Ứng dụng của phương pháp galerkin vào giải bài toán biên của phương trình vi phân thường cấp 2

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHAP GALERKIN VÀO GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP 2 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán Giải tích Hà Nội-2013... TRUONG DAI HOC SU PHAM H

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHAP GALERKIN

VÀO GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội-2013

TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NỘI 2

KHOA TOAN FSO IO IKK KK

NGUYEN THI HUGNG

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHAP GALERKIN

VÀO GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội-2013

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng

biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người đã tận tình hướng

dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô

giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,

bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp này

Hà Nội, ngàu — tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Hường

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan công trình nghiên cứu này là của riêng em dưới sự chi dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh - Giảng viên khoa Toán, Trường

Dại học Sư phạm Hà Nội 2 Các kết quả trong khóa luận là trung thực,

không trùng với kết quả nghiên cứu của các tác giả khác

Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngàu tháng 05 năm 2018

Người cam đoan

Nguyễn Thị Hường

vi phân thường | HH HH nha 24

1.5.1.|Một số khái niệm về phương trình vi phân| ccccccc: 24 1.5.2 |Bài toán biên của phương trình vi phân thường| 25 1.6 |Kết luận chương lỈ Ặ c2 Ặ c2 28

Chương 2 Phương pháp Galerkin va ứng dụng vào giải gần đúng bài toán biên của phương trình vi phân thường| 29 2.1.|Cơ sở lý thuyết chung| ccẶccẶ s2 29 2.2.|Phương pháp Galerkin và ứng dụng vào giải bài toán biên| 30

2.2.1.|Nội dung phương pháp .- c2 21 2n n2 nh nh nh kh, 30

2.4 |Kết luận chương 2| cc c2 eee 47

Chương 3 [Ứng dụng ngôn ngữ lập trình Pascal va Maple vào

giải bài toán biên của phương trình vi phân thường| 48

Để mở rộng và nâng cao sự hiểu biết về các phương pháp giải phương

trình vi phân, ở khóa luận này, em xin mạnh dạn trình bày phương phấp

Galerkin và ứng dụng quan trọng của phương pháp này để giải gần đúng bài toán biên của phương trình vi phân thường cấp 2

2 Mục đích nghiên cứu

Tổng hợp kiến thức về phương pháp Galerkin và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân thường

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp Galerkin để giải bài toán biên của phương trình vi phân thường

Hệ thống một số kiến thức liên quan đến phương pháp này

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

e Dối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của phương pháp Galerkin để giải bài toán biên của phương trình vi phân thường cấp 2

e Pham vi nghiên cứu: Bài toán biên của phương trình vi phân thường

cấp 2

ð Phương pháp nghiên cứu

e Tìm tòi, sưu tầm, hệ thống các tài liệu liên quan

e Nghiên cứu tài liệu.

e Phân tích, so sánh, tổng hợp các nội dung

e Tham khảo ý kiến chuyên gia

6 Những đóng góp mới của đề tài

Đề tài trình bày hệ thống cơ sở lý thuyết, đưa ra phương pháp và một

số ví dụ cụ thể cho ứng dụng của phương pháp Galerkin vào giải bài toán biên hai điểm tuyến tính của phương trình vi phân thường cấp 2, so sánh phương pháp Galerkin với một số phương pháp khác để thấy được sự hiệu quả của phương pháp này Ngoài ra, đề tài còn giới thiệu ứng dụng Pascal

và Maple vào bài toán trên để việc tính toán nhanh chóng và đơn giản hơn

Bố cục của khóa luận bao gồm 3 chương :

e Chương 1 của khóa luận trình bày tóm tắt một số kết quả đã biết

trong đại số tuyến tính và giải tích hàm, các định lý và kết quả cơ

bản liên quan đến khóa luận

e Chương 2 của khóa luận tập trung trình bày ý tưởng, các khái niệm

và tính chất và nội dung cơ bản của phương pháp Galerkin Bên cạnh

đó là một số ví dụ cụ thể ứng dụng phương pháp Galerkin vào giải bài toán biên của phương trình vi phân thường

e Chương 3 trình bày ứng dụng của tin học vào giải bài toán biên hai

điểm tuyến tính

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên

khi làm khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được những đóng góp quý báu của quý thầy cô và bạn đọc

Em xin chân thành cảm on!

Hà Nội, ngàu tháng 05 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Thị Hường

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian vec tơ

1.1.1 Khái niệm không gian vectd

Định nghĩa 1.1 Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử ký hiệu là ,U,z, Đồ F là một trường Giả sử V được trang Ùb{ hai phép toán sau: a) Phép cộng:

8 1-z=z, Vr€ K

Khi đó V cùng uới hai phép toán đã cho được gọi là một không gian

vecto trén trudng K hay K- khong gian vecto

Các phần tử của V gọi là các vectơ, các phần tử của gọi là các vô

hướng Phép cộng ”+” gọi là phép cộng vectơ, phép nhân ”-” gọi là phép nhân vectơ với vô hướng

Khi = R thì V được gọi là không gian vectơ thực

Khi =C thì V được gọi là không gian vectơ phức

1.1.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1.1 Tập hợp K|[X] các đa thức của biến số X với hệ số thuộc trường K với phép cộng đa thức và phép nhân đa thức với vô hướng thuộc

trường K là một K- không gian vectơ

Ví dụ 1.2 Tập hợp X khác rỗng, V là một K-không gian vectơ Tập 2

gồm tất cả các ánh xạ @ : X —>V với các phép toán:

(p+ ¥)(2) = v(x) + ¥(2) (Ay) (2) = r- (2)

véi y,w €Q, AX € K la mot K- khong gian vecto

Ví dụ 1.3 Cho trường K va n > 1 Xét tich Descartes:

R" = {(21,%2, ,2n) |"; ER, i= 1,2, ,n}

với hai phép toán:

(1,3, -;n) + (Mi; 9, ‹› Un) = (1 + Yt, 2 + Yay Ln + Yn);

À(đi,#Za, ,#„) = (A#i,À#s, ,#„), À€R

R” cùng với hai phép toán trên là một K- không gian vectơ

1.1.3 Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến

tính

Dinh nghia 1.2 Cho K- không gian vecto V

e Một tổ hợp tuyến tính của các 0ectd #\, ,®„ GÌ là một biểu thúc

dạng:

So Aes = Ave + + Anan, trong đó Ài, ,Ău CÍR — (L1)

i=l

e Voir ER, néux = Aya, + +A,2, thi ta n6i vecto x biếu thị tuyến

tính được qua hệ 0ectd {#\, ,®„} va dang thite x = Aya, + +AnTn

dugc goi la mét biéu thi tuyén tinh cia x qua céc vecto £1, ,Xpy.- Dinh nghia 1.3 Trong khong gian vecto R

® Hệ 0cctd {#i, ,®„} được gọi la độc lập tuyến tính nếu hệ thức

—>

May + 4+ Ant = Ú_ chỉ zảu ra khi Ài = =À,=0 (1.2)

® Hệ 0ccld {#i, ,#„} được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu hệ đó

không độc lập tuyến tính

1.1.4 Cơ sở và số chiều của không gian vectd

Định nghĩa 1.4

e Một hệ ucctơ của V được gọi là mmột hệ sinh của V nếu mọi 0ectd của

V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó

e Một hệ uectd của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi 0ectd của

V đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này

Dinh nghia 1.5

e Nếu không gian 0uectd V có cơ sở gồm n vectd thì n được gọi là số chiều của V

Ky hiéu la: dimV = n

Không gian V có số chiều n được gọi là không gian vecto n chiều

Ký hiệu là V"

Nếu V = 9, ta quy ude dimV = 0

e Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn 0ectơ thà nó được gọi là không

gian 0ectd 0ô hạn chiều.

1.1.5 Không gian vectơ con

Định nghĩa 1.6 Giả sở V là một K- không gian 0ectơ 0à W là một tập con của V sao cho:

z+yewWw, Vz,ucW ATEW, VAEK, cew

0à W cùng uới hai phép toán trên là một không gian 0ectở trên trường E

Khi do, ta gọi WÈ là một không gian 0ectd con của không gian 0ectở V

Ví dụ 1.4 Tập P"[X] = {a9 +}a,X + 4+4,X"| a; € K} là một không gian vectơ con của K- không gian vectơ K[X]

Ví dụ 1.5 Không gian CŒ1[ø,b]- các hàm số thực khả vi, liên tục trên

đoạn {a,b] là một không gian con của R- không gian CÍa,b]- các hàm số

liên tục trên đoạn [a,b]

1.2 Không gian định chuẩn

1.2.1 Khái niệm không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.7 Cho X là một không gian tuyến tính (không gian 0ectø)

trên trường K (K = R hoặc K = C) Mot ánh xạ kí hiệu là |||:

llll:X + R

z + |l#||

được gọt là một chuẩn trên ÄX nếu nó thỏa tmrãn các tiên đề sau:

1 (Vze X) ||.J|> 0, |lz|ll|=0<© z= 6 (ký hiệu 9 là phần tử không

Định nghĩa 1.8 Cho X là không gian 0ectơ trên trường K, ||[.|| là một

chuẩn trên X Khi đó cặp (X, ||[.||) được gọi là không gian định chuẩn (X, ||.|L) là không gian định chuẩn thực hoặc phúc nếu K là trường thực hoặc phúc

Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X

1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.9 Dãy điểm (%„) trong không gian định chuẩn X goi la

hội tụ đến điểm œ€ X nếu:

lim ||#„ — #|| = 0 Ký hiệu im =z hay 2, —> #(n —> ©)

Tì —> Tì —> œ

Định nghĩa 1.10 Dãy điểm (%„) trong không gian định chuẩn X gọi là

day cơ bản nếu:

lim ||z„ — z|| = 0

n—>%

Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản

trong X đều hội tụ

%

lzll = Co ben? n=1

Công thức trên xác định một chuẩn trên ỉ¿ Không gian định chuẩn tương

ứng ký hiệu là lạ lạ là không gian Banach

Ví dụ 2.3 Cho không gian vectơ Œ1„„) - không gian các hàm số xác định

và liên tục trên [ø,b] Với hàm số bất kỳ #(£) € Œ„„ị, đặt

= A t

lie|l = max |z()|

công thức trên cho một chuẩn trên Cj„„ Không gian định chuẩn tương

ứng là C1„„J

Dễ thấy Œ„„ị là khong gian Banach

Vi dy 2.4 Khong gian vecto Lj, 9) gồm các hàm #(f) xác định và khả tích

Lebesgue trén [a,b] là không gian định chuẩn với chuẩn:

nll = f Iz0)lứ

Khi đó, không gian định chuẩn tương ứng là Tum: Lia.) cing la khong gian Banach

Ví dụ 2.5 Cho không gian vectơ n chiéu EB”, trong do:

E" = {z = (1i, ,#„): z¿ C]R hoặc z; € R}

Với vectd bất kỳ # = (Zi,#›, ,„), ta đặt:

Công thức trên xác định một chuẩn trên " " là một không gian Banach

1.2.3 Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.11 Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn trên trường

K (K là trường thực hoặc phúc) Anhaa A: X 3 Y được gọi là một

toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn:

1 A(i +22) = A(zi) + A(4:), (Vzi,za € Ä);

2 A(az) = œA(z), (Vz€ X,Vơ € K)

Dể cho gọn, ta uiết A+ thay cho A(ø)) để chỉ phần tử ứng uới œ trong toán

tử A Dễ thấu các điều kiện 1) uà 2) tương đương tới:

A(az + By) = œA(z) + Ø8A(w), Va,8 € K,Vz,uc X

=> Alayx, + AX +++ + Ann) = AAT, + œ¿Azs + - Ða„AZa,

Vr1,%2, -,Ln € X,Vai,@¿, , dụ ek

Định nghia 1.12 Cho X,Y là hai không gian định chuẩn Một toán tử

tuuến tính A : X —> Y dược gọi là liên tục tại mạ € X nếu:

Vz>0, >0: Vưe€X : ||#— zo|| < ð, ta có: ||Az — Azall < e

Tương duong: Vin — Xo, (Nn —> oo) luôn kéo theo Ax, + Axo, (n > ov) Định nghĩa 1.13 Toán tử A : X —> Y được gọi là bi chan (giới nội) nếu ton tai hang s6 M > 0 sao cho:

Dinh nghia 1.14 Cho khong gian vecto X trén trường K (R là trường

thực hoặc phúc) Ta gọi là tích v6 hướng trên không gian Ä mọi ánh xa di

từ tích Descartes X x X vao trudng K, ky hiệu là (.,.) thỏa mãn các tiên

4)(Vz€ X) (z,z) >0, nếu z # 0 (6 là kú hiệu phần tử không)

(z,z) =0, nếu z = 0

S6 (x,y) goi là tích uô hướng của hai nhân tử + va ụ, các tiên đề 1), 2),

3), 4) goi là hệ tiên đề tích uô hướng

Định lý 1.2 Đối uới mỗi zø € X ta đặt:

llzll= v(z.z)

Khi dé Vx,y € X ta c6 bat dang thitc Schwarz:

I(x, y)] < [ell yl

Định nghĩa 1.15 Giá sử (.,.) là một tích vd hướng trên X, khi đó:

||z|| = V(œ,z),Vz Ex

xác định một chuẩn trén X duoc gọi là chuẩn sinh bởi tích uô hướng đã

cho

Định nghĩa 1.16 Ta gọi tập H # 0Ú gồm những phần tử z,U,z, nào

đó là không gian Hilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường K;

3) H được trang bị một tích uô hướng ( );

3) H la khong gian Banach véi chudn ||z|| = J (a,x), 2 € H

Nếu K=R hoặc K=C thi khong gian Hilbert tương ứng là không gian

Hilbert thực hoặc phúc

Ta goi moi không gian tuyến tính con đóng của khong gian Hilbert H

là không gian Hilbert con của không gian H

Ví dụ 3.1 Cho X là không gian R” với tích vô hướng:

n

(z,) = Se vy, với # = (đ\, ,#u„) ER", y = (Yi, -5 Yn) € IR”

m

Chuẩn sinh bởi tích vô hướng:

IlI= V55 = [oe

R“” cùng với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert

Định nghĩa 1.17 Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử dương trong không

gian Hilbert H néu:

(Az,z)>0VzcH

Định nghĩa 1.18 Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử xác định dương

nếu tồn lại hằng số + > Ú sao cho (Az,z) > +||x|, Ve c H

Dễ thấy, nếu A là toán tử tuyến tính xác định dương thì A4 là toán tử tuyến tính dương

1.3.2 Tính trực giao

Định nghĩa 1.19 Cho không gian Hilbert H Hai phan tt x,y € H gọi

la truc giao, ky hiéux Ly, néu (x,y) =0

Dinh nghĩa 1.20 Cho không gian Hilbert H oà tập con ACH, AFD Phần tử z € H dược gọi là trực giao uới tập A, nếu z L (Vụ € A) tà kí

hiéu lax L A

Một số tính chất cơ bản:

1)z+ L 0(Vz € H) (ký hiệu Ø là phân tử không của H)

2)z L,Vục He©x+=0

3) Nếu z L y; voi x,y; © A,(j = 1,2, ,n) thi

Va; € K(j =1,2, ,n) taco: 2 LY) ayy;

j=l

Tức là ø trực giao với mọi tổ hợp tuyến tính của ; € , (7 = 1,2, ,n) 4) Cho A la tap con trù mật khắp nơi trong không gian H Khi đó, nếu

Dinh ly 1.3 (Dinh ly Pythagore) Néux,y € H vax 1 y, thi:

llz + | = llzl + llu|Ú-

Dinh nghia 1.21 Cho khéng gian Hilbert H Tap gồm hữu hạn hay đếm

được các phần tử (eu)u>i C H goi la mét hé truc chuan, néu:

(

(ei, ej) = ð¡j = ( | uới ¡=j 0 ø»ớii ¬ # 7

Ö đó, Oi; 14 ky hiéu Kroneckes, i,j = 1,2, ,n

Quá trình truc giao héa Hilbert - Schmidt

Nhận xét: Mọi hệ trực chuẩn đều độc lập tuyến tính Ngược lại, cho một

hệ các vectơ độc lập tuyến tính (#„)„>ị C H gồm hữu hạn hay đếm được

các phần tử, bao giờ cũng có thể biến hệ này thành một hệ trực chuẩn nhờ

qua trinh truc giao héa Hilbert - Schmidt

That vay

Dat: e; = Tan => |le|| = 1

Dặt : Yo = Lo — (19, e1)e1 thi (yi, e1) = (2, e1) — (12, e1)(€1, e1) = 0

Dinh ly 1.4 (Bat ding thitc Bessel): Néu (€n)n>1 la mot hé truc chuẩn

nào đó trong không gian Hilbert H, thì Vư € H ta đều có bất đẳng thức:

3 l(z.e„) < llzlf

n>1

Bát đẳng thức trên gọi là bất đẳng thức Bessel

1.3.3 Cơ sở trực chuẩn - Đẳng thức Parseval

Định nghĩa 1.22 Hệ trực chuẩn (€n)„>ì trong không gian Hilbert H goi

là cơ sở trực chuẩn của không gian H nếu trong không gian H không tồn

tại 0ectd khác không nào trực giao uới hệ đó

Dinh ly 1.5 (Dinh ly vé dang thite Parseval) Cho (€n)n>1 la co sé truc

chuẩn của không gian H

Năm mệnh đề sau đây tương đương:

1 Hệ (€u)u>ì là cơ sở trực chuẩn của không gian H;

5 Bao tuyến tính của hệ (€n)ns1 trù mật khắp nơi trong không gian H

1.4 Phương pháp chiếu và định lý hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian Hilbert

Giả sử hai dãy không gian con {#2„} và {F„} sao cho:

Định lý 1.6 Giá sử miền sác định D(L) của toán tử L trù mật trong

E, mién gid tri R(L) tri mat trong F va giả sử L là ánh xa từ D(L) lên

R(L) giả sử không gian con LE, va F,, la đóng trong F, P, là toán tử bị chặn đều đối uới n, túc là:

|LP:ll < e, (n=1,2, -) (1.5)

Khi đó uới mọi ƒ thuộc F` bắt đầu uới chỉ s6 n = no, tồn tại duy nhất

nghiệm tu„ của (1.4) Dé khong khép R = Lu, — ƒ tiến dần tới 0 theo

chuẩn khi n —> eo, cần va đủ thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Dãu không gian con Lạ, tri: mat gidi han trong F;

2 Với m > nạ, toán tử Đ, là song anh tu LE, léen F,;

=n 00

3 7 =lim T™ > 0, trog dé T, = inf ||P,znlI

znE LE,

llz„||—1

Tốc độ hội tụ thỏa mãn các điều kiện 1), 2), 3) xác định bởi các bất

đẳng thức:

pf, LEn) < ||Ew, ~ fll < (1+ S)p(f, LE) n (1.6)

Trong trường hợp không gian con #„ và #„ là hữu hạn chiều và hơn

nữa đơn E„ = dimF, thì điều kiện 2) là hệ quả của điều kiện 3)

Chứng mình Thay Lu, = x, vao (1.2), ta có :

Pr Ln = P.1 (tn € LE,) (1.7)

Điều kiện đủ:

Ký hiệu P’ 1a thu hẹp của toán tử chiếu P, lén khong gian con LE)

Theo điều kiện 2), khi m > mạ thì toán tử / là song ánh từ không gian

Banach LE, lén không gian Banach # nên tồn tại toán tử ngược bị chặn

P'-' tu F, len LE, Do đó tồn tại duy nhất z„ thỏa mãn điều kiện (1.7):

tn = PLPaf

Khi do u, = L~'a, 1a phan tt duy nhất thỏa mãn điều kiện (1.4)

Từ điều kiện 3) suy ra || '|| = +, Từ đó và từ (1.5) suy ra chuẩn

Từ đây suy ra không khớp (Eu„ — f) hoi tu dén 0

Điều kiện cần:

và,

Giả sử với mọi ƒ € #, với mọi w < mạ thì các xấp xỉ #„ được xác định

đơn trị Từ điều kiện (1.7) và từ ||#„ — ƒ|| —> 0 khi — oo, ta can chi ra

rằng các mệnh đề 1), 2), 3) là đúng

Hiển nhiên mệnh đề 1), 2) là đúng

Để chứng minh mệnh đề 3), ta cần chỉ ra rằng chuẩn p1 = —, 0 Đề Tụ

: Tn

bi chan (P’ dude nhắc tới khi chứng minh điều kiện đủ)

Với n > mụ thì z„ = Pj!P,ƒ Với mọi ƒ € F, ta có:

P''P, f > f khin >

Theo dinh ly Banach-Steinhaus, ta co: ||P/"'P,|| < e,(m > no)

Dac biệt, với ƒ„ € F„, ta có:

Do do: ||P’! || < ¢, (n < mạ)

1.4.3 Định lý hình chiếu lên không gian con đóng trong không

gian Hilbert

Định lý 1.7 Giá sở Hạ là không gian con của không gian Hilbert H Khi

đó phần tử bất kỳ ø € H đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

za=u+z, 0cHọ, z | Hạ

Khi đó Ụ được gọi là hình chiếu của + lên Hy

Chứng mình Nêu + € Hạ > x = +z+ 0, z€C Hạ và 8 L Hp, theo tính chất cận dưới đúng, tồn tại dãy (u„) C Họ sao cho:

Giả sử du € Hụ sao cho (z,0) = c # Ö suy ra 0 # Ø nên (0,0) # 0

Dat: w=yt ‹ v € Ho, ta co:

(0,0) d2 < ||z — ||

Do đó không tồn tại 0 # Ø thuộc Hụ để (z,0) #0 z L Hụ

Vay Vx € H luôn có biểu diễn: z = +z,€ Hạụ,z L Ay

Gia st t= y' + 2',y' © Ho, z' L Ho

1.4.4 Ung dụng của định lý hình chiếu lên không gian con đóng

trong không gian Hilbert

Một trong những ứng dụng của định lý hình chiếu lên không gian con đóng là phương pháp trung bình phương xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert

Ký hiệu: họ = arg min ||x — Al|

heHy

Dinh ly 1.8 Cho H là một không gian Hilbert, Ho la khong gian con của

H, «eH: ho = arg min ||z — h|| © z — họ L Hạ

heHy

Chứng minh Điều kiện cần:

Cố định phan tit hg bat kỳ Xét hàm:

F(œ) = ||z — hạ + ah||? = |Ì# — (họ — ah)|, acc R

Giả sử dhạ € Họ sao cho # — họ L Hạ,Vh € Hạ, ta có:

llz — h|l = || — hạ) + (hạ — h)| = [lw = AIP + [ho — hI? > |e — hol

Dau "=" xay ra khi va chi khi hạ = h

Vay ||a — ho|| = inf ||#z — ho|| = arg min ||x — Al] oO

Do (e;)#_, doc lap tuyén tinh nên G(e,€a, - ,e„) # 0

với G(€, €a, - ,€„) = det(a;;), ai; = (€7,e;), Vi,j = 1,n

Suy ra hệ phương trình đại số tuyến tính:

n

Ye cile:,e;) = (ae), j= 1n (1.9) i=1

có nghiệm duy nhất c;,i = 1,n

Vì vậy để tìm hạ, ta giải hệ phương trình trên tìm các giá trị œ¡ khi đó

Giả sử hị, hạ là hai xấp xỉ tốt nhất của x trong Ho

Theo định lý trên z — hạ L Họ và hạ — hị € Họ > z T— hạ: L he — hy

= |lz— hà|lỦ = |l#— h?+ hề — hị||P = |lz— h?||Ƒ + ||? — hÉ|ỊP > ||z— PIP?

Dấu "=" xảy ra © hy = hy

Để ước lượng phương sai, ta xét các trường hợp sau:

1 Trường hợp hệ (e;)ƒ_¡ trực giao:

2 Trường hợp hệ (e;)ƒ_¡ là cơ sở bất kỳ của Hụ :

ở? = ||x — hol|? = (x — ho, x — hạ) = (x — hạ, #) — (z — ho, hạ)

= (« — ho, £) = ||#|| — jar Ci(Z, C7)

© 32 6(z,e) — (I|gl — 62) = 0 (110)

i=1

Thật vậy, với ø = 1, G(e¡) = (ei,ea) = ||e|l?

Gia sit G(e1, €2, ,€n) > 0 khi d6 theo (4.6) ta có:

G(e, 6a, te »€n+1) G(e1, €2, +5€n)

Vi d(e, span((e;)!_,) > 0 va G(e1, e2, -,€n) > 0

nên theo gia thiét quy nap suy ra G(e;,e2, ,€n41) > 0

d(€n+1; span((e;);_1)) =

Nhận xét:

1 Dịnh lý được thực hiện trong trường số thực thì

(z,) = (,z),Vz,u € H

2 Mỗi z € H nếu tồn tại duy nhất họ € Họ là xấp xỉ tốt nhất cha x trong Hạ, hạ được xác định hoàn toàn qua toán tử

p:H => Họ

zø t> họ sao cho# — họ L Họ

p là toán tử tuyến tính bị chặn và ||p|| = 1 Khi đó ? gọi là toán tử chiếu của không gian Hilbert H lên không gian con Họ

Tính chất của toán tử chiếu:

e p là toán tử chiếu của H lên khong gian Hp thì p là toán tử tự liên hop (p* = p), ttt là:

Va,y € H, (px,y) = (a, py) That vậy:

Gia st x =utv, u=r+s với u,r€ Họ, 0,s L Họ

= p# = tu, pỤ =r (p#z,) = (u,r + s) = (u,r) + (u,s) = (u,r)

(x, py) = (u+ 0,7) = (u,r) + (v,r) = (u,r)

= (p, xy) = (x, py) = p* = p

e pla toan ttt chiéu thi p? = p That vay:

Với mỗi z € H, đặt p+z = u px = p(pxr) = pu =u = px

Vậy p” = p

e p là toán tử chiếu thì p là toán tử dương Thật vậy:

p là toán tử tuyến tính bị chặn và Vz€ H:z =1 +0, u€ Hạ,u L

1.5 Phương trình vi phân thường và bài toán biên của phương trình vi phân thường

1.5.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân

e Phương trình vi phân là phương trình chứa hàm số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và các đạo hàm của hàm số đó

e Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập, ta có phương

trình vi phân thường

e Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến độc lập, ta có

phương trình đạo hàm riêng

e Phương trình vi phân thường cấp n là một hệ thức có dạng:

1 V(z,y) € DD là miền xác định của phương trình, ta có thể giải

ra đối với e, e = (a, y)

2 Hàm y = y(z,c) thỏa mãn (1.5) khi (z, ø) chạy khắp D, Ve € R

1.5.2 Bài toán biên của phương trình vi phân thường

e Bài toán Cauchy:

Xét phương trình vi phân thường cấp n khi đạo hàm cấp cao nhất

ữ biểu diễn dưới dạng:

g9 = Ƒ(z,w,w, u0=9) (1.15)

Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.6) là tìm ham y = y(x) thoa mãn phương trình (1.6) và điều kiện ban đầu:

y(20) = 9o, W(#o) = 9à (0) = yy? (1.16)

trong đÓ #0, 10, 0; -› yr) là những số cho trước

e Bài toán biên:

Giả sử hàm ƒ(z), ƒ,() liên tục trên [a,b| và ƒ„(z) # 0, lập phương