tài liệu học tập môn toán lớp 12 học kỳ 1 - thpt ernst thalmann

4  Dạng 2 : Tìm giá trị tham số để hàm số luôn tăng đồng biến, luôn giảm nghịch biến trên một khoảng cho trước.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại giao điểm của C với trục

Trang 1

Trường THPT Ernst Thälmann Tổ Toán- Nhóm Toán 12

TÀI LIỆU HỌC TẬP

HK1

Năm học 2014-2015 Lưu hành nội bộ

Trang 2

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG KHẢO

SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 4

 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 4

 Dạng 1 : Xét tính đơn điệu [tăng (đồng biến), giảm(nghịch biến)] 4

 Dạng 2 : Tìm giá trị tham số để hàm số luôn tăng (đồng biến), luôn giảm (nghịch biến) trên một khoảng cho trước 5

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 7

 Dạng 1 : Bài tập tìm cực trị 8

 Dạng 2 : Bài tập về số lượng cực trị 8

 Dạng 3 : Bài tập về vị trí đạt cực trị 9

 [NC] Một số bài tập cực trị sử dụng Định lý Viet 10

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN) CỦA HÀM SỐ 12

 Dạng 1 : GTLN-GTNN trên một đoạn 13

 Dạng 2 : GTLN-GTNN trên một khoảng 14

 Dạng 3 : Tìm GTLN-GTNN bằng cách đặt ẩn mới 14

 [NC] Một số bài GTLN-GTNN nâng cao 15

ĐƯỜNG TIỆM CẬN 15

 Dạng 1 : Xác định tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm nhất biến 16

 Một số câu hỏi khác liên quan đến tiệm cận 16

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN và VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 17

 Dạng 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3 18

 Dạng 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng phương 18

 Dạng 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số nhất biến 18

 Dạng 4 [NC]: Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối 18

CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ 19

 Vấn đề 1 : Sự tương giao giữa 2 đồ thị 19

 Vấn đề 2 : Biện luận số nghiệm của phương trình cho trước bằng đồ thị 21

 Vấn đề 3 : Phương trình tiếp tuyến 23

TỔNG HỢP CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN TỪNG LOẠI HÀM SỐ 28

BÀI TẬP TỔNG HỢP 30

Trang 3

Tài liệu học tập Toán 12- HK1

CHƯƠNG 2: MŨ- LOGARIT 34

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA, LOGARIT, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT 34

 Vấn đề 1: Lũy thừa 34

 Vấn đề 2: Hàm số lũy thừa 35

 Vấn đề 3: Logarit 36

 Vấn đề 4: Hàm số mũ- hàm số logarit 38

PHƯƠNG TRÌNH MŨ và PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 40

 Vấn đề 1 : Phương trình mũ 40

 Vấn đề 2 : Phương trình logarit 43

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ và BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 45

 Vấn đề 1 : Bất phương trình mũ 45

 Vấn đề 2 : Bất phương trình logarit 48

CHƯƠNG 3: KHỐI ĐA DIỆN 59

Vấn đề 1 : Thể tích khối chóp 59

 Dạng 1 : Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy .60

 Dạng 2 : Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy .62

 Dạng 3 : Khối chóp đều .64

 Dạng 4 : Khối chóp tam giác và phương pháp tỉ số thể tích 66

 Vấn đề 2 : Thể tích khối lăng trụ 68

 Dạng 1 : Khối lăng trụ đứng, biết chiều cao hoặc cạnh đáy 69

 Dạng 2 : Lăng trụ đứng có góc giữa đường chéo và mặt đáy 70

 Dạng 3 : Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng .71

 Dạng 4: [NC] Lăng trụ xiên 72

CHƯƠNG 4: KHỐI NÓN- KHỐI TRỤ- KHỐI CẦU 75

 Vấn đề 1 : Mặt nón-khối nón 75

 Vấn đề 2 : Mặt trụ- khối trụ 77

 Vấn đề 3 : Mặt cầu- Khối cầu 79

 Bài tập tổng hợp và nâng cao 81

Trang 4

GIẢI TÍCH

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG KHẢO SÁT VÀ

VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Định

nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b)

 Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên (a, b)

 Dạng 1 : Xét tính đơn điệu [tăng (đồng

biến), giảm(nghịch biến)]

Bài 1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

Trang 5

Bài 2 Tìm tham số để các hàm số sau luôn đồng biến (tăng)

trên từng khoảng xác định (miền xác định) :

Bài 3 Tìm giá trị tham số để các hàm số sau luôn nghịch biến

(giảm) trên từng khoảng xác định (miền xác định) : a/ y  x3 3x2mx3; b/ y 2x3 (b 1)x23x1; c/ y mx3x2 x 2m; d/ y ax 3 (a 3)x2 x 2;

Trang 6

Bài 5 [NC] Thực hiện từng yêu cầu sau :

a/ [ĐH 2013- Khối A,A 1 ]: Cho hàm số y  x3 3x23mx1(1),với m là tham số thực Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên

khoảng (0;);

b/ Tìm m để hàm số y x 33x2(m1)x4 nghịch biến trên khoảng ( 1;1) ;

Trang 7

 (1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( ;1)  ;

g/ y x 33x2mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài

Giả sử hàm số y f x ( ) có đạo hàm trên 1 lân cận của điểm x 0

(có thể không có đạo hàm tại x ) Nếu khi x qua 0 x , đạo hàm đổi 0

dấu thì điểm x là 1 điểm cực trị.0

Trang 8

Cụ thể : 

/ 0 //

0

( ) 0( ) 0

0

( ) 0( ) 0

h/ y  ( k 1)x3kx22x1

Bài 8 Chứng minh các hàm số sau luôn có cực đại và cực tiểu

(luôn có cực trị) với mọi giá trị của tham số :

a/ y x 33mx23(m21)x m 3;

Trang 9

b/ y  x3 kx22x k ; c/ 1 3 2

3

y x kx  x k; d/y2x33(2m1)x26 (m m1)x1

Bài 9 Hãy thực hiện từng yêu cầu dưới đây :

Trang 11

e/ Cho hàm số y 1x3 mx2 mx 1

3

    , với m là tham số thực Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho

Trang 12

h/ Cho hàm số y 1x4 (3m 1)x2 2(m 1)

4

     (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm

là gốc toạ độ O;

i/ Tìm các giá trị của m để hàm sốy2x3mx212x13 có hai

điểm cực trị cách đều trục tung;

j/ CĐ 2009: Cho hàm số y x 3(2m1)x2 (2 m x) 2 (1) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực

trị của hàm số (1) có hoành độ dương;

l/ [ĐH 2012- Khối A,A 1 ]: Cho hàm số y x 42(m1)x2m2 (1)

với m là tham số thực Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm

cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông;

Số M được gọi là Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên D

( ) ,: ( )

Trang 13

Số m được gọi là Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên D

( ) ,: ( )

Giải phương trình f’(x) = 0  nghiệm x1, x2, xn [a , b] (loại

bỏ những nghiệm không thuộc [a , b])

Tính f(x1), f(x2), , f(xn), f(a), f(b)

 GTLN = Max(f(x1), f(x2), , f(xn), f(a), f(b))

 GTNN = Min (f(x1), f(x2), , f(xn), f(a), f(b))

 Trường hợp 2: Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên (a , b)

Tìm MXĐ=> hàm số liên tục và xác định trên khoảng ( ; )a b

x trên [0; 7]

Trang 14

Bài 13 Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau (nếu có):

a/ y x 2 6x; b/ y x 4 x 3; c/ y 5 2x 4 10x; d/ 2

Bài 15 Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau (nếu có): a/ ysin2x2sinx2; b/ y 2sin 22 x5sin2x3;

c/ycos2xcosx5; d/ y 2cos2x2(1 cos ) 9 x  ; e/y2sin2 xcosx1; f/ ycos2x3sinx7;

x



 ;

Trang 15

i/ ycosx2 cos 2x; j/ ycos2x2sinx1;

k/ ysin4xcos2x1; l/ ; ycos4 x2sin2x1

m/ ysin3xcos2xsinx1;

n/ ycos3x6cos2x9cosx5

 [NC] Một số bài GTLN-GTNN nâng cao

Bài 16 Hãy thực hiện từng yêu cầu sau:

a/ [TN-THPT 2012]: Tìm các giá trị của tham số m để GTNN của

Trang 16

2 Tiệm cận ngang (TCN): Là đường tiệm cận cùng phương với

cận ngang của hàm nhất biến

Bài 17 Tìm TCĐ và TCN của các hàm số sau :

 

y

x

 Một số câu hỏi khác liên quan đến tiệm cận

Bài 18 Thực hiện từng yêu cầu sau:

Trang 17





 có đồ thị (C) Cho điểm M x y thuộc 0( ; )0 0

đồ thị (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận của (C) tại các 0

điểm A và B Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB; 0

e/ Cho hàm số

1

x y x



 (C) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C)

sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác

Kết luận về bảng biến thiên

Điểm đặc biệt (bảng giá trị)

Vẽ đồ thị

Chú ý: Khi lấy điểm đặc biệt:

Đối với hàm bậc 3: phải cho x=0 y ?

Đối với hàm nhất biến: cho x=0 y ?, cho y=0 x ?

Trang 18

Bài 20 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số : a/ yx42x22; b/ y  (x 1) (2 x1)21;

Bài 21 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số :

211



 ; f/

113

y x

 



 Dạng 4 [NC]: Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối

Bài 22 Hãy thực hiện từng yêu cầu cho dưới đây:

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( ):C y x 33x21

Từ đó, suy ra đồ thị của các hàm số ( ) :C y x1  33x2 1 và

2

( ) :C y x 3x 1;

Trang 19

Tài liệu học tập Tốn 12- HK1

b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

 Vấn đề 1 : Sự tương giao giữa 2 đồ thị

Bài 23 Tìm giá trị tham số m để đồ thị của hàm số :

x cắt đường thẳng ( ):D y m x  tại 2 điểm phân biệt;

e/ y x 3mx2mx1 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

 Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng

d y x m:   luơn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B

Bài 24 [NC] Hãy thực hiện theo từng yêu cầu sau :

Trang 20

a/ Tìm m để đồ thị hàm số y(x2)(x2mx m 23) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.;

b/ Cho hàm số ( ) : y 1

1

x C

x





 Cho đường thẳng d y: 2x m Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B Khi đó tìm m

để độ dài đoạn AB nhỏ nhất.;

c/ Cho hàm số y x 3 3x2 2 Tìm các giá trị của tham số m để

đường thẳng d y m x:  (   2) 2 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(2; –2), B, D sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D

với đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ nhất.;

d/ [ĐH 2010- Khối A]: Cho hàm số y x 32x2 (1 m x m)  (1)

Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có

hoành độ x x x thỏa mãn điều kiện 1, ,2 3 2 2 2





 Tìm k để đường

thẳng y kx 2k1 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao

cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau;

g/ [DỰ BỊ 2 ĐH 2010-Khối D]: Cho hàm số y  x3 3x24 (C) Tìm m để đường thẳng :d y m x ( 1)cắt (C) tại ba điểm phân biệt ( 1;0)

M  và A, B sao cho MA = 2MB;

1

x y x





 Tìm m để đường

thẳng y  2x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao

cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ);

i/ ĐH 2008- Khối D: Cho hàm số y x 33x24 (1) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua (1;2)I và có hệ số góc

Trang 21

k k  đều cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B

đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB;

j/ ĐH CĐ 2006- Khối D: Cho hàm số y x 33x2 Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc là m Tìm m

để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

 Vấn đề 2 : Biện luận số nghiệm của phương trình cho trước bằng đồ thị

Bài 25 Cho hàm số y x 33x1 có đồ thị (C)

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b/ Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x33x2k0

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b/ Tìm m để phương trình x42x2 m 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bài 30 Cho hàm số y   x4 (2 m x) 2 1 m

Trang 22

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) ứng với m0

b/ Dựa vào đồ thị ( )C , biện luận theo k số nghiệm của phương

trình: 2x44x2 2 2k

Bài 31 Cho hàm số yx33x2 (C)

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Tìm các giá trị của tham số m để phương trình

2x 6x  m 0có 3 nghiệm phân biệt

Bài 32 Cho hàm sốy2x33x21 (C)

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

c/ ĐH 2009- Khối B: Cho hàm số y2x44 (1)x2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2 Với các giá trị nào của m, phương trình x x2 2 2 m có

đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

d/ ĐH CĐ 2006- Khối A: 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

của hàm số y2x39x212x4

2 Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:

2 x 9x 12x m

Trang 23

 Vấn đề 3 : Phương trình tiếp tuyến

Cho hàm sốy f x ( ) có đồ thị (C) và cho điểm M x y( , ) ( )o 0  C ,

 Dạng 1 : Biết thông tin về tiếp điểm

Bài 34 Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm thuộc đồ thị

cho trước :

a/ ( ) :C y3x35x21, (1; 1)A  ; b/  



3 4 2( ) : ,B(2; )

Bài 36 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao

điểm của (C) với trục tung (x=0):

Trang 24

Bài 38 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của

(C) với trục hoành (y=0):

 Dạng 2 : Biết thông tin về hệ số góc

Bài 39 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k : tt

Trang 25

4 2

Trang 26

 Dạng 3 : Tiếp tuyến tại giao điểm của đường cong với các đường cong, đường thẳng khác

Bài 42 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) với : a/ ( ):C y x 3 6x211 3x tại giao điểm của (C) với đường thẳng

 tại giao điểm của (C) với đường thẳng

d x y:  0 biết giao điểm có hoành độ nguyên.;

f/ ( ):C y x 43x23 tại giao điểm của (C) với đường

thẳngd y: 1biết tiếp điểm có hoành độ dương

Bài 43 [NC] Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi

qua (kẻ từ) điểm cho tương ứng : a/ yx4x2 , A(0, –1); b/ yx36x29x3, B(2, –1);

Trang 27

Tài liệu học tập Toán 12- HK1 a/ Cho hàm số y  x3 3x22 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó có hệ số góc lớn

nhất;

b/ [ĐH CĐ 2004- Khối B]: Cho hàm số 1 3 2 2 3

3

y x  x  x có

đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến  của (C) tại điểm x0

thỏa phương trình f x//( ) 0 và chứng minh rằng  cũng là

tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất;

c/ Cho hàm số y 2x3 3x2 1 có đồ thị (C) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung

tại điểm có tung độ bằng 8;

d/ Cho hàm số y x 4 2mx2m (1) , m là tham số Gọi A là một điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ bằng 1 Tìm m

 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp

tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2;

Trang 28

h/ [ ĐH 2009- Khối A]: Cho hàm số 2 (1)

x y x

i/ [ ĐH CĐ 2007- Khối D]: Cho hàm số 2

1

x y x

GTLN-GTNN Trên đoạn: Giải y/ 0 rồi so sánh giá trị

Trên khoảng: Giải y/ 0, rồi kẻ bảng biến thiên

Trang 29

Xét phương trình hoành độ giao điểm

Số nghiệm bằng số giao điểm

Đưa phương trình đã cho về phương trình hoành

độ giao điểm của ( ):C y f x ( )và đt d: y=? (song song với trục hoành) Dựa vào

Đưa phương trình đã cho về phương trình hoành

độ giao điểm của ( ):C y f x ( )và đt d: y=? (song song với trục hoành) Dựa vào

Trang 30

0

( ) 0

f x  c) Biện luận số nghiệm của phương trình

Trang 31

4 2 2

y x ax  a

f) Tìm GTLN-GTNN của hàm số ycos2xsinx2 g) Tìm GTLN-GTNN của hàm số y  x2 3x 4 5 h) Tìm cực trị và các khoảng đơn điệu của hàm số

Bài 47

2

x y x

x a giảm trên từng khoảng

xác định

d) Tìm GTLN-GTNN của hàm số 1

2

x y x

Trang 32

f) Tìm m để (C cắt m) ( ):C/ y x 3x21 tại 2 điểm phân biệt

g) Với giá trị nào của k, phương trình

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m0

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo a số nghiệm của:

24

 x 

[ 3;5]

e) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có

hệ số góc bằng 3 và tiếp điểm có hoành độ nguyên

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung

độ bằng 2

c) Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác

định

d) Tìm m để ( C cắt đường thẳng : m) d y x 2 tại 2 điểm phân biệt

Trang 33

x trên đoạn

[1;5]

Trang 34

=a , a

Trang 35

Tài liệu học tập Tốn 12- HK1

b b b ; c/

4 3

1 Khái niệm : Hàm số y = x,R, đƣợc gọi là hàm số lũy thừa

Chú ý: Tập xác định của hàm số này tùy thuộc vào  cụ thể  N* thì TXĐ là R

Trang 37

N1

Chú ý: Công thức đổi cơ số

Logarit thập phân và logarit tự nhiên

a Logarit thập phân là logarit cơ số 10

( log 10 x thường được viết là logx hay lgx )

b Logarit tự nhiên là logarit cơ số e ( log e x được viết là lnx )

log 5

9 ; d/ 1 log 4 5

( )

1 log 10 3

9 ;

Trang 38

g/ 3 4log 2 8

2  ; h/ 2 3log 2 5

1 log 3 3log 5 2

d/ Dlog 2425 với alog 15, 5 blog 1812 ;

e/ Alog 503 với alog 15, 3 blog 103

Hàm số y = log , đƣợc gọi là hàm số logarit cơ số a

Đạo hàm của hàm số logarit:

Trang 39

u a



1(ln ) 'x

Trang 40

e/ log3 1log 9 log 5 log 23 3 3

Định dạng
Số trang	84
Dung lượng	2,37 MB