LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP VỀ QUY TICH HÌNH HỌC

Đây là luận văn tốt nghiệp đại học về quỹ tích hình học, luận văn này được chúng tôi bảo vệ tại ĐH ĐỒNG THÁP và được đánh giá rất cao. Hình vẽ trong luận văn rỏ ràng, các bài tập đưa ra được chúng tôi giải và kiểm tra rất kĩ, mong tài liệu sẽ giúp ích cho mọi người

Mục lục

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh mục các từ viết tắt 3

MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài 4

2 Mục đích nghiên cứu 5

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 6

4 Đối tượng nghiên cứu 6

5 Phạm vi nghiên cứu 6

6 Phương pháp nghiên cứu 6

7 Cấu trúc đề tài 6

NỘI DUNG Chương 1 - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa và các bước giải chung 7

1.1.1 Định nghĩa và phân loại 7

1.1.2 Phương pháp chung giải bài toán quỹ tích 7

1.2 Các quỹ tích cơ bản 10

1.2.1 Tập hợp điểm là đường trung trực 10

1.2.2 Tập hợp điểm là tia phân giác 11

1.2.3 Tập hợp điểm là hai đường thẳng song song 12

1.2.4 Tập hợp điểm là một đường thẳng song song 13

1.2.5 Tập hợp điểm là cạnh của một góc 14

1.2.6 Tập hợp điểm là đường tròn 16

1.2.7 Tập hợp điểm là cung chứa góc 17

1.3 Giải bài toán bằng phương pháp tổng hợp 19

1.3.1 Phương pháp giải chung 19

1.3.2 ví dụ 20

1.4 Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ 21

1.4.1 Phương pháp giải chung 21

1.4.2 Ví dụ 21

1.5 Giải bài toán bằng phương pháp vectơ 23

1.5.1 Phương pháp giải chung 23

1.5.2 Ví dụ 24

1.6 Giải bài toán bằng phương pháp biến hình 27

1.6.1 Phương pháp giải chung 27

1.6.2 Ví dụ 27

Chương 2 - MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI 2.1 Bài toán có quỹ tích là đường thẳng 29

2.1.1 Dạng chứng minh quỹ tích 29

2.1.2 Dạng tìm quỹ tích 31

2.2 Bài toán có quỹ tích là đường tròn 33

2.2.1 Dạng chứng minh quỹ tích 33

2.2.2 Dạng tìm quỹ tích 36

2.3 Sử dụng nhiều phương pháp giải bài toán quỹ tích 37

2.3.1 Bài toán có nhiều cách giải 37

2.3.2 Khai thác bài toán quỹ tích 44

2.4 Một số bài tập kiến nghị 51

KẾT LUẬN Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

Số đo cung ABCung ABGóc ABCĐồng dạngSong songVuông gócTrùng Tam giác ABCThuộc

Không thuộcSuy ra

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong thực tiễn cuộc sống, Toán học giữ vị trí rất quan trọng Những tri thức

và kỹ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong Toán học trở thành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để tiến hành những hoạt động trong đời sống thực tế Vì vậy toán học là một thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới

Từ thuở xa xưa, người ta đã biết vận dụng Toán học để xây dựng những công trình lớn như: Kim Tự Tháp, vườn treo Babilon,… Người Ai Cập cổ đại đã biết được một tam giác có độ dài ba cạnh là 3, 4, 5 thì tam giác đó là tam giác vuông và định lí này được áp dụng rộng rãi trong việc xây dựng nhà cửa Ngày nay với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật ta càng thấy tầm quan trọng của Toán học, có thể nói nó là nền móng cho nhiều ngành khoa học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học…

Ngoài ra, môn Toán còn góp phần phát triển nhân cách con người, có tác dụng góp phần phát triển năng lực, trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá,… rèn luyện những đức tính phẩm chất của người lao động như tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ

Tuy nhiên trong chương trình toán hiện nay thì học sinh (HS) được làm quen với nhiều dạng toán từ dễ đến khó về cả đại số và hình học, xong riêng với phân môn đại số thì mỗi bài toán có một cách giải riêng, còn đối với phân môn hình học thì không có cách giải nào cụ thể cho từng bài, nó đòi hỏi người học phải vận dụng nhiều phương pháp, định lý, khái niệm, tính chất để giải, làm cho học sinh thường e ngại khi học hình học Một trong những dạng bài toán khó của hình học là bài toán tìm quỹ tích, tuy không phải là dạng toán khó nhất nhưng đối với học sinh việc giải một bài toán quỹ tích là cả một vấn đề vì tính trừu tượng của nó và cũng gây cho người dạy không ít khó khăn khi dạy bài liên quan đến quỹ tích Trong khi đó, bài quỹ tích là một trong những chủ điểm bồi dưỡng HS giỏi ở phổ thông

Ở bậc Trung học cơ sở (THCS) hiện nay bài toán quỹ tích được đề cập lần

đầu tiên ở lớp 7 dưới tên gọi tập hợp điểm và không được định nghĩa tường minh Đối với bài tập, sách giáo khoa (SGK) chỉ có một bài tập đơn giản, được gợi ý khá chi tiết Sách bài tập (SBT) có bổ sung thêm hai bài cũng đơn giản Đến lớp 8, học sinh được học thêm một quỹ tích cơ bản: Tập hợp các điểm cách một đường thẳng

cố định một khoảng không đổi

Bài tập về quỹ tích ở lớp 8 có nhiều hơn (SGK có 4 bài) nhưng được cho

dưới dạng hỏi điểm X di chuyển trên đường nào Yêu cầu như thế là rất cụ thể:

không hỏi tìm quỹ tích, tập hợp với chứng minh phần thuận phần đảo gì cả Chỉ cần

chỉ ra X thỏa điều kiện đề bài thì chạy trên đường nào, nêu lên giới hạn nếu có Ở

lớp 9, khi giới thiệu quỹ tích cơ bản: quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn đoạn thẳng

AB cho trước dưới góc α thì từ quỹ tích mới được dùng và bài toán được chứng

minh đầy đủ phần thuận, phần đảo Sau đó SGK khái quát thành cách giải bài toán quỹ tích

Ý đồ của SGK đã rõ ràng: ở lớp 7, 8 chỉ giới thiệu làm quen Lên lớp 9 bài toán quỹ tích mới được giải một cách bài bản nhưng cũng chỉ giới hạn với vài bài tập khá đơn giản Có lẽ trong tình hình học tập hiện nay của học sinh cấp THCS, ý

đồ giảm tải này của SGK là hợp lý và cần được tôn trọng Với số đông học sinh, thời gian học ở lớp hiện nay còn chưa đủ để các em thực sự nắm được cái cơ bản hơn là luyện tập cách chứng minh các định lý hình học đơn giản, vì vậy yêu cầu cao hơn về giải các bài toán quỹ tích là không nên Tuy nhiên để bồi dưỡng cho các em

HS giỏi thì việc tìm hiểu kỹ hơn về quỹ tích là một công cụ rất bổ ích vì khi giải bài toán quỹ tích đòi hỏi HS phải huy động nhiều kiến thức đã học như các định lý, tính chất,…và cũng giúp cho HS phát triển tư duy bởi tính trừu tượng của nó Vì thế trong quá trình học tập và tìm hiểu tài liệu nhóm chúng tôi quyết định chọn đề tài

“Mối quan hệ giữa các phương pháp giải bài toán quỹ tích” nhằm góp phần nhỏ

vào biên soạn tài liệu bồi dưỡng HS giỏi cho trường chúng tôi đang công tác và cũng nhằm giúp HS không còn thấy khó khi giải bài toán quỹ tích

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu các dạng bài toán quỹ tích và phương pháp giải chúng

- Tìm mối quan hệ giữa các phương pháp giải, đưa ra bài tập về quỹ tích dùng làm tài liệu bồi dưỡng HS giỏi

4 Đối tượng nghiên cứu

Các dạng bài toán quỹ tích

5 Phạm vi nghiên cứu

Các dạng bài toán có quỹ tích là đường thẳng và đường tròn

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp phân tích tổng hợp.

- Phương pháp sưu tầm, tra cứu tài liệu

- Phương pháp trao đổi với chuyên gia

7 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung còn lại của đề tài được trình bày trong hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Định nghĩa và các bước giải bài toán quỹ tích

1.2 Một số quỹ tích cơ bản

1.3 Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp tổng hợp

1.4 Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp tọa độ

1.5 Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp vectơ

1.6 Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp biến hình

Chương 2 Xây dựng một số bài toán quỹ tích

2.1 Bài toán có quỹ tích là đường thẳng

2.2 Bài toán có quỹ tích là đường tròn

2.3 Sử dụng nhiều phương pháp giải bài toán quỹ tích

NỘI DUNG Chương 1 - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Định nghĩa và các bước giải chung

1.1.1 Định nghĩa và phân loại

a Định nghĩa

Một hình H được gọi là quỹ tích (tập hợp điểm) của những điểm M thỏa mãn tính chất A khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất A

Ví dụ 1: Đường trung trực của đoạn thẳng AB là tập

hợp các điểm cách đều hai mút A, B của đoạn thẳng AB

Nếu ta kí hiệu d là đường trung trực của đoạn

thẳng AB thì chúng ta có:

MA = MB ⇒ M ∈ d

M ∈ d ⇒ MA = MB

Ví dụ 2: Đường tròn (O; R) là tập hợp các điểm cách

điểm O cho trước một khoảng cách không đổi R

Ta có:

OM = R ⇒ M ∈(O; R)

M ∈(O; R) ⇒ OM = R

b Phân loại: Bài toán quỹ tích được chia làm 2 loại:

Loại 1: Chứng minh quỹ tích: Cho ta biết trước hình dạng quỹ tích, có khi cho

biết cả vị trí và độ lớn của nó, yêu cầu ta phải chứng minh hình đó là quỹ tích của

một điểm nào đó Bài toán này được cho dưới dạng “chứng minh rằng quỹ tích những điểm M có tính chất A là hình H”

Loại 2: Tìm quỹ tích: Yêu cầu ta phải tìm quỹ tích của một điểm chuyển động

mà hình dạng, vị trí và độ lớn của quỹ tích đều chưa biết Bài toán này thường được

phát biểu dưới dạng “Tìm quỹ tích các điểm M có tính chất A”.

1.1.2 Phương pháp giải bài toán quỹ tích

1.1.2.1 Phương pháp giải

Để tìm quỹ tích điểm M có tính chất A, ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm cách giải

Hình 1.2 Hình 1.1

- Xác định yếu tố cố định (thường là các điểm) và không đổi (độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc, diện tích của hình).

- Xác định điều kiện của M

- Dự đoán quỹ tích: phác họa vài vị trí đặc biệt của điểm M hoặc bằng cách dựa vào sự chuyển động của điểm M (M có thể chạy xa vô tận thì quỹ tích là đường thẳng) hoặc dựa vào tính chất đối xứng của quỹ tích để dự đoán quỹ tích là thẳng hay tròn Ta thường gặp 2 dạng đây:

+ Quỹ tích có dạng thẳng (đường thẳng, đoạn thẳng, tia) ta có thể sử dụng một số quỹ tích cơ bản như: quỹ tích đường trung trực, quỹ tích đường phân giác, quỹ tích đường thẳng song song cách đều, nối điểm chuyển động M với một điểm O

cố định rồi chứng minh OM song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cố định hoặc OM tạo với đường thẳng cố định một góc α không đổi

+ Quỹ tích có dạng tròn (đường tròn, cung tròn) có thể chọn một trong các cách chứng minh là: chứng minh điểm M luôn cách một điểm cố định O một khoảng không đổi đó là đường tròn tâm O bán kính OM, dựa vào quỹ tích cung chứa góc, chọn 3 điểm A, B, C cố định Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp suy ra

M thuộc đường tròn đi qua A, B, C

Bước 2: Trình bày lời giải

1 Chứng minh phần thuận: Chứng minh điểm M thuộc hình H

Giới hạn (nếu có): Căn cứ vào vị trí đặc biệt của điểm M, chứng tỏ điểm M

chỉ thuộc một phần B của hình H (nếu được), vẽ hình B và H

2 Chứng minh phần đảo: Lấy điểm M bất kì thuộc hình H, ta cần chứng minh điểm M có tính chất A

3 Kết luận quỹ tích: Tập hợp các điểm M là hình B Nêu rõ hình dạng và cách xác định hình B

- Để khỏi vẽ lại hình, trong giải phần đảo tên các điểm, chúng ta nên giữ nguyên như ở phần thuận.

* Cách xác định giới hạn

- Phương pháp phần giao: sau khi xác định M phải thuộc hình H là tập hợp các điểm cơ bản, dựa vào giả thiết bài toán xem điểm M phải thuộc miền nào của mặt phẳng Phần giao của hình H với miền này sẽ cho ta tập hợp điểm M

- Phương pháp vị trí giới hạn: Trong bài toán nếu ta có điểm A nào đó chuyển động kéo theo sự chuyển động của điểm M cần tìm tập hợp điểm, thì từ các vị trí giới hạn của A ta tìm ra vị trí tương ứng của điểm M trên hình H

1.1.2.2 Ví dụ: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Vẽ đường thẳng (d) vuông

góc với AB tại I (I∈AB) Gọi M là điểm chuyển động trên đường tròn (O; R), MA

và MB lần lượt cắt (d) tại C và D Tìm tập hợp tâm J của đường tròn đi qua ba điểm

A, D, C

Giải+ Phần thuận

Gọi E là điểm đối xứng của B qua (d) nên E cố

định

Suy ra = (1)

= 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

= (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

(2)

Từ (1), (2) suy ra: =

Mà + = 1800⇒ + = 1800

⇒ Tứ giác EDCA nội tiếp đường tròn

⇒ Đường tròn qua ba điểm A, D, C đi qua hai điểm cố định E, A

Vậy tâm J của đường tròn qua ba điểm A, D, C thuộc đường thẳng cố định là đường trung trực của đoạn thẳng AE

* Giới hạn

Khi M ≡ M’ thì J ≡ J’(M’ là trung điểm cung AB, J’M’⊥ OM’; J’∈(d))

Khi M ≡ M’’ thì J ≡ J’’ (M’’ là trung điểm cung AB, J’’M’’⊥ OM’’; J’’∈(d))

Do đó J chuyển động trên tia J’x, J’’y của đường trung trực của đoạn thẳng AE.+ Phần đảo

Hình 1.3

Lấy điểm J bất kì trên tia J’x (hoặc J’’y) Vẽ đường tròn (J; JA) cắt (d) tại C, D.

AC cắt BD tại M Ta cần chứng minh M nằm trên đường tròn (O)

Ta có: JE = JA (J thuộc đường trung trực của AE) nên E∈(J; JA)

= (EDCA nội tiếp (J; JA))

= (B, E đối xứng qua (d))

Suy ra: = nên tứ giác ICMB nội tiếp đường tròn

Mà = 900⇒ = 900 suy ra M thuộc đường tròn (O)

+ Kết luận

Tập hợp các tâm J của đường tròn đi qua ba điểm A, D, C là đường trung trực của đoạn thẳng AE

1.2 Các tập hợp điểm cơ bản

1.2.1 Tập hợp điểm là đường trung trực

Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt A,

B cố định là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Ví dụ: Cho góc vuông xOy, A là điểm cố định trên tia

Ox, B là điểm chuyển động trên tia Oy Tìm tập hợp trung điểm M của AB

Giải+ Phần thuận

Khi B ≡ O thì M ≡ M’ (M’ là trung điểm của OA)

Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì M chạy xa vô tận trên tia M’z thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA

Suy ra = (1)

Xét AOB có = 900 nên + = 900 (2)

Mà + = 900 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: = hay =

⇒ BMO cân tại M nên OM = MB

Suy ra MA = MB hay M là trung điểm của đoạn thẳng AB

+ Kết luận

Tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng

OA và thuộc miền trong của góc xOy

1.2.2 Tập hợp điểm là tia phân giác

Định lý: Tập hợp các điểm M nằm trong góc xOy,

khác góc bẹt và cách đều hai cạnh của góc xOy là tia phân

giác của góc xOy

Hệ quả: Tập hợp điểm M cách đều hai đường thẳng

cắt nhau xx’ và yy’ là bốn tia phân giác của bốn góc tạo

thành, bốn tia phân giác này tạo thành hai đường thẳng

vuông góc với nhau tại O

Ví dụ: Cho hai đường thẳng cắt nhau tại điểm A Tìm tập hợp tâm các đường

tròn tiếp xúc với hai đường thẳng đó

Giải+ Phần thuận

Gọi xx’ và yy’ là hai đường thẳng cắt nhau tại A Đường tròn (O; R) tiếp xúc với hai đường thẳng tại B và C (B∈xx’; C∈yy’)

Ta có OB ⊥ xx’, OC ⊥ yy’, OB = OC (= R) suy ra O thuộc hai đường thẳng cắt nhau zz’, tt’ là bốn tia phân giác của bốn

góc tạo thành bởi đường thẳng xx’ và yy’

* Giới hạn

O là điểm tuỳ ý trên hai đường thẳng

zz’, tt’ đều vẽ được đường tròn (O) tiếp xúc

với hai đường thẳng xx’ và yy’

y

x

z O

M K

H

Hình 1.6

Hình 1.7

+ Phần đảo

Lấy O bất kì thuộc đường thẳng zz’ Kẻ OB vuông góc với xx’ tại B, OC vuông góc với yy’ tại C, ta có OB = OC suy ra đường tròn (O; OB) tiếp xúc với hai đường thẳng xx’ và yy’

Chứng minh tương tự khi lấy O bất kì thuộc đường thẳng tt’

+ Kết luận

Tập hợp các tâm O của các đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại A là hai đường thẳng zz’, tt’ chứa bốn tia phân giác của bốn góc tạo thành bởi hai đường thẳng xx’ và yy’

1.2.3 Tập hợp điểm là hai đường thẳng song song

Định lí: Tập hợp các điểm M cách một đường

thẳng d cho trước một khoảng bằng a (a > 0) cho

trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng

đã cho và cách đường thẳng đã cho một khoảng cách

bằng a

Ví dụ: Cho một đường thẳng xy Tìm tập hợp tâm của các đường tròn có bán

kính 2cm và tiếp xúc với đường thẳng xy

Giải+ Phần thuận

Gọi O là tâm của đường tròn bán kính 2cm tiếp

xúc với đường thẳng xy Ta có khoảng cách từ O

đến xy luôn bằng 2cm Do đó O thuộc hai đường

thẳng d và d’ song song với xy và cách xy một

1.2.4 Tập hợp điểm là một đường thẳng song song

Định lí: Tập hợp các điểm M cách đều hai đường

thẳng song song cho trước là một đường thẳng song

song và cách đều hai đường thẳng đã cho

Ví dụ: Cho hai đường thẳng song song d và d’ cách

nhau một khoảng bằng 4cm, A là điểm chuyển động trên đường thẳng d, B là điểm chuyển động trên đường thẳng d’ Tìm tập hợp các trung điểm M của AB

Hình 1.10

Hình 1.11

AMH có KB ∥AH (d∥d’) suy ra = = 1

⇒ MB = MA Vậy M là trung điểm của AB

+ Kết luận

Tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB là đường thẳng song song và nằm giữa hai đường thẳng d và d’ cách hai đường thẳng d và d’ một khoảng bằng 2cm

1.2.5 Tập hợp điểm là cạnh của một góc

Định lí: Tập hợp các điểm M ở trên một đường

thẳng d đi qua một điểm cố định A và hợp với một

đường thẳng m một góc không đổi là đường thẳng d

Ví dụ: Cho góc vuông xOy cố định, điểm A cố

định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên Oy Vẽ tam giác đều ABC (C và O khác phía đối với đường thẳng AB)

Khi B chạy xa vô cực trên tia Oy thì C chạy xa vô tận trên tia Dz

Vậy C chuyển động trên tia Dz của đường thẳng vuông góc với AD tại D

+ Phần đảo

Lấy điểm C bất kì trên tia Dz, vẽ tia At sao cho = 600, At cắt tia Oy tại B

Hình 1.12

Hình 1.13

Suy ra AB = AC Vậy ABC cân tại A.

ABC cân tại A có = 600 nên ABC đều

+ Kết luận

Tập hợp các điểm C là tia Dz của đường thẳng vuông góc với AD tại D

b/ Tìm tập hợp điểm M

+ Phần thuận

ABC đều, AM là trung tuyến nên AM ⊥ BC

Suy ra = = 900 Do đó tứ giác OBMA nội tiếp

được trong một đường tròn

Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì C chạy xa trên vô tận trên Dz nên M chạy xa

vô tận trên tia ED

Vậy M chuyển động trên tia ED

+ Kết luận

Tập hợp các trung điểm M của BC là tia ED thuộc đường thẳng hợp với Ox một góc bằng 600

1.2.6 Tập hợp điểm là đường tròn

Định lí: Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước

một khoảng cách không đổi (r > 0) là đường tròn tâm O,

bán kính r

Ví dụ: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB; C là điểm chuyển động trên

đường tròn (O; R) Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB Tìm tập hợp các điểm D

Giải+ Phần thuận

= 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AC ⊥ BD

CD = CB (giả thiết)

Do đó: ABD cân tại A nên AD = AB = 2R

(không đổi) và A cố định Do đó D thuộc đường tròn

Ta có: AD = AB = 2R suy ra ABD cân tại A

Mặt khác: = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

ABD cân tại A và AC ⊥ BD suy ra AC là trung tuyến của ABD

Vậy C là trung điểm của BD

+ Kết luận

Tập hợp các điểm D là đường tròn (A; 2R)

1.2.7 Tập hợp điểm là cung chứa góc

Hình 1.15

Hình 1.16

Định lí: Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho

trước một góc AMB có số đo không đổi a ( 00 < a < 1800) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB

Ví dụ: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, DC là dây cung chuyển

động trên nửa đường tròn sao cho CD = R AD cắt BC tại N, AC cắt BD tại M

CD là dây cung của đường tròn (O; R), CD = R ⇒

CD là cạnh của hình vuông nội tiếp trong đường tròn

CD là dây cung của (O; R) và CD = R

CD là cạnh của hình vuông nội tiếp (O; R) suy ra sđ = 900

Hình 1.17

Hình 1.18

Lấy điểm M bất kì thuộc cung M’M’’.

MA, MB lần lượt cắt nửa đường tròn (O; R) đường kính AB tại C, D

Ta có: sđ = 450, sđ = (sđ - sđ )

Suy ra: 450 = (1800 - sđ ) ⇒ sđ = 1800 - 2.450 = 900

sđ = 900 và CD là dây cung của (O; R)

Nên CD là cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn (O; R) suy ra CD = R.+ Kết luận

Tập hợp các điểm M là cung M’M’’ là một phần của cung chứa góc 450 dựng trên đoạn thẳng AB

1.3 Giải bài toán bằng phương pháp tổng hợp

1.3.1 Phương pháp giải chung

* Bước 1: Đọc kĩ đầu bài xác định yếu tố cố định (điểm, đường thẳng,…), yếu

tố không đổi (số đo góc, số đo cung, độ dài đoạn thẳng,…), các yếu tố thay đổi (đặc biệt là điểm cần tìm quỹ tích)

* Bước 2: Dự đoán tập hợp là gì? Khi tìm các vị trí của điểm mà ta cần xét tập

hợp, nên xét thêm một số trường hợp đặc biệt gọi là trường hợp giới hạn vì việc này không những làm cho việc tìm các vị trí được đơn giản mà còn có tác dụng quan trọng là cho biết điểm cần xét có thể thay đổi trong giới hạn nào

* Bước 3: Dự đoán tập hợp có thể là hình gì? Cần liên hệ đến các tập hợp cơ

bản đã học để nối điểm mà ta cần tìm tập hợp vào những yếu tố thích hợp rồi tìm cách chứng minh mệnh đề thuận Cần chú ý vẽ hình trong trường hợp tổng quát và nêu giới hạn (nếu có) của sự thay đổi của điểm mà cần tìm quỹ tích

* Bước 4: Chứng minh mệnh đề đảo.

* Bước 5: Kết luận quỹ tích

1.3.2 Ví dụ

Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy Một điểm A chạy trên cạnh Ox, một điểm B

chạy trên cạnh Oy sao cho độ dài đoạn AB luôn bằng một đoạn a cho trước Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB

Giải+ Phần thuận

Nối OI, tam giác AOB vuông mà OI là

trung tuyến nên:

Khi A ≡ O thì B ≡ B’, I ≡ I’ (I’ là trung điểm của OB’)

Khi B ≡ O thì A ≡ A’, I ≡ I’’ (I’’ là trung điểm của OA’)

Vậy khi AB di chuyển trong góc xOy thì điểm I nằm trên cung tròn I’I’’ thuộc đường tròn tâm O bán kính

1.4 Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp tọa độ

1.4.1 Phương pháp chung

* Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn.

* Bước 2: Tọa độ hóa các yếu tố đã cho và điểm cần xác định quỹ tích.

* Bước 3: Giải và kết luận.

1.4.2 Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B và đường thẳng ∆∥AB Một điểm C thay đổi trên

∆ Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC

Hình 1.20

Vậy quỹ tích của điểm H là một parabol đi qua hai điểm A, B và có đỉnh là điểm H’ (H’ là trực tâm của tam giác ABC’, cân tại C’)

Ví dụ 2: Cho hai điểm A, B và một số thực dương k Tìm quỹ tích những điểm

M trong mặt phẳng sao cho MA = kMB

Giải

Đặt A, B vào hệ trục tọa độ với AB nằm trên Ox và đường trung trực của AB

trùng với Oy, AB = 2a Khi đó A(-a, 0), B(a, 0) Với điểm M(x, y) bất kỳ, ta có

MA = kMB

⇔ MA2 = k2MB2

⇔ (x + a)2 + y2 = k2((x - a)2 + y2)

⇔ (k2 - 1)x2 – 2a(k2 + 1)x + (k2 - 1)y2 + (k2 - 1)a2 = 0 (*)

Nếu k = 1 thì quỹ tích M là đường thẳng x = 0

Nếu k ≠ 1 thì phương trình (*) được viết lại thành

Dạng 1: Quỹ tích của điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ hoặc độ dài vectơ

* Bước 1: Biến đổi các đẳng thức đã cho trước về một trong các dạng quỹ tích

cơ bản theo 2 hướng: chứng minh biểu thức vectơ bằng một vectơ không đổi hoặc dùng tâm tỉ cự

* Bước 2: Sử dụng các quỹ tích cơ bản để xác định quỹ tích của điểm theo yêu

cầu bài toán

Một số bài toán quỹ tích cơ bản:

+ = k (k ≠ 0), A cố định, không đổi Quỹ tích điểm M là đường thẳng qua A

cùng phương với

+ =với A, B cố định Quỹ tích điểm M là trung trực của AB

+ = với A cố định, không đổi Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm A, bán kính

R =

Dạng 2: Quỹ tích của điểm thỏa mãn đẳng thức về tích vô hướng hay tích độ dài

* Bước 1: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng = k, bằng phép phân tích thành

nhân tử, đặt nhân tử chung, trong đó các vectơ , có thể là tổng hoặc hiệu các vectơ nào đó

* Bước 2: Dựa vào bài toán chứng minh biểu thức vectơ không đổi hoặc tâm tỉ

cựđể biến đổi đẳng thức = k về một trong các dạng quỹ tích cơ bản và kết luận về quỹ tích cần xác định

Một số quỹ tích cơ bản:

+ =k, với A, B cố định, k không đổi: Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I (với

I là trung điểm của AB), bán kính R =, nếu + k ≥ 0

+ = k với A, B là các điểm cố định, k không đổi Quỹ tích điểm M là đường vuông góc với AB tại điểm H trên đường thẳng AB thỏa =

+ AM2 = k, với A cố định, k ≥ 0 không đổi Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm

Vậy M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng GI

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm N trong các trường hợp sau:

a/ + = - (1)

b/ 4++ = 2 (2)

Giảia) Gọi M là trung điểm BC, ta có:

+ = -⇔ 2 = ⇔ NM =

Vậy tập hợp điểm N là đường tròn tâm M, bán kính R =BC

2

b) Với M là trung điểm của BC

Gọi I là điểm thỏa mãn 4++= , ta có:

⇔ I thuộc đường thẳng qua C song song với AB

⇔ I thuộc đường trung bình MN của ∆ABC

Ví dụ 4: Cho đoạn thẳng MN Tìm quỹ tích điểm I trong mỗi trường hợp sau:

a/ =

b/ 2 2 =

Giải a/ =

⇔ (2 - ) = 0 (*)

Gọi J là điểm thỏa mãn 2 - = 0 thì 2 - =

(*) ⇔ = 0 ⇔ ⊥

Vậy quỹ tích điểm I là đường tròn đường kính MJ

1.6 Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp biến hình

1.6.1 Phương pháp chung

* Bước 1: Tìm một phép biến hình (tịnh tiến T vr, đối xứng trục Đa, đối xứng tâm, phép quay Q Oα, phép vị tự k

O

V ) biến điểm M di động thành điểm M’

* Bước 2: Tìm tập hợp (H) của các điểm M.

* Bước 3: Kết luận tập hợp các điểm M’ là ảnh của (H) trong phép biến hình

(tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự) trên

1.6.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B

Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O) Tìm quỹ

tích N sao cho + =

Giải

Ta có: + = ⇒ = - =

⇒N là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ

Vậy quỹ tích điểm N là đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ

Ví dụ 2: Trên đường tròn (O; R), lấy hai điểm A, B cố định và một điểm C di

động Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC

GiảiGọi I là trung điểm của AB nên I cố định

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên =

⇒ C V G= I13( )

Vậy tập hợp các điểm G là ảnh của đường tròn

(O;R) trong phép vị tự tâm I, tỉ số 1

3

Hình 1.21

Hình 1.22