Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt.. Tìm xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có đúng 8 sản phẩm tốt.. Tính xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu.. Mộ
Trang 1Bài tập Xác suất – Thống kê
Chương I: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất
1. Kiểm tra theo thứ tự một lô hàng gồm N sản phẩm Các sản phẩm đều thuộc một trong 2 loại: tốt hoặc xấu Ký hiệu Ak (k=1, 2, …, N) là biến cố chỉ sản phẩm kiểm tra thứ k thuộc loại xấu Viết bằng
ký hiệu các biến cố sau đây:
a Cả N sản phẩm đều xấu
b Có ít nhất một sản phẩm xấu
c m sản phẩm đầu là tốt, các sản phẩm còn lại là xấu
d Các sản phẩm theo thứ tự chẵn là xấu, thứ tự lẻ là tốt
e Không gian các biến cố sơ cấp có bao nhiêu phần tử
2. Cho ba biến cố A, B, C Viết biểu thức chỉ biến cố
a Chỉ có A xảy ra
b A và B xảy ra nhưng C không xảy ra
c Cả ba biến cố cùng xảy ra
d Có ít nhất một trong ba biến cố A, B, C xảy ra
e Có ít nhất hai biến cố cùng xảy ra
f Có một và chỉ một trong ba biến cố ấy xảy ra
g Chỉ có hai trong ba biến cố xảy ra
h Không có biến cố nào trong ba biến cố đó xảy ra
i Không có quá hai biến cố trong ba biến cố đó xảy ra
3. Bắn 3 viên đạn vào một bia Gọi Ai: “Viên đạn thứ I trúng bia” (i = 1, 2, 3) Hãy biểu diễn các biến
cố sau:
a Có đúng 1 viên đạn trúng bia
b Có ít nhất 2 viên trúng bia
c Cả 3 viên đều không trúng bia
4. Một lô hàng gồm 1000 sản phẩm, trong đó có 30 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng
a Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt
b Lấy ngẫu nhiên (1 lần) 10 sản phẩm từ lô hàng Tìm xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có đúng 8 sản phẩm tốt
5. Hộp I đựng 30 bi trắng, 7 bi đỏ, 15 bi xanh Hộp II chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 bi Tìm xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu
6. Gieo đồng thời hai con xúc sắc cân đối và đồng chất Tìm xác suất sao cho:
a Tổng số chấm ở mặt trên hai con xúc sắc bằng 8
b Hiệu số chấm ở mặt trên hai con xúc sắc có trị tuyệt đối bằng 2
c Số chấm ở mặt trên hai con xúc sắc bằng nhau
Trang 27 Một hộp thuốc có 5 ống thuốc tốt và 3 ống thuốc kém chất lượng Từ hộp đó, chọn ngẫu nhiên lần lượt không trả lại 2 ống Tìm xác suất để:
a Cả hai ống thuốc chọn được đều tốt
b Chỉ ống thuốc chọn ra trước là tốt
c Trong hai ống thuốc chọn được có ít nhất một ống thuốc tốt
8 Một hộp gồm 5 bi đỏ, 4 bi trắng và 3 bi xanh có cùng kích thước và trọng lượng Từ hộp ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng bi một cho đến khi gặp được bi đỏ thì dừng lại Tìm xác suất để
a Được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi đỏ
b Không có bi trắng nào được rút ra
9. Một bộ bài tây có 52 quân Trộn kỹ và rút ngẫu nhiên cùng lúc 6 quân Tìm xác suất để trong 6 quân rút được:
a Có 4 quân đen
b Có 2 quân đen, một quân rô c Có 2 quân át
10. Bắn ba viên đạn vào cùng một bia Xác suất trúng đích của viên thứ nhất, viên thứ hai, viên thứ ba tương ứng là 0,4; 0,5; 0,7
a Tìm xác suất sao có đúng một viên trúng đích
b Tìm xác suất để có ít nhất một viên trúng đích
11. Một lô hàng gồm 150 sản phẩm có chứa 6% phế phẩm Kiểm tra lần lượt 6 sản phẩm, nếu có ít nhất
1 trong 6 sản phẩm đó là phế phẩm thì loại lô hàng Tìm xác suất để lô hàng được chấp nhận
12. Bắn liên tiếp vào một mục tiêu cho đến khi nào có một viên đạn đầu tiên trúng mục tiêu thì ngừng bắn Tìm xác suất sao cho phải bắn đến viên thứ 6, biết rằng xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0,2
và các lần bắn là độc lập
13. Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu Khách hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào được 3 sản phẩm tốt thì dừng lại
a Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3
b Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4
c Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4 Tính xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu
14. Một học sinh khi vào thi chỉ thuộc 18 trong 25 câu hỏi ôn thi Tìm xác suất để học sinh trả lời được
3 câu hỏi mà học sinh đó rút được
15 Một hộp đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 9 quả còn mới Lần đầu lấy ngẫu nhiên 3 quả để tập, sau đó trả lại vào hộp Lần 2 lấy ngẫu nhiên 3 quả Tìm xác suất để cả ba quả lấy lần hai đều là mới
Trang 316. Giả sử có 3 kiện hàng, mỗi kiện có 20 sản phẩm; với số sản phẩm tốt tương ứng là 20, 15, 10 Lấy ngâu nhiên 1 kiện hàng, rồi từ kiện hàng đó rút ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm
a Tìm xác suất để sản phẩm chọn ra là sản phẩm tốt
b Giả sử sản phẩm chọn ra là tốt Tìm xác suất để sản phẩm đó thuộc kiện hàng thứ hai
17. Người ta biết rằng một cặp trẻ sinh đôi có thể là một cặp sinh đôi cùng trứng hoặc một cặp sinh đôi không cùng trứng Một cặp sinh đôi cùng trứng những đứa trẻ bao giờ cũng cùng giới tính; còn sinh đôi khác trứng thì xác suất để chúng cùng giới tính là 0,5 Giả sử cặp trẻ sinh đôi cùng trứng với xác suất là
p Tìm xác suất để cặp trẻ sinh đôi cùng giới tính là cặp sinh đôi cùng trứng
18. Trong một nhóm người mà số đàn ông bằng một nửa số phụ nữ Xác suất để đàn ông bị bệnh bạch tạng là 0,06 và xác suất để phụ nữ bị bệnh bạch tạng là 0,0036
a Tìm xác suất để một cá thể bất kỳ bị bệnh bạch tạng
b Tìm xác suất để một người bị bệnh bạch tạng trong nhóm đó là đàn ông
19. Một nhà máy sản xuất bóng đèn Máy A sản xuất 25% số bóng đèn, máy B sản xuất 35% số bóng đèn; còn máy C sản xuất 40% số bóng đèn Tỷ lệ sản phẩm hỏng của các máy đó trên tổng số sản phẩm
do nhà máy đó sản xuất tương ứng bằng 5% (máy A), 4% (máy B), 2% ( máy C) Lấy ngâu nhiên 1 sản phẩm thì được sản phẩm xấu Tìm xác suất để cho sản phẩm lấy ra là do:
a Máy A sản xuất
b Máy B sản xuất c Máy C sản xuất
20. Có 3 cửa hàng I, II, và III cùng kinh doanh sản phẩm Y Tỉ lệ sản phẩm loại A trong 3 cửa hàng I,
II, III lần lượt là 70%, 75% và 50% Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm
a Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A
b Giả sử khách hàng đã mua được sản phẩm loại A Theo bạn, khả năng người khách hàng ấy chọn của hàng nào là nhiều nhất
21 Có hai hộp I và II, mỗi hộp chứa 12 bi, trong hộp I chứa 8 bi đỏ, 4 bi trắng; hộp II chứa 5 bi đỏ, 7 bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp I ba bi rồi bỏ sang hộp II; sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp II bốn bi
a Tính xác suất để lấy được ba bi đỏ và một bi trắng từ hộp II
b Giả sử đã lấy được ba bi đỏ và một bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để lấy được từ hộp I hai bi đỏ và một bi trắng
22. Có 10 sinh viên đi thi, trong đó có 3 thuộc loại giỏi, 4 khá và 3 trung bình Trong số 20 câu hỏi thi qui định thì sinh viên thuộc loại giỏi trả lời được tất cả Sinh viên khá trả lời được 16 câu còn sinh viên trung bình được 10 câu Gọi ngẫu nhiên một sinh viên và phát một phiếu thi gồm 4 câu hỏi thì anh ta trả lời được 4 câu hỏi Tính xác suất để sinh viên đó thuộc loại khá
Trang 4Chương II: Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất
1. Một lô sản phẩm gồm 100 sản phẩm trong đó có 90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên
ra 3 sản phẩm (chọn 1 lần) Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra Tìm phân phối xác suất của X Viết hàm phân phối của X Tính E(X), Var(X) Tính xác suất P[X ≥ 1]
2. Một nhóm 10 người gồm 4 nam, 6 nữ Chọn ngẫu nhiên ra 3 người Gọi X là số nữ trong nhóm người được chọn Lập bảng phân phối xác suất của X và tính E(X), Var(X), mod(X)
3. Tung đồng xu 4 lần, nếu sấp thì được được 1 đồng, ngửa thì thua 1 đồng Gọi X là số tiền thu được sau 4 lần tung Tính E(X), Var(X)
4. Một hộp có 5 bóng đèn trong đó có 2 bóng tốt và 3 bóng hỏng Chọn ngẫu nhiên từng bóng đem thử (Chọn không hoàn lại) cho đến khi thu được 2 bóng tốt Gọi X là số lần thử cần thiết Tìm phân phối xác suất của X Trung bình cần bao nhiêu lần thử?
5. Cho phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là:
P[X = x i ] 1/6 2/3 1/6
Viết hàm phân phối Tính xác suất P[-1 ≤ X ≤ 1] Tính E(X), Var(X)
6. Một thiết bị có 3 bộ phận hoạt động độc lập Xác suất trong thời gian t các bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,1; 0,15; 0,2
a Tìm phân phối xác suất của số bộ phận bị hỏng X trong thời gian t
b Lập hàm phân phối của X
7. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và có phân phối xác suất tương ứng là:
P[X=x i ] 0.2 0.3 0.3 0.2
Tìm phân phối xác suất của X 2 , X + Y Tính kỳ vọng, phương sai của X 2 , X + Y
8. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X (đv: tháng) là tuổi thọ của một loại thiết bị có hàm mật độ xác suất:
( )
x
f x
x
−
>
=
Tìm c
P[Y=y i ] 0.3 0.4 0.3
Trang 59. Tuổi thọ của một loại côn trùng là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục X (Đơn vị là tháng) có hàm mật độ xác suất:
2(4 2) , 0 4 ( )
0 ,
≠
a Tìm hằng số k
b Tìm mod(X)
c Tính xác suất để côn trùng chết trước khi nó được 1 tháng tuổi
10. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất:
( )
f x
=
Nếu EX =0, 6 Hãy tính 1
2
P X
<
11. Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất:
x
x
<
>
a Tìm hàm mật độ f(x)
b Tính P(1≤X <1,6)
12. Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ như sau:
( )
f x
< ∨ >
=
b) Xác định hàm phân phối của bnn X
13. Cho hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X là:
, 0 ( )
0 , 0
x
f x
x
λ
=
≤
Tìm hàm phân phối của X, tính kỳ vọng và phương sai của X
14. Một xí nghiệp sản xuất máy tính có xác suất làm ra phế phẩm là 0,02 Chọn ngẫu nhiên 250 máy tính để kiểm tra Tìm xác suất để:
a Có đúng 2 phế phẩm
b Có không quá 4 phế phẩm
Trang 615. Xác suất một người gặp phản ứng khi tiêm huyết thanh là 0,001 Tìm xác suất sao cho trong 2000
người có:
a Đúng 3 người bị phản ứng
b Có nhiều hơn 2 người
16. Một lô hàng có 500 sản phẩm, trong đó có 400 sản phẩm loại A Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó 200
sản phẩm để kiểm tra Gọi X là số sản phẩm loại A trong số 200 sản phẩm lấy ra Tìm kỳ vọng và
phương sai của X
17. Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 300 lần gọi điện thoại trong 1 giờ Tìm xác suất để
trung tâm này nhận được đúng 2 lần gọi trong 1 phút
18. Một bài thi trắc nghiệm gồm 30 câu, mỗi câu có 4 đáp án Trong đó chỉ có 1 đáp án đúng Muốn thi
đậu thí sinh phải trả lời đúng ít nhất 15 câu Tính xác suất:
a Thí sinh không biết gì mà đậu
b Thí sinh đậu khi biết 5 câu đầu
19. Có 30 lỗi in sai trong một cuốn sách dày 300 trang Tính xác suất để một trang nào đó có 8 lỗi in sai
20.
a) Trong một lô thuốc, tỉ lệ thuốc hỏng là 0.003 Kiểm tra 1000 ống thuốc, tính xác suất để gặp 3 ống thuốc hỏng
b) Giả sử xác suất tử vong của bệnh sốt xuất huyết là 0.7% Tính xác suất để có đúng 5 người chết do
sốt xuất huyết trong một nhóm 400 bệnh nhân
21. Tại một địa phương theo số liệu thống kê cho biết có 15% dân số bị bệnh sốt rét Chọn ngẫu nhiên
10 người để xét nghiệm Tính xác suất để có 4 người bị bệnh sốt rét
22. Trong một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm loại A Lây ngẫu nhiên 5 sản phẩm ra
để kiểm tra chất lượng
a Tìm xác suất để gặp toàn sản phẩm loại A khi kiểm tra
b Gọi X là số sản phẩm loại A gặp khi kiểm tra Tìm phân phối xác suất của X
23. Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm trong đó tỉ lệ sản phẩm tốt là 60% Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 5 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt trong 5 sản phẩm được chọn ra Hãy tìm luật phân phối
của X Xác định kỳ vọng và phương sai của X Hỏi giá trị tin chắc nhất của X là bao nhiêu
Trang 724. Trọng lượng của con cừu là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với giá trị trung bình là
25 kg và độ lệch tiêu chuẩn là 4 kg Chọn ngẫu nhiên 1 con cừu Tính xác xuất để con cừu được chọn
có trọng lượng:
a Nặng hơn 30 kg
b Nhẹ hơn 18 kg
c Lớn hơn 20 kg và bé hơn 27 kg
25. Chiều cao của 300 sinh viên là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với chiều cao trung bình là 172 cm, và độ lệch tiêu chuẩn là 8 cm Có bao nhiêu sinh viên có chiều cao:
a Lớn hơn 184 cm
b Nhỏ hơn hoặc bằng 160 cm
c Giữa 164 cm và 180 cm
26. Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lương trung bình là 50 kg và phương sai 100 kg2 Một sản phẩm được xếp vào loại A nếu có trọng lượng từ
45 kg đến 55 kg Tính tỉ lệ sản phẩm loại A của loại sản phẩm trên
27 Trọng lượng của một loại sản phẩm được quan sát là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 50 kg và độ lệch tiêu chuẩn là 10 kg Nhưng sản phẩm có trọng lượng từ 45 kg đến 70 kg
được xếp vào loại A Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong rất nhiều sản phẩm) Tính xác suất để:
a Có đúng 70 sản phẩm loại A
b Có không quá 60 sản phẩm loại A
c Có ít nhất 65 sản phẩm loại A
28. Sản phẩm do một nhà máy sản xuất được đóng thành từng kiện Mỗi kiện 10 sản phẩm, trong đó có
6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm; nếu thấy có ít nhất 2 sản phẩm tốt thì nhận kiện đó, ngược lại thì loại kiện đó Kiểm tra 140 kiện hàng trong số rất nhiều kiện Tính xác suất để có:
a 93 kiện được nhận
b Từ 90 đến 110 kiện được nhận
29. Xác suất sinh con trai là 0.51 Tìm xác suất để trong 1000 lần sinh (mỗi lần sinh 1 con), số con trai
ít hơn con gái
30. Gieo 3200 hạt lúa Gọi X là số hạt lúa nảy mầm trong 3200 hạt Tìm xác suất sao cho giá trị của X
nằm trong khoảng (1600 5 2,1600 10 2+ + ) Biết xác suất này mầm của mỗi hạt là p = 0.5
Trang 8Chương III: Vectơ ngẫu nhiên
1. Cho vec tơ ngẫu nhiên rời rạc (X, Y) có phân phối đồng thời cho bởi bảng bên dưới Xác định phân
phối lề của biến ngẫu nhiên X và Y
2. Phân phối xác suất đồng thời của vectơ ngẫu nhiên rời rạc (X, Y) cho bởi bảng sau:
a Tìm các bảng phân phối lề của biến ngẫu nhiên X và Y
b Xét tính độc lập giữa X và Y
c Xác định E(XY), Var(X + Y), Var(X – Y)
3. Phân phối xác suất đồng thời của vectơ ngẫu nhiên rời rạc (X, Y) cho bởi bảng sau:
a Tìm E(X |Y =1) và E(Y | X = 0,4)
b Tính hiệp phương sai và hệ số tương quan của X, Y
Y X
Y X
Trang 94. Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối đồng thời là
a Tìm phân phối xác suất của X, Y
b Tìm E(X | Y = 5)
c Tính Cov(X, Y) và ρ( , )X Y
5. Giả sử vec tơ ngẫu nhiên (X, Y) có phân phối xác suất đồng thời
0 khi 0
F x y
x
=
<
a Xác định hàm phân phối xác suất lề của các biến ngẫu nhiên X và Y
b Xác định hàm mật độ xác suất đồng thời của vectơ ngẫu nhiên (X, Y)
c Xét tính độc lập giữa X và Y
6. Giả sử hàm mật độđồng thời của biến ngẫu nhiên X, Y là
( , )
0
=
≠
a Tìm các hàm mật độ lề cho X và Y
b Tìm hệ số tương quan của X, Y
7. Giả sử hai biến ngẫu nhiên X và Y là độc lập và có hàm mật độ tương ứng là
5
( )
0 , 0
x X
x
−
>
=
≤
2
( )
0 , 0
y Y
y
−
>
=
≤
a Tìm hàm mật độđồng thời của X và Y
b Viết hàm phân phối đồng thời của X và Y
c Tính xác suất P(0≤X ≤1,0≤Y ≤2)
X
Y
Trang 10Chương IV: Ước lượng tham số thống kê
1. Quan sát chiều cao của 100 sinh viên ta tính được:
- Chiều cao trung bình X =163, 28 cm
- Độ lệch chuẩn Sˆ 8,25= cm
Hãy tìm KTC cho chiều cao trung bình với độ tin cậy 90% và 95%
2. Gọi X là sản lượng lúa tính bằng tạ/ha Giả sử X có phân phối chuẩn Lấy mẫu trên 10 thửa ruộng cho kết quảở bảng sau:
Hãy tìm khoảng tin cậy cho sản lượng lúa trung bình với độ tin cậy là 90%
3. Quan sát trọng lượng của 1 nhóm thanh niên ta có bảng số liệu sau:
a Tính các tham số mẫu
b Tìm KTC cho trọng lượng trung bình với độ tin cậy 95%
4. Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Xét trên 25 sản phẩm ta thu được kết quả sau:
Hãy tìm KTC cho phương sai với độ tin cậy 90% trong các trường hợp sau:
a Biết kỳ vọng µ = 20 g
b Chưa biết kỳ vọng
5. Theo dõi số hàng bán được trong một ngày ở một cửa hàng, ta được kết quả cho bởi bảng sau:
1900 – 1950
1950 – 2000
2000 – 2050
2050 – 2100
2
10
8
5 Hãy tìm KTC cho phương sai của lượng hàng bán được trong ngày với độ tin cậy 95%