TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT VÀNH VÀ MÔ ĐUN ĐỀ TÀI LINH HÓA TỬ

TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT VÀNH VÀ MÔ ĐUN ĐỀ TÀI LINH HÓA TỬ Chúng ta đều biết rằng các cấu trúc đại số cơ bản như nhóm, vành là sự khái quát hóa từ các tập hợp số với hai phép toán (+) và (×) thông thường. Môđun là khái niệm mở rộng của khái niệm nhóm aben và khái niệm không gian vectơ. Một cấu trúc Rmôđun M được xây dựng từ một vành R.

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

——————– * ———————

TIỂU LUẬN

LÝ THUYẾT VÀNH VÀ MÔ ĐUN

Đề tài:

LINH HÓA TỬ

Giảng viên hướng dẫn : GS.TS Lê Văn Thuyết

Học viên thực hiện : Hà Văn Quý

Lớp Cao học Toán K20

HUẾ, 11-2012

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy giáo, Giáo sư, Tiến sĩ Lê Văn Thuyết đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành tốt tiểu luận này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tâm truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập tại khoa

Tôi cũng xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy cô giáo và bạn bè trong suốt thời gian tôi làm tiểu luận

Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2012 Sinh viên thực hiện

Hà Văn Quý

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Mở đầu iii

Chương 1 Một số kiến thức về Môđun 1

1.1 Vành và Iđêan 1

1.2 Môđun 2

1.3 Môđun con và môđun thương 3

1.4 Song môđun 4

1.5 Đồng cấu môđun 5

Chương 2 Lý thuyết Linh hóa tử 6

2.1 Linh hóa tử 6

2.2 Bài tập 9

Kết luận 12

Tài liệu tham khảo 13

MỞ ĐẦU

Chúng ta đều biết rằng các cấu trúc đại số cơ bản như nhóm, vành là sự khái quát hóa từ các tập hợp số với hai phép toán (+) và (×) thông thường Môđun là khái niệm mở rộng của khái niệm nhóm aben và khái niệm không gian vectơ Một cấu trúc R-môđun M được xây dựng từ một vành R Vấn đề đặt ra là tìm hiểu các tính chất của một môđun M thông qua vành R Một trong những công cụ hỗ trợ khảo sát mối liên hệ giữa đó là linh hóa tử

Để có tính hệ thống trong trình bày, tiểu luận sẽ nhắc lại hết sức ngắn gọn khái niệm, tính chất cần thiết về vành, môđun trong Chương 1 Chương 2 là nội dung chính của tiểu luận, giới thiệu khá chi tiết về linh hóa tử và cuối cùng là giải quyết

ba bài toán liên quan đến vành nửa đơn

Để hoàn thành được tiểu luận này, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Giáo

sư, Tiến sĩ Lê Văn Thuyết đã giảng dạy và tạo điều kiện Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bày khó tránh khỏi các sai sót, mong quý thầy cô giáo và các bạn chỉ bày thêm để cuốn tiểu luận được hoàn thiện hơn

Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2012 Học viên thực hiện

Hà Văn Quý

CHƯƠNG 1 Một số kiến thức về Môđun

Phần này trình bày hết sức ngắn gọn một số khái niệm và tính chất cần thiết

để chuẩn bị cho Chương 2 Các khái niệm vành, iđêan, môđun, song môđun xem như đã biết và được chứng minh đầy đủ trong [1], [2] Những chứng minh còn lại (mà trong [2] chưa trình bày) là của bản thân học viên, mong nhận được sự góp ý của Thầy và người đọc

1.1 Vành và Iđêan

Định nghĩa 1.1 ([1], tr 78) Một tập hợp R được gọi là một vành nếu trên R có hai phép toán hai ngôi, một gọi là phép cộng và một gọi là phép nhân, sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Tập hợp R là một nhóm aben đối với phép cộng

(ii) Phép nhân trên R là kết hợp

(iii) Luật phân phối: Phép nhân là phân phối đối với phép cộng Tức, với các phần tử x, y, z ∈ R tùy ý, ta có

(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy

Vành R đối với phép cộng có phần tử không, ký hiệu 0; đối với phép nhân nếu

có phần tử đơn vị gọi là vành có đơn vị

Trong toàn bộ tiểu luận này, nếu không nói gì thêm, ta quy ước vành R luôn

có đơn vị khác không và được ký hiệu là 1

Định nghĩa 1.2 (i) Một tập hợp A của một vành R được gọi là một vành con của R, nếu A lập thành một nhóm con aben với phép cộng của R và đóng đối với phép nhân, tức ab ∈ A, ∀a, b ∈ A

(ii) Một tập hợp con I của một vành R được gọi là một iđêan trái (hoặc iđêan phải) của R, nếu I là một vành con của R và thỏa mãn tính chất RI ⊂ I(hoặc

IR ⊂ I)

(iii) Nếu I vừa là iđêan phải vừa là iđêan trái của R thì được gọi là một iđêan của R

1.2 Môđun

Định nghĩa 1.3 ([2], tr 4) Cho R là một vành có đơn vị khác không Một R-môđun phải M là:

1) Một nhóm cộng aben M với

2) Ánh xạ M × R −→ M, (m, r) 7−→ mr được gọi là phép nhân môđun, thỏa các điều kiện sau:

i) Quy tắc kết hợp: (mr1)r2 = m(r1r2)

ii) Quy tắc phân phối: (m1+ m2)r = m1r + m2r,

m(r1+ r2) = mr1+ mr2 iii) Quy tắc unita: m1 = m

trong đó m, m1, m2 là các phần tử tùy ý của M , r1, r2 ∈ R

Lúc đó, R được gọi là vành cơ sở Nếu M là một R-môđun phải ta ký hiệu

M = MR Tương tự ta cũng định nghĩa khái niệm R-môđun trái

Nhận xét 1 Từ định nghĩa ta có các kết quả sau:

0Mr = 0M, m0R = 0M, −(mr) = (−m)r = m(−r) với mọi m ∈ M, r ∈ R

Định nghĩa 1.4 Một R-môđun trái M là đơn nếu nó không có một môđun con không tầm thường nào

Một R-môđun trái M là nửa đơn nếu M là một tổng trực tiếp của các môđun đơn

Một vành R là nửa đơn trái nếu R là một tổng trực tiếp của các iđêan trái cực tiểu.([4], VIII.3, tr 556)

1.3 Môđun con và môđun thương

Định nghĩa 1.5 (Môđun con) Cho M là một R-môđun phải Tập con A của

M được gọi là môđun con của M , ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR, nếu A là một R-môđun phải với phép toán cộng và nhân môđun hạn chế trên A

Chú ý rằng ký hiệu A ≤ M để phân biệt với ký hiệu có tính tập hợp thông thường A ⊂ M Ngoài ta nếu ta viết

A ≤

6=

M có nghĩa A là môđun con thực sự của M

A  M có nghĩa A là không phải là môđun con của M

Sau đây là dấu hiệu nhận biết một môđun con:

Định lý 1.3.1 Giả sử M là một R-môđun phải Nếu A là một tập con khác ∅ của

M , thì các khẳng định sau là tương đương:

i) A ≤ M ,

ii) A là nhóm con của nhóm cộng của môđun M và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có

ar ∈ A,

iii) Với mọi a1, a2 ∈ A ta có a1+ a2 ∈ A, và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A Chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử A 6= ∅ và là môđun con của M Khi đó, theo Định nghĩa 1.5, A là một R-môđun Theo Định nghĩa 1.3, A cùng với phép toán cộng trong M là một nhóm cộng aben, do đó A là một nhóm con của nhóm cộng của môđun M Cũng theo Định nghĩa 1.5, phép nhân môđun M × R −→ M, (m, r) 7−→

mr, hạn chế trên A nên với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A

ii) ⇒ iii) Do tính chất của nhóm con của nhóm cộng nên với mọi a1, a2 ∈ A

ta có ngay a1+ a2 ∈ A

iii) ⇒ i) Lưu ý rằng, vành R trong tiểu luận này luôn được giả thiết có đơn

vị khác không Do đó, từ A 6= ∅, nên với mọi a ∈ A, ta có 0M = a0R ∈ A và

−a = (−a)1R ∈ A Hay A là nhóm cộng Hơn nữa, tính aben của A có được do

A ⊂ M Vậy A là một nhóm cộng aben

Mặt khác phép nhân môđun trên A thừa hưởng các điều kiện trong định nghĩa 1.3 nên A là một R-môđun Theo Định nghĩa 1.5, A ≤ M 

Nhận xét 2 Mỗi iđêan phải của vành R cũng là một môđun con của RR.

Định lý 1.3.2 (Xây dựng môđun thương) Cho MR và N ≤ M Khi đó:

1) M/N là một nhóm cộng aben với phép toán cộng :

(x + N ) + (y + N ) = x + y + N

2) Quy tắc

(m + N, r) 7−→ (m + N ).r = mr + N

là phép nhân môđun

3) Nhóm aben M/N cùng với phép nhân môđun này trở thành một R-môđun phải

Định nghĩa 1.6 (Môđun thương) M/N xác định như trong Định lý 1.3.2 được gọi là môđun thương của môđun M trên môđun con N của nó

1.4 Song môđun

Định nghĩa 1.7 (Song môđun) 1 Cho R, S là hai vành Nhóm aben (M, +) là một song môđun R-bên phải S-bên trái, ký hiệu SMR, nếu:

(a) M là R-môđun phải và M là S-môđun trái,

(b) Ta phải có

(sx)r = s(xr), r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M

2 Cho R, S là hai vành Nhóm aben (M, +) là một song môđun R-bên phải S-bên phải, ký hiệu MR−S, nếu:

(a) M là R-môđun phải và M là S-môđun phải,

(b) Ta phải có

(xs)r = (xr)s, r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M

1.5 Đồng cấu môđun

Định nghĩa 1.8 Cho A, B là hai R-môđun phải Đồng cấu môđun α từ A vào B

là một ánh xạ α : A −→ B thỏa:

∀a1, a2 ∈ A, ∀r1, r2 ∈ R [α(a1r1+ a2r2) = α(a1)r1+ α(a2)r2]

Lúc đó ta viết α : AR −→ BR

Định nghĩa 1.9 Đồng cấu α : AR −→ BR được gọi là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu nó là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh)

Bổ đề 1.5.1 Cho α : AR −→ BR Lúc đó:

1) U ≤ A ⇒ α(U ) ≤ B

2) V ≤ B ⇒ α−1(V ) ≤ A

Định nghĩa 1.10 Theo Bổ đề 1.5.1, α−1(0) là môđun con của AR Ta gọi là nhân của đồng cấu α Ký hiệu Ker(α)

Nhận xét 3 Nhân của đồng cấu môđun α cũng là nhân của đồng cấu nhóm nên

α đơn cấu khi và chỉ khi Ker(α) = 0

CHƯƠNG 2

Lý thuyết Linh hóa tử

2.1 Linh hóa tử

R là một vành, M là một R-môđun trái Ta có thể tìm hiểu các tính chất của

M từ R và ngược lại Một trong những khái niệm được đề cập để khảo sát mối liên

hệ đó là linh hóa tử Các chứng minh trong phần này được tham khảo chủ yếu từ [2], [3] Ngoài ra, học viên đã mạnh dạn đưa ra và chứng minh một số ví dụ minh họa khái niệm liên quan

Định nghĩa 2.1 Cho M là một R-môđun trái X ≤ M là môđun con của M Khi đó, linh hóa tử (trái) của X trong R là:

lR(X) = {r ∈ R|rx = 0, ∀x ∈ X}

Mỗi với A ⊆ R, linh hóa tử (phải) của A trong M là:

rM(A) = {x ∈ M |ax = 0, ∀a ∈ A}

Với mỗi tập {x}, {a}, ta viết tắt là lR(x) và rM(a) Khi không có sự nhầm lẫn nào, ta có thể lược bỏ chỉ số dưới R và M

Nếu bắt đầu với R - môđun phải M , ta cũng định nghĩa linh hóa tử phải rR(X)

và linh hóa tử trái lM(A)

Nếu A ⊆ lR(X) ta nói A linh hóa X

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của khái niệm linh hóa tử Mệnh đề 2.1.1 Cho RMS là một song môđun, X ⊆ M, A ⊆ R Khi đó:

1) lR(X) là một iđêan trái của R

2) rM(A) là một môđun con của MS

Hơn nữa, nếu X là một môđun con của RM thì lR(X) là một iđêan (hai phía) của R

Nếu A là một iđêan phải của R thì rM(A) là một môđun con của RMS.

Nếu R giao hoán thì lR(X) là một iđêan và rM(A) là môđun con của RMS Chứng minh 1) Ta có lR(X) 6= ∅ (vì 0Rx = 0, ∀x ∈ X nên 0R ∈ lR(X))

Với mọi x ∈ X, mọi a, b ∈ lR(X), ta có (a + b)x = ax + bx = 0 nên (a + b) ∈ lR(X) Với ∀r ∈ R, ∀a ∈ lR(X) ⊂ R, ta chứng minh ra ∈ lR(X) Thật vậy, với mọi x ∈ X,

ta có

(ra)x = r(ax) (do định nghĩa của R-môđun M )

= r0 = 0 (do a ∈ lR(X))

Do đó, lR(M ) là một iđêan trái của R

2) Ta sử dụng Định lý 1.3.1 để chứng minh

+Ta có rM(A) 6= ∅ (vì a0M = 0, ∀a ∈ A nên 0M ∈ rM(A))

+Với mọi x, y ∈ rM(A) ⊂ M , mọi a ∈ A ⊂ R ta có:

a(x + y) = ax + ay (do tính chất của R-môđun trái RM )

= 0 (do x, y ∈ rM(A), a ∈ A), suy ra x + y ∈ rM(A)

+Với ∀x ∈ rM(A), ∀s ∈ S, ∀a ∈ A, ta có:

a(xs) = (ax)s (do tính chất của song môđun RMS)

= 0 (do x ∈ rM(A), a ∈ A), suy ra xs ∈ rM(A)

Đối chiếu các điều kiện của Định lý 1.3.1iii)ta có rM(A) ≤ MS

Nếu X ≤ M thì với mọi a ∈ lR(X), ∀r ∈ R, ∀x ∈ X, ta có (ar)x = a(rx) = 0, (do X là R-môđun nên rx ∈ X) Suy ra lR(X) là iđêan phải, do đó cả hai phía, của R

Nếu A là iđêan phải của R ta luôn có với ∀a ∈ A, ∀r ∈ R thì ar ∈ A Chứng minh tương tự ta có:

∀r ∈ R, ∀x1, x2 ∈ rM(A) → x1+ x2 ∈ rM(A), rx1 ∈ rM(A) (do với mọi a ∈ A ta có a(rx1) = (ar)x1 = 0, với ar ∈ A) Suy ra rM(A) là môđun con của RM , và từ đó

là môđun con của RMS

Nếu R giao hoán thì trong các phép chứng minh ở trên ta luôn có (ar)x = (ra)x = r(ax) = 0 và a(rx1) = (ar)x1 = (ra)x1 = r(ax1) = r0 = 0 Do đó đủ để kết luận lR(X) là iđêan của R và rM(A) là môđun con của RMS 

Mệnh đề 2.1.2 Cho RM là một R-môđun X, Y là các tập con của M và A, B

là các tập con của R Khi đó:

1) X ⊂ Y ⇒ lR(X) ⊇ lR(Y ) và A ⊂ B ⇒ rM(A) ⊇ rM(B)

2) X ⊆ rMlR(X) và A ⊆ lRrM(A)

3) lR(X) = lRrMlR(X), rM(A) = rMlRrM(A)

Chứng minh 1) Giả sử X ⊂ Y Với mọi r ∈ lR(Y ), ry = 0, ∀y ∈ Y Suy ra

ry = 0, ∀y ∈ X ⊂ Y Hay r ∈ lR(X) Vậy, lR(X) ⊇ lR(Y )

Tương tự, với mọi x ∈ rM(B), ta có ax = 0, ∀a ∈ B Suy ra ax = 0, ∀a ∈ A ⊂ B Hay x ∈ rM(A) Do đó, rM(A) ⊇ rM(B)

2) Với mọi x ∈ X ⊂ M , ta chứng minh x ∈ rMlR(X) ⇔ ax = 0, ∀a ∈ lR(X) Điều này hiển nhiên đúng theo định nghĩa của lR(X)

3) Áp dụng 2) thay A bởi lR(X) ta có lR(X) ⊆ lRrMlR(X) Ngoài ra, vì

X ⊆ rMlR(X) nên từ 1) ta có lR(X) ⊇ lRrMlR(X)  Mệnh đề 2.1.3 Cho RM là một R-môđun trái (Kα)α∈A và (Iα)α∈A là các nhóm con của nhóm cộng của M và R tương ứng Khi đó:

1) lR(X

α∈A

Kα) = ∩α∈AlR(Kα) và rM(X

A

Iα) = ∩ArM(Iα)

2) P

AlR(Kα) ⊆ lR(∩AKα) và P

ArM(Iα) ⊆ rM(∩AIα)

Chứng minh 1) Vì Kβ ≤ P

AKα với mỗi β, áp dụng mệnh đề 2.1.2.1 ta có

lR(P

AKα) ⊆ Kα với mỗi α Mặt khác, nếu mỗi phần tử r ∈ R linh hóa mọi Kα thì nó cũng linh hóa mọi tổng các phần tử trong Kα đó Do vậy, ∩AlR(Kα) ⊆

lR(P

AKα) Lập luận tương tự đối với linh hóa tử bên phải ta có điều cần chứng minh

2) Rõ ràng, ∩AKα ⊆ Kβ, với mỗi β ∈ A Do đó theo mệnh đề 2.1.2.1, lR(Kβ) ⊆

lR(∩AKα) với mỗi β Ngoài ra, lR(∩AKα) là một iđêan trái của R (theo mệnh đề 2.1.1.1), do vậy P

β∈AlR(Kβ) ⊆ lR(∩AKα) Các lập luận tương tự đối với linh hóa

2.2 Bài tập

Bài toán 1 Nếu R là một vành nửa đơn trái, thì R thỏa cả hai điều kiện dây chuyền trên các iđêan trái

Giải Ta chứng minh tính chất, một môđun M trên vành R có một chuỗi hợp thành khi và chỉ khi nó thỏa cả hai điều kiện dây chuyền trên các môđun con Thật vậy, nếu M có một chuỗi hợp thành có độ dài n thì không có dãy môđun con nào

có độ dài lớn hơn n, do đó M thỏa cả hai điều kiện dây chuyền Ngược lại, gọi F

là họ của các môđun con thực sự của M Khi đó, từ điều kiện cực đại tồn tại một môđun con lớn nhất M1 ∈ F Gọi F2 là họ các môđun con thực sự của M1, tương

tự ta tìm được môđun con lớn nhất M2 ∈ F2 Lặp lại thế, ta có một dãy giảm

M ⊃

6= M1 ⊃

6= M2 ⊃

6= · · ·

Ta có M thỏa hai điều kiện dây chuyền nên dãy này phải dừng, do đó tồn tại t ∈ N nào đó sao cho Mt = 0 Như vậy, dây chuyền này là một chuỗi hợp thành của M với mỗi Mi là một môđun con cực đại của môđun liền trướcMi−1, i ≥ 2

Ta xét R là nửa đơn trái, thì R = P

iLi Đặt I = P

iei, với ei ∈ Li Nếu

r = P

iLi, thì r = 1r và do đó ri = eiri Vì vậy, nếu ei = 0, thì Li = 0 Suy ra có hữu hạn các Li 6= 0; tức là, R = L1⊕ · · · ⊕ Ln Ta có chuỗi

R = L1⊕ · · · ⊕ Ln ⊇ L2⊕ · · · ⊕ Ln ⊇ · · · ⊇ Ln ⊇ {0}

là một chuỗi hợp thành, với các môđun đơn L1, , Ln Theo nhận xét trên, ta có

R (mà được xem như một R-môđun trái) thỏa cả hai điều kiện dây chuyền  Bài toán 2 1) Mỗi môđun con và mỗi môđun thương của một nửa môđun M

là môđun nửa đơn

2) Nếu R là một vành nửa đơn (trái), thì mọi R-môđun trái M là một môđun nửa đơn

3) Nếu I là một iđêan hai phía của một vành nửa đơn R, thì vành thương R/I cũng là một vành nửa đơn

Giải 1) Cho B là một môđun con của M Khi đó mọi môđun con C của B cũng là môđun con của M Vì M là nửa đơn trái nên C là một số hạng trực tiếp của M và do đó C cũng là một số hạng trực tiếp của B Từ đó, B là nửa đơn trái Cho M/H là môđun thương của M H là một số hạng trực tiếp của M, do đó

M = H ⊕ H0 với H0 là một môđun con nào đó của M Nhưng do H0 lại là nửa đơn nên từ M/H ∼= H0 kéo theo M/H là nửa đơn

2) Cho M là một R-môđun Khi đó có một R-môđun trái tự do F và một toàn cấu R-môđun φ : F −→ M Vì R là một môđun nửa đơn trên chính nó nên F cũng

là một môđun nửa đơn Suy ra, M là một thương của môđun nửa đơn F, Theo phần 1), M cũng nửa đơn

3) Vì I là một iđêan hai phía nên R/I là một vành Từ đó, R/I cũng được xem như một R-môđun trái nửa đơn (theo 1)), và do đó nó có tổng trực tiếp

R/I ∼= XSj, với Sj là các R-môđun trái đơn Mặt khác, mỗi Sj lại là một (R/I)-môđun trái đơn, và với bất kỳ (R/I)-môđun con nào của Sj cũng là một R-môđun con của Sj

Bài toán 3 1) Cho M là một R-môđun trái nửa đơn hữu hạn sinh Chứng minh rằng, M là một tổng hữu hạn trực tiếp các môđun trái đơn Nói riêng, một vành nửa đơn trái R là một tổng trực tiếp của hữu hạn các iđêan trái cực tiểu

2) Cho R1, · · · , Rm là các vành nửa đơn trái Chứng minh tích trực tiếp

R = R1× · · · × Rm cũng là một vành nửa đơn trái

Giải 1) Giả sử {x1, · · · , xn} là tập sinh của M M là nửa đơn trái nên M = P

jSj, với Sj là các môđun trái nửa đơn Mỗi xi =P

jsij, với sij ∈ Sj, có hữu hạn thành phần khác không Từ đó, {x1, · · · , xn} chỉ hữu hạn các phần tử của các Sj, gọi đó là Sj1, · · · , Sjt Khi đó,

M ⊆< x1, · · · , xn >⊆ Sj1⊕ · · · ⊕ Sjt ⊆ M