Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trong các không gian định chuẩn Rn, ℓ p (p≥1), C0

Lời nói đầu Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa đầu thế kỷ XX, hiện nay đã được xem là ngành toán học trọng điển.. Trong quá trình phát triển từ đó đến nay,

Lời cảm ơn Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi bước đầu tập dượt nghiên

cứu đề tài khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô giáo và các bạn trong khoa

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS TS

GVCC Nguyễn Phụ Hy người đã trực tiếp hưỡng dẫn chỉ bảo tận tình để em

cé thể hoàn thành bản khoá luận này

Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tố giải tích, ban chủ nhiệm khoa Toán — Trường ĐHSP Hà Nội2, các cô chú trong

thư viện nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi để em có cơ hội để hoàn thành

công việc của mình

Ngày thang 5 năm 2007

Sinh viên

Nguyễn Thị Khanh Ly

Lời nói đầu

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa đầu thế kỷ XX, hiện nay đã được xem là ngành toán học trọng điển Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng

một số khái niệm và kết quá của giải tích, đại số, phương trình vi phân

Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, giải tích hàm đã tích luỹ được một nội dung hết sức phong phú, bao gồm:

- Lý thuyết các không gian trừu tượng ( không gian metric, không gian định chuẩn, không gian tôpô và toán tử tôpô)

- Lý thuyết và toán tử tuyến tính

- Lý thuyết các bài toán cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần đúng phương trình toán tử

- Lý thuyết nội suy toán tử, giải tích hàm ngẫu nhiên

Những phương pháp, kết quả rất mẫu mực và tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và có sử dụng đến những công cụ giải thích và không gian vec tơ Ngoài ra nó còn ứng đụng trong vật lý lý thuyết và trong một số lĩnh vực kỹ thuật

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này

và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài:“ Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trong các không gian định chuẩn ¡ ",I(p° 1),c¿” Nghiên cứu đề tài này em có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về

không gian vô hạn chiều mà cụ thé ở đây là không gian ; °,1,(p? 1),c;.Từ đó

có thêm kiến thức về các van dé cua giải tích,sự khác nhau của chúng trên các không gian khác nhau, xét ở khía cạnh khác nhau

Nội dung của khoá luận gồm 3 chương:

Chương 1: Dạng tống quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn ; "

Chương 2: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn 1,(p? 1)

Chương 3: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn cụ

Do thời gian nghiên cứu và năng lực có hạn nên một số vấn đề đặt ra trong khoá luận còn chưa được giải quyết triệt để Em rất mong được sự giúp

đỡ và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn đề khoá luận này được hoàn thiện hơn

Ngày thang 5 nam 2007

Sinh vién

Nguyén Thi Khanh Ly

Chương 1: Dạng tống quát của phiến hàm tuyến tính liên tục

trên khôn gian ¡ "? 0)

1.1 Không gian tuyến tính ; ”

Cho tập hợp ¡ “= {x= (Xị, X¿, Xa)Xị Ï ¡ ,= 1n}

Với 2 phần tử tuỳ ý x = (xj)¡=I Ì ¡ ",y=G)t,Ÿ¡” và aI P(P=¡ hoặc

C).Ta định nghĩa hai phép toán như sau:

Ta gọi tổng của 2 phần tử x và y và kí hiệu là x + y là phần tử

aXiÌÏ¡ i=in bP ax=(ax) 0,17"

Vậy ¡ "đóng kín với 2 phép toán cộng và nhân xác định ở trên

IL "x= (x), "Y= (yi, Ì ¡"ta có:

"

Xit yi=VitX, "1=1n P x+y=y +x ( tiên đề 1 thoả mãn)

2 "X= (%)L "Y= (Ve Z=@ie, bi", tạ có:

(X} +yi)+Zi= Xj + (y¡+Z¡), 1= ln

b (xty)tz=x+(y tz) (Tiên dé 2 thoả mãn)

3 Xét phần tử =(0,0, ,0)Ï ¡ ", "x=(x),Ï ¡", ta có:

0 +X; = Xj "J=l,n

4 "x =(X), Xo, Xn) 1", ton tai phần tử — x = (-Xị,- Xạ - X) Ì ¡ "

a(bx;) =(a b)x;, "i= 1,n

6."x=(X)j;Ï¡","a,bÌ¡ ,ta có:

(a+b)xX= ax;+bx;, "= In

7."x=(ŒX)p¡Ï¡","Yy=(y) p¡Ì¡","a,bÏ¡ ,ta có:

a (Xị† Vị) = aXị + bxị "1= ln

8." x=(x) 2,1)", taluéncé:

1.x; =x,;(1ladonvicta; ),"i=1n

Vậy ¡ "là một không gian tuyến tính thực với hai phép toán cộng và

a’b ’=1U0 at=b’ U a’= 5!

Bồ đề 1.1.2 ( Bat dang thire Holder)

Nếu p,q là cặp số mũ liên hợp ( tức i,t D,l£ p<+#

q

1 és

p Op &,"

Vay 4 a soil lxÍs a ly\"= 4

Bé dé 1.1.3.( Bat dang thire Mincovxki)

a Công thức 1) cho ta một chuẩn trên ¡ "

Kiểm tra 3 tiên đề về chuẩn

oa (x, + y)Ÿ £ fa x we

xt yl] £ [xl + [ll "x

U

Vậy ¡ "cùng với chuẩn 1) là không gian định chuẩn

b Công thức 2) xác định một chuẩn trên ¡ "

Kiểm tra các tiên đề về chuẩn

lx+y| £ |x|*+|ly| <"i=1n

b Ix, t+ y,|£ max|x,|+ max |y,|," I=ljn

|+ maxly|Ti= ba

b [x+ sh £ |x|, tly "sy Ti"

Vậy ¡ " cùng với chuẩn 2)là một không gian định chuẩn

c Công thức 3) cho ta một chuẩn trên ¡ ", thật vậy:

3 "x=(@ bi" "y=Q0 bi"

dp dung bat đẳng thức Mincovski ta có

gà x,t y,'= £ ka |x, P= + fa ly,[=."p>1

Ú |xry| £ Meh, + [| 'x.yÌ¡"

Vậy (¡ ?, ll,) là một không gian định chuẩn

1.2 Không gian Banach ¡ ”

Giả sử trên không gian tuyến tính ¡ “cho một chuẩn nào đó, kí hiệu lÍ, Định lý: 1.2.1

Không gian định chuẩn ¡ ” là một không gian Banach

Ching minh:

Theo định lý “ Mọi không gian định chuẩn n chiều đều đồng phôi

tuyến tính” nên chỉ cần chứng minh tính Banach của ¡ "theo một chuẩn

(chang hạn | |,) Từ đó suy ra tính Banach của ¡ ” theo các chuẩn còn lại Gia str: (x)*_, 14 mét day co ban bat ky trong ¡ ” với

Suy ra với mỗi i cố dinh (i= in), day (x“)*_,1a mot day số cơ bản, do

Nghĩa là dãy ((x®'ÿ_ hội tụ tới x' 1 ¡ ”

Vậy không gian định chuẩn ¡ ” là một không gian Banach

1.3 Dạng tống quát của phiến hàm tuyến tính liên tục xác định trên không gian ; "

¡"={x=(Xị,X¿ Xa)/XII ¡ ;nI Y `}

Giả sử: trên ¡ ” đã xác định một chuẩn nào đó kí hiệu |

Goi e = (d, )”; ~ ¡, trong đó:

d¡= Inêu1' j,d, =0 nêu i=j;"i= 1,n

là cơ sở của không gian ¡ "

Với "x=(xj)}h, I1 ¡" đều có hiểu diễn duy nhất đưới dạng

Dé dang thay f là một phiến hàm tuyến tính trên ¡ ", hơn nữa f liên tục Thật vậy

Mặt khác chọn Xo = (sign (f);_, ij"

b |xạ|,=1 và fF =/a Gian ä lị

Suy ra ||fl|= sup|f(x)| > |f(x.)|= a |§|

@n Gp

a if =

lf (x)|= a fox? = a li siend,\, = —isl

i=l i=l ° f = ữ we ‘oO f= &

Chương 2: Không gian Ip (p° 1)

2.1.2 Khéng gian tuyén tinh | >» PD

V6i 2 phan tir uy y x= (x,)_,11,, y=(y, R11, vaa fj

ta định nghĩa các phép toán như sau:

Ta gọi tổng của 2 phân tử x và y, kí hiệu x + y là phần tử

x, + y,|£ |x,|*+ |y,| Ù |x„+ y„| £ (x,|+ |y,| "nl ¥" CD

Mặt khác

Ix, + |y,|£ 2 max {|x,|:|y„|}

b (x,|+ ly, | £ 2° gnax {|x,|:|y, 8 "ni ¥*

Do đó, " kI #” tacó

& |x, + Yo] £ A W(x! + [yal = Ea Ml + A yal E

t7 x, +q y, |=; "kI ¥

Cho k ® ¥ ta duoc

a |x, ty,| £2? fa x,| + ly,| <+¥ n=1

Suy rax+y =(Xn+Yn) 6, i 1,

+ "x=(x)_,1] ," a I j tac

a làx,| £ ä la lx,Ì=ä |x,Ï=[ã Ix,Ƒ£ aFä x),

"kĨY#

Cho k ® ¥ ta dugc

Pp

4 ax,| £ lal? |x,] <+¥ BP ax=(ax,)L, 11,

Vậy I ; đóng kín với 2 phép toán cộng và nhân xác định ở trên

Định lý 2.1.2

I p cùng với 2 phép cộng và nhân xác định ở trên lập thành một không gian tuyến tính

Chứng minh:

Ta chỉ ra 2 phép cộng và nhân xác định ở trên thoả mãn 8 tiên đề của không gian tuyến tính

1 "x=(%) 5), y=(yn) 6, I 1, tacd

Xn + Yn = Xn + Yop "n= 1,2 v.v

b a(bx) =(a b)x (tiên đề 7 thoả mãn)

8 "x=(x,) *_,I Ip, tacd

"x=(x,) 2, I 1p "y= (Qn) 1 1), tacd

ánh xạ || |: 1, ®j

1

p&

X=(Xn) 1, a Isl fA X, ạ Thoả mãn các tiên đề về chuẩn

Vay anh xa | | xac dinh chuan trén 1 ,

2.1.4 Khong gian Banach |, (1£ p< +¥ )

Dinh ly 3.1.4

Ip là không gian Banach

Chứng mỉnh

Gia st x=, )E, I 1, n= 1/2 là 1 dãy cơ bản bất kỳ trong 1p, Ta ching x hội tụ trong | ,

Thật vậy theo định nghĩa dãy cơ bản, ta có

1

œ* ° (n) (m)|PS Š " 3 hay a Ix - XI z <2 nm3 nạ (1)

Trong ( 1) với mỗi số k cố định, ta có

(n) (m)

Ix; ~ X& <e "m,n? ny

Vậy với mỗi k cố định, day (x,“”) i 1a 1 day cosi trong ; Theo tiéu chuẩn cosi về sự hội tụ của dãy SỐ, Suy ra tồn tại

X= lim x, k= 1,2

Cho k chay tir 1 ® *_ ta thu được dãy số x = (Xu) }_,

Bây giờ ta phải chứng minh x I1, và lim |x '- x||= 0

Ta thấy, rõ ràng với mdi n? no phan tử x — x = (x x Ý_ là 1 phần

tử của không gian I „ Do đó x =x + (x-x™)I 1,

2.2.2 Không gian tuyến tính thwe | ¥

Dinh nghia cac phép toan

Voi 2 phan ti tuy yx =(x,)=_, I 1y y=, I ly vaad j

ta định nghĩa các phép toán như sau:

Gọi tổng của 2 phần tử x và y, kí hiệu và x + y là phần tử

xty=(%,+ Yn) soy

Gọi tích của 2 phần tử x va a , kí hiệu là a x là phần tử

a x=(A Xa) ©,

Định lý 2.2.1

ly đóng kín với 2 phép toán cộng và nhân

Ching minh:

"X= Omer "Y= (On) pel ly

x, + y,|£ X„|T Yn £ sup|x,|+ sup|y„|< +¥ xX,

P sup |x, + Yn <+¥ pxty=(%+yne,1 ly

ax|= lallx,| £ ja|suplx,| <+¥ "ni ¥ n

2 "x= (x) "Y= (Yn) ),2= (tn) 3,1 1, tacd

5 "x=Œa)j.¡LÏ ly, "y= (yi, 1 1, tacd

a (Xntyn) = a Xn t+ a Yn "n= 1,2

b a(x+y)=ax+ay (Tiên đề 5 thoả mãn)

Vay 1, là không gian tuyến tính thực

2.2.3 Không gian định chuẩn l,

Định lý 2.2.3

Cho không gian tuyến tính thực 1 „ ,ta đưa vào l„ chuẩn của phần tử x,

ký hiệu |x , xác định như sau:

|x| = sup ||xn|} (2.2.2) Khi do, 1, cng voi chuẩn xác định bởi (2.2.2) lập thành một không gian định chuẩn

- Tiéndé2:"x=(x,)%,, I ly , "a fq tacé

la x| = sup lax, = sup (la | X;|)= la | sup |X, |= la | Ix|

b Tiên đề 2 thoả mãn

- Tiên dé 3:"x=(x,)*_,, y= (Ya) 1,1 ly tacó

|x + vị =lx,+y„| ()

x,t y,/£ \x,,| + |y,|£ sup |x„| + sup |y„| "n= L2

B sup |x, + y,|£ sup |x,| +sup |y,] = Ix|+| | (2)

Từ (1) và (2) suy ra |x+ y|£ |x|} + | y |

b Tiên dé 3 thoả mãn

Vậy công thức (*) xác định một chuẩn trên 1 y -Do do 1, 1a một không

gian định chuân xác định bởi công thức (*)

2.2.4 Không gian Banach | ,

Định lý 2.2.4

1y là một không gian Banach

Ching minh

Lay 1 day co ban tay yx =(x)") (n= 1,2.) T ly

Theo dinh nghia day co ban

("e< 0), ($n, i ¥*),("m,n? nạ) fa có |x” + y| <e

(n) xe)

hay sup |x; <e "mn? ny (1)

Rõ ràng trong (1) voi k cé dinh( k = 1,2 )

Ixy - x,” | <e"mn?n, (2)

Suy ra dãy số (x1) n-¡ là một dãy cơ bản trong ¡ ,k= l,2

Theo tiêu chuẩn cauchy về sự hội tụ của dãy số suy ra

$ x, = lim x” n®¥ (k= 1,2 ) Cho k chạy từ I đến * ta được dãy số x = (Xy)}_,

Vi vay day co ban (x) * J 1, hội tụ trong ly tới xI ly nên ly

là không gian Banach

2.3 Phiến hàm tuyến tính liên tục tác động trong l p

2.3.1 Trwong hop p> 1

* Biéu dién cia 1 phan tir bat ky trong 1, (p? 1)

Trong không gian | ,, ky kigu:

e” = (d,,)_,, trong dé:d,, = 1 néu n=k;d,,=0 néun! k,n=l,2

Khi đó, "x= (x,);_,Ï 1, ta có biểu diễn duy nhất

Vậy ta có biểu diễn ( *)

+ Ta chứng minh biểu diễn ( *) là duy nhất

Giá sử " xÏ Ip có 2 cách biểu diễn:

x= 4 a,e=4 be” voi(a,)I Ip.(by) I 1, n

Vậy biểu dién (*) là duy nhất

Định lý 2.3.1

Với p> I, không gian (Ï p }( gồm tất cả các phiến hàm tuyến tính, liên tục xác định trên không gian lp) đẳng cấu tuyến tính với không gian I p-

1 Trong đó số q thoả mãn điều kiện: 1 +—=I

Pq Chứng minh:

Với mỗi phần tử u = (u,);_, Ì 1„, ta xác định phiến hàm f, trên không

l p như sau:

*

Nếu x=(x/)}_, Ì 1, thìf@&)= ä u,x, €9)

n=l

Khi đó, ta chứng minh được f, là phiến hàm tuyến tính liên tục trén 1 ,

+)Chuỗi ở về phải của (*) hội tụ:

"x=(Œ)j ¡II >> ap dung bất đẳng thức Holder ta có:

¬¬ nl ¥ tadat:e =(,,),_, trong do On = Fond n' k tn) ý , ¥1n@in=k

Khi d6, "x= (x,)_, 1 1), tacé biéu din duy nhat

Ta khảo sát tính chất của đấy số u = ( uạ) š_ với mỗi số NỈ #”, ta xét

phan tir xy= (x,")_, 1 1 ,duge xdc dinh nhu sau:

Khi đó có không gian Banach 1 ,:

“

T=EX= (Xo) x, 1 R; a |x,|< tt aoe ji

1

* n=1?

Với mỗi phần tử u = (x,)X_, 11, taxdc định phiém ham f, trên

khong gian | ,nhu sau: néu x = (x,)*_, Ï 1,thì

X = (Xi) )—¡2Ÿ = (Yn))—; I1,, "a,bi j tacd

= sp|u,j.ẩ Jx;|= |ul,|xl, net

IR.OO[= lf,&l# lul, fpf, X= ODL Ty

b f, bị chặn ( hay f, liên tục) và |Íf,||£ |lul,

Ngược lại, lẫy một phiểm hàm tuyến tính, liên tục bất kỳ f trên không

= lim lễ X, gặt, nga x 1(eĐŠ 4 a N@¥

Dat: u, = f(e™), n=1,2 (khéng phy thudc vao x)

SII-|-|C©: ir

¥

bP fx)=Q4 X,X,

n=1

„n= 1,2

Mặt khác : u,|= |f(e°)|‡ |f|.|e £ Jfl ,

P Dayu=(u,)*_, bị chặn, tức làu =(u);_,Ï 1z

Đồng thời, từ (1) và (2) suy ra |ff,||= ul, (3)

Như vậy ta đã thiết lập được I ánh xa 1 ® 1; ;

Dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian l ¡ là:

"X= (X,)net 1 , trong đó u= (u,);-,Ï ly

Chương 3 Không gian cọ

3.1 Không gian tuyến tính cọ

Cho tập cọ = (x=Œ4)_,/Xa l i> limx, = 0}

+ Với "x= (xy) 4, y= (Yn) a I co thi

P x+y=(X¡tÿVn) nh I co

+V6i"x=(x,)_,,"1 1 | đa có: