Một số mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma

Nguyễn Văn Hào khóa luận tốt nghiệp “Một số mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma” được hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùng với bất kỳ khóa

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2

TRẦN THỊ PHƯƠNG

MỘT SỐ MỐI LIÊN QUAN GIỮA

BIÊN ĐỐI LAPLACE VỚI HÀM GAMMA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng din khoa hoc TS NGUYEN VAN HAO

Hà Nội - 2013

LOI CAM ON

Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy cô trong khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học tập, thực hiện đề tài và nghiên cứu khoa học

Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót nhất định Tác giả xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên để luận văn hoàn thành như hiện nay

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Tác giả

Trần Thị Phương

LOI CAM DOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào khóa luận tốt nghiệp “Một số mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma” được hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thân tác giả và không trùng với bất kỳ khóa luận nào khác

Trong quá trình làm khóa luận tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự tôn trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Tác giả

Trần Thị Phương

Mục lục

Mở đầu| - SH ng 1 Chương 1.|Kiến thức chuẩn bị|L - 3

1.1.|Số phức và mặt phẳng phức| 3

1.2.|Hàm chỉnh hình| 5

1.3.|Lý thuyết tích phân phức| 8

Chương 2.|Biến đổi Laplacel - 11

2.1.|Định nghĩa và ví dụ| - 11

2.2./Tinh chat cơ bản của biến đổi Laplacel 18

2.3.|Biến đổi Laplace ngược| 20

2.3.1.|Một số khái niệm| c2 222cc cà 20 2.3.2.|Một số phương pháp tìm hàm gốc| 21

2.4.|Tích chập của biến đổi Laplacel 25

2.4.1.|Định nghĩa và ví dụ| cc c2 c2 c2 cài 25 2.4.2.|Ảnh của tích chập qua biến đổi Laplacel 26

Chương 3.|Một số mắi liên quan giữa biến đổi Laplace véi ham Gamma

3.2.1.|Biến đổi Laplace của một số hàm nhận được qua hàm Gamma| 35

3.2.2.|Mối liên quan của hàm gamma với biến đổi Laplace về chuỗi.| 37 Kết luận| - cccc cv 41

Tai liệu tham khảo| - - - - << << << «<< 42

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier là hai biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong việc giải các bài toán trong lĩnh vực vật lý Qua biến đổi Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các phép toán đại số (giống như cách mà hàm logarit chuyển một phép toán nhân các số thành phép cộng các logarit của chúng)

Ham Gamma là một hàm có nhiều tính chất đắc biệt đem lại nhiều ứng dụng trong các nghành khoa học khác nhau Qua tiếp cận với lý thuyết biến đổi Laplace và hàm Gamma, được sự định hướng của người hướng dẫn tôi

đã chọn đề tài “Một số mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Khóa luận được cấu trúc thành 3 chương

Chương 1 Chúng tôi trình bày một số kiến thức căn bản nhất về lý thuyết hàm biến phức, cần thiết cho mục đích nghiên cứu về biến đổi Laplace

và nghiên cứu mối quan hệ của phép biến đổi này với hàm Gamma

Chương 2 Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống về khái niệm biến đổi Laplace, các tính chất cơ bản của phép biến đổi này cùng một số phép toán giải tích liên quan đến biến đổi này

Chương 3 Đây là phần chính của khóa luận, ở đây chúng tôi trình bày

lý thuyết về hàm Gamma và mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma, cụ thể là biến đổi Laplace của một số hàm nhận được qua hàm Gamma và mối liên qua của hàm Gamma với biến đổi Laplace của chuỗi

2 Mục đích, đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu

về mối liên quan giữa biến đổi Laplace với hàm Gamma

3 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

4 Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày một cách hệ thống về phép

biến đổi Laplace, hàm Gamma và mối liên quan giữa chúng.

Chuong 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Số phức và mặt phẳng phức

Số phức là số có dạng z = x+ iy; với x,y € R và ¡ là đơn vị ảo ma? = —1

Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, được ký hiệu lần lượt bởi

Số phức liên hợp của số phức z = x+ iy được ký hiệu là š = x— iy Khong

khó khăn ta kiểm tra được

e'® = cos8 + isin9

Bởi vì |e'#| = 1 nên r = |z| và Ø là góc hợp bởi chiều dương của truc Ox va nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuối cùng ta lưu ý rang néu z= re’ va w = s.e'9 thi

z.0 =r.s.ef(9+9),

1.2 Ham chinh hinh

Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm ƒ(z) xác định trên miễn D Cho z một số gia Az sao cho z+ Az € D Néu tén tại giới hạn

- im Œ† A2) - ƒ)

f(z) Az0 Az , thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm phức của hàm f(z) tại điểm z và ký hiệu

Ví dụ 1.2.1 Hiển nhiên z' = 1 va theo quy nạp ta có ngay (z")“ = n.z"~! Từ

đó, nếu

ƒ(£) = aoz" +aiz"~Í + +an— 15+ ấn

thì

#2) = m.ao.c"~! + (n= 1).ai." ”+ +an—1

Định nghĩa 1.2.2 Hàm ƒ(z) được gọi là chỉnh hình tai zo € Ð nếu tôn t ai s6 r > 0 sao cho f(z) là C- khả vi tại mọi z € Š(zo,r) Nếu hàm f(z) chỉnh hinh tai moi z € D thì nó được gọi là chỉnh hình trên 7D

Vi du 1.2.2 Ham — chỉnh hình trên tập mở bât kỳ trong C không gian chứa

z

giới hạn trên không tổn tại

Định lý 1.2.1 Gi¿ sử chuỗi ` cạ.z" có bán kính hội tụ là R > 0 Khi đó

f (Zo + Az) — f (Zo)

Để hoàn thành chứng minh ta chứng minh rằng Jim, 5(z9,Az) = 0

cœ

» on (Zo, Az) n=N

Định nghĩa 1.3.1 Cho hàm ƒ(z) xác định trên đường tròn trơn từng khúc 7

Chia ÿ thành ø phần nhỏ bởi các điểm chia Tịo.Ti ,?]„ (7Ịo là điểm đầu và

Tị„, là điểm cuối của đường cong) Chọn tùy ý điểm rÿ và lập tổng

n—]

Nếu khi ø > co ma max |7],41 — 7,| > 0 tồn tại giới hạn của tổng không phụ thuộc vào cách chia cung y thành các cung nhỏ và cách chọn các điểm 7; thi giới hạn đó được gọi là tích phân của hàm ƒ(z) trên cung 7 và ký hiệu

n—]

n—]

= Ð Ir(n?)-Aw — v(n).Ay]+i [a(n;)-Aw +v(n7).Ax] 3) v=0 v=0

Trong d6 7* = (x*,y*) Phan thuc va phan 4o cia là tổng của hai tích phân đường loại hai

J udx — vảy và ƒ uảy + vdx

5 Nếu z = 0(7J) là hàm giải tích ánh xạ 1-1 đường cong 7 lên đường cong Y= @(T) thì

Dac biét, néu z = z(t),t € [a,b| là phương trình của đường cong y = (7) thi

| T24: = s(B) — g(A);B = z(b),A = sa) (1.4)

Từ công thức ta thấy ø là hàm đơn trị và là đường cong đóng thì

I f(z).dz = g(B) — gÍA)

10

Chuong 2

Biến đổi Laplace

2.1 Dinh nghia va vi du

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử ƒ là hàm biến thục hoặc phức của biến 7 > 0 và s

là tham số thực hoặc phức Biến đổi Laplace của hàm ƒ được xác định và ký

Ký hiệu £(f) duoc sit dung cho bién déi Laplace cia hàm ƒ, và tích phân trên là tích phân Riemann thông thường với cận vô tận Hàm Ƒ(s) được gọi

là hàm ảnh của biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace được gọi là thực hay phức nếu biến số s của hàm ảnh Ƒ(s) là thực hay phức

Tham số s thuộc một miền nào đó trên đường thẳng thực hoặc trong mặt phẳng phức Chúng ta sẽ chọn s thích hợp sao cho tích phân hội tụ Trong toán học cũng như trong kỹ thuật, miền của biến s đóng một vai trò hết sức quan trọng Tuy nhiên, trong một trường hợp đặc biệt, khi các phương trình vi phân giải được, miền của tham số s thường không cần xét đến Khi biến s là phức ta thường sử dụng ký hiệu s = x+ iy Ký hiệu £ là biến đổi Laplace, nó tác động lên hàm f = f(t) va sinh ra mét ham mdi theo bién s 1a ham F(s) = £(f(t))

Ví dụ 2.1.1 Nếu ƒ(?) = 1 với mọi £ > 0, thì

Nếu s là biến phức với Re(s) > 0 thì bằng tính toán tương tự ta cũng có

#8(1)= =: Thật vậy, để có thể kiểm tra tính toán trên đây, ta cần đến công thức Euler

® — cos@ +isin@,@ ER (2.4)

e

12

Dĩ nhiên, ta có |e! = 1 Chúng ta cần chứng tỏ (có thể bỏ qua đi dấu trừ cũng như những cận lấy tích phân để đơn giản hóa sự tính toán)

St

J dt, s (2.5)

với số phức tùy ý s = x+ iy khác 0 Để thấy điều này, theo công thức Euler chúng ta có nhận xét rằng

fetdt = feOt"dt = fe cosytdt +if e“ sìn yrdt

Tích phân từng phần đối với hai tích phân trên ta được

xt

J edt = =— [(xcosyt + ysinyt) + i(xsinyt — ycosyr)]

x+y

Ta biểu diễn về phải của {2.5} như sau

et et)" (cosyt + isinyt) (x — iy)

et

“mày [(xcosyt + ysinyt) +i(xsinyt —ycosyr)]

x+y Như vay đẳng thức được chứng minh Thêm nữa, chúng ta cũng thu được đẳng thức với tham số phức s nếu lấyRe(s) = x > 0 Bởi vì

lim |e~**| = lim e** |e~®*| = lim e*7 = 0

Sử dụng tính chất tuyến tính của phép biến đổi Laplace £ va cdc tich phan

là toán tử tuyến tính, ta suy ra

i@t —iot i@t —i@f

feral”) =*( re ) = L(cos ar)

Do đó

£ (cos @œr) t)=x ;ÍCn†mm) =——o- sz+@2 (2.6) 2.6 Hoàn toàn tương tự

#Ø(sin@f) = — (sin or) (5 ca) — =—=——¬(R + ap Rels) > 9) 0) C7) 2.7 Định nghĩa 2.1.2 Một hàm ƒ được gọi là gián đoạn nhảy (gián đoạn loại một) tại điểm 7o nếu tôn tại và hữu hạn cả hai giới hạn

có điểm gián đoạn nhảy tại ? = 0 và nó liên tục tại các điểm còn lại

Định nghĩa 2.1.3 Một hàm ƒ được gọi là liên tục từng khúc trên đoạn |0, ) nếu thỏa mãn các điều kiện dưới đây

14

(i) Tén tại giới hạn lim = f(0*);

If()| < Mi:

với mỗi ¡ = 1,2, ,n— 1 và với mọi t € [1¡, 1;+1]

Định nghĩa 2.1.4 Một hàm ƒ có bậc mũ ơ nếu tồn tại hằng số M > 0 và một

số œ sao cho

[f(t)| < Me; vdi mot s6 t > to

Rõ rang hàm mũ ƒ(/) = e““ có bậc mũ œ = a, trong khi f(t) = 1" c6 bac mũ

œ với mọi œ > 0 và mọi n € Ñ Các hàm bị chặn sinf,cosứ và tan” Ì; có bậc

mũ 0 trong khi đó e—“ có bậc mũ —I Tuy nhiên, hàm e7 không có bậc mũ

Lưu ý rằng nếu > œ thì bậc mũ œ kéo theo bac mii B vi e* < e với mọi

t > 0 Bay gid ching ta sẽ chỉ ra một lớp lớn các hàm mà đối với chúng tồn tại biến đổi Laplace

Định lý 2.1.1 Néu ƒ liên tục từng khúc trên đoạn |0,s) và có bậc mũ Œ thì biến đổi Laplace tôn tại và hội tụ tuyệt đối với Re(s) > @

Chứng minh Trước hết ta có

|ƒ()| < Mie#!; với một số ? > íạ và một số thực œ

Hơn nữa, hàm ƒ liên tục từng khúc trên đoạn [0,/o| do đó bị chặn trên đoạn

đó Khi đó tồn tại số dương Mạ sao cho

|f (t)| < Ma; với mọi r € [0,io]

Bởi vì hàm e# có một cực tiểu dương trên đoạn [0,/o], nên ta có thể chọn được một hằng số đương đủ lớn M sao cho

|ƒŒ)| < M.e”“; với mọi > 0

Do đó, tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối với Re(s) > ơ

Ví dụ 2.1.5 Xét hàm ƒ(/) = e*', với œ là số thực Đó là hàm liên tục trên

Chúng ta ký hiệu lớp £ 1a tap hdp các hàm nhận giá trị thực hoặc phức xác

định trên khoảng (0,) mà biến đổi Laplace tổn tại với giá trị nào đó của s

Ta cũng thấy rằng khi F(s) = #(ƒŒ)) tồn tại với một giá trị nào đó sọ thì

nó cũng sẽ tồn tại với mọi giá trị s mà Re(s) > Re(so) Theo định lý (2.1.1) các hàm liên tục từng khúc trên (0,s) có bậc mũ thuộc lớp © Tuy nhiên có những hàm thuộc lớp # không thỏa mãn một hoặc cả hai điều kiện này Các

ví dụ dưới đây cho ta thấy điều đó

Ví dụ 2.1.7 Xét hàm ƒ(/) = 2/e” cos(e'”) Ta thấy hàm này liên tục trên

(0,) nhưng không có bậc mũ Tuy nhiên biến đổi Laplace của nó

®(ƒ0))= [2te` cos (2) dt,

0

tồn tại vì bằng phương pháp tích phân từng phần ta suy ra

°°

L£(f(t)) = e “sin (2) |; ¬ sin (2) dt

0

= —sin(1)+ 5 Lsin (()) ,viRe(s) > 0

Biến đổi Laplace cuối cùng tồn tại bởi định lý (2.1.1) Do đó, chúng ta có

một hàm liên tục không có bậc mũ nhưng vẫn có một biến đổi Laplace

Giả sử ƒ¡ € 8 với Re(S) > œ và ƒ› € © với Re(s) > B

Khi d6 c) fi +2 fo € 8 với Re(s) > max{ơ,} và

Lei fi teof2) =a£(fi) +al(f) (2.11) với các hằng số tùy ý c¡ và cs

Chứng minh Tính chất này của biến đổi Laplace được suy ra từ định nghĩa

và tính chất tuyến tính của tích phân

18

Le fito2fr) = fe" (cifi + ¢2fr)dt

2.3 Bién déi Laplace ngược

2.3.1 Một số khái niệm

Để có thể áp dụng biến đổi Laplace tới các bài toán Vật lý cũng như việc giải

các phương trình vi phân, chúng ta cần đến phép biến đổi Laplace ngược Nếu £(f(t)) = F(s) thì biến đổi Laplace ngược được xác định bởi

£(() = ss

Bởi vì sự thay đổi một hàm tại một điểm (thậm chí tại hữu hạn điểm) không làm thay đổi giá trị của tích phân Ví dụ này minh họa rằng 6~! (F(s)) có thể có nhiều hơn một hàm, thậm chí nhiều vô hạn, ít nhất là khi ta xét các hàm không liên tục

Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra những điều kiện để một hàm nào đó là

20

ham ảnh, nghĩa là tồn tại hàm gốc của nó Đồng thời, ta cũng chỉ ra rằng nếu hàm gốc tôn tại là duy nhất

Định lý 2.3.1 Các hàm xác định liên tục trên |0,) có biến đổi Laplace

ngược hoàn toàn xác định

Kết quả này có nghĩa là nếu chúng ta hạn chế việc đề cập tới các hàm liên tục trên [0,œ), thì biến đổi ngược

là xác định duy nhất Khi đó chúng ta có thể viết