Tổng hợp toàn bộ lý thuyết cần nắm vững trong chương trình hình học lớp 10, giúp các em học sinh có nền tảng kiến thức tốt để vận dụng vào các dạng toán cụ thê, làm tốt các bài tập hình học lớp 10 và học tốt hơn môn hình trong chương trình THPT
Trang 1HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ
•
( , )
M x y ⇔OMuuuur= +xi y jr r
( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ),A A B B C C ( ; )
Cho A x y B x y C x y u x yr v x yr
.
( B A; B A), ( B A) ;( B A) ,
AB x − x y − y AB = x − x y − y u = x + y
Tọa độ trung điểm I của AB là:
,
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
;
x x
=
u r
cùng phương với
=
A, B, C thẳng hàng
AB
uuur cùng phương
AC
uuur
Tích vô hướng: Góc giữa hai vectơ
, : ( ; )
u v KH u vur r r r
0 0 0
2
1 2 1 2
1 2 1 2
( ; ) 90
( ; ) 0
( ; ) 180
( , )
.
u v u v
u v u v cos u v x x y y u v u v u v u v u
u v x x y y cos u v
u v x y x y
+
Z Z
Z [
r r r r r r r r r r r r r r r
r r
r r
r r
B PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Vectơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng d là n r r ≠ 0
có giá vuông góc với d.
Trang 2Vectơ chỉ phương (vtcp) của đường thẳng d là u r r ≠ 0
có giá song song với d.
• Nhận xét: n
r
và u
r luôn có giá vuông góc với nhau hay n
r u
r
=0 Do đó nếu n
r (A;B) thì u
r (B;-A) hoặc u
r (-B;A) và ngược lại Một đường thẳng có vô số vtpt và vtcp
và chúng sai khác nhau một số lần k.
1.Phương trình đường thẳng d đi qua A(x0,y0) hệ số góc k
d : y = k(x – x0) + y0 hay y = kx + b với k = tan α ( α là góc hợp bởi d với chiều dương của Ox)
2.Phương trình tổng quát của đường d thẳng đi qua A(x0,y0) ,vtpt(A;B)
hay Ax + By + C = 0
Vtpt n A B( ; )
r
Vtcp
( ; ); ( ; )
u B A u B Ar − r −
Hệ số góc k = -A/B
A=0 thì d:
; / / Ox;B=0
C
B
−
=
thì
: C; / /
A
−
=
Ox: y = 0; Oy: x = 0
3.Phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng d đi qua A(x0;y0), vtcp (a;b)
a) Dạng tham số d:
0 0
x x at
y y bt
= +
= +
( t: tham số ) b) Dạng chính tắc d:
a b
Vtpt ( -b;a) hoặc (b;-a)
Hệ số góc k = b/a
4 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
d đi qua A(a,0), B(0, b) thì d:
1
x y
a b + =
5 Phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(xA,yA), B(xB,yB)
d:
d: A(x – x0)+B(y- y0)=0
Trang 3 Hai đường song song có cùng vtpt và vtcp Hai đường thẳng vuông góc thì vtpt của đường này là vtcp của đường kia và ngược lại.
Cho d: Ax +By +C =0
d // d’ thì d’: Ax+By+C’=0
d ⊥ d’ thì d’: -Bx+Ay+C’=0 hoặc Bx-Ay+C’=0
d hợp với d’ một góc α thì tanα=
' '
k k
− +
d// Ox hay d ⊥ Oy thì d: Ax+C=0
d // Oy hay d ⊥ Ox thì d: By+C=0
C VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG, GÓC, KHOẢNG CÁCH.
Cho d: Ax +By +C =0 và d’: A’x + B’y + C’ =0 và M(xM, yM)
C1 Ví trí tương đối
d và d’ cắt nhau ' '
( hệ phương trình có một nghiệm duy nhất)
d // d’ ' ' '
( hệ phương trình vô nghiệm)
d trùng d’ ' ' '
( hệ phương trình vô số nghiệm)
C2 Góc giữa hai đường thẳng
Gọi α là góc giữa d và d’ ta có:
'
'
cos
uuruur uur uur
tanα=
' '
k k
− +
C3 Khoảng cách từ M đến d
d( M, d)=
A x By C
A B
+ Chú ý: d( M, Ox)= M
y
; d( M, Oy)= M
x
C4 Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d và d’
D ĐƯỜNG TRÒN
Trang 41 Phương trình đường tròn (C) có tâm I(a;b) bán kính R.
Phương trình chính tắc (C ): (x-a)2+(y-b)2=R2
Phương trình tổng quát (C ): x2+y2-2ax-2by+c=0 trong đó R=
a + −b c
Cho một đường cong bất kì có dạng trên thì điều kiện để nó là đường tròn là
a2+b2-c > 0
2 Sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn
Cho (C ): (x-a)2+(y-b)2=R2 tâm I(a;b) bán kính R
d: Ax+By+C=0
d(I,d) > R ⇔ d không cắt (C) (Hệ phương trình giao điểm vô nghiệm)
d(I,d) = R ⇔ d tiếp xúc (C) ( Hệ phương trình giao điểm có 1 nghiệm)
d(I,d) < R ⇔ d cắt (C) tại hai điểm phân biệt ( Hệ phương trình giao điểm có 2 nghiệm phân biệt)
3 Trục đẳng phương
Cho (C): x2+y2-2ax-2by+c=0 và (C’): x2+y2-2a’x-2b’y+c’=0
Khi đó trục đẳng phương của hai đường tròn là: 2(a-a’)x+2(b-b’)y-(c-c’)=0
E ELIP: Là tập hợp các điểm M sao cho MF1+MF2=2a>F1F2=2c
PT chính tắc
Lý thuyết
x y
a b
a + b = >
(hay gặp)
x y
a b
a + b = <
Trục lớn, độ dài Nằm trên Ox, 2a Nằm trên Oy, 2b Trục nhỏ, độ dài Nằm trên Oy, 2b Nằm trên Ox, 2a Liên hệ a, b, c c2 = a2 - b2 c2 = b2- a2
Tiêu điểm F1(-c;0), F2(c;0) F1(0;-c), F2(0;c) Đỉnh A1(-a;0), A2(a;0)
B1(0;-b), B2(0;b)
A1(-a;0), A2(a;0)
B1(0;-b), B2(0;b)
x e
e
= ±
Bán kính qua tiêu MF1 = a+ex; MF2 = a-ex MF1 = b+ey; MF2 = b-ey Phương trình tiếp tuyến
tại M(x0;y0) 20 20
1
x x y y
1
x x y y
Phương trình hcn cơ sở x = ± a y ; = ± b x = ± a y ; = ± b
Khoảng cách giữa 2
đường chuẩn
2
2a c
2
2b c
Trang 5F HYPERBOL Là tập hợp các điểm M sao cho 1 2 1 2
MF −MF = <F F = c
PT chính tắc
Lý thuyết
x y
a − b = (hay gặp)
x y
a −b = −
Trục thực, độ dài Nằm trên Ox, 2a Nằm trên Oy, 2b Trục ảo, độ dài Nằm trên Oy, 2b Nằm trên Ox, 2a Liên hệ a, b, c c2 = a2 + b2 c2 = b2 + a2
Tiêu điểm F1(-c;0), F2(c;0) F1(0;-c), F2(0;c)
Đỉnh A1(-a;0), A2(a;0) B1(0;-b), B2(0;b)
x e
e
= ±
a
a
= ±
Bán kính qua tiêu M ∈ nhánh phải (x>0)
MF1 =ex+a; MF2 =ex-a
M ∈ nhánh trái (x<0)
MF1 =-(ex+a);MF2 =-(ex-a)
M ∈ nhánh phải (x>0)
MF1 =ey+b; MF2 =ey-b
M ∈ nhánh trái (x<0)
MF1 =-(ey+b);MF2 =-(ey-b) Phương trình tiếp tuyến
tại M(x0;y0) 20 20
1
x x y y
1
x x y y
Phương trình hcn cơ sở x = ± a y ; = ± b x = ± a y ; = ± b
Khoảng cách giữa 2
đường chuẩn
2
2a c
2
2b c
G PARAPOL Là tập hợp các điểm M sao cho MF=MH với F thuộc d cố định, H là
hình chiếu của M lên d
PT chính tắc
Lý thuyết y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py
Bán kính qua tiêu MF= xM +p/2 MF=-xM +p/2 MF=yM +p/2 MF=-yM +p/2 Trục đối xứng, vị trí Ox, nằm bên
phải Ox
Ox, nằm bên trái Ox
Oy, có hướng lên trên
Oy, có hướng xuống dưới
• Chú ý:
a, b, c , p > 0
Trang 6 Elip, Hyperbol, Parabol được gọi là 3 đường cônic Đường cônic (C) là tập hợp các điểm có tỷ số các khoảng cách từ đó đến một điểm cố định và đến một đường thẳng cố định không đi qua điểm cố định đó bằng e>0 (tâm sai của cônic )
- Nếu e<1 thì (C) là Elip
- Nếu e=1 thì (C) là Parabol
- Nếu e>1 thì (C) là Hyperbol
