Ứng dụng CNTT trong dạy học khái niệm về quan hệ vuông góc ở trường phổ thông theo phương pháp dạy học tích cực

Từ những nghiên cứu trên, ta thấy một vấn đề có ý nghĩa thực tiễn đối với sự đổi mới PPDH Toán là GV cần phải có nhận thức đúng đắn, rõ ràng, cụ thể về tổ chức dạy học theo PPDH tích cự

1 Lý do chọn đề tài

Trong xã hội chúng ta hiện nay việc ứng dụng Công nghệ thông tin (CNTT) đã được áp dụng ở hầu hết các lĩnh vực hoạt động của xã hội và

mang lại hiệu quả thiết thực Đối với ngành giáo dục va dao tao, CNTT đã và

đang mang lại hiệu quá to lớn trong việc đôi mới phương pháp dạy và học, hình thức dạy học và quản lý giáo dục

Cùng với việc đổi mới chương trình và sách giáo khoa thì việc đổi mới phương pháp dạy học để nâng cao chất lượng giáo dục là hết sức cần thiết Hiện nay, ngoài các phương pháp dạy học truyền thống, việc ứng dụng CNTT trong dạy học đã góp phần làm cho giờ học trở nên sinh động, hiệu quả, kích

thích được tính tích cực, sáng tạo của học sinh

Qua nghiên cứu chương trình sách giáo khoa môn Toán ở trung học phổ

thông (THPT), bản thân tôi nhận thấy có nhiều nội dung khi dạy học rất cần

sự hỗ trợ của CNTT để tiết kiệm thời gian trên lớp, đảm bảo nội dung cần truyền đạt, làm đơn giản hoá các vấn đề mang tính trừu tượng cao, phát huy

tính tích cực của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả của việc dạy học Trong

môn Toán ở trường THPT, phân môn hình học không gian là một trong những

nội dung khá khó và trừu tượng đối với nhiều học sinh Để có thể dạy học tốt

môn Toán nói chung cũng như phân môn hình học không gian nói riêng, tôi

đã lựa chọn đề tài “Ứng dụng CNTT trong dạy học khái niệm về quan hệ vuông góc ở trường phổ thông theo phương pháp dạy học tích cực ” làm khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

® Nhằm phát huy được hứng thú và tính tích cực của học sinh đối với việc học tập nội dung khái niệm về quan hệ vuông góc trong không gian

e® Bước đầu giúp cho giáo viên và học sinh tiếp cận với phương pháp

dạy học hiện đại, từ đó nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

® Hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh theo

phương pháp dạy học tích cực

® Phương pháp sử dụng một số phần mềm chuyên dụng trong dạy học môn toán ở phố thông

e© Thiết kế va xây dựng tập tư liệu thông tin hỗ trợ tổ chức dạy học theo

phương pháp tích cực các khái niệm về quan hệ vuông góc trong không gian — Hình học 11 nang cao

4 Phương pháp nghiên cứu

® Nghiên cứu lý luận các tài liệu về PPDH tích cực, về phương pháp dạy học môn Toán,

e Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương pháp dạy học này

® Nghiên cứu cách sử dụng một số phần mềm ứng dụng để thiết kế bài giảng điện tử theo PPDH tích cực:

- Phần mềm trình diễn MS PowerPoint, Violet,

- Phần mềm hình học động Cabri Geometry, Geometer”s Sketchpad

s Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán phần quan hệ vuông góc trong không gian - Hình hoc 11 nâng cao

- Phương pháp dạy học (PPDH) tích cực để chỉ những PPDH theo

hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học

nhất, nó tùy thuộc vào việc người ta có thể xem xét PPDH dưới các phương

diện khác nhau, từ đó đưa ra các loại phương pháp khác nhau

- PPDH với cách truyền thông tin tới HS bằng hoạt động bên ngoài: + PPDH thuyết trình;

+ PPDH giảng giải minh họa;

+ PPDH gợi mở- vấn đáp;

+ PPDH trực quan

- PPDH với tình huống điển hình trong quá trình dạy học các môn học:

+ Môn toán: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định lý toán học, PPDH quy tắc và phương pháp toán học, PPDH bài tập toán học

+ Môn vật lý: PPDH định nghĩa khái niệm, PPDH định luật vật lý,

PPDH bài tập vật lý, PPDH thực hành thí nghiệm,

+ Môn văn: PPDH kể chuyện văn học, PPDH thơ ca, PPDH phân tích tác phẩm văn học,

1.1.3 Đặc trưng của PPDH tích cực

- Dạy học phải kích thích nhu cầu và hứng thú học tập của HS

Theo tâm lý học thì tư duy của con người chỉ tích cực khi họ có nhu cầu hứng thú với hoạt động đó Nhà tâm lý học Xô Viết V.P Simonov đã mô tả tính tích cực hoạt động học tập của HS phụ thuộc vào mức độ hấp dẫn và lôi

cuốn của nhiệm vụ học tập - nhu cầu là một hàm phụ thuộc vào hiệu số của

kiến thức cần thiết và kiến thức đã có được biểu diễn theo công thức sau:

T=N(Ker— Knc)

Ở đây:

T là mức độ tích cực của HS;

N là nhu cầu nhận thức;

Ker 1a kiến thức, kỹ năng cần thiết của HS;

Kpc là kiến thức, kỹ năng đã có của HS

Do đó, trong đạy học theo phương pháp tích cực GV cần thiết và trước tiên phải làm cho HS có nhu cầu học tập và bị cuốn hút vào nhiệm vụ học tập

- Dạy học chủ trọng rèn luyện phương pháp tự học

Phương pháp tự học tức là rèn luyện cho người học có được phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự chiếm lĩnh tri thức, ví dụ như biết tự lực

phát hiện, đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong thực tiễn, biết linh

hoạt vận dụng những điều đã học vào những tình huống mới, từ đó sẽ tạo cho người học lòng ham học, ham hiểu biết Do vậy, trong quá trình đạy học cần chú ý dạy cho người học phương pháp tự học, tạo ra sự chuyền biến từ việc học tập thụ động sang học tập chủ động

- Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác

Trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều được hình thành hoàn toàn bằng con đường độc lập cá nhân Thông qua việc thảo luận, tranh luận trong tập thé, ý kiến của mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ, qua đó người học nâng kiến thức của mình lên một trình độ mới Nhờ

đó, kĩ năng cũng như phương pháp học tập của học sinh dần được nâng cao và ngày càng phát triển hơn

Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác được tổ chức là hoạt động hợp tác trong nhóm nhỏ Học tập hợp tác làm tăng hiệu quá học tập, nhất

là phải giải quyết những vấn đề gay cắn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầu phối hợp giữa các cá nhân đề hoàn thành nhiệm vụ chung Trong hoạt động nhóm

nhỏ sẽ không có hiện tượng ở lại, tính cách năng lực của mỗi thành viên được

bộc lộ, uốn nắn, phát triển tình bạn, ý thức tổ chức, tinh thần tương trợ, ø1úp

đỡ nhau cùng tiến bộ

- Kết hợp sự đánh giá của GV với sự đánh giá của HS

Trong dạy học, việc đánh giá HS là một việc quan trọng, nhằm mục

đích đánh giá thực trạng và điều chỉnh hoạt động của đồng thời cả HS và GV

Trong PPDH tích cực, GV phải hướng dẫn HS tự đánh giá kiến thức của mình để tự điều chỉnh cách học tập, cũng như phải tạo điều kiện để các

HS tham gia vào việc đánh giá lẫn nhau Từ đó, hình thành cho HS biết tự

đánh giá đúng và điều chỉnh kịp thời các hoạt động học tập của mình Đó

chính là năng lực rất cần thiết mà nhà trường cần phải trang bị cho các HS giúp họ có thể thành công trong học tập cũng như trong cuộc sống

- Day hoc thông qua các hoạt động học tập của HS

Trong đạy học, theo quan điểm tích cực, GV phải đặt HS vào những tình huống thực tiễn, tình huống gợi vấn đề và HS được trực tiếp quan sát,

thảo luận, làm thí nghiệm và tự rút ra kết luận cần thiết

Đối với môn toán, GV tạo ra và đặt HS vào các tình huống toán học

thực tiễn, đồng thời tổ chức để cho HS có thể trực tiếp tham gia trải nghiệm

vào các dạng khác nhau của hoạt động toán học sau đây:

+ Hoạt động trí tuệ chung: Quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp, tương

tự hóa, khái quát hóa, trừu tượng hóa,

+ Hoạt động nhận dạng và thê hiện kiến thức toán học

+ Hoạt động toán học phức hợp: Chứng minh toán học, định nghĩa khái niệm toán học, giải bài toán (giải phương trình, giải toán dựng hình, giải toán tìm tập hợp điểm )

+ Hoạt động trí tuệ phổ biến của toán học: Lật ngược vấn đề, xét tính giải được, mô hình hóa và thể hiện

+ Hoạt động ngôn ngữ: HS phát biểu, trình bày nội dung kiến thức toán học dưới các dạng khác nhau hoặc lập luận biến đối mệnh đề, chứng minh

mệnh đề toán học

Đặc điểm của môn toán là khoa học suy diễn, trong đó mọi kiến thức toán học đều được rút ra từ các tiên đề hoặc điều đã biết bằng suy luận lôgïc

Do đó, nhiệm vụ hàng đầu của dạy học toán ở trường phổ thông là phải dạy

cho HS suy nghĩ một cách đúng đắn, hợp lý Vì vậy, dạy học toán ở trường

phô thông bằng các hoạt động toán học thực chất là cho HS trực tiếp được tập

dượt cách suy nghĩ thông qua việc trải nghiệm các hoạt động toán học phức hợp

Từ những nghiên cứu trên, ta thấy một vấn đề có ý nghĩa thực tiễn đối

với sự đổi mới PPDH Toán là GV cần phải có nhận thức đúng đắn, rõ ràng, cụ

thể về tổ chức dạy học theo PPDH tích cực đối với các tình huống dạy học điển hình của môn Toán Quan điểm đó là dạy học các tình huống Toán học

như thế nào được coi là tích cực và nhự thế nào được coi là thụ động (hay it

tích cực) ?

Dạy học tích cực Dạy học thụ động (ít tích cực)

Dạy |+ Hoạt động gơi động cơ suy | + Nêu nội dung định lí toán học

học đoán định lí - Nêu nội dung định | + Hoạt động chứng minh định lí

Day | + Tóm tắt nội dung bài toán + Tóm tắt nội dung bài toán

học |+ Phân tích tìm đường lối chứng | + Hoạt động chứng minh toán học

HS theo phương châm coi trọng việc tìm ra đường lối chứng mình toán học,

không chi chu trong vào việc day học chứng mình toán học

1.2 Dạy học khái niệm Toán học

1.2.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm

a Khái niệm

Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng Do đó

một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện: bản thân lớp đối

tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại điên, còn toàn bộ các thuộc tính

chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm đó

Giữa nội hàm và ngoại diên có một mối liên hệ mang tính gwy luật, nội

hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại Thật vậy,

nếu ta mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành, chẳng hạn bằng cách

bổ sung đặc điểm “có một góc vuông” thì ta sẽ được lớp các hình chữ nhật là

một bộ phận thực sự của lớp các hình bình hành

Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái niệm A được gọi là một khái niệm ch#ng của B, còn khái niệm B được gọi là một khái niệm /oại của A

b Khái niệm đối tượng và khái niệm quan hệ

Ở trên có nêu khái niệm phản ánh một lớp đối tượng Điều đó có gì sai

hay không, trong khi có những tác giả phân biệt khái niệm về một đối tượng, chẳng hạn “hình chóp” với khái niệm về một quan hé, chang han “chia hết”? Thật ra, dưới góc độ Toán học, một quan hệ n ngôi là một tập con của tích

Đềcac của n tập hợp Quan hệ chia hết là một tập con A của tích Décac

NxN: A= mn / Ag/n=mq_, voi N 1a tap số tự nhiên, còn m, n, ạ&N

va m# 0

Đối tượng được xem xét về mối quan hệ này là những phần tử của tích Décac Nx N, chang han:

- Đối tượng (3, 12) là một phần tử của A (hay ta còn nói “số 3 chia hết

12”), bởi vì tồn tại số tự nhiên 4 sao cho 12 = 4x3

- Đối tượng (3, 25) không phải là một phần tử của A (hay ta còn nói “số

3 không chia hết 25”), bởi vì không tồn tại bất cứ một số tự nhiên q nào sao cho 25 = 3xq)

Tuy về mặt Toán học, khái niệm về một quan hệ cũng là một trường

hợp riêng của khái niệm về một đối tượng, nhưng trong dạy học, sự phân biệt giữa khái niệm về đối tượng với khái niệm về quan hệ lại là cần thiết dưới góc

độ sư phạm, nhất là trong tình hình học sinh còn mơ hồ về khái niệm quan hệ

khi họ nói về “phương trình tương đương”, “phương trình hệ quả ” hoặc phát biểu: “Tiếp tryến là một đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn ”

c Định nghĩa khái niệm

Định nghĩa một khái niệm là mot thao tac logic nhằm phân biệt lớp đối

tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch

ra nội hàm của khái niệm đó

Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:

Từ mới (Những) từ chỉ miên đôi Tân từ

(biểu thị khái niệm — | tượng đã biết (loại) (diễn tả khác biệt về

Vi dụ: “Hình vuông là một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bang

nhau” Trong định nghĩa này, từ mới là hình vuông, loại hay miền đối tượng là

hình chữ nhật, còn sự khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp bằng nhau

Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chung tạo thành đặc trung

của khái niệm Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm đó Nói chung, có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái

niệm, tức là có thể định nghĩa cùng một khái niệm theo nhiều cách khác nhau Chẳng hạn, hình vuông ngoài định nghĩa đã nêu trong ví dụ trên, còn có thể

được định nghĩa theo một cách khác ví dụ như “hình vuông là hình thoi có

một góc vuông ”

Khi xét một đối tượng xem có thuộc ngoại diên của một khái niệm nào

đó hay không, người ta thường quan tâm những thuộc tính của đối tượng đó: những thuộc tính nào nằm trong nội hàm của khái niệm đang xét thì được coi

là thuộc tính bản chất, còn những thuộc tính nào không thuộc nội hàm của

khái niệm đó thì được coi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm đang xem xét

Giả sử cho tứ giác ABC? (hình vẽ)

A B Nếu xét xem ABCD có phải là một hình

vuông hay không thì “AB= BC” là một trong các thuộc tính bản chất, còn nếu xét xem tứ giác đó có phải là hình bình hành hay không thì

D C thuộc tính đó là không bản chất

Trong định nghĩa theo cấu trúc đã nêu ở đầu mục này, tr chi miên đối tượng hay loại phải tương ứng với một khải niệm đã biết Một khả năng vi phạm điều kiện này là đưa ra những định nghĩa vòng quanh, ví dụ “phép cộng

là phép tìm zổng của hai hay nhiều số ”; “tong của hai hay nhiều số là kết qua thực hiện phép cộng ”

d Khải niệm không định nghĩa

Định nghĩa một khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái

niệm đã biết Ví dụ đề định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật,

để định nghĩa hình chữ nhật, ta cần định nghĩa hình bình hành; đề định nghĩa hình bình hành ta cần định nghĩa / giác; Tuy nhiên, quá trình trên không thé kéo dài vô hạn, tức là phải có khái niệm không định nghĩa, được thừa nhận

làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thủy, chẳng hạn người ta thừa nhận điểm, đường thắng, mặt phắng là những khái niệm nguyên thủy trong Toán học

Ở trường phổ thông, chúng ta thấy có một số khái niệm cũng không

được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể được định nghĩa trong Toán học

Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô

tả, giải thích thông qua những ví dụ cụ thé dé học sinh hình dung được những

khái niệm này, hiểu được chúng một cách trực giác

1.2.2 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm

a Vi trí của dạy học khái niệm

Trong việc dạy học Toán, cũng như việc dạy học bắt cứ một khoa học nào ở trường phố thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức

Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học

Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển

trí tuệ, đồng thời góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm Toán học

b Yêu cẫu của day học khải niệm

Việc dạy học các khái niệm Toán học ở trường trung học phổ thông phải làm cho học sinh dần đần đạt được các yêu cầu sau:

- Nam vững các đặc điểm đăc trưng cho một khái niệm

- Biết nhận đạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết

thể hiện khái niệm

-_ Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm

- Biét van dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải Toán và ứng dụng vào thực tiễn

- Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái

niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

Các yêu cầu trên đây có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Song vì lí đo sư

phạm, các yêu cầu trên luôn được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng khái niệm

Ví dụ đối với những khái niệm như “hình bình hành”, “đạo hàm”,

học sinh phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận đụng được các định nghĩa đó trong khi giải bài tập, còn đối với khái niệm “chiêu” của vectơ, chương trình lại không đòi hỏi học sinh phải nêu định nghĩa tường minh mà chỉ cần hình dung định nghĩa này một cách trực giác đựa vào kinh nghiệm sống của bản thân mình

1.2.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm thường gặp ở trường phố thông

a Định nghĩa theo phương pháp loài — chủng

* Nội dưng: Định nghĩa theo phương pháp loài — chủng là một hình thức định nghĩa nêu lên khái niệm loài và đặc tính của chủng

Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loài + Đặc tính của chủng

+ Vi du 1: “Hinh thoi là hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng

nhau” Trong định nghĩa này:

- Hình bình hành là khái niệm loài;

- Hai cạnh liên tiếp bằng nhau là đặc tính của chủng

+ Ví dụ 2: “Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số

là 1 và chính nó” Ở đây:

- Số tự nhiên là khái niệm loài;

- Chỉ có hai ước số chung là I và chính nó là đặc tính của chủng

+ Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho một điểm cố định và một số k không

đổi khác 0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành M' sao cho OM '=kOM

được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k Ki hiệu V(O, k)

Ở định nghĩa này, ta thấy:

+ Phép biến hình là khái niệm loài;

+ Số k không đổi khác 0, O có định, OM '=kOM là đặc trưng của chủng

b Định nghĩa bằng quy ước

* Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho

đối tượng cần định nghĩa một đối tượng cụ thể nào đó

Vidụ: a°=1 ®ối tượng cần định nghĩa là a°= 1)

1 a"=— (neN,a#0)

a Chú ý: Khi dạy học định nghĩa bằng quy ước, giáo viên không giải thích tại sao lại quy ước được như vậy mà chỉ đặt vấn đề quy ước như vậy có hợp lý hay không

c Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề

* Nội dưng: Người ta chọn ra một đối tượng cơ bản, quan hệ cơ bản và thừa nhận chúng gọi là các tiên đề Từ đó đi định nghĩa các khái niệm khác,

chứng minh các tính chất khác bằng suy luận hợp logic

+ Ví dụ 1: Quan hệ tương đương được định nghĩa như sau:

Cho tập X cùng quan hệ tương đương T, (X, +) được gọi là quan hệ tương đương, nếu thỏa mãn 3 tính chất sau:

i) Tinh chat phan xa;

ii) Tinh chất đối xứng;

iii) Tinh chất bắc cầu

+ Ví dụ 2: Ta định nghĩa khái nệm nhóm như sau:

Tập X (X #7) cùng phép toán hai ngôi * được gọi là nhóm nếu

*:;:XxX—X

thỏa mãn:

a,b a € i) * c6 tinh chất kết hợp;

ii) Có phần tử đơn vị ee X sao cho Vxe X:x*e=e*x=x;

iii) Tén tai phần tử nghịch đảo Vxe X,3x 'eX:x*x !l=x '*x=é

d Định nghĩa bằng phương pháp mô tả

* Nội dung: Định nghĩa bằng phương pháp mô tả là hình thức định nghĩa chỉ ra những đối tượng trong thực tiễn có hình ảnh gần gũi với đối tượng cần định nghĩa, quan hệ cần định nghĩa hoặc chỉ ra quy trình tạo ra chúng (mô tả theo kiểu kiến thiết)

+ Ví dụ 1: Các khái niệm “điểm trong mặt phẳng, đường thang, mat

phẳng” là các khái niệm không định nghĩa, chúng được định nghĩa theo phương pháp mô tả

+ Ví dụ 2: Góc lượng giác trong Đại số 10 (định nghĩa theo quy trình tạo ra chúng) Cho hai tia Ou, Ov Nếu tia Om quay chỉ theo chiều đương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia đầu Ou đến trùng với tia cuối Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác tia dau Ou, tia cudi Ov

1.2.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm

a Quy tac 1: Định nghĩa phải tương xứng

Định nghĩa theo quy tắc này nghĩa là phạm vi của khái niệm định nghĩa

và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau

Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái nệm quá hẹp hay quá rộng so với khái niệm được định nghĩa

+ Ví dụ 1: “Số vô tỉ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn” là định

nghĩa đúng, phù hợp, định nghĩa tương xứng

+ Ví dụ 2: “Số vô tỉ là căn số của những số hữu tỉ trong trường hợp

những số này không thể khai căn được” là định nghĩa không tương xứng vì

khái niệm được định nghĩa có phạm vi hẹp hơn so với phạm vị khái niệm định

nghĩa, ví dụ số e và số Z là những số vô tỉ nhưng không là kết quả của phép khai căn nào

+ Ví dụ 3: “Số vô tỉ là số thập phân vô hạn” là định nghĩa không tương xứng vì khái niệm được định nghĩa có phạm vi rộng hơn khái niệm định

nghĩa, chẳng hạn có những số thập phân vô hạn như TS) nhưng chúng

không phải là số vô tỉ mà là các số hữu tỉ

b Quy tắc 2: Định nghĩa không được vòng quanh

Định nghĩa theo quy tắc này có nghĩa là định nghĩa phải dựa vào khái

niệm đã biết, đã được định nghĩa

thể, ta phải định nghĩa góc nhị diện như sau: “Góc nhị diện là phần không

gian giới hạn bởi hai nửa mặt phẳng cùng đi qua một đường thắng”

c Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu

Định nghĩa theo quy tắc này nghĩa là trong nội dung khái niệm định nghĩa không chứa những thuộc tính có thể suy ra được những thuộc tính còn lại

+ Ví dụ 1: Định nghĩa “hình bình hành là tứ giác phẳng có các cạnh song song và bằng nhau” vi phạm quy tắc này vì ở định nghĩa thừa một trong hai

điều kiện song song hoặc bằng nhau

+ Ví dụ 2: Định nghĩa “số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn I và chỉ có

hai ước số là 1 và chính nó” thừa điều kiện “là 1 và chính nó” nhưng vì lý do

sư phạm nên người ta đưa vào trong định nghĩa dé hoc sinh hiểu rõ hai ước đó

là hai ước cụ thể nào

d Quy tắc 4: Định nghĩa không dùng lối phú định nếu loài không được phân chia thành hai tập hợp triệt để (tức là khái niệm loài không bao gồm hai khái niệm mâu thuẫn)

+ Ví dụ I: “Hình thoi không phải là hình tam giác” là định nghĩa chỉ nêu lên đấu hiệu xem xét một hình không phải là hình tam giác, chưa chỉ ra

được đặc trưng của hình thoi

+ Ví dụ 2: “Số siêu việt là những số thực không đại số” là định nghĩa

đúng vì khái niệm loài là tập số thực được phân chia thành hai tập hợp gồm

tập hợp số đại số và tập hợp số siêu việt, hai tập số này là hai tập hợp tách rời nhau nhưng hợp của chúng tạo thành tập số

1.2.5 Những con đường tiếp cận khái niệm

Con đường tiếp cận một khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và

tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh,

nhờ mô tả, nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng hoặc một tình huống có thuộc về khái niệm đó hay không

Trong dạy học, người ta phân biệt ba con đường ứiếp cận khái niệm:

® Con đường quy nạp;

® Con đường suy diễn;

® Con đường kiến thiết

Sau đây, ta sẽ đi sâu vào từng con đường nói trên

a Con đường quy nạp

Xuất phát từ một số những đối tượng riêng lẻ như vật thật, mô hình,

hình vẽ, thầy giáo dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, trừu tượng hóa và khái

quát hóa để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những

trường hợp cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tường minh hay một sự hiểu biết trực giác về khái niệm đó tùy theo yêu cầu của chương trình

Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp:

1) Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tổn tại hoặc

tác dụng của một loạt đối tượng nào đó;

1) Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét Có thể đưa ra đối chiếu

một vài đối tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu;

ii) Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách

nêu tên và các đặc điểm đặc trưng của khái niệm

Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt

động tích cực của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo

cho họ nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa Tuy nhiên, con

đường này đòi hỏi tốn nhiều thời gian nên không phải bao giờ cũng có điều kiện thực hiện

Con đường quy nạp thường được sử dụng trong điều kiện như sau:

- Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

- Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm

cần hình thành, do đó có đủ vật liệu để có thể thực hiện phép quy nạp

b Con đường suy diễn

Một số khái niệm được hình thành theo con đường suy diễn, đi ngay vào định nghĩa khái niệm mới như một trường hợp riêng của một khái niệm nào đó mà học sinh đã được học

Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường suy diễn được thực hiện theo các bước như sau:

i) Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm

đó một số đặc điểm mà ta quan tâm

ii) Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định

nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó

1i) Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khái niệm vừa được định nghĩa Việc định nghĩa hình chữ nhật, hình thoi như những trường hợp riêng

của hình bình hành, định nghĩa hàm số mũ, hàm số lôgarit và những hàm số

lượng giác như những trường hợp riêng của khái niệm hàm số là những ví dụ

về việc tiếp cận khái niệm theo con đường suy diễn

Con đường suy diễn có ưu điểm là tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho

việc tập luyện cho học sinh tự học những khái niệm Toán học thông qua sách

và tài liệu, hoặc nghe những báo cáo khoa học trên lĩnh vực Toán học Tuy

nhiên, con đường này hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những

năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát hóa

Con đường này thường được sử dụng khi phát hiện ra một khái niệm loại làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

c Con đường kiến thiết

Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn

ra như sau:

0) Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình thành, hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ Toán học hay từ thực tiễn

1) Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành

ii) Phát biểu định nghĩa đã được gợi ý

Con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn Yếu tố suy

diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tông quát để xây dựng một hay

nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành Yếu tố quy nạp thê

hiện ở chỗ khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ

đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa

Ví dụ ta đi định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên âm (học sinh đã được quy ước 4” =1 với a0)

¡) Xây dựng một đối tượng đại diện

Chăng hạn ta muốn định nghĩa 3 * Để đảm bảo phép nâng lên lũy thừa mới này cũng có các tính chất cơ bản của các lũy thừa với số mũ tự nhiên, ví

du a" xa" =a", tacin cé 34x 3'=3 4 =3°,

Nhung 3° = 1, do dé 3*x 3*=1 Muén vay, ta phai định nghĩa 3 = =

ii) Khái quát hóa quá trình xây đựng đối tượng đại diện

Một cách tổng quát, để đảm bảo lũy thừa với số mũ âm cũng có các tính chất cơ bản của lũy thừa với số mũ tự nhiên, ta cần phải định nghĩa:

nhiều thời gian

Con đường kiến thiết thường được sử dụng trong điều kiện sau:

- Chưa định hình được những đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm, do

đó con đường quy nạp không thích hợp;

- Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

1.2.6 Hoạt động củng cố khái niệm

Quá trình hình thành khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được định

nghĩa khái niệm đó Một khâu rất quan trọng là củng cố khái niệm, khâu này

thường được thực hiện bằng các hoạt động sau đây:

® Nhận đạng và thể hiện khái niệm

® Hoạt động ngôn ngữ

® Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những khái niệm đã học Sau đây, ta sẽ đi sâu vào từng hoạt động

a Nhận dạng và thể hiện khái niệm

Nhận dạng và thể hiện khái niệm là hai dạng hoạt động theo chiều

hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho việc

vận dụng khái niệm

+Vi du 1: (nhan dang khái niệm hinh chop déu) Phai chang moi hinh chóp có đáy là một đa giác đều luôn là một hình chóp đa giác đều?

+Ví dụ 2: (thể hiện một khái niệm hình chóp đều) Cho hình lập phương

ABCD.A'B'C'D', các đường thắng AC và BD cắt nhau tại O Các đường thắng A°C° và B'D' cắt nhau tại O° Hãy vẽ hai hình chóp đều có đáy là hình vuông ABCD

Khi tập dượt cho học sinh nhận đạng và thể hiện khái niệm, chúng ta cần lưu ý:

Thứ nhất, cần sử dụng cả những đối tượng thuộc ngoại điên lẫn những đối tượng không thuộc ngoại diên khái niệm đó (phản ví dụ)

Thứ hai, đối với những đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm đang

xét thì cần đưa ra cả những trường hợp đặc biệt của khái niệm đó Việc đưa ra những trường hợp đặc biệt, trong đó một đối tượng mang những thuộc tính nỗi bật nhưng không phải là thuộc tính bản chất đối với khái niệm đang xét

vừa giúp học sinh hiểu biết sâu sắc về đặc trưng của khái niệm, lại vừa rèn

luyện cho họ khả năng trừu tượng hóa thể hiện ở chỗ biết phân biệt và tách

đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất

Thứ ba, đối với những đối tượng không thuộc ngoại diên của khái niệm đang xét, trong trường hợp đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội, các phản

ví dụ thường được xây dựng sao cho chỉ trừ một thành phần trong cấu trúc hội, còn các thuộc tính thành phần khác đều được thỏa mãn Sau đây ta đưa ra

một ví dụ như sau:

Theo định nghĩa hàm số, tính chất đặc trưng của khái niệm này có thê được phân tích thành hội của hai điều kiện đơn p,và p; như sau:

- Điều kiện p,: Với mỗi số thực xe X đều tồn tại số thực tương ứng

y €Y (điều kiện tồn tại);

- Điều kiện p,: Với mỗi số thực xe X thì số thực tương ứng yeY là duy nhất (điều kiện duy nhất)

Trên cơ sở đó, có thé đưa ra hai phản vi du sau đây:

Phan vidul: RR

xa <x (vi pham điều kiện p,)

Phan vi du2: NN

na một ước của n (vi phạm điều kiện P>)-

Thứ tư, trường hợp đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội của hai điều kiện, cần làm rõ cấu trúc này để học sinh nhận dạng khái niệm đó một cách dễ

dàng hơn

Trường hợp tổng quát, khi đặc trưng của khái niệm là hội của n điều

kiện, định nghĩa có cấu trúc như sau:

Vx A(x) PX B(x)A BX) A.A B(x) - Bằng cách tương tự, có thể xây dựng thuật toán nhận dạng tương ứng

với trường hợp đặc trưng của khái niệm là một tuyển của n điều kiện theo

vụ mà tất ca các bộ môn trong nhà trường đều có trách nhiệm thực hiện:

- Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình và biết cách thay đổi

phát biểu, diễn đạt định nghĩa đưới những đạng ngôn ngữ khác nhau;

- Phân tích, nêu bật những ý nghĩa quan trọng chứa đựng trong định nghĩa một cách tường minh hay ân tàng

c Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa

Đề củng cố khái niệm, thầy giáo có thể thực hiện nhiều hoạt động khác

nữa, trước hết là:

- Khái quát hóa, tức là mở rộng khái niệm, chẳng hạn vận tốc tức thời

của một chuyên động tới khái niệm đạo hàm của một hàm SỐ;

- Đặc biệt hóa, ví dụ như xét những hình bình hành đặc biệt với một góc

vuông để được hình chữ nhật hoặc với hai cạnh liên tiếp bằng nhau để được hình thoi;

- Hệ thống hóa, chủ yếu là biết sắp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm đã học, nhận biết mỗi quan hệ giữa các khái niệm khác nhau trong một

hệ thống khái niệm, đặc biệt chú ý quan hệ chủng - loại giữa hai khái niệm

Rộng hơn nữa, việc vận dụng khái niệm dé giải quyết những vấn dé nay sinh trong Toán học và trong đời sống không những có tác đụng củng cô khái

niệm mà còn là mục đích sâu xa của việc học tập khái niệm

1.2.7 Dạy học phân chia khái niệm

Khi ta định nghĩa khái niệm, thì nội hàm và ngoại diên của nó được xác định Ngoại diên của khái niệm sẽ được sáng tỏ hơn nữa nhờ sự phân chia

khái niệm Biết phân chia khái niệm là một biểu hiện của việc nắm vững các khái niệm Toán học cũng như những khái niệm thuộc bắt cứ môn học nào

Ví dụ với việc phân chia khái niệm số phức thành số thực và số ảo rồi

lại phân chia tiếp tục số thực thành số hữu tỉ và số vô tỉ, học sinh thấy được

nhiều khía cạnh về ngoại diên của khái niệm số phức đó là: tập hợp số phức

có hai tập con là tập số thực và tập số ảo; hai tập con này không có phần tử

nào chung và hợp của chúng choán hết tập số phức; tập hợp số thực đến lượt

nó lại có hai tập con là tập số hữu tỉ và tập số vô tỉ; hai tập con này không có phần tử nào chung và hợp của chúng choán hết tập số thực

Tuy nhiên trên thực tế, có những học sinh hiểu sai khái niệm hoặc giải

Toán sai do phân chia khái niệm sal, chẳng hạn họ coi một hàm số là lẻ bởi vì

nó không phải là hàm số chẵn hoặc kết luận hai đường thắng nào đó trong không gian là song song với nhau chỉ vì chúng không cắt nhau Để học sinh biết phân chia khái niệm, trước hết chúng ta cần cho họ hiểu đúng thế nào là phân chia khái niệm

Một khái niệm có ngoại diên là A được phân chia thành các khái niệm

có ngoại điên tương ứng A,,A, ,.A, có nghĩa là các điều kiện sau thỏa mãn: i) A #8 voii=1,2, m

ii) AVA, = voi ix);

iii) UA,=A

i=l

Như vậy, sự phân chia các hàm số thành hàm số chẵn và hàm số lẻ là

một cách phân chia sai, bởi vì có những hàm số không chẵn mà cũng không

lẻ Thật ra, liên quan tới các khái niệm hàm số chẵn và hàm số lẻ, có hai cách

phân loại hàm số:

Tập cho học sinh phân chia một khái niệm nào đó liên quan với nhiều khái niệm khác trong chương trình cũng có tác dụng tốt trong việc hệ thống hóa khái niệm

Tập luyện cho học sinh phân chia khái niệm tạo tiền đề cần thiết để biện

luận trong những bài Toán quỹ tích, đựng hình, để chứng minh phản chứng và giải nhiều bài Toán khác dựa trên sự phân chia bài toán

1.3 Tác động của CNTT đối với sự đối mới PPDH Toán

1.3.1 Thực tiễn việc ứng dụng CNTT trong dạy học hiện nay

Thực tế ở các trường THPT hiện nay đều được trang bị phòng máy, phòng đa năng, nối mạng Internet, tin học được đưa vào giảng dạy chính thức với vai trò là một môn học trong suốt ba năm lớp 10, 11, 12 ở trường THPT Một số trường còn trang bị thêm các thiết bị ghi âm, chụp hình, quay phim,

máy quét hình, và một số thiết bị khác, tạo cơ sở hạ tầng CNTT tương đối tốt

cho GV có thể sử dụng thuận tiện vào quá trình dạy học của mình

Hiện nay, việc ứng dụng CNTT vào giảng dạy ở trường phố thông mới chỉ là bước khởi đầu, các tiết dạy học có ứng dụng CNTT chưa phô biến Thông thường, chỉ những tiết thao giảng hoặc tiết hội thi giáo viên dạy giỏi