trong chương trình Toán ở các bậc học, các cấp học ở phổ thông cơ sở, phổ thông Trung học (PTTH), kể cả ngay ở trong các trường chuyên nghiệp thương gặp nhiều bài toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ. Như vậy vấn đề cần đặt ra là làm thế nào để có thể giải được loại toán này? Để trả lời vấn đề này bản thân học sinh cần có kiến thức và nắm vững kỹ năng giải toán. Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhưng để giải quyết tốt loại toán này lại là vấn đề khó khăn. Do đó khai gặp loại toán này đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến không có kết quả (điểm), hoặc nếu có kết quả thì kết quả đạt được cũng không cao ( không có điểm tối đa). Vậy vấn đề đặt ra là để học sinh có được những kiến thức và kỹ năng giải được thành thạo loại toán này, đáp ứng được mục tiêu tư duy tìm hiểu tốt nhất của học sinh đề tài này sẽ cung cấp cho các bạn đọc đặc biệt là các bạn học sinh một cách nhìn bao quát về dạng toán này, cung cấp cho các em bạn một số phương pháp giải cơ bản về loại toán này.
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ.
Nhờ có sự quan tâm của Đảng và Nhà nước về công tác giáo dục
- đào tạo (GD-ĐT), cùng với sự nỗ lực của học sinh, thời gian qua chúng ta đã đạt được một số thành tích đáng kể trong ngành GD-ĐT Tuy nhiên nếu đánh giá một cách thổng thể, khách quan, thì hiện nay chất lượng, hiệu quả GD-ĐT còn thấp, chưa đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao của xã hội Nhìn chug trình độ kiến thức của học sinh, khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành còn yếu kém, chưa thích ứng được với thực tiễn xã hội, khả năng vận dụng kiến thức vào sản xuất, đời sống còn hạn chế
Đặc biệt trong chương trình Toán ở các bậc học, các cấp học ở phổ thông cơ sở, phổ thông Trung học (PTTH), kể cả ngay ở trong các trường chuyên nghiệp thương gặp nhiều bài toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ Như vậy vấn đề cần đặt ra là làm thế nào để có thể giải được loại toán này? Để trả lời vấn đề này bản thân học sinh cần
có kiến thức và nắm vững kỹ năng giải toán
Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhưng để giải quyết tốt loại toán này lại là vấn đề khó khăn Do đó khai gặp loại toán này đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến không có kết quả (điểm), hoặc nếu có kết quả thì kết quả đạt được cũng không cao ( không có điểm tối đa)
Vậy vấn đề đặt ra là để học sinh có được những kiến thức và
kỹ năng giải được thành thạo loại toán này, đáp ứng được mục tiêu
tư duy tìm hiểu tốt nhất của học sinh đề tài này sẽ cung cấp cho các bạn đọc đặc biệt là các bạn học sinh một cách nhìn bao quát về dạng toán này, cung cấp cho các em bạn một số phương pháp giải cơ bản
về loại toán này
Tôi mong rằng qua đề tài này đã góp phần làm tăng thêm khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ
Trang 2B TÊN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU:
“Giới thiệu một số phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ”
C MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
- Tìm hiểu trên cơ sở lý luận về việc chuẩn bị lựa chọn phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ
- Trên cơ sở tìm hiểu lý luận nhằm giới thiệu khái quát một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình
- Phát huy tính tích cực chủ động tìm tòi, áp dụng vào thực tế của từng bài toán
- Giải quyết triệt để những yếu kém mà học sinh thường mắc phải khi gặp các loại toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ
D NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Tìm hiểu về phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ
- Dự kiến được những khó khăn của học sinh khi giải các loại toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ
E PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về khả năng tư duy, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán phương trình và bất phương trình vô tỷ
- Tổng kết vận dụng cơ sở lý luận để đưa ra được một số phương pháp giải phù hợp đạt hiệu quả vào giải phương trình và bất phương trình vô tỷ
Chương I: Một số định lý về phương trình
và bất phương trình vô tỷ.
1 Định lý 1:
Phương trình f (x) = g (x) tương đương với hệ
g (x) > 0
f (x) > g2(x)
2 Định lý 2:
Trang 3Bất phương trình f (x) > g (x) tương đương với hệ
g (x) > 0
f (x) > g2(x)
Chương II: Một số sai lầm mà học sinh thường gặp
khi giải phương trình và tỉ
Ta gọi phương trình vô tỉ là những phương trình tính chứa ẩn trong dấu căn cần tách các sai lầm sau:
Ví dụ : Giải phương trình.
2 3 1 5
1 Lời giải chuyển vế: x 1 5x 1 3x 2 (2)
Bình phương hai vế:
x - 1 = 5x - 1 + 3x - 2 + 2 15 2 13 2
x
Rút gọn: 2-7x = 2 15 2 13 2
Bình phương hai vế
4 - 28x + 49x2 = 4(15x2 - 13x + 2) (5)
Rút gọn: (11x-2) (x-2) = 0
x1 = 112 ; x2 = 2
II Phân tích sai lầm
a Sai lầm thứ nhất: là không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức Thật vậy ở căn thức x 1, phải có x > 1, do đó giá trị x =
11
2
không phải là nghiệm của (1) Để khắc phục sai lầm này cần tập xác định của nghiệm phương trình (1) hoặc thử lại các giá trị tìm được của x vào phương trình ban đâu.f
b Sai lầm thứ hai Là không đặt điều kiện để biến đổi triết học tương đương (4), (5) không tương đương, phương trình (4) tương đương với hệ
2 - 7x > 0 (2 - 7x)2 = 4 ( 15x2 - 13x + 2)
Trang 4Do vậy phương trình (50 là phương trình hệ quả của phương trình (4) nó chỉ tương đương với 94) với điều kiện 2-7x > 0 Do đó x =
2 cũng không là nghiệm của (1)
III Cách giải đúng
Đặt điều kiện tồn tại của (1) là x > 1 Do đó x < 5x suy ra x - 1 < 5x - 1 Như vậy vế trái của (10 là số âm, còn vế phải không âm Vậy phương trình (1) vô nghiệm
3 Định lý 3:
Bất phương trình f (x) > g(x) tương đương với 2 hệ:
f(x) > 0 g(x) < 0
g(x) > 0 f(x) > g2(x)
4 Định lý 4:
Bất phương trình: f (x) < g(x) tương đương với hệ
f(x) > 0 g(x) > 0 f(x) < 0 Chương III: Giới thiệu một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ
I Phương án 1: Nâng lên luỹ thừa để phá dấu căn
Một trong các nguyên tắc để giải phương trình hoặc bất phương trình chứa căn thức là chúng ta phải làm mất dấu căn, thông thường chúng ta sử dụng một trong các định lý trên để dấu căn của phương trình hoặc bất phương trình, thường chỉ nên áp dụng một hoặc hai lần
và khi đó sẽ đưa phương trình hoặc bất phương trình vô tỷ về dạng mà
ta có thể giải dễ dàng hơn
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
1 2
3 1
5x x x
Trang 5Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là.
5x - 1 > 0 3x - 2 > 0 hay là x > 1 (*)
x - 1 > 0 Với điều kiện (*) phương trình cho tương đương với phương trình
2 3 1 1
5x x x
Cả hai vế của phương trình đều không âm, nâng lên luỹ thừa hai của cả hai vế ta được phương trình tương đương
5x - 1 = 4x - 3 + 2 (x 1 )( 3x 2 )
Hay là x + 2 = 2 (x 1 )( 3x 2 )
Với x > 1 thì cả hai vế của phương trình trên đều không âm, bình phương 2 vế ta được phương trình tương đương:
(x+2)2 = 4 (x-1) (3x-2)
Hay là: 11x2 - 24x + 4 = 0
Phương trình này có 2 nghiệm: x1 = 2 và x2 = 112
Ta thấy chỉ có x = 2 thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
x x
x
Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là:
1 + x > 0
<=> - 1 < x < 1
1 - x > 0
Ta xét các khả năng có thể sảy ra sau đây:
1 Nếu - 1 < x < 0: Khi đó (1)
<=> - x < 1 x 1 x (2)
Do - 1 < 1 - x + 1 + x* - 2 1 x 2
<=> 2 - x2 > 2 1 x 2
<=> 4 - 4x2 = x4 > 4 - 4x2
Trang 6<=> x4 > 0 luôn đúng
Với mọi x thoả mãn - 1 < x < 0
Vậy - 1 < x < 0 là nghiệm của bất phương trình đã cho
2 Nếu 0 < 1 x < : Khi đó 1 + x > 1 - x => 1 x 1 x < 0 (1) <=> 1 + x + 1 - x - 2 1 x 2 < x2
<=> 2 - x2 < 2 1 x 2
<=> 4 - 4x2 + x4 - 4x2
<=> x4 < 0 => x = 0 Nghiệm này bị loại:
Vậy nghiệm của bất phương trình là: -1 < x < 0
II Phương pháp 2: Phương pháp khoảng.
Nội dung của pháp pháp này là đưa các bất chương trình căn thức về bất phương trình tách, tìm nghiệm các thừa số rồi xét dấu để tìm nghiệm
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
(x-3) 2 4
Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là x2 - 4 > 0 => x > 2 Hay là: x < - 2 hoặc x > 2
Khi đó ta có: (1) <=> (x-3) ( 2 4 3
Xét phương trình: 2 4 3
x = 0, khio đó ta có:
3 4
2
x = 0 <=> 2 4
x = x +3
x + 3 > 0 <=>
x2 - 4 = x2 + 6x + 9
x > - 3 <=> => x =
6
13
x = 613 Xét dấu của vế trái của (20 ta có:
Trang 7Vậy nghiệm của bất phương trình là: x < 613 và x > 3.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình:
10 x < x2 - 6 (1)
Giải:
Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là: 10 - x2 > 0 => x2 < 10
=> x = 10
Với điều kiện đó ta có: (1) <=> x 10 x2 - x2 + 6 < (2)
Xét phương trình:
x 10 x2 - - x2 + 6 = 0 < => x 10 x2 = x2 - 6
x (x2 - 6) > 0 <=>
x2 (10 - x2) = x4 - 12 x2 + 36
- 6< x < 0, x > 6
<=>
x4 = 11x2 + 18 = 0
- 6< x < 0, x > 6
<=>
x2 = - 2
- 6< x < 0, x > 6
<=>
x = + 3; x = + 2
x = 3 <=>
x = - 2
Xét dấu vế trái của (2) ta có:
6
13
-3
Trang 8-Vậy nghiệm của bất phương trình là:
10
< x < - 2, 3 < x < 10
III Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ.
Một số bài toán về giải phương trình và bất phương trình có chứa căn thức có thể giải được nhờ việc đưa thêm vào các ẩn phụ để phá căn thức hoặc có thể đưa về các phương trình hoặc bất phương trình đại số Thông thườngcó thể đặt ẩn mới bằng một căn thức (hoặc tổng hay hiệu hai căn thức) nào đó Chúng ta thường gặp 3 dạng ẩn phụ sau:
Dạng 1: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình hay bất phương trình với một ẩn mới
Dạng 2: Đặt ẩn phụ để đưa về một hệ hai phương trình hai ẩn mới Dạng 3: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình với hai ẩn (phương pháp sử dụng phương trình bậc hai)
Ví dụ 5: Giải phương trình:
x = x + x 1 x2 x = 2 (1)
Giải:
Điều kiện để phương trình có nghĩa là:
x > 0
<=> x > 1
x - 1 >
Đặt triết học = x + x 1 do x > 1 nên t > 1
Khi đó ta có: t2 = x = x - 1 + 2 x( x 1 ) => x =
2
1
2
x x
Phương trình (1) trở thành: t +
2
1
2
t
= 2 => t2 + 2t - 3 = 0
=> t = 1, t = -3 (loại)
Vậy ta có: t = 1 => x + x 1 = 1 => x + x - 1 + 2 2 1
x x
=> 2 1
x
Trang 91 - x > 0 <=>
x2 - x = 1 - 2x + x2
x < 1 <=> <= x = 1 Vậy ta có x = 1
x = 1
Ví dụ 6: Giải phương trình:
4 3 1
5 3 2 3
7
Giải: Điều kiện phương trình có nghĩa là:
3x2 - 7x + 3 > 0
3x2 - 5x - 1 > 0
x2 - 3x = 4 > 0 Đặt 3 2 7 3
x
2 2
x = b
1 75
3 2
4 3 2
x
Điều kiện a, b, c, không âm, d dương Khi đó ta có:
3x2 - 7x + 3 = a2
x2 - 2 = b2 => 3 (a2 - c2) = 2 (d2 - b2)
3x2 - 5x - 1 = c2
x2 - 3x = 4 = d2
Khi đó với điều kiện (*) ta có: (1) <=>
3 (a2 - c2) = 2 ( d2 - b2) <=> (b - d) (3a+3c+2b+2d) = 0 a,b,c > 0; d > 0 a, b, c > 0; d > 0
<=> b = d > 0 <=> x2 = 2 = x2 - 3x + 4
Trang 10<=> x = 2 thoả mãn điều kiện (*)
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 7: Giải phương trình: 7x2 + 7x = 4 x289 (1) Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: 4x + 9 > 0
=> x > 49
Đặt:
28
9
4 x
= t + 21 (t > 21) => 4 x289 = t2 + t + 41
=> 7t2 = 7t = x + 21 khi đó
7t2 = 7t = t + 12 (2)
7t2 = 7t = t + 12 (3 ) 7(x2 - t2) + 7(x - t) = t -x => (x - t) (7x + 7t + 8) = 0
=>
0 8 7 7
0
t x
t x
xét hai khả năng xảy ra
a Nếu x - t = 0 => t= x Thay vào (2) ta có: 7x2 + 7x = x +
2 1
=> 14x2 + 12x - 1 = 0
=> x =
14
2 5
6
Do điều kiện x = t 21 nên x =
14
2 5
6
ghiệm
b Nếu 7x + 7t + 8 = 0 => t =
7
8
7
thay vào (2) ta có:
7x2 + 7x = 7 14x 8 + 21 => x =
7 2
23
4
Kết hợp với điều kiện t 21 ta có: x =
7 2
23
4
Vậy nghiệm của phương trình là: x =
7 2
23
4
14
2 5
6
Trang 11* Nhận xét: Muốn sử dụng phương pháp hệ phương trình ta thường đưa về hệ phương trình đối xứng hoặc quy về phương trình tích Khi đặt
ẩn phụ ta phải chú ý kiểm tra điều kiện của các ẩn mới và ẩn cũ
Ví dụ 8: Giải phương trình: 2 (1 - x) 2 2 1
x
x = x2 - 2x - 1 (1) Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: x2 + 2x - 1 0 (2) Đặt t = 2 2 1
x
x => t2 = x2 + 2x - 1
Thay vào phương trình (1) ta có:
2(1-x)t = t2 - 2x + 1 - 2x - 1 hay t2 - 2(1-x)t - 4x = 0
Ta coi đây là một phương trình bậc hai đối với ẩn t Khi đó ta có
t
'
= (1-x)2 + 4x = (1+x)2
=> t1 = 1 - x + 1 + x = 2
t2 = 1 - x -1 -x = -2x
Xét hai trường hợp:
a Với t = 2, từ đó suy ra x2 + 2x - 1 = 4 =>x2 + 2x - 5 = 0
=> x = -1 6 Thoả mãn điều kiện bài toán
b Với t =-2x, 2 2 1
x
x = - 2x <=>
2
2 2 1 4
0 2
x x x
x
<=>
0 1 2 3 0
2 x x x
Phương trình này vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho (1) có nghiệm x = -1 6
Ví dụ 9: Giải phương trình: 5 x 1 = 2(x2 + 2) (1)
Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: x3 + 1 0 => x -1 Khi đó (1) <=> 5 x 1 2 1
x
x = 2(x2 + 2) Đặt U = x 1 (với điều kiện U 0; V0)
x x
Khi đó ta có: U2 = x + 1 => U2 + V2 = x2 + 2
V2 = x2 - x + 1 Thay vào phương trình trên
Ta có: 5UV = 2(U2 +V2) => 2U2 - 5UV + 2V2 = 0
=> U1 = 2V, U2 = 12 V (Xét đó là phương trình bậc hai ẩn U)
Trang 12Xét hai trường hợp:
a Với U = 2V từ đó suy ra x 1 = 2 2 1
x x
<=> x + 1 = 4(x2 - x +1)
<=> 4x2 - 5x + 3 = 0 => = 52 - 4.4.3 <0 phương trình này vô nghiệm
b Với U =
2
1
V => x 1=
2
1
1 2
x
x <=> 4(x + 1) = (x2 - x +1)
<=> x2 - 5x - 3 = 0 => x =
2
37
5
IV Phương pháp 4: Nhân với biểu thức liên hợp để quy về phương
trình hoặc bất phương trình tích
Mục tiêu của phương pháp này là nhân với biểu thức liên hợp của căn thức nào đó để xuất hiện thừa số chung ở hai vế (nếu là bất phương trình thì
có thể bằng phương pháp khoảng)
Ví dụ 10: Giải bất phương trình: 2 x 1 - x 2> x - 2 (1)
Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là:
0 2 0 1
x x
=>
2
1
x
x
=> x > 1 (2)
Nhân hai vế của bất phương trình (1) với 2 x 1 + x 2> 0 ta có: 4( x - 10 - (x + 2) > (x - 2) (2 x 1 + x 2)
<=> 3(x-2)(2 x 1 + x 2 - 3) <0 (3)
Xét phương trình:
2 x 1 + x 2 = 0 <=> 2 x 1 + x 2= 3
<=> 4( x - 1) + x + 2 + 4 (x 1 )(x 2 ) = 9
<=> 4 2 2
x
<=>
0 17 14 5 11
2 x x
x
<=>
2 4 7 5 11
x
x
=> x = 7 - 4 2
Xét dấu vế trái của (3) ta có:
Vậy nghiệm của hệ bất phương trình là: 7 - 4 2<x<2
Ví dụ 11: Giải phương trình 2 2 1
x x
= 2 2 2 3
x
x
+ +
-7-4
Trang 13Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là:
0 2
0 3
2 2
0 2
3
0 1
2
2 2 2 2
x x
x x
x x
x
=>
0 2 3 1 2
2 2
x x x
(8) Khi đó: (1) <=> 2 2 2 3
x
x
x x
<=>
1 2 3 2 2
4 2
2 2
x x
x
x
=
2 2
5
4 2
2 2
x x x
x
x
1 1
2 3 2 2
1
2 2
2
<=> x + 2 => x = -2 Thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phương trình có nghiệm là: x = -2
V Phương pháp 5: Phương pháp hàm số.
Để sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là một dạng toán khá quen thuộc Ta có ba hướng áp dụng sau:
Hướng 1: Chuyển phương trình về dạng:
f(x) =k
Bước 2: Xét hàm số y = f(x)
Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử là hàm số đồng biến)
Bước 3 : Nhận xét
- Với x = xo => f(x) = f(x) = k, do đó x = xo là nghiệm
- Với x > xo => f(x) > f(x) = k, do đó phương trình vô nghiệm
- Với x < xo => f(x) < f(x) = k, do đó phương trình vô nghiệm Vậy x = xo là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng dẫn: Thực hiệnh theo các bước.
Bước 1 : Chuyển phương trình về dạng: f(x) = g(x)
Bước 2 : Xét hàm số; y = f(x) và y = g(x)
Dùng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là đồng biến càn hàm
số y = g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến
Xác định xo sao cho f(xo) = g(xo)