TIỂU LUẬN MÔN ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ VỚI MINH HỌA CỤ THỂ Tôpô đại số là ngành học dùng công cụ đại số để nghiên cứu tôpô. Tiểu luận này đề cập đến nhóm đồng điều kì dị, được xây dựng dựa trên các kiến thức về Đại số đồng điều nhằm khảo sát các tính chất của không gian tôpô. Nhằm cho việc tiếp cận vấn đề một cách dễ dàng, tác giả chia tiểu luận này làm 3 phần nhỏ mắt xích chặt chẽ với nhau: Đơn hình chuẩn và ánh xạ tuyến tính, Đơn hình kì dị và phức xích kì dị, Đồng điều kì dị với minh họa cụ thể.
Trang 1ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN NGỌC THẮNG
CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ
KHÓA 20
ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ
VỚI MINH HỌA CỤ THỂ
TIỂU LUẬN
BỘ MÔN TÔPÔ ĐẠI SỐ
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
PGS.TSKH NGUYỄN XUÂN TUYẾN
HUẾ, THÁNG 11-2012
Trang 2LỜI CẢM ƠN
Tôpô đại số là một trong những ngành học cơ bản của toán học hiện đại Nó ra đời vào những năm đầu thế kỉ XX
và được nhiều nhà toán học lỗi lạc nghiên cứu và phát triển Ngày nay, tôpô đại số đã đạt được nhiều thành tựu vô cùng rực rỡ và là một trong những lĩnh vực hàng đầu được sự quan tâm, nghiên cứu của nhiều nhà Toán học
Tiểu luận này dành cho việc xây dựng một cách sơ khai nhất về lý thuyết đồng điều kì dị của một không gian tôpô và một số minh họa cụ thể của nó
Nhằm cho người đọc có một cái nhìn rõ ràng về nhóm đồng điều kì dị, tác giả đã cố gắng trình bày một cách chi tiết các ví
dụ và các chứng minh Tuy vậy, do kiến thức, sức lực và quỹ thời gian của bản thân là hữu hạn nên không tránh những sai sót trong tiểu luận này, rất mong sự quan tâm đóng góp của bạn đọc
Cuối cùng, tôi xin gửi sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, PGS.TSKH Nguyễn Xuân Tuyến, Thầy
đã tận tình truyền đạt những kiến thức trong học phần "Tôpô đại số" và đã cho học viên cơ hội tiếp cận đề tài này
Ngày 19 tháng 11 năm 2012 Học viên thực hiện Nguyễn Ngọc Thắng
Trang 3Tóm tắt Tôpô đại số là ngành học dùng công cụ đại số để nghiên cứu tôpô Tiểu luận này đề cập đến nhóm đồng điều kì dị, được xây dựng dựa trên các kiến thức về Đại số đồng điều nhằm khảo sát các tính chất của không gian tôpô Nhằm cho việc tiếp cận vấn đề một cách dễ dàng, tác giả chia tiểu luận này làm 3 phần nhỏ mắt xích chặt chẽ với nhau: Đơn hình chuẩn và ánh xạ tuyến tính, Đơn hình kì dị và phức xích kì dị, Đồng điều kì dị với minh họa cụ thể
Định nghĩa 1 Một tập con ∆n
của không gian Euclidean Rn+1 cho bởi
(
(x0, x1, , xn)∈ Rn+1 : 0≤ xi≤1, i= 0,1, , n và
n
X
i=0
xi = 1
)
được gọi là một n-đơn hình chuẩn (hay đơn hình chuẩn n-chiều)
Nhận xét 2 n-đơn hình chuẩn ∆n là một tập con đóng, bị chặn của không gian Euclidean Rn+1, do đó là một tập compact
Dễ thấy ∆n là bao lồi của n+ 1 điểm ej trong Rn+1 với
ej = (0, ,0,1,0, ,0), j = 0,1, , n (số 1 ở vị trí thứ j+ 1) Ta gọi ej là đỉnh thứ j của n-đơn hình chuẩn∆n
Ví dụ 3
• 0-đơn hình chuẩn ∆0 chỉ gồm một đỉnh e0 = 1 trong R
• 1-đơn hình chuẩn ∆1 là đoạn thẳng nối hai đỉnh e0 = (1,0), e1 = (0,1)
trong R2
• 2-đơn hình chuẩn ∆2 là hình tam giác đều (kể cả phần trong) với ba đỉnh
e0 = (1,0,0), e1 = (0,1,0), e2 = (0,0,1) trong không gian R3
• 3-đơn hình chuẩn ∆3 là khối tứ diện đều với bốn đỉnh e0 = (1,0,0,0),
e1 = (0,1,0,0), e2 = (0,0,1,0), e3 = (0,0,0,1) trong không gian R4
Trang 4Định nghĩa 4 Ánh xạ f : ∆n −→ Rm được gọi là tuyến tính nếu nó là hạn chế của một ánh xạ tuyến tính theo nghĩa thông thường F : Rn+1 −→ Rm lên
∆n, tức là
F |∆ n =f
Nhận xét 5 Với n+ 1 điểm tùy ý P0, P1, , Pn của Rm, luôn tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : ∆n −→ Rm sao cho f(ej) =Pj, j = 0,1, , n
Cụ thể, f được xác định bởi công thức
f(x) =
n
X
i=0
xiPi, với x= (x0, x1, , xn)∈∆n
Ảnh f(∆n) gồm các điểm P ∈ Rm có dạng
P =
n
X
i=0
xiPi, với 0≤ xi ≤1, i= 0,1, , n và
n
X
i=0
xi = 1
Như vậy, để làm việc với các ánh xạ tuyến tính f : ∆n −→ Rm ta chỉ cần biết các giá trị của nó tại các đỉnh ej của n-đơn hình chuẩn ∆n và các giá trị
đó có thể được chọn tùy ý
Ta sẽ làm việc các ánh xạ tuyến tính đặc biệt sau đây
Định nghĩa 6 Với j = 0,1, , n các ánh xạ tuyến tính
jn : ∆n−1 −→ ∆n thỏa mãn
ei 7−→ ei nếu i < j
ei 7−→ ei+1 nếu i ≥ j được gọi là các ánh xạ mặt thứ j của n-đơn hình chuẩn ∆n
Để có hình dung rõ về ánh xạ mặt, ta xét hai minh họa sau đây
Ví dụ 7 Có 2 ánh xạ mặt của 1-đơn hình chuẩn ∆1
• Ánh xạ mặt thứ 0
01 : ∆0 −→ ∆1 thỏa mãn
e0 7−→ e1
Trang 5• Ánh xạ mặt thứ 1
11 : ∆0 −→ ∆1 thỏa mãn
e0 7−→ e0
Dễ thấy 01(∆0) = [e1], 12(∆0) = [e0] với [ei] là ký hiệu của bao lồi sinh bởi phần tử ei
Ví dụ 8 Có 3 ánh xạ mặt của 2-đơn hình chuẩn ∆2
• Ánh xạ mặt thứ 0
02 : ∆1 −→ ∆2 thỏa mãn
e0 7−→ e1
e1 7−→ e2
• Ánh xạ mặt thứ 1
12 : ∆1 −→ ∆2 thỏa mãn
e0 7−→ e0
e1 7−→ e2
• Ánh xạ mặt thứ 2
22 : ∆1 −→ ∆2 thỏa mãn
e0 7−→ e0
e1 7−→ e1
Dễ thấy 02(∆1) = [e1, e2], 12(∆1) = [e0, e2], 22(∆1) = [e0, e1] với [ei, ej] là ký hiệu của bao lồi sinh bởi hai phần tử ei và ej
Nhận xét 9 Ảnh của ánh xạ mặt jn : ∆n−1 −→ ∆n là tập
jn(∆n−1) ={(x0, x1, , xn)∈∆n : xj = 0}
Ta gọi nó là mặt thứ j của n-đơn hình chuẩn ∆n
Như vậy, n-đơn hình chuẩn ∆n có n+ 1 mặt tương ứng với n+ 1 đỉnh
Trang 6Bổ đề sau đây sẽ được dùng cho mục sau.
Bổ đề 10 Với các số nguyên không âm k < j, các ánh xạ mặt thỏa
jn+1◦ kn =kn+1◦ j−1n Chứng minh
• Xét hợp thành jn+1◦ k
n
k n
j n+1
nếu i < k vì i < k < j
ei 7−→ ei+1 7−→ ei+1
nếu i ≥ k nếu i+ 1< j
ei 7−→ ei+1 7−→ ei+2
nếu i ≥ k nếu i+ 1≥ j Tóm lại
j n+1 ◦kn
−→ ∆n+1
ei 7−→ ei nếu i < k
ei 7−→ ei+1 nếu k ≤ i < j −1
ei 7−→ ei+2 nếu i ≥ j −1
• Xét hợp thành k
n+1◦ j−1
n
k n+1
vì i < k < j vì i < k hay i < j −1
Với k ≤ i < j −1 : ei 7−→ ei 7−→ ei+1
vì i < j −1 vì i ≥ k Với i ≥ j −1 : ei 7−→ ei+1 7−→ ei+2
vì i ≥ j −1 vì i+ 1 ≥ j > k Như vậy, cả hai hợp thành đều cho cùng một ảnh
Trang 72 Đơn hình kì dị và phức xích kì dị
Trong mục này và mục sau, chúng tôi áp dụng những kiến thức Đại số đồng điều để khảo sát một không gian tôpô Chúng ta sẽ làm việc với nhóm Abel tự
do được giới thiệu ngay sau đây
Định nghĩa 11 Cho X là một không gian tôpô và ∆n là n-đơn hình chuẩn trong không gian Rn+1 Một ánh xạ liên tục
σ =σn : ∆n −→ X, n ≥0
được gọi là một n-đơn hình kì dị của không gian tôpô X
Ký hiệu SnX là nhóm Abel tự do sinh bởi tập hợp tất cả các n-đơn hình kì
dị của không gian tôpô X Các phần tử c: ∆n −→ X của SnX được gọi là các n-xích kì dị của không gian tôpô X Khi đó
c= X
ni∈I
niσn,
với I là tập con hữu hạn của Z
Với n < 0, ta qui ước SnX = 0, là nhóm Abel tự do với cơ sở rỗng
Định nghĩa 12 Đồng cấu
∂n : SnX −→ Sn−1X
σ 7−→ Pn
j=0(−1)j σ ◦ jn nếu n ≥ 1
được gọi là đồng cấu biên thứ n của không gian tôpô X, trong đó jn là ánh xạ mặt thứ j của n-đơn hình chuẩn ∆n
Ta thấy rằng ảnh của đồng cấu biên thu được bằng cách hạn chế các n-đơn hình kì dị σ lên một mặt của n-đơn hình chuẩn ∆n, sau đó lấy tổng đan dấu của chúng
Mệnh đề sau cho thấy một tính chất đặc biệt của các đồng cấu biên
Trang 8Mệnh đề 13 Cho dãy các đồng cấu
· · · −→ Sn+1X ∂−→ Sn+1 nX ∂n
−→ Sn−1X −→ · · · Khi đó, hợp thành của hai đồng cấu biên liên tiếp là đồng cấu không Tức là
∂n◦ ∂n+1 = 0, ∀n ∈ Z
Chứng minh Với mọi (n + 1)-đơn hình kì dị σ : ∆n+1 −→ X trong nhóm
Sn+1X, ta có
n+1
X
j=0
(−1)j σ ◦ jn+1
=
n+1
X
j=0
(−1)j ∂n(σ ◦ jn+1)
=
n+1
X
j=0
n
X
k=0
(−1)k σ ◦ jn+1◦ kn
!
j, k
(−1)j+k σ ◦ jn+1◦ kn
j≤k
(−1)j+k σ ◦ jn+1◦ kn+X
j>k
(−1)j+k σ ◦ jn+1◦ kn
j≤k
(−1)j+k σ ◦ jn+1◦ kn+X
j>k
(−1)j+k σ ◦ kn+1◦ j−1n (2.1) Dấu bằng cuối cùng ở trên được rút ra từ Bổ đề 10
Đặt m:= j −1 và l:= k Từ j > k, ta có j −1> k −1hay m ≥ l Khi đó
X
j>k
(−1)j+k σ ◦ kn+1◦ j−1n
m≥l
(−1)m+k+1 σ ◦ ln+1◦ mn
j≤k
(−1)j+k+1 σ ◦ jn+1◦ kn (2.2)
Từ (2.1) và (2.2), ta có
j≤k
(−1)j+k + (−1)j+k+1 σ ◦ jn+1◦ kn = 0
Trang 9Định nghĩa 14 Dãy sau, kí hiệu là(SX, ∂),
(SX, ∂) : · · · −→ Sn+1X ∂−→ Sn+1 nX −→ S∂n n−1X −→ · · ·
được gọi là một phức xích kì dị của không gian tôpô X
Chú ý rằng theo Mệnh đề 13, các đồng cấu biên của một phức xích kì dị thỏa
∂n◦ ∂n+1 = 0, ∀n ∈ Z
Nhận xét 15 Cho X, X0 là hai không gian tôpô, f :X −→ X0 là một ánh xạ liên tục và σ : ∆n −→ X là một n-đơn hình kì dị của không gian tôpô X Khi
đó, hợp thành
f ◦ σ : ∆n −→ X0
là liên tục nên nó là một n-đơn hình kì dị của không gian tôpô X0 Từ đó, ta có đồng cấu
fn : SnX −→ SnX0
σ 7−→ f ◦ σ
Mệnh đề 16 Cho (SX, ∂), (SX0, ∂0) là hai phức xích kì dị của hai không gian tôpô X và X0, f : X −→ X0 là một ánh xạ liên tục Khi đó, sơ đồ sau giao hoán
(SX, ∂) :
f ]
· · · //Sn+1X
f n+1
∂ n+1 //SnX
f n
∂ n //Sn−1X
f n−1
//· · ·
(SX0, ∂0) : · · · //Sn+1X0∂
0 n+1 //S
nX0 ∂
0
n //Sn−1X0 //· · · với các đồng cấu fn xác định trong Nhận xét 15
Chứng minh Ta chứng minh
fn−1◦ ∂n =∂n0 ◦ fn, ∀n ∈ Z
Trang 10Thật vậy, với mọi n-đơn hình kì dị σ : ∆n −→ X trong SnX, ta có
n
X
j=0
(−1)jσ ◦ jn
=
n
X
j=0
(−1)jfn−1(σ ◦ jn)
=
n
X
j=0
(−1)jf ◦(σ ◦ jn)
=
n
X
j=0
(−1)j(f ◦ σ)◦ jn
=
n
X
j=0
Định nghĩa 17 Dãy các đồng cấu f] : (SX, ∂) −→ (SX0, ∂0) trong Mệnh đề
16 được gọi là một phép biến đổi xích kì dị
Trang 113 Đồng điều kì dị với minh họa cụ thể
Xét phức xích kì dị của không gian tôpô X
(SX, ∂) : · · · −→ Sn+1X ∂−→ Sn+1 nX −→ S∂n n−1X −→ · · ·
Ta đã có ∂n◦ ∂n+1 = 0, suy ra
Im ∂n+1 ⊂ Ker ∂n, ∀n ∈ Z
Từ đó, ta có nhóm thương Ker ∂n/Im ∂n+1
Định nghĩa 18 Cho phức xích kì dị (SX, ∂) của không gian tôpô X Nhóm thương
HnX :=Ker ∂n/Im ∂n+1 được gọi là nhóm đồng điều kì dị thứ n của không gian tôpô X
Mỗi phần tử của ZnX := Ker ∂n được gọi là một n-chu trình Mỗi phần tử của BnX :=Im ∂n+1 được gọi là một n-biên của phức xích kì dị (SX, ∂) Nhận xét 19 Ta đã quy ước SnX = 0 nếu n <0, do đó
HnX = 0 nếu n < 0 Sau đây là một số minh họa cụ thể của nhóm đồng điều kì dị trong trường hợp không gian tôpô X chỉ gồm một phần tử hay X là không gian liên thông đường
Mệnh đề 20 Nếu không gian tôpô X được phân tích thành hợp rời rạc của các thành phần liên thông đường Xα của X thì với mỗi n ≥0, ta có
HnX = ⊕αHnXα Chứng minh Một n-đơn hình kì dị σn : ∆n −→ X là liên tục nên ảnh của nó chứa trong một thành phần liên thông Xα nào đó của X
SnX là nhóm Abel tự do có cơ sở là tập các n-đơn hình kì dị nên ta có thể đồng nhất
SnX = ⊕αSnXα
Trang 12Các đồng cấu biên ∂n :SnX −→ Sn−1X bảo toàn tổng trực tiếp nên ta có
Ker ∂n =ZnX = ⊕αZnXα
Im ∂n+1 =BnX =⊕αBnXα
và
HnX = ⊕αHnXα
Định lí 21 (The Dimension Axiom) Cho X là một không gian tôpô chỉ gồm một phần tử Khi đó
H0X ∼= Z,
HnX = 0 nếu n >0 Chứng minh Với mỗi n 6= 0, nhóm SnX có duy nhất một n-đơn hình kì dị
σn : ∆n −→ X Suy ra SnX =Zσn
Ta có
∂n(σn) =
n
X
j=0
=
0 nếu n lẻ
σn−1 nếu n chẵn
Do đó, ta có phức xích
(SX, ∂) : · · ·∂3 =0
−→ S2X −→ S∂2 1X ∂−→ S1=0 0X ∂−→0=00−→ · · · hay
(SX, ∂) : · · ·−→ S0 2X −→ S∼= 1X −→ S0 0X −→0 0−→ · · ·
• Ta có Ker ∂0 =Zσ0 và Im ∂1 = 0 Suy ra
H0X :=Ker ∂0/Im ∂1 =Zσ0 ∼Z.
Trang 13• Với n >0, ta có
Ker ∂n =
Zσn nếu n lẻ
0 nếu n chẵn (vì ∂n là một đẳng cấu)
,
Im ∂n+1 =
Zσn nếu n lẻ (vì ∂n+1 là một đẳng cấu)
0 nếu n chẵn
Suy ra
HnX :=Ker ∂n/Im ∂n+1 = 0, ∀n >0
Định lí 22 Cho X là một không gian tôpô liên thông đường Khi đó
H0X ∼=Z
Chứng minh Nhắc lại phức xích kì dị của không gian tôpô X
(SX, ∂) : · · · ∂2
−→ S1X ∂1
−→ S0X ∂0
−→0−→ · · ·
Ta có
H0X :=Ker ∂0/Im ∂1= S0X/Im ∂1 (3.1) Xét đồng cấu
P
i∈Iniσi 7−→ P
i∈Ini
,
với ni∈ Z, I là tập hữu hạn và các 0-đơn hình kì dị
σi : ∆0 −→ X
e0 7−→ xi
Rõ ràng, ε là toàn ánh hay Im ε=Z Vì ε là một đồng cấu nên
S0X/Ker ε ∼=Im ε =Z. (3.2)
Từ (3.1) và (3.2), ta chỉ cần chứng minh Im ∂1 =Ker ε
Trang 14• Ta có Im ∂1 ⊂ Ker ε hay ε ◦ ∂1 = 0.
Thật vậy, với mọi 1-đơn hình kì dị σ: ∆1 −→ X trong S1X, ta có
ε ◦ ∂1(σ) =ε(σ ◦ 01− σ ◦ 11)
=ε(σ ◦ 01)− ε(σ ◦ 11)
• Chứng minh Im ∂1 ⊃ Ker ε
Xét Pn
i∈Iniσi∈ Ker ε, khi đó
i∈I
niσi
!
i∈I
ni = 0
Vì không gian tôpô X là liên thông đường nên chọn được các 1-đơn hình
kì dị trong S1X là
τi: ∆1 −→ X thỏa mãn
e0 7−→ x0
e1 7−→ xi
Ở đây, τi là con đường nối hai phần tử x0 và xi của X Ta có
∂1(τi) =τi◦ ε01− τi◦ ε11
⇒ ∂1 X
i∈I
niτi
!
i∈I
niτi◦ ε01−X
i∈I
niτi◦ ε11
Lấy tác động của ánh xạ trên lên đỉnh duy nhất e0 của 0-đơn hình chuẩn
∆0, ta có
Trang 15∂1 X
i∈I
niτi (e0) =X
i∈I
niτi◦ ε01(e0)−X
i∈I
niτi◦ ε11(e0)
i∈I
niτi(e1)−X
i∈I
niτi(e0)
i∈I
nixi−X
i∈I
nix0
i∈I
nixi−0 x0
i∈I
niσi(e0)
Suy ra ∂1 Pi∈Iniτi =P
i∈Iniσi hay
X
i∈I
niσi ∈ Im ∂1
Trang 16Tài liệu
[1] J Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Springer,2nd Edition, 2009
[2] L Evens, R Thompson, Algebraic Topology, Northwestern University [3] A Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002
[4] N.X Tuyến, Bài giảng Tôpô Đại số, Đại học Sư phạm Huế, 2012
[5] A Dold, Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, 2nd Edition, 1980
[6] N.V Đoàn, T Mân, Nhập môn tôpô đại số, Đại học Sư phạm, 2007
Email address: ngocthangpro@gmail.com
Tel: +841695377526
Typed by TEX