chương 2 THỦY TĨNH

đây là bài giảng và bài tập thủy lực cực hay dành cho người nào còn yếu môn này. tài liệu được biên soạn một cách công phu và tỉ mỉ, mổi chương đều có những ví dụ minh họa giúp mọi người có thể áp dụng ngay vào làm bài tập một cách hiệu quả nhất.chúc mọi người học tập tốt



2.Tính chất - Áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc và

hướng vào diện tích chịu lực

- Trị số áp suất tại một điểm

không phụ thuộc vào phương

của diện tích chịu lực

3 Thứ nguyên của áp suất

Đơn vị của áp suất: N/m2( Pa) : đơn vị chuẩn dùng để tính toán

   

 

 

2]

[L

F A

P

p  

II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG CÂN BẰNG

Khối chất lỏng vi phân, cạnh dx, dy,

dz, cân bằng, khối lượng riêng 

Xét theo phương X:

Lực khối : dxdydz FxLực mặt :

Điều kiện cân bằng: Tổng hình

chiếu lên các trục của lực mặt và lực khối tác dụng lên khối phải bằng không.

Tương tự:

xy

z

dxdydz x

p dydz dx x

p p dydz dx x

p p

0dxdydzx

pdxdydz

p1

p1F

0y

p1F

0x

p1F

z y x

dydz dx x

z

x y

p

dydz dx x

III TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CƠ BẢN

z

:

hay

const g

p z dp

g

1 dz

Nhận xét:

- Áp suất thủy tĩnh phụ thuộc vào độ sâu của cột chất lỏng

Những điểm cùng độ sâu thì áp suất sẽ bằng nhau đối với cùng một môi

dx

dp

1 dz F dy F dx

0

98100 N/m2

Áp suất chân không p ck

pa=98100N/m2

Áp suất dư p d(áp suất tương đối) là

áp suất dư ra so với áp suất khí trời

pd= pt- pa

Áp suất chân không

áp suất còn thiếu cầnphải thêm vào chobằng áp suất khí trời

p a

hA

p a

2 Định luật bình thông nhau:

A

pa

B

h ck A

A

B

ck A ck ck B du A

hphp

Biễu diễn áp suất bằng độ

p h

;ph

;ph

;

p

ck du du

Trong phương trình thuỷ tĩnh

là áp suất tuyệt đối p tđ. hoặc áp suất dư p d

A z p z

N N B

1 2 B B A

zh

p  1   1 (c)

N N B

1

2h p

1

h p z p z

B A

h1

* Áp kế vi sai:

 1 h 1 =  2 h 2

Ban đầu thì p1=p2=pa:Khi áp suất ống bên trái tăng lên p:

p1=pa+ p; p2=pa

0 h

 1

 2

h 1 h 2

AB 1 BC 2 C AB 1 B A a

hhp

hhphpppp

p   2 BC   1 AB   2 2      1 1   





) ( z ) ( h

A

ah ) ( h

p   1   2   1   2





“Độ biến thiên của áp suất thủy tĩnh trên mặt giới hạn của một thể tích chất lỏng cho trước được truyền đi nguyên vẹn đến mọi điểm của thể tích chất lỏng đó”.

pA=  hA

A

A B

p a +h

p a h

p dö =h

p a h

pA=  hA

A

A B

pB=  hB

h B

du

p h y sin yd

sin

d sin y hd d

D F ydF y sin y d sin y d sin I

y y I y

I F

I sin

y x I y

I F

I

sin

x

I c : M q tính của  so với trục //0x và qua C

I x’y’ : M q tính của  so với trọng tâm C

C: Trọng tâm của 



Trên vi phân diện tích Lực tác dụng lên toàn bộ diện tích

moment tĩnh của diện tích đối với trục OX

dsinypF0 0

ox Dy

IyMoment quán tính đ/v trục ox có thể tính từ

moment quán tính đ/v trục đi ngang qua trọng

tâm C theo công thức

c C D

y

Iyy





 c

c C D y

I y

ox I y I

D

trường hợp áp suất trên mặt thóang p 0 =0

p o

F h

y

yD

x D

2 Áp lực thủy tĩnh lên thành hình chữ nhật có đáy đặt nằm ngang

Van chữ nhật (bxh) cao h=AB

nghiêng góc  so với mặt nằm ngang

hc  

b h 2

h h

h 2

h 1

 F

A

B

A ’

C D

hhAD

2 1

1 2







Trọng tâm hình thang.

3 2

21

2

b b

b b

21

121

H b b

b b y



B H

Fx, Fy, Fz là hình chiếu của F lên các trục ox, oy, oz

• Áp suất trên mặt thĩang bằng áp suất khí trời

• - Ba hình chiếu của  lên các mặt phẳng vuơng gĩc với

y y

x x

dF F

dF F

dF F

z

y y

y

x x

x

pd n pd

dF

pd n pd dF

pd n pd dF

VI./ Áp lực thủy tĩnh trên một diện tích cong:: 2

z 2 y 2

x

x dF pd n pd F

dFx

y Cy

n pd dF F

z z

z z

z

VI./ Lưu chất tĩnh trong trường trọng lực (tt):

2 z 2 y 2

F

x cx x x

x

x

p hd hd

) ox , n cos(

pd dF

Thành phần lực theo phương x

Thành phần lực theo phương z

W

hd

) oz , n cos(

hd dF

Vật áp lực được giới hạn bởi phía dưới : mặt

cong , các mặt bên : thẳng đứng tì lên chu

vi của  đến mặt trên  z ,  z : Hình chiếu của

 lên mặt thống hoặc mặt thống kéo dài.

VII LỰC TÁC DỤNG LÊN THÀNH CONG ĐƠN GIẢN

W: thể tích vật áp lực

8

d

; b

F

d 2

d H H h 2

h h

; b

; b F

4 d

; h F

3 z

z z

2 x

x c x

tg  

x z

VIII TĨNH HỌC TƯƠNG ĐỐI

1 Nước trong xe chạy tới trước nhanh dần đều:

•Phân bố áp suất:

0dpρ

1)dzFdyFdxF

A B B B A

azCgzax)

gdzadx

Cpgzax0dp1)gdz

ở đây: Fx=2x; Fy=2y; Fz=-g

g

rpz0dp1)gdzydyxdx(

2 2

A B

2 B 2 B B

2 A 2 A

g

r ω γ

p z g

r ω γ

p

•P.tr Mặt đẳng áp:

C g

r z C g

r z ) gdz ydy xdx

2 2

0

2 2 2

2 2

IX ỨNG DỤNG TĨNH TƯƠNG ĐỐI

Hạt dầu quay cùng trong nước sẽ nổi lên mặt thoáng và ở tâm bình trụ.

Hạt cát quay cùng trong nước sẽ chìm xuống và ở mép dáy bình trụ.

H

Đốt hầm

L

Để xây dựng đường hầm Thủ thiêm người ta đúc những đốt hầm bằng

bê tơng, mỗi đđốt hầm cĩ chiều dài L = 92,5 m, chiều rộng b = 33 m ,

chiều cao H = 9m và trong rỗng như hình vẽ Để di chuyển đđến vị trí

đđường hầm, người ta bịt kín 2 đđầu và kéo trơi trên sơng Biết trọng

lượng của tồn bộ đđốt hầm là 27000 Tf (tấn lực) Xác đđịnh chiều

cao nổi trên mặt nước

Đốt hầm Thủ Thiêm khi thả vào nước

 C

D 

 C D

VII SỰ CÂN BẰNG MỘT VẬT TRONG CHẤT LỎNG:

Ví dụ 3:

Tìm áp suất tại 3 điểm A, B, C?

Tìm áp suất tuyệt đối và dư tại điểm A

ở đáy bình đựng nước sâu h=4m

??

h11

h2

h1A

pa

A’B chính là chiều cao của tam giác đều,

Cạnh đáy AE của tam giác:

AE=2*A’B/tg(60 0 )=2.667m

Ví

dụ 5:

Van phẳng ABE hình tam giác đều có thể quay quanh trục A nằm

ngang như hình vẽ Tính áp lực nước tác dụng lên van và vị trí

điểm đặc lực D Tính lực F ngang (hình vẽ) để giữ van đứng yên

Giải:

h C = 3+2x1/3 = 3.666m

m31.23423

2)

.3234.43631.2

*667.2234.4y36hbyy

Iy

C C

Van phẳng ABGH hình chữ nhật có thể quay quanh trục AG (AG=

5m) nằm ngang như hình vẽ Tìm áp lực nước tác dụng lên van và vị trí điểm đặc lực D Tính lực F ngang để giữ van đứng yên

Giải: h C =

m 31 2 3 4 2 3

2 ) sin(60

hbyy

IyyOD

C

3

C C

C C

h C

B D

y

O

F

AB chính là cạnh còn lại của hình CN,

Ví

dụ

5a:

Van phẳng ABGH hình chữ nhật có thể quay quanh trục AG

(AG=b= 5m) nằm ngang như hình vẽ Tìm áp lực nước tác dụng lên

van và vị trí điểm đặc lực D Tính lực F ngang để giữ van đứng yên

Giải: h C =

m 31 2 3 4 2 3

2 )

h C

B D

hB A





AB)hh(3hhAD

A B A B







2m

*667.2389.5y36hbyy

IyyOD

3

C

3

C C

C C

2)sin(60

h C

A D

y O F

Iy

C C

,1

794,0.0775,125AB

AD.FF

AB.FAD.F

m794,05,1)55,3(3

525,3AD

KN0775,1252.5,12

55,3.81,9F

;m5,12

55,3AB2

hh

;bF

n n

n

2 B

A n

Van phẳng AB hình chữ nhật cao 1,5m, rộng 2m, quay quanh trục

A nằm ngang như hình vẽ Tính áp lực nước tác dụng lên van Tính lực F (xem hình vẽ) để giữ van đứng yên

Ví dụ 7:

F?

5m 1,5m

A

B C

y C =h C

D

F n O

5,1)2/5,15(

*81.9hp

C du

Bài tập về nhà

• 2-11, 2-12; 2-14; 2-15; 2-17

• 2-23; 2-24; 2-25; 2-26; 2-27; 2-35

• 2-39; 2-40; 2-41; 2-44; 2-45; 2-47; 2-49

• Trong sách bài tập thủy lực tập 1

Bài tập : Vẽ biểu đồ áp suất dư tác dụng lên mặt phẳng

(AB, BC nếu cĩ) của các sơ đồ sau Cho b=1m, Tìm áp lực của chất lỏng lên thành bình AB

Cho a= cd (cm) , cd là 2 số cuối của mã số SV

50

A

B Nước

VD: Một cửa van hình chữ nhật ABEF đáy EF

nằm ngang cĩ thể quay quanh trục AB Cửavan được đĩng lại bởi đối trọng gắn trên van

Trọng lượng của đối trọng và van là W đặt tại

G Cửa van dài L = 120cm, cao a = 90cm, chiều cao cột nước h=0,9m Xác định trọnglượng nhỏ nhất của đối trọng để mở van khơng thể tự mở

L.a.2

hhb

h h AD

E A

A E

KN 96 , 32 2

, 1

8 , 0 13 , 14 635 , 0 05 , 80 AO

OD F

8 , 2

;

b

F

2 d

1

n

2 d 1

n

2

d

OA d d

Ví dụ : Van phẳng OA hình chữ nhật cao 1,2m, rộng 2m, quay

quanh trục O nằm ngang như hình vẽ

1) Tính áp lực do nước và dầu tác dụng lên van

2) Tính lực F để giữ van đứng yên

Ví dụ : Cho 1 cửa van hình chữ nhật có bề rộng b = 5m Chịu áp lực nước thượng lưu như hình vẽ với H = 2m Hỏi áp lực thủy tĩnh F tác dụng lên van?

Giải Áp lực thủy tĩnh tác dụng lên van:

Thay p0bằng lớp chất lỏng có bề dày tương đương:

F = pC= h01/2bh = 1.2*1000kgf/m3*2.366m*1/2*3m*2m = 8.5x103kgf

m h

C

m m m C

73.260sin

60sin3

315.0sin3

0

0 0



h0

C

m m kgf x m kgf p

/10002

1

/600

2

2 0



m182.073.218

3y18h2

bhy

Ví dụ : Cho 1 tấm phẳng hình tam giác chìm trong chất lỏng có tỷ

trọng  = 1.2, có các kích thước như sau: h = 3m, b = 2m

H = 1m,  = 600; p0 = 0.06at = 600 kgf/m2

Ví dụ : Van phẳng hình tròn đặt trênmặt phẳng nghiêng 1 góc 600như hìnhVẽ Van có thể quay quanh trục nằmNgang qua tâm C Bỏ qua ma sát

x m x m N x D

2 3

2

10 1230 4

) 4 ( ) 10 ( ) / 10 81 , 9 (

) m 2 ( x ) 4 / ( 60 sin m 10 y

I y

4 0

C

xC C

Ví dụ10: Một cửa van cung có dạng ¼ hình trụ bán kính R=1,5m; dài L=3m

quay quanh trục nằm ngang qua O Van có khối lượng 6000 kg và

trọng tâm đặt tại G như hình vẽ Tính áp lực nước tác dụng lên van và

vị trí điểm đặc lực D Xác định moment cần mở van

Giải:

G 1,5m

Nước

0,6m 0,6m

G

Fx

Fz F

 D

KN 10 33 3 5 1 2 5 1 81 9 L h

p

Fx cxx  cxx  x  

KN 52 3 4 5 1

* 81 9 L L 4

R

W

F

2 z

2

KN 65 1 52 33.10

z

52 , 57 1.570796

Ví dụ : Xác định áp lực do dầu tác dụng lên một van cung DMCN dạng

¼ hình trụ có bán kính 0,5m, dài 2m nằm dưới độ sâu h =1m

FZF

R h

d

R Rh

Một hình trụ bán kính R=2m; dài L=2m Ở vị trí cân bằng như hình vẽ Xác định áp lực nước lên van, trọng lượng của phao và phản lực tại A

);

R R 4

3 (

* L

* 9.81

)L - ( W - W G

0 F F G

2 2

1 2 1

2

2 z 1 z

2

* 2

* 2

2

* 81 9 L

h p

F R

x

x cx x cx x A

2

*12.2

*2

12.2

5.1

R4

RL

W

F

2 2

2 2 z

.12145.4FF

z 2

15.446.12F

F)(

2.12m5

.12R

Một cửa van cung cĩ dạng ¼ hình trụ bán kính R=1,5m; dài

L=2m quay quanh trục nằm ngang qua O như hình vẽ Tính áp

lực nước tác dụng lên van và vị trí điểm đặc lực D

Nước

Fx

F z F

Ví dụ 13

*9810

1.r2

r5,0(p

*9810

1)

r5,04

r(WF

2 z

F

F 2 z2



Một vật hình trụ đồng chất có tiết diện hình vuông, cạnh là a =

1m, chiều cao là H = 0,8m Khi cho vào nước, mực nước ngập

đến độ cao là h=0,6m Lực tác dụng lên một mặt bên của vật và

ĐS: 0,90

Ví

dụ 17:

Dầu

Nước Vật

Hướng dẫn: Trọng lượng của vật cân bằng với

với lực đẩy Archimede do dầu tác dụng lênnửa cầu trên và nước lên nửa cầu dưới

ĐS:

Ví dụ 16:

Hdẫn:

G G G  W G G  W  W

Gb Gv gamakk gamak Wb D 3 D 0.02 0.3 1.23 0.8 0.076 0.14 0.52522

b khongkhi khi

G G W







VD : Một thanh gỗ đồng chất dài L = 2 (m), diện tích ngang là S,

có khối lượng riêng là 600 (kg/m3) được gắn vào bản lề O đặt

cách mặt nước một khoảng a = 0,4 (m) Tìm góc nghiêng ɑ khi

thả thanh gỗ vào nước Biết n=1000 (kg/m3)

Gọi chiều dài phần thanh gỗ ngập trong nước

là L1, chiều dài cả thanh gỗ là L thì chiều dài

phần thanh gỗ trên mặt nước là L2= L - L1

Phương trình cân bằng của vật là:

2 / LL ) 2 / L L

'387131

,026,1

4,0L

Ví dụ : Một ống đo tỉ trọng có khối lượng M=0,045kg và tiết

(N= 1), ống chìm đến vạch A, và khi bỏ vào trong dầu tỉ trọng

Giải:

) S L W ( W gM

;

G W

d n AB n

17.24mm 1000

* 1 9 0

1 9810

* 10

* 290

045 0

* 81 9

Ví

dụ

19

Bình trụ tròn chứa chất lỏng trong đó có thả phao hình cầu Bình này lại

được nhúng nổi trên mặt thoáng bể chứa cùng loại chất lỏng Biết : Trọng

lượng của bình là G1; Trọng lượng của chất lỏng chứa trong bình là

G2;Tỷ số các chiều sâu (như hình vẽ) k=z1/z2; Tìm trọng lượng của phao

Theo định luật Ar.; toàn bộ hệ chịu tác dụng của

lực đẩy Ar, hướng lên, bằng trọng lượng của khối

chất lỏng bị vật chiếm chỗ

Trong khi đó lực theo phương thẳng đứng tác

dụng lên toàn bộ hệ bao gồm G+G1+G2

Vậy: G + G 1 + G 2 = Ar = z 1 A

với A là tiết diện ngang của bình

Xét riêng hệ gồm chất lỏng trong bình và phao, ta

có trọng lượng của phao cũng bằng trọng lượng

của khối chất lỏng bị phao chiếm trong bình :

Một bình bằng sắt hình nón cụt không đáy (=7.8) được úp như hình

vẽ Đáy lớn R=1m, đáy nhỏ r = 0,5m, cao H=4m, dày b=3mm Tính giới hạn mực nước x trong bình để bình khỏi bị nhấc lên

Giải:

3 / Rr r R ( H

g noncuttron    Trọng lượng bình:

3 / )) b r )(

b R ( ) b r ) b R ((

W

rx

Fz

Ví dụ 20

Điều kiện: G  Fz

kgf 96 441 057 0 8 7 1000 ) V V ( δ γ V δ

G  n  n noncutngoai noncuttrong  

0 96 441 x 392 x 36

n

2 2

n

x 2 2 2

n n z

x 36 16 x 392 x H ) R ( x H ) R ( R 3 3 x π γ

)) r R ( H

x R ( R )) r R ( H

x R ( R 2 3 x π γ

) Rr r R ( 3 x π x π R γ W γ F

x R r r R r R H

Một thùng hình trụ hở cao H = 1,2 m chứa nước ở độ sâu ho=1m và di chuyển

ngang theo phương x với gia tốc a = 4m/s 2 Biết bình có đường kính D = 2m Tính

áp lực của nước tác dụng lên đáy bình trong lúc di chuyển với gia tốc trên

Giải

x g

a

z   Chọn gốc toạ độ là giao điểm của trục bình và mặt thoáng , p.tr mặt thoáng:

Tại x=-D/2: z D / 2 9.48110.407mHh0 1.210.2m

Vậy khi bình chuyển động nước tràn ra ngoài Sau khi

tràn ra xong, mặt thoáng nước phải vừa chạm mép sau

bình Giả sử lúc ấy bình dừng lại, thì mực nước trong

bình còn lại là h 1 Ta có:

m 793 0 407 0 2 1 2 h Δ H h m 407 0 1

Ví dụ 22:

Do thùng chuyển động nhanh dần đều, áp suất tác dụng lên cácđiểm ở nửa mặt trước quả bóng nhỏ hơn nửa mặt sau (xem lại lýthuyết thùng nước chuyển động tới nhanh dần đều trong tĩnh tươngđối) Như vậy bóng sẽ chuyển động về phía trước

Khi sợi dây đạt tới vị trí nghiêng một góc  với phương ngang nhưhình vẽ thì bong bóng sẽ cân bằng với góc  được tính như sau:

cotg = g/a

Giá trị lực căng T sẽ tìm đượctrên cơ sở cân bằng lực trênphương của lực căng T

a

g

ag*

HƯỚNG DẪN:

Ví

dụ

23:

Một bình bên trái đựng nước, bên phải kín khí với áp suất dư p0 Trên vách ngăn

giữa hai bên có một van hình vuông nằm ngang, có thể quay quanh trục nằm

ngang qua A, cạnh b=0,2m Khoảng cách thẳng đứng từ trọng tâm van tới bề mặt

nước của ngăn bên trái là h C =1m Toàn bộ bình được đặt trong thang máy chuyển

động lên nhanh dần đều với gia tốc a=2m/s 2 Nếu áp suất bên trên mặt nước của

ngăn trái là pck=2 m nước thì để van ở trạng thái cân bằng như hình vẽ, áp suất p0

phải là bao nhiêu?

b, m h c , m pdu, m nươc Pdu, N/m 2 a, m/s 2 A, m 2 p c , N/m 2 Fn, N

Xe chở nước dài 3m, cao 2m Nước trong bình lúc xe đứng yên là 1,5m Xe đang chuyển động đều trên mặt phẳng ngang đến một dốc nghiêng lên 30 0

Hỏi nếu xe vẩn chuyển động đều thì nước có tràn ra không?

Để nước không tràn ra thì xe phải chạy chậm dần đều với gia tốc a=bao nhiêu?

Tính áp lực tác dụng lên thành trước và sau xe khi xe chuyển động chậm dần đều như câu b

Cho bề rộng xe b=1m

Hdẫn:

Nhận xét thấy khi xe đứng yên trên dốc thì nước đã tràn ra rồi (tính ra h=1,5*tg(30 0 )=0,866m>0,5m)

Nên để nước không tràn ra ngoài thì xe phải chạy chậm dần đều với giai tốc a Ta chọn hệ trục xoz như hình vẽ và phân tích lực khối của phần tử lưu chất, và chiếu lên phương x, z(xem hình vẽ).

30 0

z

x

g 2m

Để nước không tràn ra ngoài nên mặt thoáng phải đi qua B(-1,5; 0,5) và A(1,5; -0,5), thế vào ptr mặt đ áp

Suy ra gia tốc a=2,07m/s 2

Một bình trụ D=100mm chứa nước quay tròn quanh trục thẳng đứng qua tâm.

Khi mực chất lỏng giữa bình hạ thầp xuống 200mm (so với lúc tĩnh) thì bình

quay với vận tốc bao nhiêu? Nếu quay bình với n=800v.ph mà không muốn

đáy bị cạn thì chiều cao tối thiểu của bình phải bằng bao nhiêu?

Giải

 2 r

H 0.2m 0.2m O

Phương trình mặt thoáng:

g R ω H g r ω z

2 2 2

05 0 ( 81 9 2 4 0 ω 81

9 2 ) 05 0 ( ) 76 83 ( H

2 2



 Vây chiều cao tối thiểu của bình phải là 0.896 m

26:

Một hệ thống gồm 3 ống nghiệm thẳng đứng bằng và thông nhau quay quanh Oz qua ống giữa như hình vẽ Vận tốc quay n=116 vòng/ph Bỏ qua độ nghiêng mặt nước trong ống Tìm pC, pO, pB trong hai trường hợp nút kín và không nút C, C’,

Giải:

Nếu nút kín C,C’ thì khi quay, nước không di chuyển, nhưng áp suất tại C và C’ sẽ tăng lên Phương trình mặt đẳng áp – áp suất pC(chọn gốc toạ độ tại đáy parabol):

m0.3081.922.012.15hgrωz

2 2 2

2951N/m0.30

*9810hγp

' C du

N/m 6875 ) 3 0 4 0 (

* p

3924N/m 0.40

* 9810 4 0 γ p

2 du

B

2 du

m