Phương pháp giải các bài toán động lực học vật rắn khóa luận tốt nghiệp

Về nguyên tắc có thể áp dụng các phương trình động lực học về chuyển động của hệ chất điểm song vì khoảng cách giữa các chất điểm của vật rắn là không đổi nên vật rắn có nhiều tính chất

LOI CAM ON

én xin chéa thanh cam ou su chi bao va gitp 6 tan tinh cha thay gido FS Dao Cong Wghinh trong suébt qua trinh thue hién khoá luận này, đồng thời em xin chan thanh cam ơn thâu cô giáo trong t6 Oat lý đại cương đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khoá luận tốt ughiép eta minh

uy tuên đây tà bước đâu làm quen v6i chug tae aghiétn atu

khoa học nên đề tài của cứt không trán: khói thiếu sót (0ì ody em vat

tong được sự góp ý của thầu cô giáo oà các bạn siuft oiên để khóa luda caa em duge hoan thién hon

Ha noi, thang 5 nam 2007

Sinh vién

Phí Thị Trâm

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

LOI CAM DOAN

Khoá luận tốt nghiệp “Phương pháp giải các bài toán động luc hoc vat

rắn” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

ớt Ø)ào (2ôug ((gfuứt Khóa luận này không trùng với kết quả của các tác

giả khác

Tôi xin cam đoan những điều trên đây là đúng sự thật, nếu sai tôi xin hoàn

toàn chịu trách nhiệm

Hà nội, thang 5 nam 2007

Sinh vién Phí Thị Trâm

MUC LUC

Trang

1.2.1 Phương trình chuyển động của vật rắn quay quanh 3 một trục cố định

1.2.2 Định luật bảo toàn và biến thiên mô men động lượng ll

1.2.4 Động năng của vật rắn chuyển động 13

1.2.4.2 Động năng của vật rắn chuyển động bất kỳ 13

1.3 Can bằng của vật rắn Hệ lực cân bằng 18

Chương 2: Phương pháp giải một số bài toán động lực học vật rắn 20

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

PHAN A: MO DAU

1 Ly do chon dé tai:

Vat ly hoc là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu quy luật

tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu tính chất và cấu trúc của

vật chất và những định luật của sự vận động vật chất

Cơ học nghiên cứu những vất đề đơn giản nhất nhưng lại là cơ bản nhất

trong hệ thống tri thức Vật lý Cơ học vật rắn là một phần của giáo trình cơ học,

nghiên cứu chuyển động của vật rắn, điều kiện cân bằng của vật rắn và một số

hiệu ứng liên quan Vậy vật rắn là gì? quy luật chuyển động của nó như thế nào

và bị chi phối bởi những định luật nào?

Vật rắn là vật có hình dạng và kích thước không đổi Ta có thể xem vật rắn

là hệ chất điểm mà khoảng cách giữa chúng không thay đổi, vật được định nghĩa

như vậy sẽ không bị biến dạng nên được gọi là vật tuyệt đối rắn Về nguyên tắc

có thể áp dụng các phương trình động lực học về chuyển động của hệ chất điểm

song vì khoảng cách giữa các chất điểm của vật rắn là không đổi nên vật rắn có

nhiều tính chất đặc biệt và ta không thể giải quyết bài toán chuyển động của vật

rắn một cách nhanh gọn triệt để bằng phương pháp động lực học hệ chất điểm

Trong thực tế rất nhiều người sẽ gặp khó khăn khi giải quyết bài toán chuyển

động của vật rắn Chính vì vậy tôi bước vào nghiên cứu đề tài: “Phương pháp giải

các bài toán động lực học vật rắn”

2 Mục đích nghiên cứu:

- Tìm hiểu chuyển động và cân bằng của vặt rắn

- Đề ra phương pháp giải các bài tập động lực học vật rắn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay của vật rắn và một

số định luật bảo toàn chi phối chuyển động của vật rắn

- Đưa ra phương pháp giải bài toán động lực học vật rắn

- Minh hoạ bằng việc giải một số bài toán động lực học vật rắn

4 Đối tượng nghiên cứu:

Động lực học vật rắn và các bài toán liên quan

5.Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp đọc sách và tài liệu

- Phương pháp phân tích- tổng hợp

- Phương pháp đối chiếu- so sánh

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

PHAN B: NOI DUNG

CHƯƠNG 1: ĐỘNG LỰC HOC VAT RAN 1.1 Chuyển động của vật rắn

- Chuyển động bất kỳ của vật rắn có thể quy về hai dạng chuyển động cơ bản là chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay

Trong chuyển động tịnh tiến: Tất cả các điểm của vật đều có cùng một véctơ vận tốc và véctơ gia tốc tại mỗi thời điểm bởi vì các điểm của vật đều có

độ dời như nhau Do vậy để nghiên cứu chuyển động tịnh tiến của vật thì chỉ cần khảo sát chuyển động của một điểm bất kỳ của nó; người ta thường chọn điểm này là khối tâm của vật

Trong chuyển động quay tất cả các điểm của vật chuyển động theo những

đường tròn có tâm nằm trên cùng một đường thẳng gọi là trục quay Những điểm nằm trên trục quay có vận tốc bằng không Mô tả chuyển động quay của vật cần

phải biết vị trí của trục quay trong không gian và vận tốc góc của vật tại mỗi thời điểm

- Trong đề tài này ta chỉ xét chuyển động song phẳng Chuyển động song

phẳng là chuyển động trong đó mọi điểm của vật dịch chuyển trong những mặt

phẳng song song với nhau Một dịch chuyển nguyên tố ¿S của một điểm của vật

chuyển động song phẳng có thể chia thành hai dịch chuyển: dịch chuyển “tịnh tiến” Zÿ„ và dịch chuyển “quay” 4%

quay với vận tốc góc ø quanh một trục nào đó Vận tốc v' của điểm có bán kính

vecto r so với trục quay, do su quay của vật rắn gây ra là ve b A rl

Vậy ï=ìy +|ð^7]

Thông thường điểm cơ bản được chọn trùng khối tâm thì v=v, + [on r|

- Vận tốc của chuyển động tịnh tiến của vật rắn phụ thuộc điểm cơ bản ta chọn còn vận tốc góc lại có giá trị như nhau đối với các trục quay tức thời được

Dao ham 2 vế biểu thức trên ta được: v„ =v,+ =

v„;»„ là vận tốc của điểm /, A đối với hé O

Vật tuyệt đối rắn quay quanh trục qua A với vận tốc ø Nên 4M có độ

lớn không đổi mà chỉ thay đổi về phương

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

(1.1) và (1.2) citing biéu dién van téc cha diém M trong hé O nén ta c6:

Vy =Yy Ẩv,+|ÐA7 =v, + fo ar Thay z =z+R vào đẳng thức trên ta có:

v.+løAzl=v,+lgAzgAR[_ d3)

Vận tốc của A khi chọn A’ làm điểm cơ bản: v, =v,+ |e A |

Thay v, vao vế phải của (1.3) ta có:

v„+|ðAr|=v, +|ø Ar|

+ |ðAz|El2^z] —> ø=ø (điểu phải chứng minh)

- Vận tốc của hình trụ lăn không trượt:

Xét vật rắn là một hình trụ quay quanh một trục không đổi với vận tốc

góc không đổi ø đối với hệ K gắn với trục quay Hệ K? chuyển động tịnh tiến đối với hệ đứng yên K với vận tốc v, theo truc ox

Hình trụ có bán kính #, nếu lăn không trượt dọc theo øx thì mỗi vòng lăn, trục hình trụ đã dịch chuyển đối với hệ K một đoạn bằng 2ï7rR Trong khoảng

thời gian đ, đoạn dịch chuyển là:

Đối với hệ KỶ thì vận tốc v' của mỗi điểm trên mặt hình trụ đều có cùng

mô đun y`= @# và có phương tiếp tuyến với quỹ đạo

Vậy: Vận tốc của mỗi điểm trên mặt hình trụ đối với hệ K là: y=v,+w

A

!

! ' ' ' ' ' ' '

Vv, =v) +v, =0

„„ v, hướng từC dén B, vy = oRV2 v„ =v,+v„ „v„ cùng hướng My, Vc = 2@R

vi=vty, vy hướng từ D dénC, vp = oRV2

- Nếu chọn trục tức thời qua A thì vận tốc tịnh tiến của A bằng 0 nên vận tốc của các điểm trên hình trụ chỉ là vận tốc quay quanh trục tức thời với vận tốc góc cũng là ø

Vật rắn chuyển động xung quanh trục cố định øz mỗi điểm của nó chuyển

động trên đường tròn vuông góc trục quay, có tâm nằm trên trục quay

Tác dụng vào vật một lực bất kỳ F dat tại A có thể phân tích F ra thành hai thanh phan: F=F,+F,

F, : la thanh phan song song truc oz Thanh phan nay 1am vat chuyén dong

dọc trục Khi trục quay cố định thi F, can bang với phản lực liên kết

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

F là thành phần vuông góc với trục øz Ta phân tích:

- Gọi các chất điểm của vật rắn là m; Chat diém chiu tac dung ca ndi luc

và ngoại lực nhưng nội lực không làm biến đổi chuyển động của vật rắn nên ta

chỉ quan tâm tới ngoại lực

Xét chất điểm m, bất kỳ Nó chịu ngoại lực Ƒ„ theo phương tiếp tuyến với

quỹ đạo chuyển động có bán kính r,

Theo định luật LI Niutơn:

F, = mai, |

rf, =1ma,,} i t fa > 7F, = em? it i d,, = &

Vế trái: rjF„= M,,

Vậy: M, = amjrỶ

Lấy tổng theo tất cả các chất điểm ta có:

YM, = dens = M, (Zoe

Ym? =1 duge goi 1a momen quan tinh của vật đối với trục quay

Vậy M, =Ie

Do 7 > 0 nên ta có thể viết 8, =/e (1.4)

Phương trình (1.4) là phương trình định luật II Niutơn cho chuyển động quay quanh một trục cố định của vật

10

Nội dung: Tích mômen quán tính của vật với gia tốc góc của nó quay

quanh một trục bằng tổng mômen ngoại lực tác dụng lên vật đối với trục quay

1.2.2 Định luật bảo toàn và biến thiên mômen động lượng

Như vậy: L=T1a

Phương trình chuyển động quay của vật có thể viết dưới dạng tổng quát:

M, = 2, -ø] d5)

Phương trình (1.5) là phương trình của định luật biến thiên mômen động lượng của vật

Định luật này được phát biểu như sau: Tốc độ biến thiên mômen động

lượng của vật đối với trục quay nào đó bằng hình chiếu của mômen các ngoại lực

tác dụng lên vật trên trục ấy

Day là phương trình của định luật bảo toàn mômen động lượng

Nội dung của định luật bảo toàn mômen động lượng: Khi mômen của các

ngoại lực tác dụng lên vật đối với một trục nào đó bằng không thì mômen động

lượng của vật đối với trục đó không đổi

11

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

Mômen quán tính là một đại lượng cộng tính

Mômen quán tính của mỗi vật chỉ thể hiện khi có mômen ngoại lực tác dụng

lên vật Với cùng một mômen lực tác dụng , vật có mômen quán tính càng bé thì

thu được gia tốc góc càng lớn và ngược lại

- Định lý Stenơ- Huyghen:

Mô men quán tính 7 của vật rắn đối với một trục bất kỳ bằng mômen quán tính ?¿ của vật đó đối với trục song song với trục bất kỳ và đi qua khối tâm G của vật cộng với tích của khối lượng z của vật với bình phương khoảng cách z giữa

A, la trục song song øz đi qua khối tam G vat

A là trục bất kỳ song song với A,, đi qua điểm P, A cách A, một khoảng a Chọn hệ toạ độ có gốc ở khối tâm

Xét một phần tử khối lượng đi bất kỳ của vật rắn VỊ trí của đm được xác

định bởi bán kính vectơ # đối với G và z đối với P

1„, I là mômen quán tính đối với trục Ag, A

12

Vậy I =I, + ma’ (dpem)

1.2.4 Động năng của vật rắn chuyển động

1.2.4.1 Dong năng của vật rắn quay:

Vật quay xung quanh trục cố định (giả sử là trục øz) Vân tốc dài của khối

lượng nguyên tố m, là v, = øœK,

®, là khoảng cách từ m, đến øz

2 1H,Y;

Trong đó: 7, là mô men quán tính của vật đối với trục øz

1.2.4.2 Động năng của vật rắn chuyển động bất kỳ:

Vận tốc của khối lượng nguyên tố thứ ¡ là ÿ,= ÿ,+[ø A z, ]

Trong đó: v, là vận tốc của điểm cơ bản Ó ta chọn

7, là bán kính véc tơ xác định vị trí của khối lượng nguyên tố thứ ¡ đối với gốc Ó

13

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

Động năng cua khdi lugng nguyén t6 m, la:

Goi R,1a khoang céch tit m; dén truc quay ta cé: |[d ~ z, ]Ì= aR;

Động năng của vật rắn chuyển động bất kỳ bằng tổng động năng chuyển

động tịnh tiến và động năng quay quanh trục đi qua khối tâm

* Cơ năng của vật rắn trong trường lực thế:

- Trong trường lực thế thế năng của vật tại một vị trí có giá trị bằng công mà lực thế thực hiện khi dịch chuyển chất điểm từ vị trí tính thế năng đến

E=m Mm tS I,@° + mgh = const

1.2.5 Ma sát trong chuyển động lăn

Xét một hình trụ tròn đồng chất khối lượng zø bán kính # lăn trên một mặt

phẳng ngang

* Hình trụ được truyền trước một chuyển động tịnh tiến thẳng đều (hình

trụ không quay) theo phương ngang với vận tốc ÿ,

Thời điểm ¢ = 0 hình trụ được thả cho chuyển động trên mặt ngang

- Nếu hoàn toàn không có lực ma sát thì hình trụ tiếp tục chuyển động tịnh tiến

trên mặt ngang với vận tốc z„ và không quay

- Khi có lực ma sát Fns (ma sat truot)

Phương trình chuyển động của hình trụ:

động tịnh tiến của hình trụ giảm dần, còn lực

ma sắt gây ra mômen quay làm hình trụ quay nhanh dần Điểm tiếp xúc A của

hình trụ và mặt ngang trượt về phía trước với vận tốc y- øR

Gọi ứ, là thời điểm hình trụ chỉ lăn mà không trượt Khi đó vận tốc của

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

Thời điểm ¢ = 0 hình trụ được thả cho tiếp xúc với mặt ngang

- Nếu hoàn toàn không có ma

sát thì nó tiếp tục quay tại chỗ với vận —

Từ đó ta thấy hình trụ vừa chuyển động tịnh tiến nhanh dần về phía trước,

vừa chuyển động quay quanh trục chậm dần Vậy trục hình trụ chuyển động sang phải với vận tốc v, còn điểm tiếp xúc A giữa hình trụ và mặt ngang trượt về phía sau với vận tốc øR -v

- Đến thời điểm /, hình trụ chỉ lăn mà không trượt, vận tốc của điểm tiếp xúc bằng 0

* Két ludn:

- Muốn duy trì chuyển động lăn đều không trượt phải đặt lên hình trụ 1 luc

Z Trong chuyển động lăn còn xuất hiện thêm lực cản mới # không đi qua tâm

O dé:

+ Cần lại chuyển động tịnh tiến

+ Cần lại chuyển động quay

momen can M =|oBAF |, M.=R.F, =6N

trong đó ổ= 4B có thứ nguyên độ dài và được gọi là hệ số ma sát lăn

- Hình trụ lăn có trượt thì có cả lực ma sát lăn và lực ma sát trượt tác dụng

nhưng thực tế có thể bỏ qua ma sát lăn vì nó rất nhỏ so với ma sát trượt

- Hình trụ lăn không trượt và có một lực (hay một ngẫu lực) nội lực hoặc ngoại lực có xu hướng làm tăng hay giảm tốc độ tịnh tiến hoặc quay của hình trụ, thì ngoại lực ma sát lăn còn xuất hiện cả lực ma sát nghỉ

* Để thấy rõ tác dụng của ma sát trong chuyển động lăn ta hãy phân tích chuyển động của các bánh xe ô tô

- Bánh xe phát động: Do chuyển vận của động cơ bánh xe có một ngẫu lực phát động tác dụng Ngẫu lực này chỉ có thể làm quay bánh xe chứ không gây

chuyển động tịnh tiến của xe Nhưng do ma sát nghỉ xuất hiện giữ cho điểm tiếp

xúc của bánh xe với mặt đường không trượt về phía sau Lực ma sát nghỉ này tạo nên mômen cản chuyển động lăn của bánh xe, mặt khác nó gây ra gia tốc tịnh

tiến cho bánh xe, đẩy bánh xe chuyển động về phía trước

- Bánh xe thụ động thì tự nó không quay mà tịnh tiến do tác dụng đẩy của

bánh xe phát động Khi nó lăn không trượt thì chỉ lực ma sát lăn tác dụng mà

thôi Ma sát tác dụng vào bánh xe thụ động chỉ có vai trò tiêu cực cần trở chuyển

động tịnh tiến

17

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

1.3 Can bằng của vật rắn Hệ lực cân bằng

Chuyển động bất kỳ của vật rắn được xác định bởi 2 phương trình:

E=XYE =mã

p< ak

M= F |=

xỉ A? dt

Nếu thay thế hệ lực tác dụng bằng một lực mà trạng thái chuyển động của

vật không thay đổi thì lực đó gọi là hợp lực “ , điểm đặt của Fˆ có bán kính

Nếu các lực là các lực đồng qui thì z =z Hợp lực của hệ là “ thì

F = a „ hợp lực này có mômen lực là tổng các mômen lực đo các lực FE gay ra

- Hợp lực của hệ lực song song:

Gọi e là vectơ đơn vị trên một trục song song với giá của các lực F :

FaDF =D Fee,

Diém dat cua F duoc xac định từ biểu thức (1.8): [- A FÌ- > E A F|

+ Vận dụng kết quả trên vào trường hợp: F, 1a trong luc tac dung lén phan

F=WF=0

w=>w,=>[ xF]=0

Hệ lực mà có tổng các lực bằng 0 và tổng mômen lực bằng 0 gọi là hệ lực cân bằng

+ Khi 1⁄, (tổng mômen lực đối với điểm O) thoả mãn điều kiện hệ lực cân bằng thì với O” bat kỳ ta cũng có M„ =0

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

CHUONG 2: PHUGNG PHAP GIAI MOT SO BAI TOAN DONG HOC VAT RAN

Bài toán động lực học vật rắn cũng có 2 phương pháp khảo sát đó là phương pháp động lực học và phương pháp các định luật bảo toàn như các bài toán cơ học khác Tuy nhiên trong từng phương pháp có sự khác biệt mà ta sẽ

thấy được sau đây

2.1 Phương pháp động lực học

Bước l1: + Chọn hệ qui chiếu sao cho việc giải bài tập là đơn giản nhất

Thông thường hệ qui chiếu được chọn là hệ qui chiếu quán tính

+ Chọn chiêu dương của mômen lực

Trong đó: Z là ngoại lực thứ ¿ tác dụng lên vật

a la gia tốc khối tâm của vat

Bước 4: Chiếu (1) lên hệ qui chiếu đã chọn

Chiếu (2) lên chiều dương của mômen lực đã chọn

Bước 5: Giải hệ phương trình hình chiếu để tìm ẩn số

Khi ẩn số ít hơn số phương trình thì phải viết thêm các phương trình liên quan: Lực: biểu thức định luật IIT Niutơn, biểu thức độ lớn của các loại lực

Gia tốc: Các công thức động học tương ứng

Điều kiện bài toán: Vật lăn không trượt: /„ < ƒ„ „z=eR

Vật lăn có trượt: Fone = #„„.a # eR

* Nếu hệ qui chiếu ta chọn là hệ qui chiếu không quán tính thì các phương

trình mô tả chuyển động của vật là:

SE+E, =ma (W

20

M=XM,+M,= SỈ? ^F|*Ì,^F,|F12 ey hay Yaa, = ”

Do lực quán tính đặt tại khối tâm nên nếu xét hệ không quán tính gắn với

khối tâm thì 8, =0 do vậy khi lập phương trình (2)’ không cần tính tới mômen

của lực quán tính

2.2 Phương pháp sử dụng các định luật bảo toàn

Các định luật bảo toàn là công cụ rất có hiệu lực trong việc nghiên cứu chuyển động của cơ hệ Trong trường hợp chưa biết các lực tác dụng (khi va chạm) thì các định luật bảo toàn là phương tiện duy nhất để chúng ta khảo sát hệ

cơ học Ngay cả khi biết các lực tác dụng người ta vẫn sử dụng phương pháp này

để tránh các phép tính phức tạp không cần thiết Trong việc giải các bài toán

động lực học vật rắn chúng ta sử dụng hai định luật chủ yếu: Định luật bảo toàn

cơ năng và định luật bảo toàn mômen xung lượng

2.2.1 Bài tập giải bằng định luật bảo toàn cơ năng

Bước I1: Chỉ ra hệ vật cần nghiên cứu

Bước 2: + Xác định các lực tác dụng lên hệ

+ Chọn mốc thế năng sao cho việc giải bài tập là đơn giản nhất

Bước 3: Viết phương trình của định luật bảo toàn hoặc biến thiên cơ năng

+ Hệ chỉ chịu tác dụng của lực thế thì áp dụng định luật bảo

toàn cơ năng : Z, = Ƒ,

+ Ngoài lực thế, hệ còn chịu tác dụng của lực không thế thì áp

dụng định luật biến thiên cơ năng: dE=dA,, © E,-E, = Aggy

Bước 4: Giải phương trình trên tìm ẩn số

2.2.2 Bài tập áp dụng định luật bảo toàn hoặc biến thiên mômen xung lượng Bước 1: Chỉ ra hệ vật cần nghiên cứu

Bước 2: + Chọn hệ trục toạ độ sao cho việc giải bài tập là đơn giản nhất

+ Xác định mômen động lượng của các vật trước, sau tương tác Bước 3: Viết phương trình của định luật bảo toàn hoặc biến thiên mômen xung lượng:

21

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

+M=0 Hệ kín # =0

M=>M,=0 mac di F #0

F la luc xuyén tam, giá của lực đi qua điểm tính mô men

Áp dụng định luật bảo toàn mômen xung lượng: = =0 © ,-L, + Nếu một trong các điều kiện trên không thoả mãn thì áp dụng định luật

biến thiên mômen xung lượng: 4⁄; =_ S© dL, =M,dt

Bước 4: Giải phương trình tìm ẩn số

22

CHƯƠNG III: MOT SO BAI TAP MINH HOA PHUONG PHAP GIAI BAI TAP DONG LUC HOC VAT RAN

Bài 0: Bài toán bổ sung

Dựa vào các kiến thức đã tìm hiểu thì ta có thể làm rõ một số điều kiện tương đương với các dữ kiện cho trong bài tập Đó là bỏ qua khối lượng ròng rọc,

bỏ qua khối lượng sợi dây, dây không giãn Ở các bài sau có sợi dây và ròng rọc

khi không nói gì thêm ta hiểu là luôn có 3 điều kiện trên

Mô men quán tính: 7= 3m? = [ pdvr?

Bỏ qua khối lượng ròng rọc nên 7 =0 Vậy ta có: l: AT r, AT | 0

Chiếu phương trình trên lên phương trục của ròng rọc:

- Đối với ròng rọc l nấc: Ta có RŒ; -7,)=0

- Đối với ròng rọc 2 nấc: Phương trình hình chiếu là:

RT.-R,T,=0 => rT,

= Vậy khi bỏ qua khối lượng ròng rọc thì ròng rọc 1 nấc chỉ có tác dụng

làm thay đổi chiều của lực tác dụng, còn ròng rọc nhiều nấc có tác dụng biến đổi chiêu và độ lớn của lực tác dụng

* Bỏ qua khối lượng sợi dây:

Giả sử trên sợi dây ta chia ra các đoạn nhỏ khối lượng Am cé thé coi 1a 1 chất điểm

23

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

Tác dụng lén Am cé6 trong luc AP va 2 lực căng 7,7, đặt vào 2 đầu của Am

Theo định luật II Niuton ta c6: 7 +7, + AP = Ama

Bỏ qua khối lượng sợi dây nên:

Như vậy khi bỏ qua khối lượng sợi dây thì sức căng dây

* Khi dây không giãn: 2 vật nối vào 2 đầu dây dịch P

chuyển được quãng đường bằng nhau trong cùng khoảng thời 7

1

gian — 2 vat d6 c6 cing van téc và gia tốc tại mỗi thời điểm

Bai 1: Cho qua cau có khối lượng m, bán kính z, thả từ nghỉ ở độ cao ø

a Xác định gia tốc, vận tốc khối tâm của quả cầu khi nó ở chân mặt phẳng nghiêng, cho biết quả cầu lăn không trượt

b Giả sử quả cầu lăn không trượt trên toàn bộ quĩ đạo chuyển động Tính

¡„ để quả cầu không rời khỏi chỗ cao nhất của đường vòng, cho R))z

c Nếu quả cầu được thả từ độ cao #=6# thì thành phần nằm ngang của

lực tác dụng vào quả cầu tại Ở là bao nhiêu?

- Chọn hệ qui chiếu quán tính øxyz gốc O tring với khối tâm quả cầu ở

thời điểm ban đầu

Cac truc ox,oy,oz có hướng như hình vẽ

Chiều øz là chiều dương của mô men lực

24

- Tác dụng lên quả cầu có trọng lực P, phản lực pháp tuyến của mặt

phẳng nghiêng X, lực ma sát7„ Vì quả cầu lăn không trượt nên ma sát ở điểm

tiếp xúc Z„ là lực ma sát nghỉ

Trục quay là trục qua khối tâm và song song øz

- Phương trình chuyển động của quả cầu:

Hình trụ lăn không trượt nên: a=eR

Thay F,, vao (3) tacé: Psina — 08 =ma > = mgsine

mực R*

Quả cầu đặc: 7, =e mk > a=2gsina

+ Hình trụ lăn đến cuối dốc, nó di được quãng đường /= tO Trong

sin@

chuyển động nhanh dần đều không vận tốc ban đầu v? = v2as

Vận tốc khối tâm hình trụ ở cuối chân dốc: v? =4J2ai = 7 gh

> h„= ms = “ma = “mộ sina=2m sina 5 78 7 6

Điều kiện để quả cầu lăn không trượt: F„ <#„„ = HN ms

oS 7 mgsin oS mg sin ở S

So tgas3,5u Cách 2: Phương pháp năng lượng:

- Tác dụng lên quả cầu có trọng lực P, phản lực pháp tuyến của mặt phẳng nghiêng N, lực ma sát nghỉ F, Như vậy vật chuyển động trong trường thế và lực ma sát nghỉ, phản lực pháp tuyến không sinh công nên cơ năng của nó

bảo toàn

E=T+U =const

25

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

- Chon géc thé nang 6 mat ngang

Ở độ cao ¡ : Cơ năng quả cầu chính là thế năng #, =„gh

Khi quả cầu đã lăn trên mặt nghiêng một đoạn x thi co nang cua vat:

* Trong bài toán này ta đã bỏ qua ma sát lăn Giải bằng phương pháp năng

lượng đơn giản hơn cách thứ nhất rất nhiều

b Tác dụng vào quả cầu khi nó chuyển động trên đường vòng gồm có trong luc P, phản lực pháp tuyến của mặt cong X, lực ma sát nghỉ Z„_ ms *

Phương trình định luật II Niutơn: P+ +F,, =ma ms

Chiéu phuong trinh nay lén

Để hòn bị không rời khỏi

đường tron thi NV >0

N+P="™ 2p > wv = PR _ or

26

Ap dung định luật bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí C, A:

Bai 2: Co hé g6n con lan ban kinh R, khoi lugng m dat trén mat ban nằm

ngang và vật có khối lượng ø nối với nhau bởi sợi dây vòng qua một ròng rọc cố định gần ở mép bàn Cơ hệ chuyển động từ nghỉ Biết con lăn lăn không trượt và

bỏ qua ma sát lăn của nó trên mặt bàn Khối lượng ròng rọc và dây không đáng

kể, dây không giãn Xác định gia tốc ø của trục con lăn và lực căng sợi dây

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

* Giải bằng phương pháp động lực học:

Chọn hệ qui chiếu quán tính oxyz như hình vẽ:

- Các lực tác dụng lên vật z là: Trọng lực 7; Lực căng dây 7;

Các lực tác dụng lên con lăn: Trọng lực P,, phản lực pháp tuyến X,, lực

căng dây 7,, lực ma sát nghỉ Ƒ„

Trục quay là trục đi qua khối tâm con lăn và song song oz Chon chiều

dương trục øz là chiều momen luc

- Phương trình chuyển động của các vật:

Dây và ròng rọc có khối lượng không đáng kể nên 7, =7; =7; =7, =7

Con lăn không trượt ø, = ¿R

* Giải bằng phương pháp định luật bảo toàn:

- Xét cơ hệ gồm con lăn và vật z

- Tác dụng lên cơ hệ có trọng lực, phản lực của mặt bàn, lực ma sat nghỉ (hai lực này không sinh công), các lực căng dây có tổng công mỗi cặp lực bằng

0 Do vậy cơ năng của hệ được bảo toàn

Chọn gốc thế năng là mặt phẳng song song mặt bàn và đi qua khối tâm con lăn Ban đầu vật z cách mặt phẳng gốc thế năng một đoạn h

- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:

Cơ năng của hệ ở thời điểm ¿ là:

* Ở đây áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta tránh được việc giải hệ nhưng

do yêu cầu tính lực căng nên ta vẫn phải kết hợp phương pháp động lực học

29

Khod luin tot nyhiétp Dleé Fheé Friim - R29 Ott Li

Bài 3: Hình trụ đặc đồng nhất khối lượng M, bán kinh R dat trén mat ban nằm ngang Một sợi dây quấn quanh hình trụ và vòng qua ròng rọc cố định, đầu

kia của dây treo vật nặng có khối lượng m Bo qua khối lượng rong roc và sợi

dây, dây không giãn, hình trụ chuyển động song phẳng Tìm gia tốc khối tâm hình trụ trong trường hợp lăn không trượt và lăn có trượt

Ở đây lực căng dây 7, làm cho hình trụ quay quanh trục qua khối tâm, điểm

tiếp xúc có xu hướng trượt về phía sau Vì vậy xuất hiện lực ma sát chống lại xu hướng trượt này, lực Z„ hướng về phía trước

- Phương trình chuyển động của các vật:

Hình trụ: P,+ N47, + Fn: =Ma, (2)

- Chiếu các phương trình lên các trục toa độ:

Chiếu (1) lên øx ta có: =P -T,=ma

Chiếu (2) lén oy tacó: 7,+F, ms = Ma, Chiếu (3) lén oz tacó: R(T -F,,)=1,¢ ms

30

Bỏ qua khối lượng rong roc va roi day nén: 7, =7, =T

Dây không gian nén:a,=a,+eéR

a Hình trụ lăn không trượt: = => a, =2a,=2eR

Lực ma sát là ma sát nghỉ

mg —T =2ma, (4)

Hệ phương trình hình chiếu là: J 7+F,, = Ma, (5)

r-r,,=%-1Ma, © 2 Cộng vế với vế của (5) và (6) ta có: 2T =5 Mã, = T= 7 Ma®

Thay giá trị của T vào (1) ta có: mg =Š Ma, =2ma,