đưa bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai về phương trình tích phân trên biên

Lời mở đầuTrong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, một trong các phương phápnghiên cứu bài toán biên cho phương trình elliptic thường là được đưa vềphương trình tích phân trên biên..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 2010

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

Thái Nguyên, 2010

Mục lục

Mục lục 2Lời mở đầu 3

1 Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 51.1 Các loại bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp

hai 51.1.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 51.1.2 Các loại bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến

tính cấp hai 71.2 Công thức Green 81.2.1 Công thức Green 81.2.2 Điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của bài toán

Dirichlet 91.2.3 Điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của bài toán Neu-

mann 101.3 Hàm số Levi 111.4 Công thức biểu diễn tích phân Stokes 12

1.5 Nghiệm cơ bản và hàm số Green 13

2 Toán tử tích phân và phương trình tích phân 16 2.1 Toán tử tích phân miền 16

2.2 Toán tử tích phân lớp đơn 20

2.3 Toán tử tích phân lớp kép 25

2.4 Phương trình tích phân trên biên 28

3 Đưa bài toán biên về phương trình tích phân 30 3.1 Đưa bài toán Dirichlet về phương trình tích phân 30

3.2 Đưa bài toán Neumann về phương trình tích phân 33

Kết luận 38

Lời mở đầu

Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, một trong các phương phápnghiên cứu bài toán biên cho phương trình elliptic thường là được đưa vềphương trình tích phân trên biên Trong các giáo trình thông thường, vấn

đề này được trình bày cho các bài toán Dirichlet và Neumann cho phươngtrình Poisson

Vấn đề trên cần được tổng quan và trình bày cho các bài toán biên nóitrên đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên

Bản luận văn gồm phần mở đầu và 3 chương Cụ thể là:

Chương 1: Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp haiTrong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về cácbài toán biên Dirichlet và Neumann cho phương trình elliptic tuyến tính cấphai, công thức Green, hàm số Levi, công thức biểu diễn tích phân Stokes,nghiệm cơ bản và hàm số Green

Chương 2: Toán tử tích phân và phương trình tích phân

Chương này giới thiệu một số toán tử tích phân, cụ thể là: toán tử tíchphân miền, toán tử tích phân lớp đơn, toán tử tích phân lớp kép và phương

trình tích phân trên biên.

Chương 3: Đưa bài toán biên về phương trình tích phân

Chương này trình bày việc đưa các bài toán Dirichlet, Neumann về phươngtrình tích phân

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáocủa PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Dưới sự hướng dẫn của thầy, tôi đã bước đầulàm quen và say mê hơn trong nghiên cứu toán Nhân đây, tôi xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới thầy

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô trong Viện Toán họcViệt Nam đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận tốt nghiệpnày

Tôi xin cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, khoa Sau đại học - trường

ĐH Sư phạm, ĐH Thái Nguyên, các anh chị học viên lớp cao học toán khoá

16 và bạn bè đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập tại trường Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình: bố, mẹ và emtrai đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi học tập và hoàn thành luận văn này

Chương 1

Bài toán biên cho phương trình

elliptic tuyến tính cấp hai

tuyến tính cấp hai

1.1.1 Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

Định nghĩa 1.1.1 Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x1, , xn), cácbiến độc lập xi và các đạo hàm riêng của nó được gọi là một phương trình viphân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng cho gọn) Nó có dạng

x = (x1, , xn) ∈ Rn, u(x) = u(x1, , xn)

Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi

là cấp của phương trình

Phương trình được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với ẩn hàm vàcác đạo hàm riêng của ẩn hàm.

Xét m2 + m + 1 hàm thực aik(x), bi(x), c(x)(i, k = 1, 2, , m) xác địnhtrong miền Ω Kí hiệu M là toán tử tuyến tính bậc hai

Hiển nhiên nếu Ω bị chặn và các aik liên tục trong ¯Ω thì tính elliptic đều là

hệ quả của tính elliptic Hằng số a0 gọi là hằng số elliptic của toán tử M

Định nghĩa 1.1.2 Nếu f (x) là một hàm xác định trong Ω, ta có phươngtrình đạo hàm riêng

Hàm u(x) gọi là một nghiệm thông thường của phương trình (1.2) trong Ωnếu u(x) khả vi liên tục hai lần trong Ω và thoả mãn (1.2) tại mọi điểm củaΩ.

1.1.2 Các loại bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính

cấp hai

Trong luận văn sẽ xét hai bài toán biên sau đây đối với phương trìnhelliptic (1.2):

A Bài toán Dirichlet

Nội dung của bài toán Dirichlet là tìm nghiệm u(x) trong T của phươngtrình (1.2) sao cho

u(x) = ϕ(x), ∀x ∈ ∂T (1.3)trong đó ϕ(x) là hàm số cho trước trên ∂T

B Bài toán Neumann

Giả sử x ∈ ∂T Ta kí hiệu n là vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại điểm x vớicác thành phần toạ độ là X1, X2, , Xm tức là

phần toạ độ là Y1, Y2, , Ym

Yi = 1a

adu(x)

dν = ϕ(x), x ∈ ∂T (1.7)trong đó ϕ(x) là hàm số cho trước trên ∂T

Toán tử sau gọi là toán tử liên hợp của toán tử M :

Từ (1.10) ta có thể thấy ngay Nv có liên hợp là Mu, vì vậy M và N gọi

là liên hợp của nhau Nếu M = N, M gọi là tự liên hợp Điều kiện cần và

(1.12) gọi là công thức Green

1.2.2 Điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của bài toán DirichletXét bài toán Dirichlet

Mu = f, x ∈ T

u(x) = ϕ(x), x ∈ ∂T.

Gọi v(x) là nghiệm của bài toán liên hợp thuần nhất

Nv(x) = 0, x ∈ T,v(x) = 0, x ∈ ∂T

Đây là điều kiện cần để bài toán Dirichlet có nghiệm

1.2.3 Điều kiện cần cho sự tồn tại nghiệm của bài toán NeumannXét bài toán Neumann

kiện đủ để các bài toán trên có nghiệm Nội dung này sẽ đề cập đến trongchương ba của luận văn.

Ta kí hiệu như sau: Ars là các phần tử của ma trận nghịch đảo của (ars),

A là định thức của ma trận (ars), ωm là diện tích mặt cầu đơn vị trong khônggian Euclid En Đặt:

với m > 2,

1 2π√

với m = 2

(1.14)H(x, y) như một hàm của x là một nghiệm của phương trình Mu = 0 khi

trong đó r =xy là khoảng cách giữa hai điểm x, y

Định nghĩa 1.3.1 Mỗi hàm số L(x, y) bất kỳ liên tục với biến x, y với

x, y ∈ Ω và x 6= y, cùng với các đạo hàm cấp một, cấp hai theo biến xi gọi

là hàm số Levi nếu L − H thoả mãn các đánh giá đều trong ¯Ω:

Bản thân H(x, y) là một hàm số Levi; hơn nữa H(y, x) cũng là hàm Levivới λ = 1, nếu các hàm aik thuộc lớp C(2) trong Ω.

Giả sử rằng hệ số của toán tử M là bị chặn và λ ≤ 1, ta có:

Theo giả thiết mục 1.2 và lấy I(y, %) là lân cận của y xác định bởi

Bây giờ một phép tính dễ dàng chứng tỏ rằng trên ∂I:

Mọi hàm số Levi L(x, y) là nghiệm của phương trình MxL = 0 [NxL = 0]được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Mu = 0 [Nu = 0]

Ví dụ 1.5.1 Nếu aik là hằng số và bi = c = 0 thì phương trình Mu = 0nhận hàm H(x, y) như một nghiệm cơ bản.

Định nghĩa 1.5.2 Hàm số Green của bài toán biên là một hàm số F (x, y)như một hàm của y, là một nghiệm cơ bản của phương trình liên hợp vàthoả mãn điều kiện biên của bài toán liên hợp thuần nhất

Do đó hàm số Green F (x, y) cho bài toán Dirichlet của phương trình

Mu = f là một hàm số Levi của y và là một nghiệm của phương trình

NyF (x, y) = 0 với y ∈ (T \ ∂T ) \ x, (1.22)

F (x, y) = 0 với y ∈ ∂T, x ∈ T \ ∂T, (1.23)Trong khi hàm số Green của bài toán Neumann của phương trình Mu = f

là một hàm số Levi của y thoả mãn (1.22) và điều kiện trên biên

adF (x, y)

dνy − bF (x, y) = 0, với y ∈ ∂T, x ∈ T \ ∂T, (1.24)trong đó b được xác định bởi (1.13)

Những điều đã biết về hàm số Green cho bởi bài toán biên cho phép chúng

ta không khó khăn để viết công thức cho nghiệm, miễn là hàm Green nàyliên tục và có đạo hàm cấp một của nó tại yi trong T \ x

Trong thực tế, từ công thức tích phân Stokes, trong nó ta có thể thay đổi vaitrò của x và y, theo đó mỗi nghiệm u(x) của bài toán Dirichlet của phươngtrình Mu = f thuộc lớp C(1) trong T được cho bởi:

trong khi mỗi nghiệm thuộc lớp C(1) trong T của bài toán Neumann đượccho bởi:

Chương 2

Toán tử tích phân và phương trình

tích phân

Cho L(x, y) là một hàm số Levi xác định trong miền Ω mà trong nó cáchàm số aik thuộc lớp C(0,λ); Nếu T là một miền bị chặn của lớp A(1,λ) chứatrong miền Ω:

Định nghĩa 2.1.1 Hàm số sau đây được gọi là toán tử tích phân miền (tổngquát) của hàm mật độ z :

với u ∈ H1,q(T1) trong mọi miền bị chặn T1 ⊂ Ω với q < n−1n nếu p = 1, và

q = n−pnp nếu 1 < p < n Nếu p > n, thì u ∈ C(1,µ)(T1) với mỗi µ < 1 − np

Ta cũng quan sát thấy rằng với x ∈ Ω \ T ta có, nếu z ∈ L1 thì:

∂2u

∂xi∂xk

=Z

T

∂2L(x, y)

∂xi∂xk

z(y)dy (2.3)

Quan hệ các đạo hàm bậc hai của u trong T \ ∂T trong định lí tiếp theo,

sự mở rộng tính chất quan trọng của toán tử tích phân thông thường:Định lý 2.1.3 Nếu z ∈ C(0,µ) thì u ∈ C(2) trong T \ ∂T và ta có với

trong đó tích phân với dấu sao(*) được dùng như một giá trị chính có nghĩa

là như giới hạn khi % → 0 của tích phân trên T \ I(x, %) Cuối cùng dưới giảthiết rằng đạo hàm bậc hai của L − H thuộc lớp N(λ,µ) với µ < λ, ta cũng có

u2 có tất cả các tính chất chúng ta mong muốn chứng minh cho u và đạohàm bậc hai của nó có thể tính toán bằng hai cách khác nhau dưới công thứctích phân Với định nghĩa của I(x, %) cho trong mục 1.4 ta đặt:

xác định bởi Xk(y) cosin chỉ phương của đường vuông góc bên ngoài tới

∂I(x, %) Bây giờ tích phân trên ∂I(x, %) cũng có thể viết là :

Bởi vì lim

%→0ϕi = ∂x∂u

i, ta có thể chứng minh (2.4) nếu ta cũng có thể chứng tỏrằng tích phân đầu tiên bên vế phải của (2.5) hội tụ với % → 0, đều tại điểm

x trong mọi miền chứa trong T

Nhưng tích phân này có thể viết được là:

trong nó ta dễ dàng công nhận rằng u1 ∈ C(2,µ) trong T \ ∂T với µ < λ, bởi

vì hai tích phân bên vế phải đều là hàm số thuộc lớp C(0,µ) trong T \ ∂T Với điều này, định lí của chúng ta có thể hoàn thành chứng minh Nhận xétrằng nếu L = H, chúng ta có thể chứng minh định lí đúng với cả µ = λ < 1;trong các trường hợp quan trọng, ta có thể chứng tỏ rằng u ∈ C(2,λ) Trongtrường hợp tổng quát ta có u ∈ C(2,µ)(T ) với µ < λ nếu aik ∈ C(1,µ)(T )2.Một hệ quả quan trọng của (2.3) và (2.4) là công thức sau:

Ta chú ý rằng nếu Ω ≡ T \ ∂T , tất cả các tính chất của toán tử tích phâncủa miền với x ∈ T đúng trong điều kiện rằng aik là λ - Holder liên tục trong

T , L và ∂x∂L

i là liên tục trong T \ y và thoả mãn hai hàm đầu tiên trong (1.16)đều trong T , và ∂x∂2L

i ∂xk là khả tích tại y trong T \ I(y, %)

Giả sử L(x, y) và T cho giống như trong mục 2.1

Định nghĩa 2.2.1 Hàm số sau đây được gọi là toán tử tích phân lớp đơn(tổng quát) của hàm mật độ ζ:

v(x) =

Z

∂T

L(x, y)ζ(y)dyσ (2.8)

Nếu ζ ∈ L1, v là liên tục với đạo hàm cấp một và cấp hai của nó trong

T \ ∂T và ΩT Với T1 là một miền chứa trong Ω và chứa trong hoặc trùngvới T , ta có định lí sau:

Định lý 2.2.2 Nếu ζ ∈ Lp với 1 ≤ p < m − 1, ta có v ∈ Lq1(T1) với

q1 ≤ m−p−1pm và v ∈ Lq(∂T ) với q ≤ p(m−1)m−p−1, đẳng thức chỉ đúng với p > 1 Hơnnữa, với hầu hết x0 tuỳ ý trên ∂T thì:

Định lý 2.2.3 Cho ζ ∈ Lp với p ≥ 1 ta có ∂x∂v

i ∈ Ls(T1) với s ≤ m−1pm , dấubằng đạt được chỉ khi p > 1

Ta cũng chú ý rằng một trường hợp riêng của định lí 2.2.2,

Định lý 2.2.4 Nếu ζ ∈ L∞ ta có v ∈ C(0,µ) trong Ω với mỗi µ < 1

Bổ đề 2.2.5 Lấy K(x, y) là một hạt nhân liên tục với x, y ∈ Ω và x 6= y,

và sao cho với α, β ≥ 0, K = O(xx0α· xyβ) với điểm cố định x0 trên ∂T vàmột trục l qua điểm x0 với cos(l, n) 6= 0, x ∈ l và y ∈ ∂T đều nằm trong lâncận của x0 Nếu ζ ∈ L∞ và nếu α > 0, α + m > β + 1, thì ta có:

lim

x→x0 x∈l

tiến tới không khi % và xx0 tiến tới 0 Nhưng cho y0 là hình chiếu của y trênsiêu phẳng tiếp xúc với ∂T tại x0 và đặt xx0 = δ, x0, y0 = t, thì nếu T thuộclớp A(1,λ) ta có thể thử lại rằng với x ∈ l và y ∈ ∂T thì biểu thức √xy

t 2 +δ 2 là bịchặn dưới bởi một số dương Nó kéo theo, nếu ζ ∈ L∞, thì tích phân (2.12)

có thể được làm trội với một số hằng số M , bởi lượng

,

và bởi vì một phép lấy tích phân bởi phần ta công nhận rằng đại lượng này

là O([δγ− δαlog δ]), γ là số nhỏ hơn trong hai số α và α + m − β − 1, bổ đềcũng được chứng minh trong trường hợp hai và ba Trong trường hợp bốnviệc chứng minh là tương tự, tại đó chúng ta biết là Z = O(%n+m−1)

Lấy x0 là một điểm cố định trên ∂T và l, l1 là hai vectơ tại x0 sao cho

cos(l, n) 6= 0, và chúng ta có thể tính dvdl với x ∈ l1; ở đây chúng ta có ý địnhcông nhận rằng khi x → x0 trên l1, đạo hàm này được cho trong hai giớihạn khác nhau tổng quát khi x tiến đến x0 trên l1∩ T hoặc trên l1∩ (Ω \ T ).Những giới hạn này không phụ thuộc vào l1, có thể kí hiệu bởi dvdl
− và

±

= ∓ ζ(x0)2a(x0) +

Z

∂T

dL(x0, y)

dν ζ(y)dyσ, (2.13)a(x) là hàm số được định nghĩa bởi (1.5) Nếu ζ ∈ C(0), thì (2.13) đúng tạimọi nơi Dưới giả thiết đầu tiên thì thành phần thứ hai của (2.13) là khả tíchtrên ∂T , dưới giả thiết thứ hai thì nó liên tục Hơn nữa, tích phân bên vế phảicủa (2.13) là thuộc lớp Lq(∂T ) với q ≤ m−λp−1p(m−1) nếu ζ ∈ Lp với 1 ≤ p < m−1λ ,đẳng thức chỉ xảy ra với p > 1, và thuộc lớp C(0,µ)(∂T ) với µ < λ − m−1λ nếu

p > m−1λ Trong trường hợp đặc biệt, nếu ζ ∈ C(0) thì tích phân này thuộclớp C(0,µ)(∂T ) với mọi µ < λ

Ta dễ dàng thử lại rằng với x ∈ l1 và y ∈ ∂T ta có thể viết :

dL(x, y)

dν = A(x, y) + B(x, y),với B(x, y) ∈ N(λ+1) và:

Như một hàm của y, H0 là một nghiệm cơ bản của phương trình M0u = 0,trong đó

M0 = Xaik ∂

2

∂xi∂xk.Hơn nữa, nếu ν0 là một vectơ đối pháp tuyến tại điểm y liên quan đếntoán tử này và a0 một hàm cho M0 tương tự tới a, ta có :

a(x0)A(x, y) = −a0(y)dH0

số liên tục trên ∂T và l(x) là một vectơ đi qua điểm sinh x trên ∂T có cosinchỉ phương là một hàm liên tục của x, sao cho cos(l, n) > 0, ta đặt :

Định nghĩa 2.3.1 Tích phân sau đây gọi là toán tử tích phân lớp kép (tổngquát) của mômen ζ :

Định lý 2.3.3 Nếu l ≡ ν, ζ ∈ Lp với p ≥ 1, ta có với x0 ở hầu khắp nơitrên ∂T thì :

ω trong T − ∂T [trongΩ \ T ] và bằng ω−[ω+] trên ∂T là liên tục trong T[trongΩ \ (T \ ∂T )]

Trong thực tế, (2.20) kéo theo từ (2.13) trong đó ta nhận xét thấy với

với K(x, y) ∈ N(2,λ), ta suy ra ngay được :

Định lý 2.3.4 Nếu ζ ∈ C(0,µ) với µ ≤ λ và hàm số ω liên tục trong T hoặctrong Ω \ (T \ ∂T ) như trong định lí nêu trước, thì ω ∈ C(0,µ)

Định lí sau đây nói về tính liên tục của dωdν tại các điểm trên biên ∂T Định lý 2.3.5 Nếu L thoả mãn

i

= 0, (2.21)(2.21) đúng cả dưới giả thiết duy nhất ζ ∈ C(0), miễn là T thuộc lớp A(2) và

∂2(L−H)

∂xk∂yi ∈ N(1,k) Dưới giả thiết cuối cùng và nếu ζ ∈ L1, thì (2.21) đúng tạihầu khắp nơi trên ∂T

2.4 Phương trình tích phân trên biên

Cho T là một miền của lớp A(1,λ), x, y là hai điểm thay đổi trên ∂T Xét phương trình

Phương trình (2.22) gọi là phương trình Fredholm loại hai, trong đó ϕ(x) làhàm liên tục phải tìm và được gọi là nghiệm của phương trình (2.22)

Nếu g(x) = 0 thì phương trình gọi là phương trình thuần nhất

Song song với phương trình (2.22) ta xét phương trình sau:

và phương trình thuần nhất liên hợp với (2.24) có một số hữu hạn nghiệmđộc lập tuyến tính và số nghiệm độc lập tuyến tính của hai phương trình ấybằng nhau.

Ta gọi hệ đầy đủ các nghiệm của phương trình (2.24) là:

Chương 3

Đưa bài toán biên về phương trình

tích phân

Xét bài toán Dirichlet:

Mu = f với x ∈ T \ ∂T, u = ϕ với x ∈ ∂T, (3.1)giả sử rằng f là liên tục trong T và thuộc lớp C(0,λ) trong T \ ∂T , và ϕ làhàm số liên tục trên ∂T và cuối cùng T là một miền bị chặn thuộc lớp A(1,λ)

Ta đặt lên toán tử M tất cả các giả thiết các hàm số aik, bi, c bị chặn trong

Rm và thuộc lớp C(0,λ) trên đó, với aik là λ - Holder liên tục trong Rm và hơnnữa ∂aik

∂x j tồn tại và bị chặn trong Rm và λ - Holder liên tục trong mọi miền

bị chặn Dưới những giả thiết này, nếu chúng ta xét toán tử tích phân lớpkép xây dựng bởi giả sử rằng hàm số Levi L(x, y) là nghiệm cơ bản chínhcủa phương trình Mu = 0 Tương tự những nhận xét này cũng đúng đối vớitoán tử tích phân miền xây dựng bằng cách đặt L = G, và hơn thế, với hiệu