1)

 2(sinx + cos )x + sin 2x + 1=0 Û 2(sinx + cos )x + 2 sin cosx x + 1= 0

Vậy phương trình có nghiệm:

 sin cosx x =6(sinx - cosx- 1)

-ê

Trang 20

 t anx - 2 2 sinx =1Û sinx- cosx - 2 2 sin cosx x =0 (cosx ¹ 0)

ê = ê

Trang 21

 sin cosx x + 2 sinx - 2 cosx = 0

ê = ëVậy phương trình có nghiệm: ( )

Trang 22

2sin (2 sinx x- 1)=cos (4 sinx x- 1)

êë

 2 sin cosx x- (sinx- cos )x =0

-ê =ê

 sin3x + cos3x =2 sin cosx x + sinx + cosx  1 sin- 3x + cos3x = sin 2x

 2 sin( x + cosx) = tanx + cotx  (1+ sin )(1x + cos )x =2

 PTÛ (sinx + cos )(1 sin cos )x - x x =2 sin cosx x + sinx + cosx

ê= ê

-

21

Trang 23

Chú ý: Ở đây hai họ nghiệm x =k2p và x = p+ k2p được gộp thành họ nghiệm x =k p Còn hai họ nghiệm 2

 PTÛ 1 (sin- x- cos )(1x + sin cos )x x =2 sin cosx x

ê= ê

=-

 (1+ sin )(1x + cos )x =2 Û sin cosx x + sinx + cosx =1

-21

 sin cosx x + sinx + cosx =1  (1 sin ) cos+ 2x x+(1 cos ) sin+ 2x x = +1 sin 2x

Trang 24

 2 sin 2 (sinx x + cos )x =2  sinx- cosx + 4 sin 2x =1

 2 sin 2x- 3 6 sinx + cosx + 8 =0

 sin cosx x + sinx + cosx =1

-

21

 PTÛ sinx + cosx + sin cos (sinx x x + cos )x = +1 2 sin cosx x

 PTÛ 2 2 sin cos (sinx x x + cos )x =2

Trang 25

(t/m) (lo¹i)

134

t t

é =êêÛ

ê = ê

 PTÛ 4 sin cosx x - 3 6 sinx + cosx + 8 =0

t t

é

ê =ê

Û ê

ê =ê

2

( )( )

 Đối với phương trình (2): Đặt t =at anx + bcotx

Trang 26

sinsin

x x

52

ê = êë

1sin

26

Û ê

êëVậy phương trình có nghiệm: 7

 Điều kiện: sin 0

x x

ê= ê

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm: ( )

4

Nhận xét: Dùng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương nghịch đảo, ta có thể đánh giá t như sau:

t = x + x = x + x ³ x x = để đưa ra điều kiện t ³ 2.

Trang 27

 Điều kiện: sin 0

x x

ê= êKhi đó t anx + cotx = - 2 Û t an2x + 2 t anx + 1=0 Û t anx = - 1

-4

= - +Û

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm: ( )

4

Trang 28

KĨ THUẬT 1: LỰA CHỌN CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Sử dụng các phép biến đổi góc lượng giác

Khi việc giải phương trình lượng giác cần xem xét mối quan hệ giữa các góc (cung) để từ đó kết hợp với các phép biến đổi góc đặc biệt, công thức cộng lượng giác để đưa về dạng góc cơ bản là một vấn

đề rất then chốt trong việc giải phương trình lượng giác

x

p p

Trang 29

cos 2 0

x x

 Chắc hẳn các em sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét về tổng hai

cung mà quy đồng và biến đổi thì ra không?

 Việc giải điều kiện và đối chiếu với điều kiện đặc biệt là những phương trình có dạng phân thức như

trên nếu không khôn khéo thì rất phức tạp.

2 Sử dụng công thức biến đổi tổng sang tích và ngược lại

Khi giải pt mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của sin (hoặc cos) với nhiều cung khác nhau ta cần để ý đến các cung có tổng (hiệu) các góc bằng nhau để áp dụng công thức tổng sang tích.

 sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x + sin 5 x + sin 6 x = 0

cos 3 cos sin 3 sin

8

x x - x x =

- 1 + sin x + cos 3 x = cos x + sin 2 x + cos 2 x

 cos3x + sin3x = sin 2 x + sin x + cos x

Hướng dẫn giải

 Nhận xét: Bài toán có các cung khác nhau biểu diễn dưới dạng tổng (hiệu) của các hàm số sin

(hàm số cos) ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho tổng (hiệu) các cung của chúng bằng nhau, cụ thể trong trường hợp này ta để ý x + 6x =2x + 5x = 3x + 4x Tại sao lại cần phải ghép như vậy? Lý do là chúng ta cần xuất hiện thừa số chung để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng tích.

PTÛ (sin 6x + sin )x + (sin 5x + sin 2 )x + (sin 4x + sin 3 )x =0

 Đối với bài này mà sử dụng công thức nhân ba của sin và cos thì cũng ra nhưng phức tạp hơn

Chính vì thế mà ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích sang tổng.

Định dạng
Số trang	47
Dung lượng	3,77 MB