Lý thuyết hàm giải tích khóa luận tốt nghiệp

Khéa tuận tốt nghiép Fe dug DaihocS pham Fa W6i 2 LOI CAM ON Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy giáo,

Trang 1

Khéa tuận tốt nghiép Fe dug DaihocS pham Fa W6i 2

LOI CAM ON

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ giải tích nói riêng và trong trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung Em xin

bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là thầy giáo

1.S Nguyễn Văn Hùng, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà

em trình bày trong khóa luận này sẽ không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 201 1

Sinh viên

Lê Thị Thắm

Trang 2

Khéa luda tét aghiép Fe bung DaihoeS pham Fa Wéi 2

LOI CAM DOAN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “ Lý thuyết hàm giải tích” em có

sử dụng một số tài liệu tham khảo đề hoàn thành khóa luận của mình Danh sách tài liệu tham khảo này em đã đưa vào mục tài liệu tham khảo của khóa luận

Em xin cam đoan khóa luận được hình thảnh bởi sự cố gắng nỗ lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Văn Hùng cũng như các thầy cô trong tô giải tích Đây là đề tài không trùng với đề tài

Trang 3

Khéa luda tét aghiép Fe bung DaihoeS pham Fa Wéi 2

CHUONG 2 HÀM GIẢI TÍCH .-2e 5° se ©ssevsseevssesvssevsse 20

2.1 Sự khả vi của hàm số biến số phức . - 2 s¿+2+se+cxscrxeerrsee 20

2.2 Điều kiện Cauchy-Riemann 2-©225+£+2EE+EEE+EEESEEESEEEeEkesrkerrkerrk 24 2.3 Ham Qiai tich oe ad 32 2.4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm - 2-2-5 ©2£©E+E££E£+EE+EEerkerrsrrerk 33

CHƯƠNG 3 MỘT SÓ TÍNH CHẤT VẺ TÍCH PHAN

HÀM GIẢI TÍCH - 52-52 cssecsssevssevsse 36

3.1 Tích phân hàm biến phức .- 2-2 ©+s+2+++2+E+E+E+EEE+EEESEEEtrEkrrkerrkree 36

3.2 Định lý Cauchy về tích phân hàm giải tích

trên đường cong đÓng .- - + + 55x +sxkeeEeeeeexrrreree 39 3.3 Một số định lý quan trọng của hàm giải tích 2- s+se+=ce+z 44

CHƯƠNG 4 CHUÖI HÀM GIẢI TÍCH 5< s<sses5sse 48

4.1 Một số định lý về chuỗi hàm giải tích -2 2255 5c cEzcxecrsrree 48

4.2 Phân tích một hàm giải tích thành chuỗi 2 252552 5552252252 52

4.3 Một vài điểm đặc biệt của hàm giải tích c ccccccccxeccrrxeee 60

KET LUAN .Ô 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO .-e 5< 5< se se ssssseEssevssevssersserssere 64

Trang 4

Một trong những nội dung quan trọng của hàm số phức đó là các vấn đề

liên quan đến các hàm số giải tích Nội dung của nó không những có giá trị lý

luận rất sâu sắc mà nó còn ứng dụng một cách có hiệu quả trong việc giải quyết hàng loạt vấn đề khó trong nội dung toán học ( bài toán phân phối số nguyên tố, tính các tích phân suy rộng ) cũng như giải quyết các vẫn đề lớn

của thực tiễn ( các bài toán của lý thuyết đàn hồi, nước thắm, bài toán nỗ mìn

định hướng, các bài toán của thủy khí động hoc )

Chính vì những lý do trên, cùng với niềm yêu thích môn giải tích và được sự gợi ý, hướng dẫn tận tình của thầy giáo T.S Nguyễn Văn Hùng em đã

mạnh dạn chọn đề tài “ ý /huyết hàm giải tích” làm đề tài khóa luận tốt

nghiệp cho mình

2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp các kiến thức về hàm giải tích

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

g Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về sự liên tục, khả vi cũng như các tính chất về tích phân và chuỗi hàm giải tích

ø Phạm vi : Nội dung kiến thức nằm trong phạm vi của giải tích phức

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu lý thuyết hàm giải tích

Trang 5

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích tài liệu có liên quan và tổng kết kinh nghiêm của bản thân

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 4 chương: Chương I, em trình bày một số kiến thức cơ

bản về hàm số biến số phức, dãy và chuỗi hàm phức Chương 2 là nội dung

về sự khả vi, liên tục của hàm giải tích Chương 3, em trình bày về những tính chất quan trọng về tích phân hàm giải tích Chương 4 là nghiên cứu về chuỗi hàm giải tích

Trang 6

Khéa luau tot aghiép Fe ờng DaihoeS: pham Fa (ôi 2

CHUONG 1: MOT SO KIEN THUC CHUAN BI

1.1 Số phức

1.1.1 Định nghĩa

Như ta đã biết trong tập hợp số thực phương trình bậc n (n>2) không phải bao giờ cũng có nghiệm, ví dụ như phương trình x”+1=0 Vì vậy cần phải đưa vào một loại số mới có bản chất tổng quát hơn Tắt nhiên khi đưa ra loại số mới này, ta phải trang bị trên nó một số phép toán mà phép toán này phải phủ hợp với phép toán đã có trên số thực Có nhiều phương pháp để đưa vào loại số mới này, ở đây ta đưa vào số ¡ (đơn vị ảo) là nghiệm phương

trình x°+1=0, và ta xây dựng lên số mới đó là số phức

Dinh nghia 1.1.1

Số phức là số có dạng z= x+iy, trong đó x,ye¡ và ¡ được gọi là đơn

viảo +I=0

x: được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu Rez

y: được gọi là phần ảo của số phức z, kí hiệu là Imz

Xét mặt phẳng xOy, số phức z là một cặp có thứ tự x,y của các số thực x,y

Mặt phẳng xOy lúc đó sẽ được gọi là mặt phẳng phức, ký hiệu là £

Khi đó, trục hoành gọi là trục thực và trục tung gọi là trục ảo

Đặc biệt, nếu y= 0, khi đó số phức z= x+ï0= x là số thực

x=0, khi đó số phức z= 0+ jy=iy là số thuần ảo

X, =X, Hai sé phite z, =x, + iy,,z, =x, + iy,, goi la bang nhau néu |

Yi= V2

Trang 7

Cho số phức z= x+iy , số phức có dạng x—¡y được gọi là số phức liên hợp của số phức z Kí hiệu Z

Tích của hai số phức z, = x, + iy,,z¿= +; + iy„ là một số phức

Z= X3;—y\y; +ỉ Xy,+x2y, , kíhiệu z= Zz¿

Các phép toán trừ và chia của số phức được đưa ra như là các phép toán ngược của cộng và nhân

Hiệu của 2 số phức z¡ và z, kí hiệu là z¡— z„ và thương của z, và z, z¿#_ kí hiệu là z:z„ hoặc z,/z;.Ta có :

Để thấy rõ hơn bản chất hình học của số phức, ta trở lại cách biểu diễn hình

học của nó

SO Le Thi Tham 433 @ - oán

Trang 8

Gọi độ dài của Oz lar Tacé r=AJx + yŸ

Đại lượng r được gọi là modul của

số phức z và là một số thực không âm

Hướng của Oz được xác định bởi

góc ø Góc này được tạo thành bởi

chiều dương của trục Óx và Oz VỚI

z0 Góc ø này được gọi là

Dựa vào hình vẽ ta có : x= rcosớ

y=rsinø

va Zz= x+y= rcosØ + 1rsinø

Đây chính là dạng lượng giác của số phức

Dựa vào dạng lượng giác ta có thế thực hiện phép tính nhân trong trường số phức một cách đơn giản

That vay z,z,=7 cosp,+ising, r; cosp, +ising,

Trang 9

Trong trường hợp mọi thừa số đều bằng nhau, nghĩa là:

4=£ k=l,2, m thìta có công thức Moivre như sau

z"=|r C€OSØ +1SIn@ ver cosng +isinnge (1.1.3)

Dựa vào dạng lượng giác và công thức (1.1.3) ta có thể tính được các căn thức của số phức

Ta gọi căn bậc n cha số phức z, kí hiệu alz , trong dé n 1a sé ty nhién,

arg z;arg z+ 273 ;arg z+ 2(n—1)z thì az sẽ nhận n giá trị khác nhau

fz =4lr (cos MES + kon +isin SES **7 + ken ) (1.1.6)

k=0, 1 n-1

Trang 10

Vi n gid trị trên đều có cùng modul (bằng alr ) nên chúng cùng nằm trên một đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính là alr Ngoài ra, vì acgumen của chúng sai khác một đại lượng ;r k=0,1,.,z—1_ nên chúng tạo thành một

Nhu vay c6 n gia tri cua can bac n cua 1, tao thành các đỉnh của một đa giác

đều nội tiếp một đường tròn tâm Ø bán kính bằng 1 Một trong các đỉnh đó

Trang 11

1.2 Một số khái niệm và định lý về giới hạn

1.2.1 Lân cận

Định nghĩa 1.2.1 : Khoảng cách giữa hai diém z,= x,,y, ;z¿= x;,y; được

định nghĩa là modul của hiệu z¡ — z,,

nghĩalà đ zz;¿ =|z,-2,|=y 4-2 “+ yy

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử £ là một số dương bất kỳ, ta gọi tập hợp các điểm ze£ thỏa mãn bat đẳng thức

d 24% <£

là £ - lân cận (gọi tắt là lân cận) của điểm z¿€£, ký hiệu Ứ z,£

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử ø là một số dương bất kỳ, ta gọi tập hợp các điểm ze£ thỏa mãn bat đẳng thức

O<d z,% <é

là ¢ -1an cn thủng của điểm z„ e £

Chú ý : Khái niệm lân cận thủng hay được sử dụng trong trường hợp ta muốn loại chính điểm zạ ra khỏi tập đang xét

1.2.2 Giới hạn

Định nghĩa 1.2.4 Điểm z¿€£ ( hay thuộc £ ) được gọi là điểm giới hạn của tập DC£ ( hay thuộc £ )nếu trong bat ky lân cận thủng nào của Z, ta cling tìm được ít nhất một điểm của D

Dinh nghia 1.2.5 Day a, n=1,2, duoc goi la anh xa cua tap hop cac

số tự nhién n=1,2, vao mat phang £ (hay £)

Điểm ae£ (hay thuộc £ ) là điểm giới hạn của dãy a„ m=1,2, nếu trong mọi lân cận cua a ta có thể tìm được vô hạn phần tử của dãy đó

Nếu z là điểm giới hạn duy nhất của dãy đó thì ta nói rằng đãy

Trang 12

a, — n=l,2, hội tụ về ø và ta viết lima, =a n n->e

1.2.3 Tập mở, tập đóng

Cho A là một tập tùy ý trong £

Ta gọi tập S z,r = zek£ :|z-z9|< r_ là hình cầu mở tâm Zo bán kính r Tập Ss Zor = z€£ ‘|Z Z9|S r lahinh cau dong

g Diém zạ¿ được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại hình cầu mở

Sz rca

g Diém Z duge goi là điểm ngoài của A nếu tồn tại hình cầu mở

S zr AA=D

g Diém Z goi la điểm biên của A nếu với mọi S Zoo đều chứa những

điểm thuộc A và những điểm không thuộc A

g Điểm z¿ gọi là điểm tụ của A nếu mọi lân cận của z¿ chứa ít nhất một

điểm của A khác z¿

g Điểm Z; gọi là điểm cô lập của A nếu tồn tại một lân cận Ù của z¿ chứa

duy nhất một điểm z„ e A

Trên cơ sở đó, ta có một số định nghĩa như sau :

- Tập A gọi là tập mở nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A Hay nói cách khác , nếu điểm ze A thì tổn tại một lân cận của z bao ham trong

A

- Tập A được gọi là tập đóng nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A hay nói cách khác, nếu z# A thì tồn tại một lân cận của z không chứa điểm nào thuộc A

- Tập A được gọi là tập compak nếu mọi dãy trong A đều chứa một dãy con

hội tụ

Trang 13

- Tap A được gọi là tập liên thông nếu không tồn tại hai tập mở E,,E, thoa

mãn điều kiện ACE,UE,; ANE,AE,=2

Bằng cach viét w=u+iv; u= Rew; v=Imw, ham ƒ có thể viết dưới dạng

f(z) = u(z) + iv(z)

Hai ham u,v duge goi là hàm phần thực và phần ảo của f

u(z) = Re f(z) = (Re f(z) w(z=Inf z= Inf z

1.3.2 Giới hạn của hàm số

Giả sử w= ƒ z là một hàm số xác định trên tập hợp DC£ Ta nói

rằng hàm số w= ƒ z có giới hạn là wạœ khi z—> z¿ nếu hàm số

Trang 14

w= ƒ z thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau đây :

¡, Nếu dãy z„ bấtkỳ z„el2 hội tụ về z¿ thì dãy w,= ƒ z, cũng hội

Khi đó ta viết lim ƒ z =ø, hoặc ƒ z -># z—>1ạ

Đỉnh lý: Giả sử hàm f z =u x,y +iv x,y xác đính trên D va

zạ= xạ +íy, là điểm giới hạn Số hạng œz=a+ib là giới hạn của hàm số

ƒ z taidiém z, khivachikhi limu x,y =a, limv x,y =b

X—>Xy XX

yr Yo Y0

Điểm xa vô tận ø= œ e£ tJ{œ} gọi là giới hạn của ƒ(z) khi z->z¿ nếu với mọi R >0, tổn tại lân cận U cia zạ sao chol ƒ(z)l>RVzcU

1.3.3 Tính liên tục, liên tục đều

Cho hàm số ƒ xác định trên tập tùy ý DC£ với giá trị trong £ và

zạ€ D là điểm tụ của D

Hàm ƒ gọi la lién tuc tai z, nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn :

¡, Nếu Z, la điểm cô lập của D hay nói cách khác tồn tại lân cận U

của zạ trong D sao cho UM D= z, nghia la:

Trang 15

Ta thay rằng điều kiện ¡¡, tương đương với một trong hai điều kiện sau :

¡, Ve>0, 3 một lân cận U của z, sao cho:

|ƒ z =ƒ s|<eVzeUaD

¡,, Nếu z„CD,Z„ —> zạ thì

Viết ƒ(Œ)=,(z)+iŒ),zeD Khi đó ƒ liên tục tại Zy = Xy tiv) € D khi

va chi khi u,v liên tục tại ( xạ, yạ)

Hàm ƒ_ được gọi là liên tục trên D nếu nó liên tục tai moi diém ze D

Ham f duoc goi la lién tuc déu trén D néu

gGiả sử hàm ƒ liên tục trên tập liên thông EC£ Khi đó ƒ E_ là tập liên thông trong £

Trang 16

là các hàm liên tục trên hình tròn đơn vị

Nhưng ƒ z không liên tục đều trên hình tròn đó Thật vay:

=> f z không liên tục đều trên hình tròn |z|< I

Vi dụ 2: Chứng minh rằng trên nửa trục thực Rez<0 hàm số w=argz gián đoạn

Giải: Hàm số w = argz là hàm số đơn trị và xác định Vz #0

Gia su z, =x, là một điểm tùy ý thuộc nửa trục thực Rez< 0 Ta có

lim arg z= limarg x+iy = lim artg| 2+ z] =a

Cho ham w= f z lién tuc trén tap Compact K C£ Khi đó:

gf z liên tục đều trên K

gf z bị chặn trên K

gf K la tap Compact trong £

1.3.4 Đường cong Jordan

gø Một đường cong trong mặt phẳng phức là một ánh xạ

Trang 17

7: ab ->£ a,b Cj

trong do x t , y ¢ là các hàm thực liên tục trên đoạn a,b

ø Đường cong gọi là đơn nếu mọi t,,t,€ ab 3t,#t,5 23 t,t, # a,b

đều có 7 t, #7 t, Nếu z a =7 b thì đường cong gọi là đóng (hay khép kín)

gĐường cong gọi là trơn nếu các hàm x £ và y £ có đạo hàm liên tục

ø Đường cong không có điểm tự cắt tức là không tồn tai t,t, € a,b

dé xt, tiyt, =xt, tiyt, va xt, tiyt, #x a tiy a goi la dudng

cong Jordan Dudng cong Jordan kin còn gọi là chu tuyến

gGiả sử 7 là một chu tuyến trong £ Khi đó đường 7 chia mặt phẳng £ thành hai miền Một miền bị chặn (không chứa điểm +œ ) gọi là miền trong

và kí hiệu là D, (hay D; ) Va hiển nhiên ta có oD, =y7

gNếu mọi chu tuyến 7 nằm trong miền D déu thoa man D, cD thi mién D duoc goi la miền đơn liên Nếu tồn tại các chu tuyến Z¡.7; Sao cho các miền D, ,D,,, không bao ham trong D thi D goi la mién da lién

1.3.5 Day ham va chudi ham

gDay ham

Trang 18

Xét dãy hàm biến số phức ƒ,, ƒ, ƒ, (1.3.1)

cùng xác định trên tập tùy ý Dc£

Dãy hàm (1.3.1) được gọi là hội tụ tại ze D nếu dãy số ƒ, z “_ hội tụ

Nếu dãy (1.3.1) hội tụ tại mọi ze Ð thì ta nói nó hội tụ trên D Trong trường hợp giới hạn của dãy là hữu hạn trên D, ta đặt ƒ z = lim ƒ, z,zeD ta được hàm ƒ:2->£ và hàm ƒ này được gọi là hàm giới hạn của day (1.3.1)

Giả sử ƒ,„ là một dãy hàm trên 2C £ , khi đó biểu thức hình thức

n=

được gọi là chuỗi hàm trên D

Với mỗi n=1 ta dat S, z =) f, z z€D thìta được dãy hàm S, trên

k=l

DvàS, z được gọi là tổng riêng thứ của chuỗi

Nếu dãy $„ hội tụ (hội tụ đều) thì ta nói chuỗi (1.3.2) là hội tụ (hội tụ đều) Ham f z =limS, z z€D gọi là tổng của chuỗi (1.3.2) và ta viết

ƒ=Ề/, hoặc ƒ z =Ö)ƒ/, z ,z€D n=l n=l

Trang 19

Khi chuỗi (1.3.2) hội tụ thì đại lượng Ñ, z =ƒ z —Š, z = > ƒ⁄, z gọi

k=n+l

là phan dư thứ n Do đó nếu chuỗi (1.3.2) hội tụ (hội tụ đều) thì day R, hdi

tụ (hội tụ đều) tới không, nghĩa là chuỗi (1.3.2) hội tụ đều nếu với £ >0 tùy

ý, tồn tại số M £œ chỉ phụ thuộc vào £ sao cho với mọi ñ>M £_ ta có

Trang 20

Khéa luau tot aghiép Se ờng DaihoeS pham Fa (ôi 2

CHUONG 2: HAM GIAI TICH

2.1 Sự khả vi của hàm số biến số phức

Giả sử hàm số w= ƒ z =u x,y +iv x,y xc dinh va hitu han trong

một lân can nao dé cua diém z, = xạ + jy, € £

Ta có một số định nghĩa quan trọng sau đây:

Trang 21

Trang 22

Từ đó ta tính được A= op = a

Dinh nghia 2.1.2

Cho hàm số w= ƒ z xác đinh trên miền D ; z,¢ D Cho sé gia Az

sao cho z¿ + Aze 7 Khi đó có số gia của hàm là :

Aw=f z+Az -—f % Nêu tôn tại và hữu hạn lim ~~ thì giới hạn này được gọi là đạo hàm phức

Nhu vay f z = lim Ae

Hàm ƒ có đạo hàm phức tại z„ cũng được gọi là khả vi phức hay £ - khả vi tại z¿ Và khi đó

Aw=f z Az+o Az voi o Az_ là vô cùng bé bậc cao hơn Az khi Az->0

Ta gọi dw= ƒ ` z¿ Az= ƒ' z¿ đz là vi phân của hàm ƒ z tai z

+Az —

Ta có lim | f z+Az —f z J= lim 1 2t& Azs0 Az -f z 4,

Do đó nếu ƒ £ - khả vi tại z thi:

lim C/ +Á =/ z ]=0

nghĩa là ƒ - liên tục tại z

Đạo hàm hàm phức có các công thức và quy tắc tính tương tự như hàm thực Định lý 2.1.1

Nếu ƒ z va g z khả vi tại z; thì ƒ z +g z:ƒ z8 £;

Trang 23

f z/gz g % #0 cũng khả vi phức tai z, v6imoi a, Bef va

Như vậy ƒ £ - khả vi tại thọ

c, Từ ví dụ b ta suy ra nếu f z =P z /0 z là hàm hữu tỷ thì nó

£ - khả vi tại mọi z mà nó xác định

Nhận xét : Ta có thể thấy rằng khái niệm khả vi phức khác với khái niệm khả

vi thông thường của hàm biến thực

Trang 24

Vidu, ham f z = Zz tương ứng như ánh xạ của một hàm hai biến thực

F: x,y a x,-y Hàm này khả vi theo nghĩa thực Tuy nhiên ta thấy điều kiện tồn tại các đạo hàm thực không báo đảm tính khá vi phức

Thật vậy: Có TS lít

Cho Az—>0 theo trục thực thì ta có giới hạn trên là 1

Khi Az-—>0 theo trục ảo thì giới hạn trên là -1

Như vậy biểu thức trên không có giới hạn khi Az—> 0

Để hàm ƒ khả vi phức , ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng

ta cần điều kiện Cauchy-Riemann

2.2 Điều kiện Cauchy-Riemann

Định lý 2.2.1

Để hàm ƒ£-khả vi tại z=x+iyeD, điều kiện cần và đủ là

f 1 °—kha vi tại z và điều kiện Cauchy-Riemamn sau được thỏa mãn tại z

OH ey eM ys Hy a Bay y oy ox (2.2.1)

Ching minh

Điều kiện cần : Giả sử ƒ £-kha vitai z=xtiyeD

Khi đó tồn tại giới hạn :

Trang 25

uxtAx,y -uxy v xtAx,y -v xy

Bây gio ta con phai ching to u x,y vav x,y khavitai x,y

That vay: vi f £-kha vi tai znén

với o Az 1a v6 cùng bé bậc cao hơn Az, tức là :

Trang 26

Au v= Sar Fayre |Az| = = Fans Bayt, |Az|

Ay vas Art Ay +0, |Az| = Far Say to, |Az|

Điều đó có nghĩa là w và w khả vi tại x,y

Điều kiện đủ : Giả sử v và v khả vi tại x, y và hàm ƒ thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemamn Khi đó :

Trang 27

=> jim =lim wl tiv + | ly ;Ô | |

\>0 Az Az>0 Az Az

|Az| +i0, |Az]

=u +iv, +iim CEO Te PN ey i,

2, Từ nhận xét trên ta thấy, nếu ƒ -£ khả vi tại z thì ta có :

, -f , _ Ou, ,Ov_ Ou ,dv_ Ov, ,Ov

& 7 _Ôx Ôy Oy Ody Oy Ox

Trang 28

Ta có thể thấy rằng điều kiện (2.2.5) làm cho lớp hàm khả vi theo nghĩa giải

tích phức là rất hẹp so với lớp hàm khả vi theo nghĩa thực Trong giải tích phức, việc tìm ra một hàm số liên tục trên một khoảng nhưng không kha vi tai bat kỳ điểm nào trong khoảng ấy được coi là một việc không có gì khó khăn Vidunhu ham f z =u x,y +iv x,y sau đây:

f Zz =cosx+ 3iy

f 2 =3y+5ix déu khong thoa man diéu kién Cauchy-Riemann, nghĩa là không khả vi mặc

dù chúng liên tục tại mọi nơi

Hơn nữa, chúng ta cũng thấy rằng, đối với hàm số biến số phức, hai khái niệm khả vi theo nghĩa £ và có đạo hàm là tương đương nhau Tuy nhiên, vì

ý nghĩa quan trọng của nó, ta vẫn nêu lên và chứng minh định lý sau đây :

Định lý 2.2.2

Điều kiện cần và đủ để một hàm số w = f z ,xac định trong một lân

cận nào đó của điểm z„c£ , có đạo ham tại điểm z„ là tại điểm đó, nó khả vi

z> Z

Trang 29

nghĩa là hàm số w= ƒ z thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemamn Do đó ƒ z

khả vi theo nghĩa £ tại z¿

Một số ví dụ :

1, Xét tính khả vi tại mọi điểm của mặt phẳng phức £ của hàm số sau :

ƒ z =||Rez

Trang 30

Giải : Ta có ƒ z =|c|Rez=xJx°+ y? =u x,y tiv x,y

Vậy hàm số ƒ z =|z|.Rez chỉ khả vi duy nhất tại điểm z=0 và ƒ` 0 =0

2, Chứng minh rằng hàm số ƒ z = afxy thỏa mãn diéu kién Cauchy- Riemann nhung khéng ton tai dao ham tai diém z=0

v x,y =0 Tacó: ƒ z =Ñšy =u *,y + x,y >

Trang 31

=> f z thỏa mãn diéu kién Cauchy-Riemann tai z=0 Nhung ham số

khéng tén tai dao ham tai z=0 Thật vậy :

A Fe _ 1m |ŠXÂY af _ mg ŸAxy Ấy lẤy JÍAxAy Ax—iA

A30 Áz - Ac20Ay+tiAy A0 Ay? + Ay? =ằœ

( điều kiện Cauchy-Rlemamn dạng tọa độ cực)

b.Nếu ƒ z có đạo hàm thì ƒ` z -(+:] COSØ — ising

Or or

Gợi ý : a, Trong hệ tọa độ cực ta có

y=rcosp Ou Oudx Ou dy

Tiêu đề	Lý thuyết hàm giải tích
Tác giả	Lê Thị Thắm
Người hướng dẫn	Thầy Giáo Nguyễn Văn Hựng
Trường học	Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Chuyên ngành	Giải tích
Thể loại	Khóa luận
Năm xuất bản	2011
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	63
Dung lượng	7,3 MB