Áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải các phương trình vật lí toán : Khoá luận tốt nghiệp đại học

Nhưng phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại rất phong phú đa dạng bao gồm một khối lượng rất lớn các kiến thức thuộc các ngành: Hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phâ

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, các bộ môn khoa học không thể tồn tại, phát triển

và vững mạnh nếu không dựa trên sự phát triển của các môn khoa học khác Thực tế đã chứng minh điều này một cách rõ ràng Một chuyên ngành vật lý mới “Vật lý lí thuyết” ra đời đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và toán học Toán học là công cụ đắc lực để cho Vật lý nói chung và vật lý lí

thuyết nói riêng phát triển

Khi mới bước chân vào cổng giảng đường đại học, các bạn tân sinh viên

thắc mắc một điều: Tại sao khoa Vật lý lại học nhiều môn toán như vậy Toán

cao cấp A;, A›, Đại số tuyến tính hàm biến phức Câu trả lời dần được hé mở khi các bạn nghiên cứu sâu về Vật lý Bộ môn phương pháp Toán — Lý là một

ví dụ sớm nhất Chúng ta phải dùng đến rất nhiều các công cụ toán học, phương trình toán để giải bài tập Vật lý Nhưng phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại rất phong phú đa dạng bao gồm một khối lượng rất lớn các kiến thức thuộc các ngành: Hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi tích phân, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình vi phân đạo hàm riêng sẽ có nhiều cách khác nhau: Phương pháp đổi biến, phương pháp tách biến, phương pháp xấp xi Các phương trình mô tả sự biến thiến của trường theo thời gian, thường là các phương trình vi phân đạo hàm riêng trong đó chứa hàm biến, các đạo hàm riêng của nó và các số biến

số độc lập Từ cơ sở là các phương trình vật lý — toán cơ bản ứng với từng loại phương trình chúng ta xác định được các phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt Để tìm nghiệm của các phương trình này không đơn thuần chỉ là nắm được khái niệm của nó mà phải kết hợp phù hợp

và nhuần nhuyễn các công cụ toán học, vận dụng nó một cách linh hoạt Chính vì lí do đó việc triển khai đề tài “ Áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải các phương trình Vật lý - Toán” là rất cần thiết

Mỗi dạng bài nêu được

- Lý thuyết và phương pháp giải từng dạng

- Bài tập đặc trưng, lời giải và đáp số cụ thể của các bài tập đó

Đề tài này giúp cho em hiểu sâu hơn về bộ môn “phương pháp toán lý”

nói chung và cách giải các phương trình dao động, phương trình truyền nhiệt nói riêng Bước đầu tạo cho em thói quen cũng như khả năng giải bài tập sử dụng phương pháp tách biến Fourier Từ đó các có cái nhìn hệ thống về ly thuyết cũng như bài tập môn phương pháp toán — ly

Qua đó có cái nhìn khái quát đơn về bức tranh vật lý muôn màu

2 Mục đích nghiên cứu

Xác định phương pháp giải các phương trình Vật lý — toán và hệ thống bài tập áp dụng phương pháp tách biến Fourier

3 Giả thiết khoa học

Sử dụng hợp lý phương pháp giải và hệ thống bài tập pháp biến

Về phương trình đạo hàm riêng mà cụ thể là phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt không những rèn luyện kỹ năng giải bài tập mà còn có tác dụng góp thêm một phương pháp nữa trong việc tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bậc 2

4 Đối tượng nghiên cứu

Các phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình dao động của

dây, màng và phương trình truyền nhiệt

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Thiết lập một số phương trình Vật lý — Toán

- 4p dụng, phương pháp tách biến Fourier để giải một số bài toán

- Hệ thống các bài tập sử dụng phương pháp này

6 Phạm vỉ nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu “ Áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải

các phương trình Vật lý — Toán” nhằm rèn luyện Kĩ năng giải phương trình đao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY

1 Thiết lập phương trình dao động của dây

Xét một sợi dây rất mảnh, có độ dài /, căng, gắn chặt ở hai nút Giả sử

sợi dây rất đẻo, do đó lực căng T tại mỗi điểm của sợi dây đều hướng theo đường tiếp tuyến với sợi dây tại điểm ấy Tại mỗi điểm T = Const

Tại trạng thái cân bằng sợi dây nằm

đọc theo trục ox Trong quá trình đao ¥ 1

vuông góc với trục Ox VỊ trí sợi dây p !

phương trình cho hàm U(x,t)

Xét đoạn dây từ x; đến x¿, xác định các lực tác dụng 7, 7; ( T¡ = T;), ngoại lực (ví dụ trọng lực của sợi dây)

Áp dụng phương trình định luật II Newton có

Chiều phương trình (6) lên phương chuyển động

- lsin ø (Xị) + T›sinø (X;)= f pax, t)dx dx (7)

Thay vào (7) có ff pu, -TU, + pg(x,t) |dx =0

Vì với xạ, x; bất kì nên øu, — TU, + og(x,£)=0

TL

=> Ữ, ~~ —U,, — —2(x,t) p

=U’ —a’U" =—8(x,t) (8) là phương trình dao động của sợi dây

Vé6i a’ = + —>a= fF thứ nguyên [a] = maa vận tốc truyền sóng

* Nếu g = 0 thì (8) là phương trình dao động tự do của sợi dây không có ngoại lực

* Nếu gz0 thì (8) là phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây

2 Dao động tự do của sợi dây

2.1 Phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn

Xét một sợi dây có chiều dai ý, khi ở trạng thái cân bằng thì 0 < x < £ đọc theo trục ox Hai đầu nút gắn chặt trong quá trình dao động

Phương trình dao động Uc,t) #

Bài toán này chứa cả điều kiện biên lẫn điều kiện ban đầu nên gọi là bài

toán hỗn hợp đối với phương trình dao động của sợi dây

Giải bài toán này bằng phương pháp tách biến Fourier

Đầu tiên tìm nghiệm của phương trình (9) chỉ thoả mãn điều kiện với một hàm chỉ phụ thuộc t

Do — khong phu thuéc vao x va (x) không phụ thuộc vào t nên

* Giải phương trinh (13) X + 4X =0

Tuỳ theo dấu của 4, xét các trường hợp sau :

+  =-C”ˆ<0 nghiệm tổng quát của (13) là :

X(x) = C, e* + C, e™ ; C, C, vi hang s6 tuy y

Từ điều kiện biên (1 1) ta có

Hệ này có nghiệm C,= C=0 và X(x) =0

+ = C >0 nghiệm tổng quát của (13) là

X(x) = C,con Cx + C, sin Cx

Từ điều kiện biên (11) ta có

U,.o D X29 = 0 OC, = 0 = XO) U_,=0 >X,_ ¢=0 >C, sin Cl=0

C, =0> X(x)=0-> loại

Km =0 Khi đó Cl=kz oc= = (k= +1 +2 )

kˆz?

[’

Vậy nghiệm của (13) là X,(x) = C, sin “

hay X,(x)=A, sin

Các nghiệm này lập thành họ trực giao trong khoang [0,l] nghia la

Y nghĩa của nghiệm riêng

* U (x,Ð là nghiệm riêng và mô tả sóng đứng ( sóng dừng) Mỗi điểm x

cua sợi dây thực hiện các dao động điều hoà với tân số wk = 7 4 với biên

A 2 242

độ ja, +b; sin A,.x

k7rax | a cọc Z4 kat ——b, sn 6 Jaa?

k

UG,t) = sin

Tất cả các điểm của sợi dây đồng thời đạt được độ lệch cực đại của

mình về phía này hay phía khác

sin = 0>x= kal ——

k Những điểm cố định dao động trên với biên độ cực đại là bụng sóng sin = 1 tan s6a@k = ˆ= k =] là tần số âm cơ bản k z 1 ứng với

Với điều kiện chuỗi hội tụ và tồn tại Ứ, U_ và hàm U(x,t) thoả mãn điều kiện biên như mỗi một U, với các giá trị bất kì của a, và b,

áp dụng điều kiện ban đầu để tìm các hằng số

U¿¿=0 -> 4, sin ‘al = f(x)

—> a, là hệ số khai triển Fourier của hàm f(x) theo Sin trong [0,]]

I

a, = “| Fle)sin ede

Uo Fx) > 7 20k sin = F(x)

k=1

Giả sử nghiệm riêng của phương trình có dạng Ứ,,› = X(T wy

Nghiệm của phương trình (17) có dạng X = A, e* + Ae”

Từ điều kiện biên có

A,+ A, =0

“au a > A,=A,=0 5X =U=0

Ae’ +A,e” =0

Trudng hop 2: C=0

Phương trình (16) ->X” =0 <> X=A¡ >X=Ajx+A;

Từ điều kiện biên suy ra

A, =0 >A,=A,=0 5>X=U=0

AL+4=0 Trường hợp 3: C=- 4”<0

Phương trình (15) ->T” + 4’ a°T = 0 có nghiệm dạng

T=Ccos Aat+ Dsin Jat —>T,=C, sos + D, sin “Z4

Nghiệm tổng quát của phuong trinh 1a U, = X, T,

Diéu kién bién U,_,=0; U,_¿=0

X'+„= A,cos 4ý = 0 — cos Ä/ = Ö —> 1 = + kn)

+5 A= (2k 41) 6 X, = Acos CAT D™

2

Phuong trinh (19) o 7 + /’a’T = 0có nghiệm dạng

+> T=B,cos /Aat +B, sin/at

(2k +1)zat _ (2k +1)zat ka

2 + B, sin 2/ > A=— l Nghiệm của phương trình có dạng U, = X,7,

“¬= 5 _(2k+Uz (2k+1)z

2.3 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn

2.3.1 Xét phương trình dao động không thuần nhất của sợi dây

U.-a’ U_=- g(x,t) (2) Với điều kiện ban đầu U_g=f(&); Usp = F(X)

Điều kiện biên : U, _o= 0 ; U ¡=0

Gia sử với t> thi ham — g(x,t) phân tích thành

e(x,Ð = Ya, (sin

k=1

nghiệm của bài toán

3 Một số bài toán minh hoạ

Bài làm

Phương trình đã cho được viết dưới dạng U, =U_ +M,

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

U =U(,„ =ŸQy + Sot)

Trong đó V,,) 1a phuong trình dao động cưỡng bức của sợi dây

5œ; là phương trình của dao động tự do của sợi day

Từ điều kiện ban đầu và điều kiện của (24) suy ra điều kiện ban đầu và

điều kiện của (25) như sau

V_,.=9 ;V_,=0 điều kiện biên Điều kiện ban đầu Vi_,=Vi.; Vi =0 x)? t=0

Tit (25) suy ra Vi =-M, 9V,=-—x°+¢,

Ư,_ạ =Ÿ,_y + 9,-¿ =0T—> Ƒj_ạ = Sy = Vg = V(x)

Nghiém t6ng quat cua (2b) dang S, \ X,.T,

S=>) 5, =>) (a, G05” tô, sin sin

3.2 Bài toán 2

Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0 còn mút kia

chuyền động theo quy luật Uạ„ = Asin øœt và các điều kiện ban đầu bằng 0

Bài làm

Bài toán dẫn tới việc giải phương trình:

- a“U_ =0 thoả mãn điều kiện biên U, _; = 0; U,_¡= Asinøt

và điều kiện ban đầu U,_;=0 ; Ư,_ạ =

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

U = U(x,t) = V(x,Ð + 5(xf)

V(x,t) là phương trình dao động cưỡng bức ở biên của dây; S(x,t) là phương trình dao động tự do của dây

t U,=V, +8, 9V, +8, -aW, +8,)=0 V„=V, +,

Xác các điều kiện biên, điều kiện ban dau cua V, S

+ Điều kiện biên

+ Diéu kién ban dau

Un= Vico + 5c 0 2 Vio= Sip = Vien

+ -X,o’sin ot—a’X sin ot =0

Asin—x

> V,,=——Š“—sinøt _ al

sin —

a

Giai phuong trinh (24) S" -a’S", =0

Với điều kiện ban dau S,_.= -Vx, = 0

Nghiệm phương trinh dang X = A,cos/x + A, sin 1x

Từ điều kiện bién X,_)= A, =0

X,1= A; sin 4=0 > 4 =0 > A= = sin

Ta có

T”+ A’a* T=0 c6 nghiém dang T = B, cos Aat + B, sin/at

— T, =B, cos at + B, sin kat

+N, = R(x) sin dx = ` e sin in 2 atx

a

U(x,0) = f(x) ; ou

Ot -o = F(X)

Loi giai

Luc can tac dụng lên sợi dây — g(x,t) = - hU’t

Trong đó h 1a hé sé ti 1é U’/,_, = F(x) : van t6c ban đầu bài toán dần

đến giải phương trình U'- a’ U =-hU, (33)

->U, =XT ,U, =XT,U =XT

Ul, =A, sinAl=0—> A=——

— X,=A, sin =

Giải phương trình (35): T+hT + /’a* T=0

Phương trình đặc trưng 1` + hr + 4?a” = 0

œ

U9 = š[ ý En, in — rx

+ M, = = { f(x) sin = de (36) , hy a, 2) _ kax

đó có các ví dụ minh hoạ điển hình, phù hợp

Nội dung chương I đã nêu bật được cách giải của từng phương trình dao động của dây qua đó giúp bạn đọc có cách nhìn hệ thống và hướng giải các dạng phương trình khác tương tự

CHƯƠNG 2:

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG

1 Thiết lập phương trình dao động của màng

Giả sử, ta có một màng được kéo bằng lực căng T, đàn hồi, dao động nhỏ đến mức là độ tăng diện tích của màng trong quá trình đao động có thể bỏ qua Khi đó mật độ phân bố lực căng T là như nhau trong tất cả các tiết diện của màng

Giả sử khi nằm yên, màng ở trong mặt phẳng x,y còn dao động xảy ra sao cho mỗi điểm của màng đều lệch theo phương vuông góc với mặt phẳng này kí hiệu độ lệch nay 1a U, U 1a ham cua cac toa d6 x,y và thời gian t L

U — U (x,y.Ð)

(Khối lượng của một đơn vị diện tích)

* Nếu g(x,t) = 0: dao động tự do không có lực ngoài

* Nếu øg(x,t) z0: dao động cưỡng bức dưới tac dụng của ngoại lực

+ Điều kiện ban đầu

U,_¿ = f(x,y): độ lệch ban đầu của điểm (x,y) trên mang

U?,.¿=F(x.y): vận tốc ban đầu

+ Điều kiện biên (có biên gắn chặt)

Ứ¡=0 U, là giá trị hàm u ở các điểm của chu tuyến L

2 Giải phương trình dao động tự do của màng chữ nhật

Xét màng hình chữ nhật lúc cân bằng nằm trên mặt phẳng xy chiếm miền G {0 < x<l; 0 < g < m}

* Lời giải: Giải phương trình này bằng phương pháp tách biến Fourier

Dat U(x,y,t) = X(x) yŒ) TŒ)

Có U,=XYT;U,=X YT;Uy„=XYT

Thay vào phương trình dao động tự do có

XYT -a*(X YT+ XY T)=0

T=Acos Ja? +wat + Bsin JA? + pat

X = C,cosAx+ D,sin 4x Y=Cocos wy + D, sin wy

* Tìm các hằng s6 A, B, C,, C,, D,, D,

dp dung diéu kién bién dat

X,-0 — Xã — 0 › Y,-0 — Yy_m= 0 Suy ra C, =0,C, =0, sin2l = 0 và sin 2m =0

Mọi điểm (x,y) của màng đều giao động điều hoà với cùng một tần số

2v; với pha ban đầu là Ủ¡¿

nút Tập hợp nút tạo thành đường nút Phương trình đường nút là sin ne = 0;

sin ky 0 Điểm mà màng lệch cực đại so với trạng thái đứng yên là bụng

Tần số âm cơ bản của màng ứng với |k, =1,k, = ||

Nghiệm tổng quát của phương trình

U=U(.y,)= Ua (X.y,)

ky 3k2

* XAc dinh a,153 by ti diéu kién ban đầu

Tại t = 0 thay vào phương trình nghiệm tổng quát

0<x<iï

0<y<m

Thay vào f (x,y) ø'

Ở thời điểm ban đầu t = 0 một màng vuông có dạng U(x,y,0) = Axy (-

x) (l-y) A = const Màng dao động không có vận tốc ban đầu Hãy nghiên cứu dao động tự do của màng gắn chặt theo chu tuyến

Ú,~ — 0; Ứ —

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

U = Uy = Xe, Yớy Tụ

—> U,=XYT;U,=XYT,U,„=XY”T

= XYT -a(X YT+XY T)=0

XYT —a*(X Y+XY )T=0

I7ổ XY+xXY X ` Y

—c—=——=—+—=C=cøns a’ T XY X

*Irường hợpl: a=242>0: -> A¡e+A;e”

Điều kiện biên U,,.=0 > X, =0=A,+A,

tà pen peg [Xue = 4 =0

Điều kiện biên 4“ ”° “' X,_, = 4, sin Al =0 —>ÃI =kx—y À = tế 1

—+ X,, = A, sin =

* Giai phuong trinh 2: Y —C,Y =0

- Trường hợp 1: C= ¿2 >0 > Y - wY=0

Nghiệm tổng quát dạng Y = B,e“ + B,e “2

Điều kiện biên: U, =0 -› Y, ¿=0 =Bị + B;

Ủy = 0 Yy- =0 = B,e” + Boe”

A se yal =0 với au (SE vá)

+> Ti =D,cos a,,,t+ D,sin a,,,t

> Une = Mir cos @,,,.t + Nu $i @,,,,t) sin “HẾ* gìn “2“2

2U= » > uy; =^ > (Mya COS Ot + Nuns SIN@,,,,t)

4 Dao động cưỡng bức của màng chữ nhật

Bài toán về dao động cưỡng bức của màng chữ nhật được giải bằng

phương pháp tách biến tương tự như bài toán cưỡng bức của dây hữu hạn Nghiệm của phương trình:

U,—a”(U,,+U,,) =~g(z, y,)

Với điều kiện ban đầu và điều kiện biên của bài toán trên ta có:

Đối với hàmT, , () ta rút ra được phương trình vi phân thơng thường

Ti, + Oxi, Tae, = Vin, © Với điều kiện ban đầu 7,, (0) =4,,, T,,, (0) = 4, x4,

Trong đĩ a,, và b,, được xác định ở trên Thay T „ () vào cơng thức của U ta sẽ tìm được nghiệm của bài tốn dao động cưỡng bức của màng

5 Phuong trinh Bessel

Xét dao động của một màng trịn giả sử màng chiếm một hình trong D bán

kính q trên mặt phẳng x0y

Đặt r = q Độ lệch của một điểm của màng U = UŒ,ø,£)

Điều kiện biên Ú,_, =0

Phương trình truyền nhiệt theo (r,t) là

" " l ,

U +U,, —sU, =0

Trong tọa độ cực cĩ

8?U ờ”

4U =U" +U" =——(r—)+— U" =0

Thay vào phương trình trên cĩ

2

>U"-a@ (ru, ), Ơn | =0

r

Điều kiện ban đầu: U,_, = ƒ(đr,ø); Ư?,; = Fữứ,ø)

Dat U = R(r)g()T(t) CO Ul = ROT"; Ul, = RYT ; U; = R'GT CO

ROT" - a?) LRT + Je Re'T | = 0

pal Bal p LE |y-0

de x dx

- Ost lg

Nghiệm của phương trình có dạng

ó(ø) = D, coskø+ D, sinkọ D,,D, 1a hang số bất kì

Nhu vay p Daly Bap LE yao

Phương trình trên được gọi là phương trình Bessel

6 Dao động của màng tròn

Xét dao động của màng tròn bán kính q gắn chặt ở mép

Phương trình dao động 7 -z? (ru: )z Ơn | =0

r r

Thỏa mãn điều kiện ban dau U , = f(7,9); Ứ7„, = F(r,g) va thoa man

diéu kién bién U,_, =0

Nghiệm của phương trình có dạng U = R(r)ø(ø)7T0), suy ra U" = RT";

Phương trình dao động Uj - z7 (ru: ) re EU, | =0

r

Thỏa mãn điều kiện ban dau U , = ƒ(r,ø); Ư7,„_¿ = Fứ,ø) và thỏa man

điều kiện biên Ư,_, =0

Nghiệm của phương trình có dạng U = R()Ø(ø)TŒ), suy ra U7 = RớT”;