Bài giảng toán cao cấp trường đại học tài chính marketing

LỜI NÓI ĐẦU Những kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính và Giải tích toán học được trình bày trong Bài giảng Toán cao cấp này thực sự cần thiết cho việc tiếp cận với các mô hình phân tí

BỘ TÀI CHÍNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING

-o0o -

BÀI GIẢNG

TOÁN CAO CẤP

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO

CHẤT LƯỢNG CAO BẬC ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY)

Bài tập, thảo luận: 18

TP HCM, 2014

BỘ TÀI CHÍNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING

BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ

BÀI GIẢNG

TOÁN CAO CẤP

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN THUỘC CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO

CHẤT LƯỢNG CAO BẬC ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY)

LỜI NÓI ĐẦU

Những kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính và Giải tích toán học được trình bày trong Bài giảng Toán cao cấp này thực sự cần thiết cho việc tiếp cận với các mô hình phân tích quá trình ra quyết định trong các vấn đề kinh tế Các kiến thức cơ bản đó bao gồm: lý thuyết tập hợp và logic hình thức; không gian véc tơ, ma trận và hệ phương trình tuyến tính; hàm số và giới hạn; phép toán vi tích phân hàm một biến; phép tính

vi phân hàm nhiều biến; các bài toán cực trị; phương trình vi phân

Các kiến thức được lựa chọn nói trên căn cứ trên nhu cầu sử dụng toán học như một công cụ và kỹ năng được các nhà kinh tế sử dụng nhiều trong các tài liệu kinh tế học hiện đại Hơn nữa, cùng với việc trang bị kiến thức toán học, học phần Toán cao cấp này còn giúp sinh viên bước đầu làm quen với việc tư duy toán và sử dụng công cụ toán học trong phân tích kinh tế thông qua các mô hình kinh tế đơn giản

Hiện nay Toán cao cấp là môn học mà sinh viên không mấy hào hứng tiếp cận, bởi

vì một số kiến thức trong môn học đã được trình bày (mặc dù rất sơ sài) ở chương trình phổ thông và một số kiến thức lại được sinh viên sử dụng “rất thành thạo” bởi họ đã được luyện quá kỹ trong giai đoạn ôn thi vào đại học Tuy nhiên, những điều mà sinh viên nhầm tưởng là đã biết và thông thạo thì lại không được đánh giá cao trong khi họ học môn Toán cao cấp ở chương trình đại học Cũng chính vì vậy, đối với sinh viên các khối ngành kinh tế nói chung và sinh viên trường Đại học Tài chính – Marketing nói riêng, việc học Toán cao cấp ở những học kỳ đầu tiên trong chương trình đại học thường gặp nhiều khó khăn, hoặc nhàm chán hoặc nặng nề Nhằm giúp các sinh viên giảm bớt các khó khăn đó khi học môn Toán Cao cấp, đồng thời muốn nêu bật được tính lãng mạn, không khô khan của Toán học như nhiều người nhầm tưởng, chúng tôi mạnh dạn biên soạn và đưa vào sử dụng tài liệu nhỏ này sinh viên của chương trình Chất lượng cao trường Đại học Tài chính-Marketing từ năm học 2012-2013 Bài giảng Toán cao cấp này tới tay bạn đọc sau khi đã được các giảng viên của Bộ môn Toán_Thống kê, Khoa

Cơ Bản, Trường Đại học Tài chính - Marketing sử dụng trong giảng dạy các lớp chất lượng cao năm học vừa qua (2012-2013) và chỉnh sửa trong học kỳ 1 năm học 2013-2014 Bài giảng Toán Cao cấp này gồm 8 chương, bao gồm các kiến thức cơ bản cần thiết về Lý thuyết tập hợp, Logic hình thức, Đại số tuyến tính và Giải tích toán Trong mỗi chương, các khái niệm toán học được trình bày một cách ngắn gọn cùng với các ví dụ minh họa cụ thể Các phương pháp tính toán cũng được giới thiệu rõ ràng, súc tích giúp sinh viên dễ dàng nắm được các thuật toán Ngoài ra, các ứng dụng của Toán cao cấp trong kinh tế học cùng với các bài toán cụ thể được giới thiệu với sự phân tích chi tiết Bài tập liên quan tới lý thuyết được tuyển chọn từ nhiều nguồn, có sự điều chỉnh cho phù hợp với đối tượng là sinh viên khối ngành kinh tế Nội dung cụ thể từng chương như sau:

 Chương 1 có tên gọi Cơ sở toán học do ThS Nguyễn Văn Phong và ThS Vũ Anh Linh Duy biên soạn Chương này trình bày các kiến thức cơ sở của Toán học hiện đại, bao gồm: khái niệm mệnh đề, tập hợp, các phép suy luận logic và ánh xạ

 Chương 2, 3, 4 Đại số tuyến tính do ThS Nguyễn Tuấn Duy, ThS Phạm Thị Thu Hiền và ThS Nguyễn Trung Đông biên soạn Nội dung chính của chương này là các kiến thức về ma trận, định thức của ma trận vuông, hạng của ma trận, hệ phương trình tuyến tính và cách giải, không gian vectơ

 Chương 5 với tên gọi Phép tính vi phân hàm một biến, do ThS Trần Mạnh Tường biên soạn Mục đích chính của chương này trình bày các kiến thức cơ sở của phép tính vi phân hàm một biến số, bao gồm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, sự liên tục và sự khả vi của hàm một biến

 Chương 6 có tên gọi Phép tính tích phân hàm một biến, do ThS Dương Phương Liên biên soạn Trong chương này, các kiến thức về tích phân của hàm một biến số, bao gồm tích phân bất định, tích phân xác định và tích phân suy rộng được trình bày chi tiết

 Chương 7 liên quan tới Phép tính vi phân hàm nhiều biến, do ThS Nguyễn Văn Phong và ThS Võ Thị Bích Khuê biên soạn Các kiến thức cơ bản về giải tích hàm nhiều biến số, bao gồm: giới hạn, sự liên tục, các đạo hàm riêng, vi phân, cực trị tự do và cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến được trình bày trong chương này

 Chương 8 với tên gọi Phương trình vi phân, do ThS Nguyễn Đức Bằng biên soạn Trong chương này, các dạng phương trình vi phân cấp một và cấp hai, như phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp, phương trình tuyến tính cấp một và phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng được trình bày với các ví dụ minh họa chi tiết

Với đối tượng người đọc là các sinh viên chuyên ngành kinh tế nên Bài giảng Toán cao cấp này đã tránh dùng các ký hiệu, các định nghĩa hình thức hay các phát biểu quá chặt chẽ về mặt toán học Vì vậy các định lý, mệnh đề, công thức toán học trong Bài giảng Toán cao cấp đã được diễn đạt bằng ngôn ngữ ”không toán”, nhưng vẫn giữ được bản chất vấn đề

Do khối lượng kiến thức lớn và cấu trúc của chương trình nặng, thực chất là ghép của hai học phần Đại số tuyến tính và Giải tích toán, thời lượng chỉ có bốn tín chỉ, lại là lần đầu tiên biên soạn nên Bài giảng Toán Cao cấp này chắc không tránh khỏi sai sót Rất mong nhận được sự góp ý của bạn đọc

Mục tiêu của giáo trình hướng đến sinh viên những nội dung sau: Với kiến thức về đại số tuyến tính như ma trận, tính toán trên ma trận, hệ phương trình, các khái niệm về không gian vec tơ Với kiến thức về giải tích như giới hạn, liên tục, đạo hàm, tích phân của hàm số, và các ứng dụng trong kinh tế Kiến thức cơ bản về hàm nhiều biến, cực trị hàm nhiều biến Kiến thức về phương trình vi phân Từ đó sinh viên có thể hiểu và ứng dụng trong các mô hình kinh tế Về kỹ năng, vận dụng kiến thức môn học để nghiên cứu các mô hình toán trong kinh tế Về thái độ, dự các buổi học đầy đủ, nghiên cứu các nội dung trước khi đến lớp, kiên trì, sáng tạo, có thái độ học tập chăm chỉ

BỘ MÔN TOÁN - THỐNG KÊ

P.504 Lầu 5, 306 Nguyễn Trọng Tuyển, Q Tân Bình, Tp Hồ Chí Minh.

MỤC LỤC

Lời nói đầu 2

Chương 1 Cơ sở toán 9

1 Logic 9

1.1 Các phép toán mệnh đề 9

1.2 Tương đương logic 13

1.3 Hệ quả logic 17

1.4 Hàm mệnh đề và lượng từ 21

2 Lý thuyết tập hợp 29

2.1 Quan hệ giữa các tập hợp 30

2.2 Các phép toán giữa các tập hợp 31

3 Ánh xạ 34

3.1 Định nghĩa 35

3.2 Phân loại ánh xạ 35

3.3 Ánh xạ ngược 36

3.4 Ánh xạ hợp 37

Bài tập 38

Chương 2 Đại số tuyến tính 44

1 Ma trận 44

1.1 Định nghĩa 44

1.2 Các dạng ma trận đặc biệt 44

1.3 Các phép toán trên ma trận 45

1.4 Các phép biến đổi sơ cấp 47

2 Định thức của ma trận vuông 47

2.1 Định nghĩa 47

2.2 Các tính chất của định thức 47

3 Ma trận nghịch đảo 49

3.1 Định nghĩa 49

3.2 Tính chất 49

3.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 49

3.4 Định lý 50

3.5 Tính chất 50

4 Hạng của ma trận 50

4.1 Định nghĩa 50

4.2 Tính chất 50

4.3 Phương pháp tìm hạng của ma trận 50

Bài tập 51

Chương 3 Hệ phương trình tuyến tính 54

1 Khái niệm chung về hệ phương trình tuyến tính 54

1.1 Định nghĩa 54

1.2 Định nghĩa 54

2 Hệ Cramer 54

2.1 Định nghĩa 54

2.2 Các phương pháp giải hệ Cramer 54

3 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 55

3.1 Nhận xét 55

3.2 Định lý Kronecker – Capelli 55

4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 55

4.1 Định nghĩa 55

4.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 55

Bài tập 56

Chương 4 Không gian Vectơ 62

1 Các khái niệm cơ bản 62

1.1 Định nghĩa 62

1.2 Tổ hợp tuyến tính 62

1.3 Không gian vectơ con 62

1.4 Định lý 62

1.5 Sự độc lập tuyến tính – phụ thuộc thuyến tính 62

2 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 63

2.1 Định nghĩa 63

2.2 Tính chất 63

2.3 Định lý 63

2.4 Tính chất 63

2.5 Mệnh đề 63

3 Hạng của hệ vectơ 64

3.1 Định nghĩa 64

3.2 Phương pháp tìm hạng của một hệ vectơ 64

3.3 Cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 64

Bài tập 64

Chương 5 Phép tính vi phân hàm một biến 75

1 Giới hạn của dãy số thực 75

1.1 Định nghĩa dãy số thực 75

1.2 Tính chất và giới hạn của dãy sốï 76

1.2.1 Tính chất 76

1.2.2 Giới hạn của dãy số 77

2 Khái niệm hàm số một biến số 79

2.1 Hàm số 79

2.2 Một số tính chất của hàm số 79

2.3 Các hàm số sơ cấp cơ bản 82

3 Giới hạn hàm số 82

3.1 Định nghĩa 83

3.2 Tính chất – Các dạng vô định của giới hạn 83

3.3 Các giới hạn cơ bản 84

4 Vô cùng bé 85

4.1 Định nghĩa 85

4.2 Tính chất 85

4.3 So sánh các vô cùng bé 85

4.4 Áp dụng vô cùng bé để tính giới hạn 85

5 Hàm số liên tục 86

5.1 Các định nghĩa 86

5.2 Tính chất hàm liên tục 86

6 Đạo hàm 86

6.1 Định nghĩa 86

6.2 Một số quy tắc tính đạo hàm 87

6.3 Đạo hàm hàm ngược 87

6.4 Đạo hàm cấp cao 88

6.5 Phương pháp logarit hóa để tính đạo hàm 88

7 Vi phân 88

7.1 Định nghĩa vi phân và sự khả vi 88

7.2 Sự liên hệ giữa vi phân và đạo hàm 89

7.3 Các quy tắc tính vi phân 89

7.4 Các định lý về giá trị trung bình 89

8 Một số ứng dụng của đạo hàm và vi phân 90

8.1 Tính giá trị gần đúng 90

8.2 Khử các dạng vô định 90

8.3.Khai triển Taylor – Maclaurent 91

Bài tập 92

Chương 6: Phép tính tích phân hàm một biến 96

1 Tích phân bất định 96

1.1 Nguyên hàm- Tích phân bất định 96

1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 97

2 Tích phân xác định 98

2.1 Định nghĩa 98

2.2 Tính chất 99

2.3 Định lý căn bản của phép tính vi tích phân 99

2.4 Phương pháp tính tích phân xác định 99

3 Tích phân suy rộng 100

3.1 Định nghĩa 100

3.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 103

Bài tập 103

Chương 7: Phép tính vi phân hàm nhiều biến 108

1 Các khái niệm 108

1.1 Khoảng cách 108

1.2 Hàm hai biến, hàm nhiều biến 108

1.3 Đồ thị hàm nhiều biến 109

2 Giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến 110

2.1 Giới hạn hàm nhiều biến 110

2.2 Giới hạn lặp 111

2.3 Liên tục của hàm nhiều biến 112

3 Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần 112

3.1 Đạo hàm riêng cấp một 112

3.2 Đạo hàm riêng cấp cao 113

3.3 Vi phân toàn phần 114

4 Cực trị của hàm nhiều biến 114

4.1 Cực trị địa phương 114

4.2 Cực trị có điều kiện – Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 117

Bài tập 120

Chương 8 Phương trình vi phân 122

1 Các khái niệm cơ bản 122

1.1 Định nghĩa phương trình vi phân 122

1.2 Nghiệm của phương trình vi phân 122

2 Phương trình vi phân cấp 1 122

2.1 Định nghĩa 122

2.2 Phương trình tách biến 123

2.3 Phương trình đẳng cấp 124

2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 125

3 Phương trình vi phân cấp 2 hệ số hằng 126

3.3 Phương trình thuần nhất 126

3.4 Phương trình không thuần nhất 127

Bài tập 129

Chương 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC

1 Logic

Lôgic được biết đến từ thời cổ đại xuất phát từ tác phẩm nổi tiếng của triết học gia

Hy Lạp Aristotle Tác phẩm này khảo sát những suy luận hợp lý nhằm mục đích tạo cơ

sở cho việc nghiên cứu các ngành tri thức Đến thế kỷ XVII, nhà triết học kiêm toán học Đức Gottfried Leibnitz đề xuất ý tưởng sử dụng ký hiệu để biểu diễn các suy luận, tương tự như việc dùng các ký hiệu đại số trong việc khảo sát số học, đại số Ý tưởng của Leibnitz được phát triển tương đối hoàn chỉnh vào thế kỷ XIX bởi các nhà toán học

George Boole và Augustus De Morgan và khai sinh ra phép lôgic hình thức mà ta gọi tắt

là lôgic Lôgic được tiếp tục phát triển trong thế kỷ XX, đặc biệt trong việc tạo cơ sở lý

thuyết cho ngành khoa học máy tính

Đối tượng khảo sát của lôgic là mệnh đề, các phát biểu hoặc đúng, hoặc sai nhưng

không thể vừa đúng vừa sai Các mệnh đề đúng được gọi là có chân trị đúng và các mệnh đề sai có chân trị sai

Các mệnh đề thường được ký hiệu bằng các ký tự thường p, q, r, Chân trị đúng được ký hiệu là 1 và chân trị sai ký hiệu là 0

Ví dụ Các phát biểu

p : “4 là một số nguyên tố”,

q : “1 1 3   ”,

r : “Trường Đại Học Tài Chính - Marketing nằm ở miền nam Việt Nam”,

s : “Tin học đại cương là môn học bắt buộc trong Trường Đại Học Tài Chính - Marketing”,

là các mệnh đề, trong đó p và q có chân trị 0 (sai), r và s có chân trị 1 (đúng)

1.1 Các phép toán mệnh đề

Từ những mệnh đề có sẵn, người ta có thể thành lập các mệnh đề khác bằng cách

liên kết với trạng từ “không” hay các liên từ “và”, “hay”, “nếu thì ” Chẳng hạn từ các

mệnh đề trong ví dụ 1, ta có thể thành lập một số mệnh đề sau :

t : “4 không là một số nguyên tố”,

u : “Đại Học Tài Chính - Marketing nằm ở miền nam Việt Nam và Tin học đại

cương là môn học bắt buộc trong trường”,

v : “Nếu 4 là một số nguyên tố thì 1 1 3   ”

Với ngữ nghĩa thông thường, ta dễ thấy rằng t có chân trị 1 (đúng) vì p có chân trị

0 (sai); u có chân trị 1 (đúng) và cả r lần s đều có chân trị 1 (đúng) Đối với v, bằng cách khảo sát tỉ mỉ hơn, ta sẽ thấy rằng v có chân trị 1 (đúng) vì p có chân trị 0 (sai)

Mục đích chính của phép toán mệnh đề là khảo sát chân trị của một mệnh đề (phức hợp) từ chân trị của các mệnh đề tạo thành nó Cụ thể, ta có

1.1.1 Phép phủ định Phủ định của mệnh đề p, ký hiệu p (hay p) và đọc là “không p”, có chân trị 1 (đúng) khi p có chân trị 0 (sai) và ngược lại, nghĩa là ta có bảng chân

trị (bảng các trạng thái chân trị của một mệnh đề phức hợp tương ứng với chân trị của các mệnh đề tạo thành nó) như sau

p p

0 1

1 0

1.1.2 Phép nối liền (phép hội) Mệnh đề phức hợp tạo bởi hai mệnh đề p, q nối với

nhau bằng liên từ “và” được ký hiệu là pq và đọc là “p và q” Mệnh đề pq chỉ đúng khi cả p lẫn q cùng đúng, nghĩa là pq chỉ có chân trị 1 khi p và q cùng có chân trị 1

Ta có bảng chân trị cho phép nối liền như sau

1.1.3 Phép nối rời (phép tuyển) Mệnh đề phức hợp tạo bởi hai mệnh đề p, q nối với

nhau bằng liên từ “hay” được ký hiệu là pq và đọc là “p hay q” Mệnh đề pq chỉ sai khi cả p lẫn q cùng sai, nghĩa là pq chỉ có chân trị 0 khi p và q cùng có chân trị 0 Ta có bảng chân trị cho phép nối rời như sau

1.1.4 Phép kéo theo Mệnh đề phức hợp tạo bởi hai mệnh đề p, q nối với nhau bằng

liên từ “nếu thì ”, theo thứ tự, được ký hiệu là p q và đọc là “nếu p thì q” Mệnh đề p q chỉ sai khi p đúng nhưng q sai, nghĩa là pq chỉ có chân trị 0 khi p có chân trị 1 và q có chân trị 0 Ta có bảng chân trị cho phép kéo theo

Nhận xét : i) Chân trị của mệnh đề cho bởi phép phủ định, phép nối liền và phép nối

rời tương đối tự nhiên và dễ hiểu Chẳng hạn mệnh đề

“Tp Hồ Chí Minh không là thủ đô của Việt Nam”

là đúng vì nó là phủ định của

“Tp Hồ Chí Minh là thủ đô của Việt Nam”

vốn là một mệnh đề sai

Tương tự, mệnh đề “An giàu và đẹp trai” chỉ đúng khi “An giàu” và “An đẹp trai” là các mệnh đề đúng Trong khi đó, mệnh đề “An giàu hay đẹp trai” chỉ sai khi “An giàu” và “An đẹp trai” là các mệnh đề sai, nghĩa là khi An vừa không giàu vừa không đẹp trai ii) Với phép kéo theo, ta xét mệnh đề

v : “Nếu trời mưa thì đất ướt”

Phát biểu này chỉ sai khi “trời mưa” là đúng nhưng “đất ướt” là sai, nghĩa là khi trời thì mưa nhưng đất lại không ướt Khi trời không mưa thì dù đất có ướt hay không

ta vẫn không thể nói w là sai và do đó nó đúng

Một ví dụ khác Xét lời hứa của người cha với con mình :

w : “Nếu con được điểm 10 thì ba thưởng”

Người con chỉ có thể trách ba mình khi nó được điểm 10 nhưng ba nó lại không thưởng Khi người con chưa được điểm 10, dù ba nó có thưởng hay không thưởng, người con không thể nói là ba mình không giữ lời (lời hứa sai)

Chú ý rằng, mệnh đề pq đúng không có ý khẳng định p và/hay q đúng hay sai Chẳng hạn v đúng không có ý khẳng định trời mưa hay không cũng như đất ướt hay không; w đúng không có nghĩa là người con được điểm 10 hay không cũng như người cha có thưởng hay không thưởng

Mệnh đề dạng pq rất thường gặp ở phát biểu các kết quả trong khoa học Khi ấy, người ta gọi p là “giả thuyết” và q là “kết luận” của kết quả tương ứng và do định nghĩa của phép kéo theo, để chứng minh kết quả pq là đúng, ta chỉ cần xét trường hợp p đúng và cố gắng chứng tỏ rằng khi đó q cũng đúng mà không quan tâm tới trường hợp p sai

1.1.5 Phép kéo theo hai chiều Với hai mệnh đề p, q, mệnh đề  p  q    q  p  được ký hiệu là pq, đọc là “p nếu và chỉ nếu q” Ta có bảng chân trị

và ta thấy pq chỉ đúng khi p, q cùng đúng hay cùng sai

Trong các định nghĩa trên, ta lần lượt xét các biểu thức lôgic dạng p, pq, pq,

p q, pq và khi ta thay p, q bằng các mệnh đề đã biết, ta sẽ nhận được thêm một

số mệnh đề mới Các phát biểu như vậy được gọi là các dạng mệnh đề (hay biểu thức

mệnh đề), trong đó p, q gọi là các biến mệnh đề

Tổng quát, từ các biến mệnh đề (kể cả các mệnh đề mà ta gọi là hằng mệnh đề để phân biệt với biến mệnh đề) và thông qua một số hữu hạn các phép toán mệnh đề, ta

nhận được các dạng mệnh đề và thường được ký hiệu bởi các ký tự hoa A, B, C, Chân

trị của một dạng mệnh đề được hoàn toàn xác định và chỉ phụ thuộc vào chân trị của các biến mệnh đề (chứ không phụ thuộc vào mệnh đề cụ thể gán cho từng biến mệnh đề) Chẳng hạn, dạng mệnh đề A p q r  , ,   p   r  q  có bảng chân trị

Ngoài ra, xét bảng chân trị của các dạng mệnh đề A  p   q  r  và B   p q    r,

Ngoài ra, nhận xét trên còn cho thấy thứ tự các phép nối là quan trọng và do đó các dấu ngoặc “(” và “)” là cần thiết Tuy nhiên, ta cũng quy ước rằng, khi không có các dấu ngoặc, phép lấy phủ định sẽ được ưu tiên thực hiện hơn các phép toán khác Chẳng hạn, p  q có nghĩa là lấy phủ định của p trước rồi mới nối liền với q; ngược lại, nếu muốn nối liền p, q với nhau trước rồi mới lấy phủ định, ta phải viết là p q 

1.1.6 Định nghĩa i) Một dạng mệnh đề được gọi là hằng đúng (còn gọi là chân lý), ký

hiệu là 1, nếu nó có chân trị 1 (luôn luôn đúng) bất chấp chân trị của các biến mệnh đề

tạo thành nó

i) Một dạng mệnh đề được gọi là hằng sai (còn gọi là mâu thuẫn), ký hiệu là 0, nếu

nó có chân trị 0 (luôn luôn sai) bất chấp chân trị của các biến mệnh đề tạo thành nó

Ví dụ i) Với bảng chân trị của dạng mệnh đề B p q  ,   p   p q  ,

p q pq B p q  , 

0 1 1 1

ta thấy B p q  ,   p   p q   là một hằng đúng

ii) Với bảng chân trị của dạng mệnh đề C p q , pqp,

ta thấy C p q , pqp là một hằng sai

1.2 Tương đương lôgic

1.2.1 Định nghĩa Hai dạng mệnh đề A và B được gọi là tương đương lôgic, ký hiệu

A  B, nếu dạng mệnh đề A  B là hằng đúng

Ví dụ Với các dạng mệnh đề Ap q , Bpq và A  B, ta có

Vì A  B là hằng đúng, ta suy ra A và B tương đương lôgic với nhau, ký hiệu

A  B, hay cụ thể hơn, p q pq

Nhận xét: Do định nghĩa, dạng mệnh đề A  B chỉ đúng khi A, B cùng đúng hoặc cùng sai Do đó, A, B tương đương lôgic với nhau nếu và chỉ nếu A, B luôn luôn cùng đúng hoặc cùng sai (bất chấp chân trị của các biến mệnh đề tạo thành nó) hay nói khác đi, khi A, B có cùng bảng chân trị

Ta được một số tương đương lôgic căn bản sau

1.2.2 Định lý Với các biến mệnh đề p, q, r bất kỳ, ta có

i)  p p (luật phủ định đôi),

ii) p q pq (luật De Morgan),

1.2.3 Định lý Với các biến mệnh đề p, q bất kỳ, ta có

1.2.4 Phép chứng minh đảo đề Từ tương đương lôgic

 p  q    q  p , để chứng tỏ pq là đúng (hay sai), ta chỉ cần chứng tỏ q  p là đúng (hay sai) Dạng mệnh đề q  p còn được gọi là đảo đề của dạng mệnh đề pq

Ví dụ i) Để chứng tỏ phát biểu : “nếu bình phương một số nguyên tự nhiên n là một số

chẵn thì n cũng là một số chẵn” là đúng, ta viết phát biểu này dưới dạng ký hiệu p q , với

p  “n2 là một số chẵn”,

q  “n là một số chẵn”

Đảo đề của nó, q  p, là “nếu n không là một số chẵn thì n2 không là một số

chẵn” và ta có thể chứng minh phát biểu này đúng như sau :

Nếu n không là một số chẵn, nghĩa là n không chia hết cho 2, thì tồn tại số nguyên k sao cho

n  k  Bấy giờ, do n22 2 k22k1, ta suy ra n2 cũng không chia hết cho 2 và do đó 2

n không là số chẵn

Vì q  p đúng nên do phép chứng minh đảo đề, ta suy ra p q cũng đúng

ii) Xét tình huống sau một vụ trộm, chủ nhà phát hiện tiền trong tủ bị mất nhưng trong mỗi xấp tiền chỉ bị mất vài tờ Người ta lập luận như sau :

“Nếu ăn trộm là người ngoài thì tiền bị lấy mất hết Mà tiền không bị lấy hết nên ăn trộm không là người ngoài.”

Trong lập luận này, với các mệnh đề :

p  “ăn trộm là người ngoài”,

q  “tiền bị lấy mất hết”,

nên khi ta coi mệnh đề “nếu ăn trộm là người ngoài thì tiền bị lấy mất hết”, nghĩa là

mệnh đề pq , là đúng thì ta phải chấp nhận đảo đề q  p của nó, “nếu tiền không bị lấy mất hết thì ăn trộm không là người ngoài” là đúng

1.2.5 Phép chứng minh phản ví dụ Từ tương đương lôgic

pqp q , để chứng tỏ p q là sai, ta chỉ cần chỉ ra trường hợp p q  là đúng, nghĩa là p đúng, q sai

Ví dụ i) Để phản bác lại lập luận “nếu có tiền thì có hạnh phúc”, nghĩa là để chứng tỏ

rằng nó sai, ta chỉ cần đưa ra một ví dụ “có tiền và không có hạnh phúc”

ii) Để chứng tỏ phát biểu “nếu n2 chia hết cho 4 thì n chia hết cho 4” là sai, ta chỉ

cần đưa ra ví dụ về một số nguyên n sao cho “n2 chia hết cho 4” nhưng “n không chia

hết cho 4” Chẳng hạn lấy n  6

1.2.6 Phép chứng minh phản chứng Xuất phát từ tương đương lôgic

p  p  0 , để chứng tỏ p là đúng, ta chỉ cần chứng tỏ p  0 là đúng, nghĩa là chứng tỏ rằng nếu p sai (p đúng) thì bằng các phép suy luận đúng, ta nhận được một mệnh đề sai Trong thực tế, phép phản chứng thường được dùng dưới dạng

“Nếu p sai thì vô lý Vậy p đúng.”

Ví dụ i) Luật ngoại phạm trong các bộ luật hình sự là một trường hợp điển hình cho

phép chứng minh phản chứng : Nếu vào thời điểm xảy ra vụ án, ta có chứng cứ cho thấy mình đang ở một nơi khác (chứng cứ ngoại phạm) thì ta vô can trong vụ án này Lập luận có thể lý giải là

“Nếu ta liên quan đến vụ án thì vô lý (vào cùng một thời điểm ta có thể ở hai nơi

khác nhau) Do đó, ta vô can.”

ii) Phép chứng minh phản chứng thường xuất hiện với các khái niệm được định

nghĩa bằng phủ định Chẳng hạn, do định nghĩa, một số thực được gọi là vô tỷ khi nó

không là số hữu tỷ Do đó, để chứng minh một số là vô tỷ, ta thường chứng tỏ rằng nếu

số đó là số hữu tỷ thì ta nhận được điều vô lý Ví dụ, để chứng minh 2 (số thực dương mà bình phương của nó bằng 2) là một số vô tỷ, ta dùng phép chứng minh phản chứng sau :

Nếu 2 không là số vô tỷ, nghĩa là tồn tại các số nguyên m, n sao cho

 m 2 2

n  , thì trước hết, ta có thể giả sử m n  , và gcd  m n  ,  1 (ước số chung lớn nhất của m và

n là 1, hay nói khác đi, phân số m

n là tối giản) và khi đó do

2 2 2

ta suy ra m2 là một số chẵn Do ví dụ 4, i) n phải là số chẵn, nghĩa là tồn tại số nguyên

k sao cho m  2 k Bấy giờ, do

2 2 2

n  k ,

ta lại được n2 là số chẵn và cũng do ví dụ 4, i), n cũng là số chẵn

Điều này cho thấy cả m lẫn n đều là số chẵn Mâu thuẫn với giả định rằng

gcd m n  ,

Vậy, do phép chứng minh phản chứng, 2 là một số vô tỷ

Hơn nữa, cần chú ý rằng mỗi một tương đương lôgic đều cho ta một phép chứng minh Chẳng hạn, với các số thực x, y, để chứng minh rằng

“nếu xy 0 thì x  0 hay y 0”, người ta chứng minh rằng

“nếu xy 0 và x  0 thì y 0”, bằng cách dùng tương đương lôgic

người ta có phép chứng minh theo trường hợp theo nghĩa thường dùng là nếu pr và

qr cùng đúng thì  p q    r cũng đúng Chẳng hạn, vì

“nếu dãy   an phân kỳ thì chuỗi  an phân kỳ”

và

“nếu dãy   an hội tụ về một giới hạn  0 thì chuỗi  an phân kỳ”

nên

“nếu dãy   an phân kỳ hay hội tụ về một giới hạn  0 thì chuỗi  an phân kỳ”

1.3 Hệ qủa logic

1.3.1 Định nghĩa Dạng mệnh đề B được gọi là một hệ quả lôgic của dạng mệnh đề A,

ký hiệu A  B, khi dạng mệnh đề A  B là hằng đúng

Ví dụ Xét các dạng mệnh đề Apq và Bpq Ta có bảng chân trị

Nhận xét Khi B là hệ quả lôgic của A, nghĩa là A  B không bao giờ sai, thì nếu A

đúng, B cũng bắt buộc phải đúng Đó chính là ý nghĩa cho rằng B là “hệ quả” của A

Ta có một số hệ quả lôgic quan trọng sau :

1.3.2 Định lý Với các biến mệnh đề p q r, , bất kỳ, ta có

ta sẽ nhận được một hằng đúng

Chú ý rằng trong các hệ quả lôgic của định lý 3.2, vế trái được tạo bởi hai dạng mệnh đề liên kết với phép nối liền “  ” Do đó, khi hai dạng mệnh đề này đúng thì vế trái đúng và do nhận xét nêu trên, ta suy ra rằng vế phải cũng đúng Từ đó, ta xây dựng được một số phép suy luận cơ bản sau :

Chú ý Phép suy luận phủ định có thể coi như phép đảo đề kết hợp với phép

khẳng định :

Nếu pq đúng thì q  p cũng đúng (phép đảo đề)

Nếu q  p và q cùng đúng thì p cũng đúng (phép khẳng định)

1.3.5 Tam đoạn luận

Từ hệ quả lôgic

(nếu) hai tam giác có các cạnh đôi một bằng nhau thì bằng nhau

(nếu) hai tam giác bằng nhau thì có các góc đôi một bằng nhau

 (vậy) (nếu) hai tam giác có các cạnh đôi một bằng nhau thì có các góc đôi một

bằng nhau

ii)

(nếu) hàm f khả vi trên  thì f liên tục trên 

(nếu) hàm f liên tục trên  thì f liên tục trên mọi đoạn  a b , 

(nếu) hàm f liên tục trên  a b ,  thì f khả tích trên  a b , 

 (vậy) (nếu) hàm f khả vi trên  thì f khả tích trên mọi đoạn  a b , 

Chú ý rằng các suy luận tam đoạn luận rất được thường dùng : Nếu pq , q r ,

r  s và st cùng đúng thì p  t cũng đúng Trong thực tế, ta thường viết vắn tắt suy luận này dưới dạng :

r s t









1.3.6 Tam đoạn luận rời

Từ hệ quả lôgic

 q

Ví dụ Với suy luận tam đoạn luận rời sau

(ta có) a  0 hay b  0(mà) a  0

 (vậy) b  0

ta có thể dùng trong loạt suy luận sau, với số nguyên n  ,

(nếu) n2  1  n  1  n  1   0 thì n   1 0 hay n   1 0(mà) n   1 0 hay n   1 0

(và) n   1 0 (do n  ) (thì) n   1 0

 (vậy) (nếu) n  2 1 0 thì n  1

Cuối cùng, ta xét ví dụ sau trong đó kết hợp các phép chứng minh và suy luận nêu trên

Ví dụ Truyện kể rằng một ông vua muốn lựa một trong ba người con, gọi là A, B và C

chẳng hạn, để truyền ngôi Ông cho ba người con vào một phòng tối trong đó có chứa ba

nón trắng và hai nón đen, mỗi người lấy một nón đội lên đầu rồi đi ra ngoài Nhà vua

quy ước rằng người con nào nói đúng mầu nón trên đầu mình và giải thích một cách hợp lý thì sẽ được chọn (dĩ nhiên là từng người không thể nhìn thấy nón trên đầu mình mà chỉ thấy nón trên đầu hai người còn lại)

Tình huống xảy ra theo thứ tự như sau :

A nói : tôi không biết mầu nón của tôi,

B nói : tôi cũng không biết mầu nón của tôi,

C nói : vậy thì tôi đã biết được mầu nón của tôi

Câu đố đặt ra là : C đội nón mầu gì và tại sao C biết ?

Đáp án là C đội nón mầu trắng với các suy luận sau :

Suy luận phủ định :

(nếu) B và C cùng đội nón đen thì A biết mình đội nón trắng (mà) A không biết mầu nón của mình

 (vậy) B và C không cùng đội nón đen

Do luật De Morgan “B và C không cùng đội nói đen” có nghĩa là “B và C đội ít

nhất một nón trắng” hay nói khác đi ta được phát biểu đúng sau

“B đội nón trắng hay C đội nón trắng”

Khi đó, ta dùng tam đoạn luận rời :

B đội nón trắng hay C đội nón trắng (nên nếu) C không đội nón trắng

 (thì) B biết mình đội nón trắng

Lại dùng suy luận phủ định :

(nếu) C không đội nón trắng thì B biết mình đội nón trắng (mà) B không biết mầu nón của mình

 (vậy) C đội nón trắng

Ví dụ Trong một ngôi đền có ba vị thần, thần thật thà (luôn luôn nói thật), thần dối

trá (luôn luôn nói dối) và thần khôn ngoan (lúc nói thật lúc nói dối) Ba vị thần này có

hình dáng bên ngoài giống hệt nhau và ngồi trên ba cái bục đánh dấu là phải, giữa và trái Một người vào đền đặt câu hỏi cho ba vị thần như sau :

Đối với thần ngồi hai bên thì hỏi : Người ngồi cạnh ông là ai ?

Đối với thần ngồi giữa thì hỏi : Ông là ai ?

và nhận được các câu trả lời như sau :

Thần bên phải : Hắn là thần thật thà

Thần ngồi giữa : Ta là thần dối trá

Thần bên trái : Hắn là thần khôn ngoan

Từ các câu trả lời này, người đó suy luận ra từng vị thần một như sau :

Suy luận phủ định :

nếu thần ngồi giữa là thần thật thà thì ông ta phải trả lời rằng

mình là thần thật thà

(mà) thần ngồi giữa không nói rằng mình là thần thật thà

 (vậy) thần ngồi giữa không là thần thật thà

Suy luận phủ định :

nếu thần ngồi phải là thần thật thà thì ông ta phải trả lời rằng

thần ngồi giữa là thần thật thà

(mà) thần ngồi phải không nói rằng thần ngồi giữa là thần thật

thà

 (vậy) thần ngồi phải không là thần thật thà

Suy luận tam đoạn luận rời :

Một trong ba vị thần là thần thật thà

(mà) thần ngồi giữa và ngồi phải không là thần thật thà

 (vậy) thần ngồi trái là thần thật thà

Ta kết luận được thần ngồi trái là thần thật thà Từ câu nói của thần thật thà, ta suy ra được thần ngồi giữa là thần khôn ngoan và như vậy thần ngồi phải là thần dối trá

1.4 Hàm mệnh đề và lượng từ

1.4.1 Định nghĩa Cho A là một tập hợp không rỗng sao cho ứng với mỗi x  A, ta liên kết với một mệnh đề ký hiệu p x   Ta nói p x  , hay vắn tắt là p, là một hàm mệnh đề (hay vị từ) theo biến x  A

Chú ý rằng khi nói ứng với x  A, ta có mệnh đề p x  , nghĩa là p x   là phát biểu mà chân trị của nó được xác định theo từng giá trị cụ thể của x  A

 

r n  “n2 n  2” là các hàm mệnh đề theo biến n   Chú ý rằng

r n đúng với mọi giá trị của n  

Chú ý rằng với các hàm mệnh đề cho trước p x   và q x   theo biến x  A, ta có thể kết hợp với các phép toán mệnh đề để nhận được các hàm mệnh đề (phức hợp) :

p x p x , p x    q x  , p x    q x  , p x    q x   và p x    q x   theo biến x  A

Ví dụ Với các hàm mệnh đề theo biến n  

r n  “n chia hết cho 6”,

ta nhận được các hàm mệnh đề

p n  q n  “n chia hết cho 2 và cho 3”,

r n  p n  “nếu n chia hết cho 6 thì n chia hết cho 2”

Tổng quát, với các tập không rỗng A1, A2, , An sao cho mỗi x1 A1, x2 A2, ,

n n

x  A , được liên kết với một mệnh đề p x x  1, 2, , xn, ta nói p x x  1, 2, , xn, hay vắn

tắt p, là một hàm mệnh đề theo n biến x x1, 2, , xn

Chẳng hạn, phát biểu

 , , 

p i j k  “i  j k 4” là một hàm mệnh đề theo ba biến i j k  , , Nó đúng với các giá trị i  1, j 1, k  2; 1

i  , j 2, k  1; i  2, j 1, k  1 và sai với mọi giá trị còn lại

Do chân trị của một hàm mệnh đề thay đổi tùy thuộc vào giá trị cụ thể của các biến nên để biến hàm mệnh đề thành mệnh đề, người ta kết hợp chúng với các lượng từ

: Lượng từ phổ dụng “” và lượng từ tồn tại “” như sau

1.4.2 Định nghĩa Xét hàm mệnh đề p x   theo biến x  A Ta thành lập các mệnh đề

  ,

đọc là “với mọi x  A sao cho p x  ”, và

  ,

đọc là “tồn tại (hay có ít nhất một) x  A sao cho p x  ”, với chân trị được xác định như sau :

i)   x A p x ,   chỉ đúng khi thay x bằng bất kỳ a  A, ta đều nhận được mệnh đề đúng p a  

ii)   x A p x ,   chỉ sai khi thay x bằng bất kỳ a  A, ta đều nhận được mệnh đề sai

Các mệnh đề 3) và 4) sai do phát biểu n 2 5 sai với tất cả các giá trị của n

Các mệnh đề 5) và 6) đúng do phát biểu n2 n  2 đúng với tất cả các giá trị của

n

Nhận xét Đối với một hàm mệnh đề p x   theo biến x  A, ta có các khả năng :

Khả năng 1 : Thay x bằng bất kỳ a  A, ta đều nhận được mệnh đề đúng p a   Khi đó các mệnh đề   x A p x ,   và   x A p x ,   đều đúng

Khả năng 2 : Thay x bằng bất kỳ a  A, ta đều nhận được mệnh đề sai p a   Khi đó các mệnh đề   x A p x ,   và   x A p x ,   đều sai

Khả năng 3 : Tồn tại các phần tử a a1, 2 A sao cho p a  1 là mệnh đề đúng nhưng

1.4.3 Định lý (Luật De Morgan) Cho p x   là hàm mệnh đề theo biến x  A Ta có i)  x A p x,      x A p x,   

ii) Chứng minh tương tự

Ví dụ a) Phủ định của phát biểu

“Mọi sinh viên đều tốt”

là

“Tồn tại một sinh viên không tốt”

b) Do định nghĩa, hàm f : được gọi là liên tục khi nó liên tục tại mọi x  

Vậy, hàm f không là hàm liên tục khi nó không liên tục tại một x   (nào đó)

1.4.4 Định lý Cho p x   và q x   là hai hàm mệnh đề theo biến x  A Ta có

ii) Tương tự, ta có hai vế chỉ sai trong cùng một trường hợp khi p x   và q x   cùng sai với mọi phần tử x  A

iii) Nếu   x A p x ,   đúng, nghĩa là p x   đúng với mọi phần tử x  A, thì khi đó

p x  q x cũng đúng với mọi phần tử x  A, nghĩa là   x A p x ,    q x   đúng Từ đó

ta nhận được hệ quả lôgic

 

 x A p x,    x A p x,  q x   Tương tự, ta cũng có

 

 x A q x,    x A p x,  q x  

và do phép chứng minh theo trường hợp, ta được

mà đây chính là kết quả trong iii) vừa chứng minh

Chú ý rằng chiều ngược lại của các hệ quả lôgic iii) và iv) không đúng trong trường hợp tổng quát Bằng phép chứng minh phản ví dụ, ta xét các hàm mệnh đề sau theo biến n  

 

p n  “n là số chẵn”,

 

q n  “n là số lẻ”

Ta có   n  , p n    q n   là đúng (mọi số nguyên đều là số chẵn hay số lẻ) nhưng

Đối với hàm mệnh đề theo nhiều biến, ta chú ý rằng khi kết hợp nó với lượng từ theo một biến nào đó, ta nhận được một hàm mệnh đề theo các biến còn lại Chẳng hạn xét hàm mệnh đề

“m n   0” theo các biến m n  , Bằng cách kết hợp với các lượng từ theo biến m, ta được

“m,mn0”,

“m,mn0” là các hàm mệnh đề theo biến n   Cụ thể, phát biểu “m,mn 0” sai với mọi giá trị của n và “m,mn0” đúng với mọi giá trị của n Khi đó, lại kết hợp với các lượng từ theo biến n, ta được các mệnh đề sai

Đối với thứ tự kết hợp lượng từ theo các biến, ta có kết quả sau

1.4.5 Định lý Xét hàm mệnh đề p x y  ,  theo các biến x  A, yB Ta có

ii) Tương tự như i), tương đương lôgic này đúng vì hai vế chỉ sai trong cùng một trường hợp là khi p x y  ,  sai với mọi phần tử x  A, yB

iii) Khi vế trái đúng, tồn tại x   a A sao cho   y B p a y ,  , , nghĩa là p a y  , đúng với mọi phần tử yB Bấy giờ, với bất kỳ phần tử yB,   x A p x y ,  ,  là mệnh đề đúng (do p a y  ,  đúng) và do đó vế phải là mệnh đề đúng

Do các tính chất i) và ii), ta có thể nói rằng thứ tự của các lượng từ cùng loại theo các biến không có ý nghĩa và khi đó, các vế của i) và ii) có thể lần lượt viết tắt là

Chú ý rằng chiều ngược lại của iii) không đúng với phản ví dụ p m n   ,  “m n   0

” theo các biến m n  , nêu trên Ta có

là mệnh đề sai

Ví dụ Với hàm số f :, ta nói f là hàm liên tục trên  khi

4.6 Nguyên lý quy nạp Xét hàm mệnh đề p n   theo biến n   Nếu

Gắn với phép quy nạp, ta xét hàm mệnh đề theo biến n  

 

p n  “viên thứ n đổ”

Do ta xô đổ viên đầu tiên nên

  1

p đúng, và do cách sắp xếp các viên domino, với mọi n  ,

Vậy nguyên lý quy nạp cho thấy   n ,p n   đúng, nghĩa là

“mọi viên domino đều đổ”

Ví dụ Để chứng tỏ đẳng thức

2

đúng với mọi n  , ta dùng nguyên lý quy nạp như sau :

+ Với n  1, p 1 1: 1 1 12 là đẳng thức đúng

+ Với bất kỳ n  , nếu p n   đúng, nghĩa là đẳng thức

 1 

1 2

2 n n n 

là mệnh đề đúng

Do nguyên lý quy nạp, đẳng thức

 1 

1 2

2 n n n 

đúng với mọi n  

Chú ý rằng nguyên lý quy nạp không đơn thuần là một phép chứng minh Nó còn dùng trong các phép suy luận

Tổng quát hơn, nguyên lý quy nạp còn dùng để chứng minh mệnh đề

nghĩa là chứng tỏ

  3

p  “5 3  !  33” là mệnh đề đúng

Với n  3, nếu p n   đúng, nghĩa là

5  n !  3n, thì ta được

5 n  1 !   5 n n !  1  3n  3 3n , nghĩa là p n   1  cũng đúng

Vậy do nguyên lý quy nạp, p n   đúng với mọi n  3, nghĩa là

3 5, ! 3n

là mệnh đề đúng

Nguyên lý quy nạp được chứng minh dựa trên các tiên đề thành lập tập hợp  các số nguyên tự nhiên Tuy nhiên, ta có thể chấp nhận nguyên lý quy nạp như là một tiên đề để tiện việc sử dụng Dạng tổng quát của nguyên lý quy nạp được phát biểu như sau

2 Lý thuyết tập hợp

Nhắc lại rằng tập hợp được xác định bằng các phần tử của nó Do đó, phương pháp đơn giản nhất để xác định một tập hợp là liệt kê các phần tử của nó Trong toán học,

người ta liệt kê các phần tử của một tập hợp giữa hai ngoặc nhọn (“{“ và “}”), không chú

ý thứ tự liệt kê nhưng mỗi phần tử chỉ được liệt kê một lần Chẳng hạn,

1 2 3, ,  và 3 1 2, , 

chỉ cùng một tập hợp và 1 1 2, ,  không xác định một tập hợp do phần tử 1 được liệt kê hai lần Với tập hợp A 1 2 3, , , ta có 1 A  là mệnh đề đúng, 4 A  là mệnh đề sai và

do đó, là mệnh đề sai và 4 A  là mệnh đề đúng

Chú ý rằng khi các phần tử của một tập hợp được liệt kê theo thứ tự, ta được bộ

thứ tự và thường được liệt kê giữa hai ngoặc tròn, “(“ và “)” Chẳng hạn, 1 2,  là một bộ 2-thứ tự và 1 2 3, ,  là một bộ 3-thứ tự Khi đó, ta chú ý thứ tự liệt kê, nghĩa là

1A

1 2,   2 1,  và 1 2 3, ,   3 1 2, ,  Ngoài ra, các phần tử liệt kê trong một bộ thứ tự được phép lặp lại Chẳng hạn 1 1 2, ,  là một bộ 3-thứ tự hợp lệ

Ngoài ra, xuất phát từ một hàm mệnh đề p x  theo biến x U  , các phần tử x U sao cho p x  là mệnh đề đúng tạo thành một tập hợp, ký hiệu

 

A  x U p x  , nghĩa là

vì p   1  " 12 10 ", p   2  " 22 10 " và p   3  " 32 10 " là các mệnh đề đúng

Để biểu diễn một tập hợp A, người ta còn dùng giản đồ Venn với một đường cong đơn khép kín, chia mặt phẳng làm hai miền, miền phía bên trong đường cong dành cho các phần tử thuộc về tập hợp A và miền phía bên ngoài mặt phẳng dành cho các phần tử không thuộc về tập hợp A Chẳng hạn, với giản đồ Venn

ta có 1 2 3, , A và 4 5, A

2.1 Quan hệ giữa các tập hợp

Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, ký hiệu A B  , khi chúng có chung tất cả các phần tử, nghĩa là mọi phần tử của A đều là phần tử của B và ngược lại,

,

    Chẳng hạn,

     Chú ý rằng mọi tập hợp đều là một tập con của chính nó, và tập hợp rỗng, , tập hợp không có phần tử nào cả, là tập con của mọi tập hợp, nghĩa là A  A và   A, với

 

xA p x

Để biểu diễn quan hệ A  B bằng giản đồ Venn, miền phía trong đường cong xác định tập hợp A được vẽ lọt trong miền phía trong đường cong xác định tập hợp B,

Từ định nghĩa của phép kéo theo hai chiều,

Với một tập hợp U cho trước, tập hợp tất cả các tập con của U được gọi là tập các

phần của U, ký hiệu 2U hay P U ,

2.2 Các phép toán trên các tập hợp

Với tập hợp X, ta định nghĩa các phép toán trên P X như sau : Với A B,  P X , nghĩa là với , ta định nghĩa

2.2.1 Phép lấy phần bù Phần bù của A trong X, ký hiệu C A X hay A, là tập con của

X gồm những phần tử không thuộc về A,

A  x  X x  A

A, B X

Ví dụ với X 0 1 2 3, , , , , ,8 9, A 0 2 4 6 8, , , ,  và B 0 1 2 3 4, , , , , ta có A B, X ,

1 3 5 7 9, , , , 

A  và B 5 6 7 8 9, , , , 

Chú ý rằng với ,XX, ta có  X và X   ª

2.2.2 Phép lấy phần hội Phần hội của A với B, ký hiệu A B  , là tập con của X gồm những phần tử thuộc về A hay thuộc về B,

Ví dụ Cũng với A, B, X trong ví dụ 1, ta có

 6 8

A B  và B A \  1 3, Chú ý rằng phần hiệu có thể biểu diễn bằng phần giao và phần bù thông qua đẳng thức

2.2.6 Mệnh đề Với các tập con A B C, , X , ta có

i) A B   A  A B 

ii) Nếu A  B và B  C thì A  C

iii) ABBAABX AB 

3 Ánh xaÏ

Với hai tập hợp không rỗng X, Y, một ánh xạ f từ X vào Y là một sự liên kết giữa

các phần tử của X và Y sao cho mỗi phần tử x  X đều được liên kết với duy nhất một phần tử y Y , ký hiệu y  f x  , gọi là ảnh của x qua f Ta còn viết

Người ta có thể dùng giản đồ Venn sau

để biểu diễn ánh xạ f X: Y , với X   1 2 3 , , , Y    a b , , trong đó f   1  a và

  2   3

Chú ý hai điều kiện trong định nghĩa ánh xạ f X: Y :

i) Mọi phần tử x  X đều phải có ảnh y  f x    Y, và

ii) Ảnh của mỗi phần tử là duy nhất

Chẳng hạn, các sự liên kết sau

không là ánh xạ vì qua sự liên kết f, phần tử 3 X  không có ảnh, và qua sự liên kết h, phần tử 2 X  có hai ảnh khác nhau là a b Y, 

Với ánh xạ

Ví dụ i) Với một tập hợp X bất kỳ, ánh xạ : X X xác định bởi    x  x, với mọi

x  X, được gọi là ánh xạ đồng nhất của X, ký hiệu idX

ii) Với mỗi tập con không rỗng A của một tập hợp X, ánh xạ : X  xác định bởi

với mọi x  X, được gọi là hàm đặc trưng của A, ký hiệu A ª

3.1 Định nghĩa Cho ánh xạ f X: Y và A  X, B  Y

Ảnh của A qua f , ký hiệu f A  , là tập hợp tất cả các phần tử f x   với x  A,

Đặc biệt, f X   được gọi là ảnh của f, ký hiệu Im f

Ảnh ngược của B qua f , ký hiệu f1 B , là tập hợp gồm các phần tử x sao cho

3.2 Phân loại ánh xạ

Xét ánh xạ f X: Y Ta nói

i) f là một toàn ánh khi Im f Y , nghĩa là khi mọi phần tử y Y đều là ảnh của

ít nhất một phần tử x  X Nói khác đi, khi f1 y có ít nhất một phần tử, với mọi

y Y

ii) f là một đơn ánh khi f1 y có nhiều nhất một phần tử, với mọi y Y , nghĩa là với mọi x x,  X,

nếu f x    f x    thì x  x

iii) f là một song ánh khi nó vừa là một đơn ánh và là một toàn ánh Nói khác đi, f

là một song ánh khi f1 y luôn luôn có đúng một phần tử, với mọi y Y

Ví dụ i) Ánh xạ f trong ví dụ 7 không là một toàn ánh vì phần tử 2  không là ảnh của phần tử x     2 1 0 1 2 , , , ,  nào, f1 2   Nó cũng không là một đơn ánh vì các

phần tử khác nhau  1 1 ,     2 1 0 1 2 , , , ,  lại có ảnh bằng nhau, f    1  f   1  1,

3.3 Ánh xạ ngược

Với song ánh f X: Y , ánh xạ đi từ Y vào X, liên kết phần tử y Y với phần tử (duy nhất) x  X sao cho f x    y được gọi là ánh xạ ngược của f, ký hiệu f1

Ví dụ Ánh xạ f cho bởi giản đồ Venn

là một song ánh và có ánh xạ ngược

xác định bởi

+ f1 a 2 vì f   2  a;

+ f1 b 3 vì f   3  b; và

+ f1 c 1 vì f   1  c

3.4 Ánh xạ hợp

Xét hai ánh xạ f X: Y và g Y: Z Ánh xạ có miền xác định X, miền ảnh Z, liên kết phần tử x  X với phần tử z g f x   Z được gọi là ánh xạ hợp của f với g,

Ví dụ i) Với các ánh xạ f và g cho bởi giản đồ Venn

ta được ánh xạ hợp g f

Tài liệu học tập

[1] Bộ môn Toán - Thống kê, Bài giảng Toán cao cấp, 2014, Trường ĐH Tài chính –

Marketing

Bài tập

1 Xét các phát biểu sau

i) p  “An học bài”,

ii) q  “An xem tivi”,

iii) r  “An có ở nhà không”,

iv) s  “An ở nhà”,

v) t  “trời mưa”,

vi) u  “trời mưa buồn biết mấy”,

phát biểu nào là mệnh đề ?

2 Viết các mệnh đề phức hợp sau dưới dạng hình thức bằng cách dùng các mệnh đề

trong bài tập 1 liên kết với các phép toán mệnh đề,

i) “An học bài và không xem tivi”,

ii) “An ở nhà nhưng không học bài, cũng không xem tivi”,

iii) “nếu trời mưa thì An ở nhà”,

iv) “nếu An ở nhà thì An học bài hay xem tivi”

3 Cho p, q, r, s là các mệnh đề Lập bảng chân trị cho các dạng mệnh đề sau:

a) p   q  p  b) r   q  p 

c) prqpr  c) p s  prq

4 Cho các mệnh đề p, q, r Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là hằng đúng,

mệnh đề nào là hằng sai?

5 Một buổi sáng chủ nhật, cô Niên quay một con gà để đãi khách vào buổi trưa Quay

gà xong cô đi ra chợ mua hoa Về đến nhà thì con gà đã bị ai ăn mất cái đầu Sáng hôm đó, ở nhà chỉ có 4 đứa con của cô là Xuân, Hạ, Thu và Đông Khi cô Niên hỏi chúng xem

ai đã ăn vụng gà thì cô nhận được các câu trả lời như sau:

Xuân : Con nhìn thấy Thu ăn vụng

Hạ : Không phải con

Thu : Đông ăn đấy mẹ

Đông : Thu nói láo, con đâu có ăn

Giả sử chỉ có một trong 4 đứa con của cô Niên ăn vụng và trong 4 câu trả lời trên chỉ có

1 câu đúng thì ai là thủ phạm ?

6 An tới trường thì phát hiện bỏ quên mắt kiếng ở nhà An cho ta biết một số thông tin

(đúng) sau

i) “nếu An để mắt kiếng trên bàn ăn thì An đã thấy mắt kiếng khi ăn sáng”,

ii) “An đã dùng mắt kiếng để đọc báo trong phòng khách hay nhà bếp”,

iii) “nếu An đọc báo trong phòng khách thì An sẽ để mắt kiếng trên bàn tiếp

khách”,

iv) “An không thấy mắt kiếng khi ăn sáng”,

v) “nếu An đọc báo trong phòng ngủ thì An sẽ để mắt kiếng trên bàn ngủ”,

vi) “nếu An đọc báo trong nhà bếp thì An sẽ để mắt kiếng trên bàn ăn”

Đặt

p  “An để mắt kiếng trên bàn ăn”,

q  “An thấy mắt kiếng khi ăn sáng”,

r  “An đọc báo trong phòng khách”,

s  “An đọc báo trong nhà bếp”,

t  “An để mắt kiếng trên bàn tiếp khách”,

u  “An đọc báo trong phòng ngủ”,

v  “An để mắt kiếng trên bàn ngủ”

a) Viết các thông tin của An từ câu i) đến câu vi) dưới dạng hình thức bằng cách dùng các mệnh đề p, q, r, s, t, u, v liên kết với các phép toán mệnh đề

b) Hỏi mắt kiếng của An để ở đâu và cho biết các phép suy luận đã sử dụng

7 Xác định chân trị của các mệnh đề sau:

a)  a , a 7 0

b)  x , x25x 6 0

c)  x , x25x 6 0

d)  x , y , x y 15