Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên và mối liên hệ giữa chúng khóa luận tốt nghiệp

Mối liên hệ giữa hội tụ hầu chắc chắn và hôi tụ theo xác suấtt... |Mối liên hệ giữa hội tụ theo trung bình và hội tụ hầu chắc chắn 33... Khóa luận này sẽ trình bày một phần trong Lí th

ĐẠI HỌC ĐẠI HỌC SƯ PHAM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRAN THI NGOC ANH

SU HOI TU CUA DAY CAC BIEN NGAU NHIÊN

VA MOI LIEN HE GIUA CHUNG

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên nghành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học

T.s: TRẦN MINH TƯỚC

Hà Nội - 2013

LOI CAM ON

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, với sự cố gắng của bản thân cùng với sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa luân này

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy giáo trong tổ Ứng dụng, các bạn sinh viên đã tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian làm khóa luận Đặc biệt, em xin

gửi lời cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo Trần Minh Tước, thầy giáo

Nguyễn Trung Dũng-thầy đã giúp đỡ tận tình trong quá trình chuẩn bị và thực hiện khóa luận này

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa

do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên em không tránh khỏi

những thiếu sót Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy

cô giáo và các bạn sinh viên, để khóa luận của em dược hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên

Trần Thị Ngọc Anh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu do tôi thực hiện

Các số liệu và kết luận trong luận văn không trùng với các công

bố của các tác giả khác

Tôi xin chịu trách nhiệm về khó luận của mình

Hà nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên

Trần Thị Ngọc Anh

Mục lục

12 |Hội tụ hầu chắc chắn| -. - 7

13 |Hội tụ theo xác suất| -.-. -< + 14 1.4 |Hội tụ trung bình | 16 1.4.1.|Tính chất khả tích đều| -.- 16

1.4.2./H6i tu trung binh| 0 eee eee nee 18

1.5 |Hội tụ theo phân phối| - 20 Chương II.|Mối liên hệ giữa các dạng hội tu| - 21

I.1 Mối liên hệ giữa hội tụ hầu chắc chắn và hôi tụ theo xác suấtt

21

H.2 |Mối quan hệ giữa hội tụ theo xác suất và hội tụ theo phân phối

25

I3 |Mỗi liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo xác suat| 30

11.4 |Mối liên hệ giữa hội tụ theo trung bình và hội tụ hầu chắc chắn

33

KẾT LUẬN .-.-. -<-ccccc<c<cccc<css

Tài liệu tham khảo

MO DAU Trong hoạt động thực tiễn của mình, con người bắt buộc phải tiếp xúc với các biến cố ngẫu nhiên không thể dự đoán trước được Một lĩnh vực của toán học có tên là : "Lí thuyết xác suất" đã ra đời nhằm nghiên cứu các quy luật

và các quy tắc tính toán các hiện tượng ngẫu nhiên

Ngày nay Lí thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học lớn, chiếm

vị trí quan trọng cả về lí thuyết lẫn ứng dụng Một mặt Lí thuyết xác suất là

một ngành toán học có tầm lí thuyết ở trình độ cao, mặt khác nó được ứng

dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật và cả khoa học xã hội và nhân văn Đặc biệt Lí thuyết xác suất gắn liền với khoa học thống kê, một khoa học về các phương pháp thu nhập, tổ chức và phân tích dữ liệu, thông tin định lượng

Khóa luận này sẽ trình bày một phần trong Lí thuyết xác suất : "Sự hội

tụ của dãy các biến ngẫu nhiên và mối liên hệ giữa chúng"

Khóa luận đươc trình bày theo bố cục:

Chương l1 : Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

Trong chương này đã trình bày các mục sau: Hội tụ hầu chắc chắn, Hội

tụ theo xác suất, Hội tụ theo trung bình, Hội tụ theo phân phối , các định nghĩa, định lí, các ví dụ về các dạng hội tụ

Chương 2 : Mối liên hệ giữa các dạng hội tụ

Trong chương thứ 2 đã trình bày mối liên hệ giữa các dạng hội tụ, các định lí, các ví dụ và các phản ví dụ về các mối liên hệ

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Minh Tước, thầy giáo Nguyễn Trung Dũng dã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ em trong quá trình viết khóa luận

Hà nội, tháng 05 năm 2013

Chương I

Sự hội tụ của dãy các biên

ngâu nhiên

II Một số kiến thức liên quan

I1.I Không gian ⁄,

Với p > 0, ki higu Y, = %,(Q, F ,P) là tợp hợp các b.n.n X (xác định trên (O,.Z,P)) sao cho E |X |Ï< œ Khi X € ⁄„,p > 0 ta kí hiệu:

Ta luôn giả thiết (O,.⁄, P) là không gian xác suất cơ bản, với P là đọ đo

di Giả sử {X„,n > 1} là dãy đại lượng ngẫu nhiên , xác định trên cùng một không gian xác suất (O.,.Z,P)

Ta kí hiệu {X„ —} là tập những @ sao cho đối với nó, dãy {X„(@)} hội tụ Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, ta có thể viết:

Giới hạn hầu chắc chắn (nếu tổn tại ) là duy nhất theo định nghĩa : nếu

X„ “Sx vax, 2S n thi P(X =n) =1

Vi du L1 Cho Q = (0,1], là ø đại số Borel của (0,1], P là độ đo Lebesgue thông thường của (0, 1] và với mỗi k € Ñ ta xác định k đại lượng ngẫu nhiên

k)

(6) ví () XI”

Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, X„ hội tụ hầu chắc chắn khi

và chỉ khi nó cơ bản với xác suất 1

Tức là biến cố sau đây có xác suất bằng 0

Hiển nhiên, điều này xảy ra khi và chỉ khi:

lim P{sup | X„ — X„ |> £} = 0,Ve >0

HỲ% m>n

Mệnh đề I.2.2 Các điểu kiện sau đây tương đương với nhau:

X, —> X Ménh đề I.2.3 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ hầu chắc chắn)

Dấy {X;} hội tụ hầu chắc chắn khi và chỉ khi dãy {X„} cơ bản theo nghĩa hấu chắc chắn

10

Chứng minh:

o[=] Gia sit x, “S x

Khi do, do:

sup | X_—X) |< sup | X;—X | +sup | X;—X |

và giả thiết suy ra dãy {X„} cơ bản hầu chắc chắn

e[—] Nếu {X;} cơ bản hầu chắc chắn thì với xác suất 1, các dãy {X„(@)}

cơ bản trong ïR, do đó hội tụ tới X(@) nào đó

Đặt

X(@) = X() tai @ ma gidi hạn tổn tại

0 tại @ mà giới hạn không tôn tại

b, Nếu dãy (A„) độc lập thì (Ä) cũng độc lập Do đó

bat dau tir s6 hang N(@)

Do đó tồn tại giới hạn hữu hạn

X(ø) = limX, = Xi(@)+ Y (Xp (@) — X;(@)) n=1

với mỗi @ ý limsupA„

1

13

L3 Hội tụ theo xác suất

Định nghia 1.3.1 Ta ndi rằng, đấy các đại lượng ngẫu nhiên {X„} hội tụ

u của các biến ngẫu nhiên Y,

Vi du 1.3 Cho Q = (0,1], là Ø đại số Borel của (0,1], P là độ đo Lebesgue thông thường của (0, 1] và với mỗi k € Ñ ta xác định k đại lượng ngẫu nhiên

Dinh li 1.3.1 Dấy {X„} hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi :

lim P{@ :| X;(@) — X„(@) |> £,} =0,Ve > 0,(1)

m,n— oo

14

Chứng minh:

e Điều kiện cần suy ra từ nhận xét:

{[X,—X» |>e}C {|X,—X I> S}U{[Xu—X |> 2}

e Để chứng minh điều kiện đủ, ta giả sử có (1) và chọn dãy {X¿} sao cho

EK 4 0 và

3£ <0

k Tiếp theo chọn n(k) sao cho : P{| X„ — X„ |> &} < &,Wa,m > n(k)

Ta đặt ny = max{n¿—i + L,n(R)},mị = n(T)

và

Ax = {| Xing —%X„ |> X;}

By, = U Ax k=n

Khi đó ta có P(C)=0 vì

= li <li <li (=

P(C) = fim P(Bs) < jim YY PAL) < fim 9 ek = 0

Mat khac, Vo ¢ C, SNw sao cho @ ¢ Byg, tic la @ € Al, Vk > No

Do đó

k+v-I

| Xn, (@) —Xn,(@) < ` | Xai —Xn, |

j=k k+v—l

< 3` £;|0,(k,y—>)

j=k

Vay Yo ¢ C,{Xn,(@)} là day (s6) Cauchy Ti d6 suy ra tổn tại đại lượng

ngẫu nhiên X (@) sao cho Xn, nee

Cuối cùng, từ nhận xét :

{[X,—X |>e}€ {[X,—Xø, > 2}U{|X„ X |> 2}

15

(Điều kiện 2 có nghĩa là : họ các độ đo tạ(A) = E | Xị | 1A liên tục tuyệt đối

đêu đối với P)

Từ đó và điều kiện 2, ta suy ra điều phải chứng minh

Định lí I.4.1 Gii sử {X„} C 41 Điều kiện cân và đủ để dãy này khả tích đều là : tồn tai ham G(t),t > 0, dương, tăng và lôi sao cho :

Suy ra rang, néu X,, —> X thi X, OX vA Xn tr, X,Vr € (0,p)

Vi du I.5 Giả sử Z„ là độc lập ngẫu nhiên rời rạc được xác định như sau:

P{Zy = 1} = —,P{Zy = 2} = 1——

Ta thay: E |Z, —2 |= (1—2)?+ + (2—2)?(1—4) = 4 + Okhin= ©

Vậy Z„ hội tụ tới hằng sô 2 theo nghĩa bình phương trung bình

Ví dụ L6 Cho X là một biến ngẫu nhiên có phân phối đêu trên |0, 1], nghĩa

là X ~ U[0, 1] và dãy các biến ngẫu nhiên {X}ƒ_ được định nghĩa là:

Từ các bất đẳng thức :

sup LÍ x,aP— | xaP\<é |X, —X |

Acad “A A

E|x,—X|<| [ (X-X)dP|+|j (X,—X)áP| {Xn SX} {Xn >X}

< sup | [ (X,—X)dP | Ac#Z “A

suy ra điều phải chứng minh

Định lí I.4.2 (Tiêu chuẩn Cauchy về hội tụ trung bình)

Giả sử {X„} € Z⁄,,p € (0,+œ) Điêu kiện cần và đủ để {X„} hội tụ trung bình cắp p đến X € Z, là :

lim E|X,—Xm |?=0, (3)

m,n—>œ

Chứng minh :

e Điều kiện cần suy ra từ bất đẳng thức Œ„

e Giả sử có (3), tức là Ve > 0,23; sao cho Vm,n > Nẹ :

£

E | Xn —Xm "< 36

19

1.5 Hội tụ theo phần phôi

Định nghĩa I.5.1 Nếu đấy các đại lượng ngẫu nhiên {X„} hội tụ theo phân phối đến X € Z\, nếu Fạ(x) —> F(x) tại các điểm liên tục của hàm F, kí

hiệu X„ —> X

20

Hội tụ theo „| Hội tụ theo

Hội tụ theo

trung bình

Hinh II.1:

H.I Mối liên hệ giữa hội tụ hầu chắc chắn va

hôi tụ theo xác suất

Định lí H.1.1 a, Nếu X„ ““S X thi X, 7+ X

b, Néu X, — X thì tôn tai day con {X„,} sao cho Xu, *°$ X

21

Chứng minh :

e Ý (a) là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề I.2 I

e Để chứng minh (b), ta giả sử X„ — > 0 và chọn 2 dãy số dương {€,}, {dn}

sao cho £„ | 0 và }"ổy < œ

Vi X,, + 0 nén ta chon được dãy {,} thỏa mãn điều kiện P{| Xn, |= &} <

e Lưu ý : X„ — > X thì không suy ra được X„ “$x

Ví dụ H1 Cho {X;} là đấy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phi

=1-li jim TT (| Xn |< €) P(|X, €

=1-lim 1—-)=1

tim TT ( n)

Điều đó có nghĩa dãy {X„} không hội tụ hầu chắc chắn

Mệnh dé IL1.1 Néu day {X,,} cơ bản theo xác suất thì có thể rút ra được một dãy con {X„,} hội tụ hâu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nào đó Chứng minh :

Ta chọn dãy l = nọ < mị < nạ < < nụ < bằng quy nạp như sau : Đặt no = 1 Gia st chon duce nx Khi đó tìm được 1,41 > ng sao cho :

Định lí I.1.2 Néu đấy biến ngẫu nhiên {X„,n > 1} là đơn điệu tăng (giảm)

và X„ -“> X khi n —> œ thiX, "SX khin

Chứng minh :

Không mắt tính tổng quát, ta có thể giả thiết X = 0,X„ > 0,X„ | và X„ yx

khi n —> œ

Giả sử {X„} không hội tụ hầu chắc chắn đến X

Điều đó có nghĩa là tồn tại € > 0 và tập A với P(A) > ổ > 0 sao cho

Theo giả thiết :

H.2 Mối quan hệ giữa hội tụ theo xác suất và

hội tụ theo phân phối

Định lí H.2.1 Néu đấy các đại lượng ngẫu nhiên {X,}; X xác định trên cùng một không gian xác suất và Xạ yx thi xX, => X

e Chú ý : Mệnh đề ngược lại nói chung không đúng

Ví dụ H.2 Giả sử Z là độc lập ngẫu nhiên rời rạc xác định bỏi:

Do đó

limP{Z, = 1} = P{Z = 1}

limP{Z„ = —1} = P{Z = —1}

Như vậy dãy Z„ hội tụ tới Z theo phân phối

Tuy nhiên Z„ không hội tụ tới Z theo xác suất Qủa vậy với n = 2m + l:

b, Giả sử Z là độc lập ngẫu nhiên hằng só P{Z = c} = 1

Khi đó nếu Z„ hội tụ theo phân phối tới Z thì Z„ hội tụ theo xác suất tới Z Giải:

a, Gọi c là một giá trị bắt kì trong tập giá trị của Z và e > 0 là số dương đủ nhỏ sao cho khoảng (c— £,c + £) không chứa giá trị nào của Z Kí hiệu

Cho n —> s, về phải tiến tới 0 do đó về trái tiến tới 0

Ỏ ví dụ II.2 dã cho thấy điều ngược lại không đúng

b, Ta có với mọi £ > 0:

P{|Z, —Z|>e€} = P{|Z,-c|>e} =

27

Định lí H.2.3 G¡ả sử {X„,n > 1} là các biến ngẫu nhiên Nếu e là một hằng

Xác suất cuối cùng đến 0 theo giả thiết

Cho 6 — 0 và sử dụng ( ) ta có điề phải chứng minh

Định lí H.2.5 Giá sử rằng {X„„,X„,Ÿ„,X,n > 1,u > 1} là các biến ngẫu nhiên Như vậy mà cho mỗi n,Ÿ„,X„„,u > 1 được xác định trên một miễn chung

Giả sử cho mỗi u, với n —> œ

Xun => Xu

vdi —ỳ œ

Giả sử thêm rằng cho tắt cả e > 0

lim lim sup P[| Xun — Yn |> €] = 0

UFO NF 5 oo

Sau đó ta co Y, => X voin >

Chitng minh:

Đối với bất kì giới hạn, chức năng thống nhất liên tục ƒ, chúng ta phải thấy

lim Eƒ(f,) = Eƒ(X)

noo

29

Không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử

sup | f(x) |<1

xe

Bây giờ viết

|Ef(%n)-ES(X)|SE | fUn)—f (Xun) | +E | f (Xun) — f(Xu) | +E | f(Xu) — F(X) |

dé

lim sup | Ef (Yn) —Ef(X) |S lim lim sup E | ƒ(f,) = f(Xun) | +0+0

< lim lim sup UF 00 NF 5 65 E | f(Yn) — f(Xun) | Upy, —xynl<el

+ lim lim sup E | f(¥n) — f(Xun) | Lily, —Xun|>el Hi? S HT? ® n— ý co

<swp{| ƒ(đ) = #0) l:|x— y |Š £} + lim lim sup Pl] Yn — Xun |> €] i

FON ps 60 +0

với £ + 0

Ta có điều phải chứng minh

H.3 Mối liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ

theo xác suất

Dinh Ii 11.3.1 Gid sit {X,} C Li va X C Lo Khi đó, hai điều kiện sau

tương đương với nhau

J |x, |aP< | |X, —X |dP+ |X |dP

Từ diều kiện (2) và từ Mệnh đề I.4.2 ta suy ra {X„} khả tích đều

a, Nếu X„ -F; xX thi theo Định lí II.1.1, tồn tại dãy con {X,

chắn đến X Theo bổ đề Fatou : ›„ } hội tụ hầu chắc

E|X \?=E(lim|X,, |?) < limE | Xn, |< supE | Xn, |? < ©

k

31

Từ bất đẳng thite: E | X, —X |? I, < 2?(E |X, |I4 +E |X |? Ia)

và giả thiết trong a, suy ra (| X„ —X |?) kha tích đều

Mặt khác, do X„ — + X nên với moi € > 0,P[|X„ — X |> e] — 0

do đó tìm được ?ọ sao cho:

E(|X,—X | Ï\x,_xỊsej) < £,Vn > nọ Khi đó : (| X„ — X |”) = E(X¿ =X |Ÿ y,_xị<z|) +

Với e > 0 bat ki, ta tim dude no sao cho E | X, —X |?< £ với n > nọ

Tập hữu han các biến ngẫu nhién | X |”,| X1 |”, ,| Xn |? kha tich déu, ton tai 6 > 0 sao cho khiA € ¥ va P(A) < 6 tacé:

E([X |Ÿ14) < e, sup E | X; |” lẠ < £

k<ng

Khi đó

E|Xz|fU < 2f(E |X;—X |ŸU+E |X |ŸU) < 2?†!z

với mọi n = I, 2, Vậy {| X, |Ÿ} khả tích đều

Theo bat dang thite Markov, Ve > 0

.ElX.-XỊ

khi n —> œ

Cho nên X„ yx

e Hệ quả : Nếu X„ yx va {X„} bị chặn đều với xác suất 1 tức là