Phép biến hình với các bài toán về tam giác khóa luận tốt nghiệp

Sự xác định phép biến hình Muốn xác định một phép biến hình f:P—> P ta cần nêu rõ quy tắc f đó bằng cách sau: quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt phẳng như:

CHUONG 1

PHEP BIEN HINH TRONG MAT PHANG

1.1 Phép bién hinh trong mat phang

1.1.1 Dinh nghia phép bién hinh

Một song ánh f:P-> P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là một phép biến hình của mặt phẳng

Phép biến hình f: P-> P là một quy tắc dé với bất kì điểm M thuộc P ta tìm được một điểm = f M_ hoàn toàn xác định Điểm f M_ được gọi là

ảnh của điểm M qua phép biến hình f Ngược lại điểm ẤM gọi là tạo ảnh của điểm f M' qua phép biến hình f nói trên Người ta còn nói phép biến hình f biến điểm M thành điểm f M vàtacó f M=M

Nếu H là một hình nào đó của P thì ta có thể xác định tập hợp

f H= fM,MeH Khiđó f H gọi là ảnh của hình H qua phép biến

hình f và hình H gọi là tạo ảnh của hình f HH qua phép biến hình f đó 1.1.2 Sự xác định phép biến hình

Muốn xác định một phép biến hình f:P—> P ta cần nêu rõ quy tắc f đó

bằng cách sau: quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt phẳng như: tìm giao điểm của hai đường thăng đã được xác định nào đó, dựng đường thắng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thắng cho trước, dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho vv

1.1.3 Điểm bắt động của phép biến hình

Một điểm M thuộc P là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối với phép biến hình f nếu f M = M Như vậy điểm M là điểm bất động đối với phép biến hình f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua f

-1-1.1.4 Tích của hai phép biến hình

Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phép biến hình liên tiếp nhau Nếu ta dùng một phép biến hình f : P—-> P dé biến một điểm M bat ki

của P thành một điểm ƒ rồi lại dùng tiếp một phép biến hình thứ hai

Tích go f và tích f og là hai phép biến hình khác nhau

1.1.5 Phép biến hình đảo ngược

Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm ẤM thành điểm Mƒ Khi

đó phép biến hình biến điểm /Mƒ thành điểm M gọi là phép biến hình đáo ngược của phép biến hình f đã cho

Ta kí hiệu phép biến hình đảo ngược của f là f” và tacó f' M =M Mỗi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược f ” và ta

có fof ”= fo f = e (phép đồng nhất)

1.1.6 Phép biến hình có tính chất đối hợp

Cho một phép biến hình f biến điểm M thành M, sau đó nếu ta thực hiện

tiếp phép biến hình f đó đối với điểm ƒ và giả sử f M = Mr Nếu điểm

M trùng với điểm M thi ta nói rằng phép biến hình f đó có tính chất đối

hợp Tacó fof M =Mhayf*=e

1.2 Phép biến hình đắng cự trong mặt phẳng

1.2.1 Định nghĩa phép biến hình đẳng cự

Phép biến hình f : P-> P được gọi là phép biến hình đẳng cự nếu trong

mặt phẳng P với hai điểm M,N bất kỳ và hai ảnh của chúng là M=fM,N=fN taluôn có MN=MN

Nhận xét

* Phép đồng nhất e là một phép biến hình đẳng cự

* Dao ngược của một phép biến hình đẳng cự là một phép biến hình đẳng

cự, nghĩa là nếu f là một phép biến hình đẳng cự thì f'” cũng là một phép biến hình đẳng cự

1.2.2 Các tính chất của phép biến hình đẳng cự

1.2.2.1 Định lí

Phép biến hình đẳng cự biến ba điểm thăng hàng thành ba điểm thắng hàng

và không làm thay đôi thứ tự của ba điểm thăng hàng đó

Hệ quả I

Phép biến hình đẳng cự biến một đường thăng thành một đường thắng, biến

một tia thành một tia, biến một đoạn thắng thành một đoạn thang bang no

Hệ quả 2

Phép biến hình đẳng cự biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó với tâm đường tròn này thành tâm đường tròn kia

1.2.2.2 Định lí

Tích của hai phép biến hình đẳng cự là một phép biến hình đẳng cự

1.3 Phép đối xứng trục

1.3.1 Định nghĩa

thắng đ cố định Phép biến hình biến mỗi

thang MM nhận đường thắng d lam

đường trung trực Phép biến hình đó gọi là

phép đối xứng trục d

Đường thẳng ở gọi là trục đối xứng Kí hiệu phép đối xứng trục này là Є

và ta có ÑÑ | M=M Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thi ta lay M trùng

1.3.3.3 Mọi điểm của trục đối xứng ở đều là điểm kép

1.3.3.4 Mỗi đường thắng a vuông góc với trục đối xứng d đều biến thành chính nó với chú ý rằng ngoài giao điểm của a với đ thì các điểm khác của

a đều không phải là điểm kép

1.3.3.5 Phép đối xứng trục hoàn toàn được xác định nếu cho biết trục đối

xứng Œ của nó

1.4 Phép đối xứng tâm

1.4.1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng P cho một điểm O có định _

M sao cho O là trung điểm của đoạn thắng uM °

MM gọi là phép déi xing tam O

Diém O goi là tâm đối xứng Kí hiệu phép đối xứng tâm này 1a N, Néu

M trùng với tâm O ta lay M tring voi M Ta viết Ñ, M=M

1.4.2 Định lí

Phép đối xứng tâm O là một phép biến hình đăng cự

1.4.3 Các tính chất của phép đối xứng tâm

1.4.3.1 Phép đối xứng tâm là một phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ

các tính chất của phép biến hình đẳng cự

1.4.3.2 Qua phép đối xứng tâm O thì tâm O là điểm kép duy nhất

1.4.3.3 Nếu là ảnh của Í qua phép đối xứng tâm O thì M lại là ảnh của у qua phép đối xứng đó Ta suy ra tích của một phép đối xứng tâm với

chính nó là phép đồng nhất

1.4.3.4 Phép đối xứng tâm biến đường thắng qua tâm thành chính nó, biến một đường thắng không đi qua tâm thành đường thẳng song song với đường thắng đó, biến một véc tơ thành véc tơ đối của nó

1.4.3.5 Phép đối xứng qua tâm được hoàn toàn xác định nếu cho biết tâm

đôi xứng Ó của nó

phép tịnh tiễn theo véc tơ v và được kí hiệu là T,

Véc tơ V gọi là véc tơ tịnh tiến Ta có T M=M

Nếu một phép biến hình biến hai điểm A, B bat kì lần lượt thành hai điểm

A, B sao cho AB= AB thì nó là phép tịnh tiến theo véc to v= AB= AB

1

1.5.3 Các tính chất của phép tịnh tiến

1.5.3.1 Phép tịnh tiến là một phép biến hình đẳng cự nên có đầy đủ các

tính chất của phép biến hình đẳng cự

1.5.3.2 Nếu phép tịnh tiến theo véc tơ v# 0 biến điểm M thành điểm /W

thì ta cũng có phép tịnh tiến biến điểm ƒ thành điểm # với véc tơ tịnh tiến

v

là —v Như vậy ta có: T = Tr Ta suy ra Te of = e(1a phép đồng nhất)

1.5.3.3 Qua phép tịnh tiến theo véc tơ vz 0 thì các đường thắng nhận làm véc tơ chỉ phương đều biến thành chính nó, chú ý rằng các điểm của đường thăng này không phải là điểm kép

1.5.3.4 Tích của hai phép tịnh tiến 7 và 7s, 1a một phép tịnh tiến với véc

Trong mặt phẳng P đã được định hướng, cho

một điểm O cố định và một góc định hướng ø sai

khác k2z Một phép quay tâm với góc quay #

là một phép biến hình biến điểm O thành chính nó,

và biến mỗi điểm /M thành điểm ƒ sao cho 0 M

UUUU UUUU OM=OM và OM,OM =zø

Trong định nghĩa trên ta kí hệu OM,OM' là góc định hướng mà tia đầu

là ÓM và tia cuối là OMF Ta kí hiệu phép quay tâm O với góc quay # là

Œ hoaẽ Œ) O,œ Ta thường chọn # sao cho -7Sa@<z

1.6.3.2 Trong phép quay tâm Ó với góc quay #œ #0, chỉ có tâm O là điểm

kép duy nhất và nếu đường thẳng a đi qua tâm O thì đường thắng ảnh là 4

cũng đi qua tâm @

1.6.3.3 Nếu phép quay tâm O góc quay @ biến điểm M thanh diém M

thì phép quay tâm O góc quay -œ biến điểm M thành điểm M

Nghĩa là nếu f = QS thi f'= Q”

1.6.3.4 Qua phép quay tâm O góc quay 2 biến điểm A thành điểm A,

Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một số k0 Phép biến hình

biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành điểm M sao cho OM = kOM duoc

goi la phép vi ty tam O tisé k Kí hiệu là VZ

Diém O goi là tâm vị tự, số K gọi là tỉ số vị tự

Hệ quả 1

Nếu phép vị tự biến hai điểm A, tương ứng thành hai điểm 4, thì

đường thắng AB và AB song song hoặc trùng nhau và 4 = IK AB

Phép biến hình f: P-> P gọi là phép đồng dạng nếu nó biến hai điểm A, B

bất kì của mặt phẳng thành hai diém A=f A va B=f B sao cho

AB = KAB trong dé k là một số thực dương xác định

Phép đồng dạng tỉ số k biến một đường thẳng thành một đường thắng, biến

một tia thành một tia, biến một đoạn thắng thành đoạn thẳng cĩ độ dài gấp k

lần đoạn thắng ban đầu, biến một gĩc thành gĩc bằng nĩ, biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với nĩ

1.8.4 Sự xác định phép đồng dạng trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng cho AABC và AABC đồng dạng với nhau theo tỉ số k

nghĩa là AB = kAB, BC = kBC, ỞẬ = kCA, khi đĩ tồn tại duy nhất một

phép đồng dạng f biến A thành 4, B thành , € thành Ơ

1.8.5 Khái niệm hai hình đồng dạng

Hai hình H và H' gọi là đồng dạng với nhau nếu cĩ một phép đồng dạng

f biến hình này thành hình kia

-10-CHUONG 2

UNG DỤNG PHÉP BIÊN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN TRONG TAM GIAC

2.1 Ứng dụng giải bài toán chứng minh trong tam giác

2.1.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh trong tam giác thường gặp là bài toán chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng, chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều Ngoài ra yêu cầu chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thăng đồng quy hay thỏa mãn điều kiện nào đó cũng là một

dạng bài toán chứng minh

Sử dụng các phép biến hình để giải bài toán chứng minh trong tam giác

như sau: Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm, các đường đã cho trong giả thiết với các điểm, các đường trong kết luận thông qua phép biến hình hoặc tích của những phép biến hình thì nhờ những tính chất không bị làm thay đổi qua những phép biến hình ấy ta nhận được kết quá về tính đồng quy hay tính thẳng hàng, quan hệ lệ thuộc, song song hay vuông góc từ đó suy ra sự bằng nhau, đồng dạng của những tam giác để đi đến kết luận

2.1.2 Ứng dụng giải bài toán chứng minh trong tam giác

Bài toán 1 (Bài toán chứng mình hai tam giác đồng dạng)

Goi O va O lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và

ABC Khi đó luôn tồn tại một phép vị tự V biến đường tròn ( thành

đường tròn Ø

Giá sử V:Ä4a A,Ba B,Ca C Ta c6 ABIAB, BCIBC,

CANCA Tu dé suy ra ABLAB BGL BC, CA 1L CA hay

QP :AABCa AABC,

AA,B.C, co ba canh song song voi ba canh AABCva cùng nội tiép trong

mot dwong tron O , do do cac dinh AABC, trùng với các dinh AABC

Chứng tỏ tồn tại một phép đồng dạng là tích một phép vị tự với một phép

quay biến A4BC thành AABC Hay hai tam giác đó đồng dạng (ấpcm)

Bài toán 1.2

Cho AABC Dựng các hình chữ nhật ACIN, CBPQ về phía ngoài tam

giác sao cho CC,, BN, AP đồng quy, với CC, là đường cao AABC

Chứng mình rang AACM déng dang voi ACBP

Xét ARAB c6 ACL AB, APL RB Goi H= ROO AP suy ra H 1a truc

tam ARAB Vay BNL AR

Ma BNL AR nén Z, bién tia NB thanh tia AR 4

-13-Từ 3 và 4 suy ra Z, bién diém =AB¬MNB thành điểm

R=CR AR Vay Z,:Na A Aa C,Ba R=>CR=k,AB 5

Cho tam giác đều ABCvà Mà điểm bất kì khơng trùng với các đỉnh tam

giác Ta kí hiệu IM, là ánh của IM qua phép đối xứng trục BC, M, là ánh

của ÍM qua phép đối xứng trục CA, M 3 là ảnh của IM qua phép đỗi xứng trục AB Chứng mình rằng ABM,M, đồng dạng với ACM,M,

Lời giải

Ta cĩ :

BM, = BM_ Phep foaxéng qua trut BC

BM, = BM_ Pheb độxứg qua trưb AB

=> BM, = BM, hay ABM,M, caa tai B

Mặt khac ta lai cé M,BM, = M,BM+ MBM,

=2 CBM+ ABM =2.60°=120° Tương tự

ACM,M, can tai C va M,CM, = 120°

Do đĩ hai tam giác cân BM,M và CM,M, đồng dạng vì cĩ các gĩc ở đỉnh

bằng nhau

Goi A, B,C lần lượt là trung

điểm BƠ, CA, AB;

Ơ là tâm đường tròn ngoại tiếp

AABC;

H, GO lan luot là trực tâm,

trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp

AABC

Ta sé chtmg minh O, O, H, G thang hang

1

That vay: GA= - GA Tương tu ta c6 V,2: Aa A, Ba B,Ca C G

Vay v2 :AABCa AABC sé bién điểm O thành điểm Ơ

-15-Vait Oladrét tak AABC Nghéa lao? :Ha O

Tưá1) vấ2) ta suy ra H, G, O, Ơ thẳg hàg

Đường thắng đi qua các điểm đĩ gọi là đường thắng Ơle

Khai thác bài tốn trên:

“Chứng mình rằng trong tam giác thì ba trung điểm các cạnh, ba chân đường cao và ba trung điểm các đoạn thẳng nỗi trực tâm với các đỉnh cùng nằm trên một đường trịn Đường trịn đĩ goi la dong tron Ole.”

Loi giải

Gọi A,B,C lần lượt là

trung điểm BƠ, CA, AB

H,, H,, H, lan luot 1a giao

điểm của các đường cao

AH, BH,CH với đường trịn

ngoại tiếp AABC

Mặt khác gọi AH,, BH,., CH, là đường kính của đường trịn O

BH,//CH cùg vuôg goị vớAB

CH,/¡BH_ cung vuôg gó vớAC

-16-Do đĩ tứ giác BHCH, ladình bình hanh Vậ 4 ladrung đie# H,H

Tương tự ta cĩ , Ở lầ lượ ladrung đie#n H,H, H.H

1

XéV?: Ha A,H,a B,H,a C,

H, a A, H, a B, H, a C

A, B, C laa |66t bieắ thagh trung fie&n HA, HB, HC

MàH., H,, H,, H,, Hy, Hy, A B,C nam trén duong tron O Do đĩ

A, 8, C, A, B, C va trung điểm của HA, HB, HC nằm trên một đường

Cho ba điểm A, B, C thắng hàng theo thứ tự đĩ Dựng các tam giác đều

ABD, BCE sao cho D, E nằm cùng phía so với BC Goi M, N lan lượt là trung điễm AE, DC Chứng mình rằng A1BIMN là tam giác đều

Lời giải

Tacol Q°":Aa D,Ea C do đĩ 2

E trung điểm của AEvà2C ta suy ra

Q#⁄ :Ma N Chứng tỏ ABMN là tam

A B c

giác đều fipem

-17-Bài toán 4

Cho AABC Về phía ngoài tam giác dung ba tam giác đều

BCA,, CAB,, ABC, có tâm lần lượt là O,,O,,O, Ching minh rang

AO,OO, là tam giác đầu

Vi AABC, va ABCA 1a hai tam

giác đều có tâm lần lượt 1a O,, O,

aA

Vì Q”:OGa KH neâtacoừ2O = KH, OO,KH =-30 (2)

Xetiphep quay G ”:a Ea F Tương tự như trên ta sẽ có:

-18-Mặt khác ta lại có

00,00, = O0,,EF + EF,OO,

uuu UU UY UUUU

= OO,,EF + KH,QO, =30°+30°=60° hay 0,0,0, = 60°

Vay AO9OO là tam giác đều (dpcm)

Bai toan 5

Cho hai tam giác vuông cân OAB và OẤB cùng vuông tai O sao cho

Onằm trên đoạn AB và nằm ngoài đoạn AB Gọi G và G lần lượt là trong tim AOAA và AOBB Chứng minh rằng AOGG vuông cân

Lời giải

@Q”:Aa BAa B Suy _ ra

Œ*:AOAAa AOBB Nghĩa là AX

Bài toán 6

Trên các cạnh của AABC, dựng về phía ngoài của tam giác đã cho các

tam giác ABIM, BCN,CAP sao cho CAP = CBN = 45°, ACP = BCN = 30, ABM = BAM = 15° Chứng mình rằng AMNP vuông cân tại M

APMM ~ APAC, ANMM ~ANBC Mà đã có

APAC: ANMM gg Vì thế nên ta có

chung, ngược hướng nên bằng nhau (đối xứng

qua trục MM) Vay: MP=MN_ và

Chứng tỏ APMN vuông cân tại M.(đpcm)

2.2 Ứng dụng giải bài toán tính toán trong tam giác

2.2.1 Bài toán tính toán

Bài toán tính toán trong tam giác là dạng bài toán tính số đo các góc, các

cạnh, diện tích, chu vi hay thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng hình

học Việc tính toán này dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, ta cần thiết lập mỗi quan hệ giữa các yếu tố đã cho trong giả thiết bài toán với các giá trị cần tính toán

Trong một số bài toán việc sử dụng các phép biến hình sẽ cho ta cách giải nhanh gọn Xác lập các mối quan hệ giữa các đại lượng hình học được thực

-20-hiện nhờ một số phép chuyên dịch, bảo toàn độ dài đoạn thẳng và bảo toàn

góc để đưa những yếu tô đã biết và những yếu tổ cần tính xích lại gần nhau Các bước giải: 3 bước

Bước 1: Xác định các yếu tố cần tính toán

Bước 2: Nghiên cứu giả thiết và kết luận sau đó lựa chọn phép biến hình phù hợp

Bước 3: Tiến hành tính toán theo các dữ kiện đã xác lập

2.2.2 Ứng dụng giải bài toán tính toán trong tam giác

Bài toán 1 (Bời toán tính các cạnh, các góc trong tam giác)

Bài toán 1.1

Cho tam giác vuông cân ABC B=90°ˆ va diém M nam trong tam giác

sao cho MA: MB: MC=1:2:3 Tinh sé do gic AMB

-21-Theo cách giải bài tốn trên ta cĩ Œ tMa N,Ca A Ta chứng mình

được AAMN cĩ NA= MN, MN= MB, NA= MC va AN? = AM? + MN? do

d6 MC? = MA’ + MB’

Vậy nếu thay giả thiết MA:MB:MC=1:2:3 bằng giả thiết

MC? = MA + MB” thì bài tốn vẫn hồn tồn giải tương tự và ta cĩ bài tốn:

%Cho tam giác vuơng cân ABC B=90° và điễm IM nằm trong tam giác sao cho MC? = MA’ + MB” Tinh sé do gic AMB.”

Mặt khác ở bài tốn trên cho tam giác ABC vuơng cân tại B, nếu ta thay gia thiết nay bang AABC đều thì cách giải hồn tồn tương tự Khi đĩ xét

GQ” :Ma N, Ca Asau dé cac bước giải tương tự và ta cĩ bài tốn:

“Cho tam giác đều ABC và điểm M nam trong tam giác sao cho MC?=MA?+IMB (hoặc IMA:MB:MC=1:2:3) Tính số do gĩc AMB.”

Ta dựng ra phía ngồi AAĐŒ thêm E c

một tam giác đều nữa là ABGE Xét

Œ”: Aa D,Ea B dođóD= AE

-22-Ap dung fmh lý ham soa Cỗn trong AABE ta có AE? = BA’ + BE*®—2.BABE.cosABE = 416-224{ 1] = 28

Vai BD= AE=2V7 cm

Bài tốn 1.3

Cho AABC cân AB= AC cĩ BAC=80 Bên trong tam giác lấy diém

M sao cho MBC = 30°, MCB= 10° Tinh sé do gic MAC

Loi gidi

@?”:Ca Edođoừ2AE=60' Vì tia

AE nán trong gó BAC va AACE

AABC cĩ ACB= 50' nên BCOE= 10 E

Vi B, E, C cing nam trên đường trịn tâm A suy ra EBC=30° Mà ta cĩ

ABMC=ABEC gcg do đĩ CE= CM= CA Ba điểm E, M, A cùng nằm

trên đường trịn tâm €Œ nên 2MAE=MCE=20° suy ra MAE=10° hay MAB=10° Vậy MAC=70'

Bài tốn] 4

Cho tam giác đều ABC cĩ cạnh bằng V7 Lay M la m6t diém trong tam gidc sao cho AMB= 120°, AM = 1 Tinh dé dai doan thang CM

-23-XetlAABM coiMB= /7, AM=1, AMB= 120° — w

AB dưng đờh lý ham số Coẩän ta có

Do AMAB=AM‘AC ccc nea AM'C= AMB= 120°

Ta có MMC= AMC- MMA= 120°- 60 = 60°

Ap dung đờh lý ham số Coẩn trong AMMC ta cou

MC? = MM°+ MCŒ”- 2.MM.MC.cosMMC =1+4- 2.1 25= 3

Vậ IMC= +3

Nhận xét

Nếu cho M nằm ngồi tam giác và các giả thiết khác giữ nguyên thì ta sẽ

sử dụng phép quay @ ” và khi đĩ C, M, M thang hang, từ đĩ suy ra MC= MM + MC=1+2=3

Bài tốn 1.5

Goi P là một điểm nim trong AABC sao cho PAC = 10°, PCA= 20°, PAB = 30° va ABC = 40° Tinh sé do géc BPC

Lời giải

Vì P nằm trong tam giác nên ta cĩ

CAB= PAC+ PAB=10°+30°= 40° Vay

trong AABC cĩ = B=40°>AABC