Cung song chính quy định hướng trong E3 khóa luận tốt nghiệp

Ở đó, các khái niệm về cung, cung song chính quy , cung định hướng...à những khái niệm hết sức cơ bán.Tuy nhiên, những vấn đề này còn trình bày một cách sơ lược chưa được phân loại và h

LOI CAM ON

Để hoàn thành khóa luận này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã có những nhận xét quý báu, động viên giúp đỡ em để em hoàn thành khóa luận này trong suốt thời gian vừa qua Đặc biệt em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành nhất tới thầy Nguyễn Năng Tâm đã tạo điều kiện thuận lợi và chỉ bảo tận tình

để em có thê hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Lé Thi Hảo

LOI CAM DOAN

Khóa luận được hoàn thành với sự chỉ bảo của các thầy cô giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm

Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Em xin khẳng định kết quá của đề tài này không có sự trùng lặp với kết quả của đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn

toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Lê Thị Hảo

MUC LUC

MỞ ĐẦU - 2222 nhe 4

Chương 1 KIÊN THỨC CHUẨN BỊ, 22 52552 2S ccxexxcxxerxerrxee 6

ID 4/0 820059 1 - 6

pc chu 0H -.‹‹aŨ 7

3 Cung tham $6 w.ecccescesssesssesssesssesssesssesssecsuesssesssessucsssessscssecsuecsuecssecssecssecaseeese 8 4 Ánh xạ khả vi cccccc+EEEE111 HH 8 5 Truong vecto doc mét cung tham $6 v c.eceesseesseesssesseesseessessseessesssesssessseeese 9 6 Đạo hàm của trường vectơ doc cung tham S6 sccscsesssessseessessssesessesessess 9 Chương 2 CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƯỚNG TRONG EỶ I I §1 Cung trong EỶ -s-s©+c2EEEEEEECE7152711227152112 711.11 11.1 rt.cre 11 1 Cung trong EỂ -s-+cs 2x 2E1221122112211221122112111111 1111.111 tre 11 2 Cung chính QUY .-.- - 6 xxx vn HT nh Hàn ng rhnư 12 3 Cung định hướng .- - - + xxx ng ni, 12 §2 Độ dài cung Tham số hóa tự nhiên của cung chính quy 19

1 DG dai CUNG 0n 19

2 Mặt phẳng mật tiếp của cung tại điểm song chính quy - 22

3 Tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy - -‹ - +: 25

§3 Cung song chính quy trong EỶ, độ cong và độ xoắn của nó 28

1 Độ cong và độ XOAM ccceccccsecsecsececssesecseesecsecsuceesersussuesucseceeseesaesaesecsecsecere 28 2 Cung song chính Quy .cccccsesssceecssesesseeeceeeseeseeeeeecaeeaeeeseesaeeaeeneenseees 32 Chương 3 MỘT SÓ BÀI TẬP VÈ CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƯỚNG TRONG EỶ 9 1121222121212 36

KẾT LUẬN .2-©2ScS2S22 E22 EE211221127112711271E2111211E211E011E21 E211, 43 TAI LIEU THAM KHẢO 2-22 ©22< 2x2 EESEEEEEEErrkkrrrreerrkee 45

hình học vi phân Trong đó Hình học vi phân là môn có tính hệ thống cao,

chặt chẽ, tính logic, và trừu tượng cao Ở đó, các khái niệm về cung, cung

song chính quy , cung định hướng à những khái niệm hết sức cơ bán.Tuy nhiên, những vấn đề này còn trình bày một cách sơ lược chưa được phân loại

và hệ thông một cách chi tiết

Xuất phát từ mong muốn và niềm đam mê tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này em đã quyết định chọn đề tài: “Cung song chính quy định hướng trong E” làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao các kiến thức của cung song chính quy định hướng trong E

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Kiến thức về cung song chính quy định hướng trong E'

3.2 Pham vi nghiên cứu

Khái niệm về cung, cung chính quy, cung song chính quy trong EỶ và một số bài toán liên quan

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về cung song chính quy định hướng trong EỶ

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng kết các tài liệu

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu, luận văn gồm các

chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Cung song chính quy định hướng trong EẺ

Chương 3: Một số bài tập về cung song chính quy định hướng trong E’

Chương 1 KIEN THUC CHUAN BI

Trong chương này chúng ta sẽ nói tới một số định nghĩa, kí hiệu, và một số định lí cơ bản được sử dụng trong khóa luận này

1 Không gian Euclid

Không gian Euclid là một không gian afin liên kết với không gian Euclid hữu hạn chiều

Không gian Euclid được gọi là n chiều nếu không gian vectơ Euclid

liên kết với nó là n chiều

Ta thường kí hiệu E” là không gian Euclid n chiêu và E là không gian

vectơ Euclid n chiều

b) øØ:¡ xE", oŒ)=0+rn (n 1a vecto # 0 cua B"): ảnh của p là

đường thẳng đi qua O với vectơ chỉ phương n

p:j —>E", 0ữ)=0+ Pn (n là vectơ # 0 của E" ), ảnh của nó cũng

là đường thẳng nói trên

Lấy một hệ tọa độ afin trong E” thi: f p= f' p,f*? p, ,f" p

ƒ!:U>¡_ Œ= 1,2, ,n) là một hàm số trên U Khi đĩ f khả vi đớp £ `) khi

và chỉ khi các hàm số ƒÏ (¡ = 7,2, ,n) khả vi lớp£ trên U Rõ ràng tích các ánh xạ khả vi là ánh xạ khả vi Chẳng hạn nếu p:J>U,ta p(t) la mot cung tham số (khả vi) trong U thì ƒò:J->V là một cung tham số (kha vi)

Trong chương này, chúng ta đã xét một số định nghĩa, tính chat, và một

số định lý mang tính chất chuẩn bị Sau đây, chúng ta sẽ đi nghiên cứu sâu

3»

hơn về “Cung song chính quy định hướng trong E””

10

Chuong 2 CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƯỚNG TRONG EẺ

Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn về cung song chính quy định hướng trong EỶ

§1 CUNG TRONG EỶ

1 Cung trong E

1.1 Hai cung tham số trong đương

Định nghĩa (xem [2], tr 69)

Cho 7,J là hai khoảng mở trong ¡ Hàm số f:1> J duoc gọi là một

vỉ phôi nếu ƒ là một song ánh khả vi và ƒ" là một hàm khả vi

Hai cung tham số 0:J->E, ta p(t) vàr:I->E°,ua r(u)

(I,7 là khoảng trong ¡ , ø và r khả vi) gọi là ương đương nếu có vi phôi:

ÂÄ:J>]I sao cho ro = Ø

ta u=A(t)

1.2 Cung trong E*

Quan hệ xác định như trên là một quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương theo quan hệ trên được gọi là một cung Mỗi cung tham số thuộc một

lớp được gọi là tham số hóa của cung

Hai tham số hóa của một cung sai khác nhau một vi phôi, ta gọi vi phôi

này là đổi tham số

2 Cung chinh quy

2.1 Diém chinh quy

Mỗi điểm của cung T trong EŸ được thể hiện trong mỗi tham số hóa của nó bởi một giá trị của tham số, nếu trong các tham số hóa:

ra p(t);ua r(u), no duoc thé hién theo thứ tự tạ và uọ thì: uọ=Âứg) 4là

phép biến đổi tham số a = 40)

* Chú ý: Ảnh của các tham số hóa của một cung Ï` là trùng nhau và được gọi là ánh của I" Tuy nhiên không thể đồng nhất cung với ảnh của nó, nhưng để thuận tiện người ta vẫn thường đồng nhất mỗi điểm của F xác định bởi chẳng hạn ¿trong tham s6 héa ta ,øŒ) của Ï` với điểm øứạ)eE và gọi tắt đó là điểm ty hay P(t) cuacung I xac dinh boi ta p(t)

2.1.1 Định nghĩa (xem [2], tr 70)

Cho cung T xác định bởi

ø:J>E`

ta p(t) Điểm íạ của Ï mà ZØ(ạ)#0 gọi là một điểm chính quy của T con néu P(t) =O thi no gọi là một điểm kì đị của T

Một cung mà mọi điểm của nó đều là điểm chính quy được gọi là một

ư; > z z

tới øØ ứạ) khi f—> í.„ do đó có thê nói một cách hình ảnh: tiếp tuyên của T° tai điểm ø(ạ)= Mụ là “vị trí giới hạn” của các tiếp tuyến MạM khi M dần tới Mẹ dọc cung

2.2 Tiếp tuyến, pháp tuyến, pháp diện

2.2.1 Tiếp tuyến (xem [1], tr 20)

Nếu P(t) la điểm chính quy của cung ø thì đường thẳng (1 ) đi qua Ø() có vectơ chỉ phương Ø'(ạ) gọi là tiếp tuyển cha p tai P(ty)

Cho cung tham số:

Cho cung tham số :

Vậy ø là cung chính quy

Tiếp tuyến tại điểm ØøŒ,) là:

X= ACOSly _ Y—ASiNty _ <— bly

Pháp diện tại 2Œ) là:

đSinfy x—cOSfy — acOSfy y— asinfẹ —b z—bíạy =0

14

3 Cung định hướng

3.1 Định nghĩa

3.1.1 Định nghĩa (xem [1], tr 20)

Định nghĩa: Cho hai cung tham số tương đương Ø: J > Ea p(t)

và r:I->E,ua ríw) Giả sử Â:J —>I là phép đối tham số từ ø sang r thì

24 đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm (vì 4 là vi phôi)

Suy ra: Hoặc 4')>0 với mọi t là điểm trong của 7 hoặc 4'()<0 với

moi t 1a diém trong cliaJ

Nếu 4'{)>0 ta nói 4 là phép đổi tham số bảo tồn hướng và nói p va

r là tương đương định hướng

Ta nhận thấy quan hệ trên là một quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương theo quan hệ trên được gọi là một cung định hướng

Vậy: Cung định hướng là một tập hợp tất cả các cung tham số tương đương cùng hướng với một cung tham số ø:J ->EỶ Ta gọi ø:J->EỶ là một đại diện hay một tham số hóa của cung định hướng đó

Hai cung tham số ø và r là tương đương định hướng vì sẽ tồn tại vi phôi

4: 02zZ > 2,34

ta u=^()=2t+7Z

báo tồn hướng thì: 4')=2>0_ (VieJ)

16

Taco:

een P(t) =cosi+ sin j

(roÂ)Œ)= r(Â0))= r(2¡+#)= cos sin ET

=costi+ sintj Vte (0,27)

Suy ra: rod=p

Vậy hai cung tham số đã cho là tương đương định hướng

3.2 Đáo hướng của một cung định hướng

3.2.1.Dinh nghia (xem [1], tr 20)

Cho hai cung tham số p:J >E*,ta pt va r:l >E),ua ru Néu

có vi phôi đảo hướng (Â' ;? <0,Vi€J)ÂÄ:J->l,fía „=2 £ thì cùng 7_ được gọi là cung đảo hướng của cung 7

3.3 Trường vectơ tiếp xúc đơn vi dọc cung định hướng

Cho I` là một cung chính quy định hướng xác định bởi

pt Pp’ tP

Ø:J->E”,ra ø r thì rõ ràng trường vectoT:U->TU,£a Tt =

là trường vecto tiếp xúc don vị dọc cung T

18

§2 DO DAI CUNG THAM SO HOA TU NHIEN

CỦA CUNG CHÍNH QUY

1 Độ dài cung

1.1 Định nghĩa (xem [2], tr 31)

Cho cung tham số Ø: a¿b —>EỶ xác định trên đoạn thắng (kế cả các

mút) [a,b] và giả sử ø liên tục

Với mỗi phép cha a=t)<t<t< <t,=b, lập tổng

Y= feu peG) i= |- Nếu các tổng đó có cận trên với mọi phép chia như vậy thì

ta nói cung tham số đó có độ đài cung và độ dài cung đó là cận trên ấy

b) p= cos*t, sin? t, cos2t

p(t)= —3cos” tsint,3sin” tcost,—2sin 2t

loro |=2pin2r

20

3a

Dođó|(„ = ÌP ha (SS Jamo

2 Mặt phẳng mật tiếp của cung tại điểm song chính quy

2.1 Điễm song chính quy

Cho cung T trong Ecó tham số hóata ø r

Điểm của Ï` ứng với t trong tham số hóa ta /ø £ của nó gọi là điển

song chính quy (củaT) nếu hệ hai vecto p’ t va ø” £ độc lập tuyến tính

2.2 Mặt phẳng mật tiếp

2.2.1 Định nghĩa (xem [1], tr 26)

Mặt phẳng # đi qua điểm ø £ có phương là (2 t,o" t ) được gọi

là mặt phẳng mật tiếp của T tại điểm song chính quy Ø £

Điểm ø / gọi là iiếp điển của mặt phẳng mật tiếp # với p

Mặt phẳng mật tiếp œ chứa tiếp tuyến tại 2 í¿ nên tồn tại một pháp

tuyến P của cung ø/ mà P Cø Ta gọi pháp tuyến P này là pháp tuyến chính

Để tìm P ta xác định một vectơ chỉ phương y (khác 0 ) của

(P).Vectơ y có dạng v=ag t + bp” t va vip t =0

Do do: b# 0 và ta cé thé xem nhu b=1

> 1 u ưu 24

Ta có thê thay v bang w= p’ t “ov

Vậy một vectơ chỉ phương của pháp tuyến chính có dạng:

2.2.2 Định lí ( điều kiện tương đương) (xem [2], tr 92)

Mặt phẳng œ gọi là mặt phẳng mật tiếp của I’ tai điểm song chính

n.P ty P t =PnP.Pe t Pp t P.Pcosy P= Pp t p t P.sing=h

=d pt,a

Trong đó : và ø được xác định như hình vẽ:

Công thức khai triển Taylor tai diém ty:

Suyraad pt,a@ =|n.p' t) tty +3” ly fT1g, +10 fT—tg

® Điều kiện can

3 Tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy

3.1 Định nghĩa (xem [2], tr 8)

Một tham số hóa r: 7—>EỶ, sa z s của một cung chính quy T được gọi

là một tham số hóa tự nhiên của nó néu Pr’ P= 1

* Nhận xét: Mọi cung chính quy (kế cả cung chính quy định hướng)

đều có tham số hóa tự nhiên

c) Néu p: I>E*, ta ot là một tham số hóa bất kì của một cung

chính quy thì ta có thể đổi tham số t sang tham số s theo công thức:

t

Xét hàm số Â:J->ji ,fa s=At = [Pp' t Pdt

!ọ

Suy ra A:J >I (véi Ilà khoảng mở trong ¡ ) là một vi phôi

Cho tham số øØ:ị¡ ->EÌ,!a 0+øe f +bik tí (a? +b’ #0)

Tim tham sé héa tu nhién cua p

Chon f) =0 suy ra A(ty) = YXa?+b?t=s

Khi đó: r=øo2!:¡ >E°

Vậy tham số hóa cần tìm là:

uuu r(s)= ae r —=—|+?-=—:i s r

§3 CUNG SONG CHÍNH QUY TRONG EỶ

DO CONG VA DO XOAN CUA NÓ

1 Độ cong và độ xoắn

1.1.Độ cong

1.1.1 Định nghĩa (xem [2], tr 89)

Cho cung chính quy T trongE” Xét một tham số hóa tự nhiên của nó,

sa r(s) thì mọi tham số hóa tự nhiên của nó có dạng ro, Ä'=+I

(vậy 4"=0) Từ đó đặt 7 =r' thì 7 là một /rường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc

I', nhưng n không phụ thuộc vào r, tức 3 xác định một trường vectơ

dọc [` vì trong tham số hóa tự nhiên a r 2Œ)

D rod’ _D Ard) ~4" rod tàn o4 ]~ 04

Cho cung chính quy với tham số hóa bất kỳ ø:J ->EÌ,?a p(t) Lay

một tham số hóa tự nhiên của nó là z:/->EỶ, sa z s mà Ä:J->/ là

phép đổi tham số từ t sang s thì o=ro4, s=Â0)

28

Ta cĩ:

øŒ)= roÄ ()

/Œ)=r(s)+0) ø"@)= rs).4"@)+ r"(s).3'”0)

Vi vay r'(s) =a Tu do ta co: r(s)=O+as+b, voi a,b 1a vectơ hang

tức ảnh của ` nằm trên một đường

Khi do: on = 0, nénk s =0, Vsej Suyra: k=0

Vậy mọi cung thăng có độ cong bằng 0

b) Cung có độ cong k bằng 0 sẽ là cung thẳng

Suy ra: r(s)=O+ r(s)

Do d6 ta c6:r(s)=O+1(s)=O+setc=O'tse (tinh tién Olen mot

điểm Ø').Vậy cung có độ cong k bằng 0 là cung thẳng

c) Tính độ cong của cung tròn có tham số hóa:

T rij DE’, sa oxR 2)

1.2.Độ xoắn

Định nghĩa: ChoT là một cung song chính quy định hướng trong E” thì

đã có trường vectơ tiếp xúc đơn vị 7 ( xác định hướng) và trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị W dọc T Bây giờ nếu n=3 và EỶ đã có hướng thì xác định được trường vectơ đơn vị B=7 AN dọc IT gọi là rường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc T'.(phương của củaB tại mỗi điểm là phương của trùng pháp tuyến của T tại điểm đó) Vậy cho cung chính quy định hướng T trong

E (có hướng), có trường mục tiêu trực chuẩn thuận 7,N,B dọc Ï gọi là

trường mục tiêu Frétnet dọc Ì`

Khi đó, do B.B=1 nén a8 =0

s

Do BT =0 nén DB yp PT _o