Một số bài toán giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng SKKN toán THPT

Trong quá trình giảng dạy chương trình lớp 12, bồi dưỡng học sinh giỏi, và ôn thi đại học tôi nhận thấy các bài toán tìm tham số m để đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho trước là một mảng toán tương đối khó đối với học sinh, trong đó có dạng toán về giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng.

Để góp phần giúp các em có thêm tài liệu tham khảo, hiểu sâu hơn

và hệ thống được các dạng bài tập liên quan đến dạng toán này vì thế tôi

đã chọn đề tài “MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ

và tìm hiểu nghiên cứu loại toán này

- Trong thực tiễn tôi đã vận khá tốt các nội dung củ chuyên

đề Từ đó hình thành cơ sở nghiên cứu chuyên đề này

2 Nội dung , biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

- Nội của đề tài được nghiên cứu trên cơ sở lí thuyết và bài tập mà các em đã được học trong chương trình THPT

- Đề tài cho các em thấy được các dạng bài toán có chứa tham số

về giao điểm của hàm số bậc ba với một đường thẳng.Giúp cho học sinh

tự phát hiện và lĩnh hội kiến thức

Phương pháp 1 Nhẩm một một nghiệm của phương trình hoành

độ giao điểm

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d), ta có:

a/ 3 điểm phân biệt

VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Nếu ngay từ đầu các em không nhận thay x=1 là một nghiệm của

phương trình (1) thì các em có thể làm như sau:

Cho m nhận một số giá trị cụ thể, thay từng giá trị của m vào PT(1), dung máy tính bỏ túi giải phương trình bậc ba nếu phương trình nào cũng có chung một nghiệm thì đó có thể là một nghiệm cuả PT (1) Chẳng hạn:

Cho m= 0 thì PT(1) trở thành x3  x2  3x  3 0 có nghiệm x 1;x 1,7

Cho m=1 thì PT(1) trở thành x3  2x2  x  2 0có nghiệm x 1;x 2

Ta nhận thấy với hai giá trị m khác nhau thì ta được hai phương trình cụ thể đều có nghiệm chung là x =1 Vậy x= 1 có thể là một nghiệm của phương trình (1)

Để chắc chắn x= 1 là nghiệm của (1) hay không ta cần thay x = 1 vào

phương trình (1) Khi đó ta giải bài toán như sau.

a/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt  Phương trình (1) có 3

nghiệm phân biệt , hay phương trình (1’) có hai nghiệm phân biệt khác 1

2 2

2;2 \ 1 1; 2

VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

b/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 2 điểm  Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm , hay phương trình (1’) có nghiệm kép khác 1 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 1

2 1

Vậy m = -1 ; m = -2 thì (C) cắt Ox tại 2 điểm

c/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 1 điểm  Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm , hay phương trình (1’) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép là x = 1

 

 

2 2

0

12 3 0

( ; 2) (2; ) 0

12 3 0

2 2

1 2

m

Vậy với m    ; 2 2;  thì (C) cắt Ox tại 1 điểm

VÍ DỤ 2: Tìm m để đồ thị hàm số y x 3 3x2m 2x 2m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm

 phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt

 phương trình (1’) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2

1 4 0 1

2

2 0

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b/ Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x1 , , 2 3 thoả mãn điều kiện 2 2 2

Kí hiệu g x  x2 x m và x1  1, ,x x2 3 là các nghiệm của (1’)

Yêu cầu bài toán thoả mãn khi và chỉ khi

Suy ra pt(2) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác m, khi đó pt(1) luôn có

ba nghiệm phân biệt Vậy (C) luôn cắt (d) tại ba điểm phân biệt (đpcm)

VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Theo yêu cầu bài toán thì m 0 và PT(2) phải có hai nghiệm phân biệt âm, khác m

2 ( )

   nên luôn có 2 nghiệm trái dấu

Do đó hoành độ giao điểm của đồ thị với Ox sẽ là x1 x0   0 x2

VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

có thể sử dụng tính chất của cấp số cộng để tìm ra m, sau đó thay m cụ thể vào hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán.

Chú ý: Nếu đa thức y f x ( ) ax bx3  2 cx d a   0có các nghiệm là

Ta thấy các số: -2 ; 1 ; 4 tạo tành cấp số cộng với công sai bằng 3

Vậy m = 1 thoả mãn yêu cầu bài toán

VÍ DỤ 8: Tìm m để đồ thị hàm số y x 3 5  m x 2 6 5  m x  6m C m

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số

nhân

VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Giải:

Đồ thị hàm số y x 3 5  m x 2 6 5  m x  6m C mcắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân  phương trình

Ta thấy các số: 1 ; 2 ; 4 tạo tành cấp số nhân với công bội bằng 2

Vậy m = 2 thoả mãn yêu cầu bài toán

Phương pháp 2 Sử dụng đồ thị hàm số bậc 3 và vị trí cực trị.

Nếu trường hợp phương trình hoành độ giao điểm không dễ dàng trong việc nhẩm nghiệm hay bài toán không có các điều kiện phức tạp vềtoạ độ giao điểm thì ta có thể sử dụng đồ thị hàm số bậc ba để giải quyết bài toán

0 0

y y

I

y

x 0

I

y CÑ

x 0 x' 0 B

(C)

y CÑ y

A

x 0 o x 1

B x' 0 (y CT = f(x 0 ) = 0)

x (h.2)

(C)

A x

Do đó hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

a/ Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt , ta có

Giả sử x x1 ; 2 là hoành độ của các điểm cực trị thì x x1; 2 là nghiệm của

phương trình y’= 0 hay y x'( ) 0; '( ) 0 1  y x1 

Suy ra

2 12 9 2 12 9

Vậy m < 0 thoả mãn yêu cầu bài toán

Nhận xét : Trong ví dụ này nếu tính y y cd. ct theo ví dụ 7 thì quá trình tính

toán trở nên phức tạp, vì thế ta sử dụng tính chất của điểm cục trị «Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại

0

xuất bản năm 2008 Nhà xuất bản BGD.

Đồ thị (C ) cắt ( m d ) tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương khi m

đồ thị (C ’) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương m 

song song trục hoành và đi qua 0; g m  

Khi đó ta có thể giải bài toán như sau:

Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 2: Dựa vào BBT  Số giao điểm của (C) và d

VÍ DỤ 13: Biện luận theo tham số m số giao điểm của (C ): m

3x x m (*)

Nhận thấy ta không thể nhẩm được nghiệm của phương trình này Do đó

ta phải dùng phương pháp 2 hoặc phương pháp3 Tuy nhiên ta có thể

nhận xét thấy :

Phương trình       

3 3

x

dáng của đồ thị của hai hàm số ở hai vế của phương trình (**) ta đều có thể biết được, từ đó ta suy ra được số giao điểm của chúng.

Ta có thể giải bài toán như sau:

Giải.

VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Phương trình hoành độ giao điểm là:

      

3 3

VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành

x x mx  (1)

Nhận thấy ta không thể nhẩm được nghiệm của phương trình này Do đó

Tuy nhiên ta có thể nhận xét thấy :

Và đường thẳng y = - m song song với trục hoành.

Ta có thể giải bài toán như sau:

Để  C m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì đường thẳng y = -m

phải cắt C m' tại ba điểm phân biệt.

Để  C m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thoả mãn - 2 < x1 < x2 < x3

thì đường thẳng y = -m phải cắt C m' tại ba điểm phân biệt thoả mãn

- 2 < x1 < x2 < x3

Dựa vào bảng biến thiên ta có: 2 < - m < 10  - 10 < m < -2

VÍ DỤ 16: Tìm m để đồ thị hàm số  C m : y f x ( ) x3  2x2 mx 4 cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: x <-3 < x < x

Để  C m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thoả mãn x1 < -3 < x2 < x3

thì đường thẳng y = -m phải cắt C m' tại ba điểm phân biệt thoả mãn

VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Xét hàm số 3 3 4 ( ) ( 1)     x y g x x C m' TXD : D = D R \ 1  2 4 3(4 ) '( ) ( 1)    x g x x 2 2 4 2 3(4 ) '( ) 0 0 4 0 2 ( 1)               x x g x x x x Bảng biến thiên x - -2 11 2 +

y’ - 0 + + 0 -y +

4

1 1

4/9

- 

C m' một điểm.

Dựa vào bảng biến thiên ta có: 4

4 / 9

m m





 



Bài tập:

Bài 1.Tìm m để đồ thị hàm số y mx 3  3mx2  1 2  m x  1 cắt trục hoành Ox

a/ Tại 3 điểm phân biệt

b/ Tại hai điểm

c/ Tại một điểm

Bài 2 Tìm m để đồ thị (C): y x 33x2mx2m lần lượt của hai hàm

số y = -x + 2 cắt nhau tại

a/ 3 điểm phân biệt

VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

b/ 2 điểm

c/ 1 điểm

Bài 3 Tìm m để đồ thị hàm số y x 3  mx2  (2m 1)x m  2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

Bài 4 Tìm m để đồ thị hàm số C m:yf x( ) x3  3mx2  3m2  1x m 3 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt , trong đó có đúng hai điểm có hoành độ

Bài 7: Cho hàm số: y = x3 - 3x + 2

Gọi d là đt qua A(3; 2) và có hệ số góc là m Tìm m để dt đó cắt (C ) tại

3 điểm phân biệt

Bài 8: Cho h/s: y x 3  3x2  (m 2)x 2 ( )m C m Tìm m để (C m)

a) Cắt trục hoành tại 3 điểm p/b

b) Cắt trục hoành tại 3 đ p/b có hoành độ âm

c) Cắt trục hoành tại 3 điểm p/b có đúng 2 hoành độ dương

d) Cắt trục hoành tại 3 điểm p/b có đúng 2 hoành độ âm

e) Có hai điềm chung với Ox

f) cắt Ox tại một điểm

Bài 8: Cho h/s: y x 3  6x2  (m 2)x  9 m C ( )m Tìm m để

a) (C m) cắt trục hoành tại một điểm

b) (C m) cắt Ox tại ba điểm phân biệt Chứng tỏ rằng ba điểm này đề có

Bài 11 Tìm m để đồ thị hàm số  C : m y f x x    2x    3 2 mx 8cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: x1 < - 1 < x2 < x3

Bài 12:Tìm m để đồ thị hàm số y f x x     3 7x2 mx 8  C m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân

VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Bài 13:Cho h/s: y x 3  (2m 3)x2  9x Tìm m để đồ thị của hàm số sau cắt

trục hoành tại 3 điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng Tìm cấp số đó

IV KẾT QUẢ

Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi nhận thấy khi học sinh vận dụng được hướng suy nghĩ này, các em sẽ nhanh chóng giải quyết được bài toán giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba nói riêng và bài toán giao điểm của hai đồ thị nói chung Giúp các em thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa số giao điểm của hai đồ thị và số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của chúng từ đó mà có thể tự suy nghĩ giải quyết được nhiều dạng bài tập khác

Bài toán giao điểm của hai đồ thị là một bài toán quan trọng trong chương trình toán THPT, nó thường xuyên có mặt trong các đề thi tốt nghiệp cũng như đề thi đại học, cao đẳng Vì vậy với đề tài này, hy vọng

nó sẽ giúp ích nhiều cho chất lượng của các em trong các đợt kiểm tra cuối cấp

V BÀI HỌC KINH NGHIÊM

Để giải các bài toán cụ thể cần rèn luyện cho mình khả năng nhậnxét bài trước khi bắt đầu làm bài, từ đó lựa chọn các phương pháp phùhợp để có được kết quả của bài toán một cách nhẹ nhàng hơn, phát huyđược tính tích cực sáng tạo trong học tập Từ đó giúp các em hiểu bàimột cách sâu sắc, điều đó cũng có nghĩa là các em sẽ nhớ bài lâu hơn!

VI KẾT LUẬN

Đề xuất: Tổ chuyên môn triển khai chuyên đề trong toàn tổ để

phát huy được tình hiệu quả của chuyên đề củng như rút kinh nghiệm đềkhắc phục những phần còn hạn chế của chuyên đề này

Học sinh có thể sử dụng chuyên đề này để rèn luyện cho minh kĩ năng giải một số bài toán về giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba với đường thẳng và các bài toán liên quan

Trên đây là một vài kinh nghiệm do tôi góp nhặt và tìm tòi thêm.Trong quá trình trình bày khó tránh khỏi một số sai sót

Kính mong bạn đọc, đồng nghiệp đóng góp ý kiến nhiệt tình, đểchuyên đề của tôi hoàn thiện và hiệu quả hơn

VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Tôi xin chân thành cảm ơn!

NGƯỜI THỰC HIỆN

Phan Thị Tâm

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa giải tích 12- Xuất bản năm 2008, NXB Giáodục

2 Các bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán- Tập 1 Tác giảTrần phương – NXB Đại học quốc gia Hà Nội

3 Phương pháp giải toán giải tích 12 Tác giả Trần Văn Kỷ –NXd Đại học quốc gia TPHCM

VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG