Trong các đề thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi ta thường gặp các bà toán giải phương trinh, bất phương trinh đôi khi có chứa cả tham số. Đối với nhiều học sinh công việc này không hề đơn giản Đề tài : “ Ứng dụng của đạo hàm khi giải phương trình và bất phương trình” giúp học sinh giải quyết vấn đề trên
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị : TRƯỜNG THPT TRẤN BIÊN
Mã số : ………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Người thực hiện : VŨ NGỌC HÒA
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý Giáo dục: Phương pháp dạy bộ môn Phương pháp giáo dục: Lĩnh vực khác ………
Có đính kèm:
Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác
Năm học : 2011 – 2012
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT TRẤN BIÊN
Mã số : ………
SẢN PHẨM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHI
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Người thực hiện : VŨ NGỌC HÒA
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục: Phương pháp dạy bộ môn Phương pháp giáo dục: Lĩnh vực khác ………
Có đính kèm:
Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác
Năm học : 2011 – 2012
Trang 3SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I- THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN :
1 Họ và tên: VŨ NGỌC HÒA
2 Ngày tháng năm sinh: Ngày 30 tháng 7 năm 1967
3 Nam, Nữ: Nam
4 Địa chỉ : P2 KP6A, tổ 14, phường Tam Hiệp , TP Biên Hòa
5 Điện thoại: (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: 0907185797
6 Fax : Email: ngochoa9630@yahoo.com
7 Chức vụ: Giáo viên
8 Đơn vị công tác: Trường THPT Trấn Biên
9 II -TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:
Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: ĐHSP
Năm nhận bằng : 1995
Chuyên ngành đào tạo: Toán học
III- KINH NGHIỆM KHOA HỌC:
Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán
Số năm có kinh nghiệm: 26
Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
1.Sai lầm của học sinh khi giải toán
2.Dùng lượng giác để giải bất đẳng thức
3.Môt số kinh nghiệm dạy hình học không gian
Trang 4SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT Trấn Biên CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMĐộc lập – Tự do – Hạnh phúc
Biên Hòa, ngày 20 tháng 5 năm 2012
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học : 2011 – 2012
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Họ và tên tác giả: VŨ NGỌC HÒA Đơn vị (tổ) : Toán
Lĩnh vực :
Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ môn
Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác ………
1 Tính mới
Có giải pháp hoàn toàn mới
Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có
2 Hiệu quả
Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả
Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả
3.
4 Khả năng áp dụng :
Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Đưa ra các giải pháp kiến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ
đi vào cuộc sống: Tốt Khá Đạt
Đã được áp dụng thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)
Trang 5
A ĐẶT VẤN ĐỀ
I Lí do chọn đề tài
Trong các đề thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi ta thường gặp các bà toán giải phương trinh, bất phương trinh đôi khi có chứa cả tham số Đối với nhiều học sinh công việc này không hề đơn giản !
Đề tài : “ Ứng dụng của đạo hàm khi giải phương trình và bất phương trình” giúp học sinh giải
quyết vấn đề trên
II Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Giúp học sinh giải quyết các bài toán phương trình bằng cách ứng dụng giải tích giải quyết các bài
toán đại số
III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Phương trình, bất phương trình, giới hạn, đạo hàm, tính đơn điệu của hàm số
- Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần:đạo hàm, giới hạn, sự liên tục ,phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit
IV Kế hoạch nghiên cứu
Từ đầu năm học 2011 đến hết năm học 2012, nhất là đầu năm học lớp 12 khi học sinh học về đạo
hàm, tính đơn điệu
V Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp được sử dụng nhiều ở đây là Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp
VI Bố cục của đề tài
Gôm hai phần chính:
Phương trình, bất phương trình không chứa tham số
Phương trình, bất phương trình chứa tham số
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1.Tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm trên D.
Nếu f x'( ) ³ 0," Îx Dthì hàm số f x( ) đồng biến (tăng) trên D.
Nếu f x'( ) £ 0," Îx Dthì hàm số f x( ) nghịch biến (giảm) trên D
(Dấu “=” chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên D)
Nếu hàm f x( ) tăng (hoặc giảm) trên khoảng a b thì phương trình ; f x( ) =k k ¡( Î )có
không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Nếu hàm f x( ) tăng ( giảm) trên khoảng a b thì ; u v, a b; ta có f u( ) =f v( ) Û u=v
Nếu hàm f x( ) tăng trên khoảng (a;b) thì u v, a b; ta có f u( ) <f v( ) Û u<v
Nếu hàmf x( )giảm trên khoảng (a;b) thì u v, a b; ta có f u( ) <f v( ) Û u>v
Nếu hàm f x( ) tăng và g x( ) là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng a b thì phương trình;
( ) ( )
f x =g x có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng a b;
Nếu hàm số f x( ) liên tục trên é ùê úa b; và f a f b( ) ( ) <0 thì tồn tại ít nhất một điểm x0Î ( )a b;
để f x( )0 =0
Trang 6 Nếu hàm số f x( ) đơn điệu và liên tục trên é ùê úa b; và f a f b( ) ( ) <0 thì tồn tại duy nhất một điểm x0Î ( )a b; để f x( )0 =0
Nếu f x( )là hàm số đồng biến thì y=n f x n( ), Î N n, ³ 2 đồng biến ,
f x
1 ( ) (với f x( ) >0) là nghịch biến , y= - f x( )nghịch biến
Tổng các hàm đồng biến trên D là đồng biến trên D.
2 Giải phương trình, bất phương trình (không chứa tham số)
Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:
Phương án 1 :
Biến đổi phương trình về dạng: f x k, nhẩm một nghiệm
Chứng minh f x( )đồng biến (hoặc nghịch biến) để suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.
Phương án 2 :
Biến đổi phương trình về dạng: f x g x( )nhẩm một nghiệm
Chứng mimh f x( )đồng biến còn g x( )nghịch biến hoặc hàm hằng thì phương trình có nghiệm duy
nhất
Phương án 3 :
Biến đổi phương trình về dạngf u g v( )chứng minh f đơn điệu khi đó u v
Đối với bất phương trình thì biến đổi về dạng f u( ) <f v( ), chứng minh f đơn điệu, kết luận
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x- 1+ 4x2- 1 1= (1)
Nhận xét:
Quan sát vế trái của phương trình (1), ta thấy khi x tăng thì giá trị của biểu thức trong căn cũng tăng Từ đó suy ra vế trái là hàm đồng biến ,vế phải bằng 1 là hàm hằng, đây là điều kiện thích hợp
để sử dụng tính đơn điệu.
Giải Điều kiện: x 1
2
³
Đặt f x( ) = 4x- 1+ 4x2- 1 Ta có f x( ) x x
'
2
2
÷
Do đó hàm số f x( ) = 4x- 1+ 4x2- 1 đồng biến trên 1
; 2
ê +¥ ÷÷
ë , nên phương trình f x( ) =1 nếu
có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất Hơn nữa, f 1 1
2
æö÷
ç ÷=
ç ÷
ç ÷
çè ø nên x= là nghiệm của phương trình đã 12 cho
Ví dụ 2: Giải phương trình: x+ x- 5+ x+ +7 x+16=14
Giải
Điều kiện: x³ 5 Đặt f x( )= x+ x- 5+ x+ +7 x+16
Do đó hàm số f x( )= x+ x- 5+ x+ +7 x+16 đồng biến trên é +¥ê5; )
Mà f(9)=14 nên x=9 là nghiệm duy nhất của phương trình
Trang 7Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 32x+ +1 32x+ +2 32x+ =3 0 (1)
Giải
Đặt f x( )= 32x+ +1 32x+ +2 32x+3
Ta có:
Do đó hàm số f x( ) đồng
biến
Mà ff 3 1 3 2;ff( )1 0; 1 1x 32; lim ( )x
Vậy x= - 1là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Ví dụ 4: Giải phương trình : 5x3- 1+32x- 1+ =x 4
Giải Điều kiện: x
3
1 5
³
Đặt f x( )= 5x3- 1+32x- 1+x
2
1
5
Suy ra hàm số fđồng biến trên 31 ;
5
ê +¥ ÷÷
Mà f 1( ) =4 nên x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 5 : Giải phương trình : 2x3+3x2+6x+16=2 3+ 4- x (1)
Giải
x
Khi đó, (1) Û 2x3+3x2+6x+16- 4- x =2 3
Xét hàm số f x( ) = 2x3+3x2+6x+16- 4- x trên éë-ê 2;4ùúû
x
x x x
2
2 4
+ +
Do đó hàm số f x( ) = 2x3+3x2+6x+16- 4- x đồng biến trên éë-ê 2;4ùúû.
Màf 1( ) =2 3 nên x=1là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 6: Giải phương trình (x+2 2)( x- 1) - 3 x+ = -6 4 (x+6 2)( x- 1) +3 x+2
Giải Điều kiện:x 1
2
³
Phương trình được viết lại( 2x- 1 3- )( x+ +2 x+6) =4
Phương trình có nghiệm thì 2x- 1 3 0- > Û x>5.
2
3 , 1 , 2
1
; 0 ) 3 2 (
2 )
2 2 (
2 )
1 2
(
2 )
(
'
x x
x
x
f
Trang 8Xét hàm số f x( ) =g x h x( ) ( ) với g x( ) = 2x- 1 3;- h x( ) = x+ +2 x+6
Do đó hàm số g x( ) = 2x- 1 3 ;- h x( ) = x+ +2 x+6 dương và cùng đồng biến trên
(5;+¥ ).Suy ra f x( ) =g x h x( ) ( ) đồng biến trên (5;+¥ )
Mà f 7( ) =4nên x= là nghiệm duy nhất của phương trình.7
Ví dụ 7 : Giải phương trình x5+x3- 1 3- x+ =4 0
Giải Điều kiện: x 1
3
£
Xét hàm số f x( ) =x5+x3- 1 3- x+ trên 4 ;1
3
ç- ¥ ú
x
3
2 1 3
Do đó hàm số f x( ) =x5+x3- 1 3- x+ đồng biến trên 4 ;1
3
ç- ¥ ú
çè û Mà f( )- 1 =0
Vậy x= - 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 8 Giải phương trình 3 (2x + 9x2+3) (4+ x+2)(1+ 1+ +x x2)=0
Giải Phương trình được viết lại (2x+1)(2+ (2x+1)2+ = -3 ( 3 (2x) + -( 3 )x2+3) (1)
Xét hàm số f t( )=t(2+ t2+3)trên ¡ Ta có t
2
2
3
Do đó hàm số đồng biến trên ¡
Từ (1) f x(2 1) f( 3x) 2x 1 3x x 1
5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 1
5
= -
Ví dụ 9: Giải phương trình x2+15=3x- 2+ x2+8
Giải Nhận xét: x2+15> x2+ " Î8, x ¡ nên khi 3x- 2 0£ Û x£ 23thì phương trình vô nghiệm.
Viết phương trình về dạng x2+15- x2+ -8 3x+ =2 0
Xét hàm số f x( ) = x2+15- x2+ -8 3x+2 trên 2
; 3
çè ø
'
3
ç
Do đó hàm số f x( ) = x2+15- x2+ -8 3x+2 nghịch biến trên 2;
3
Trang 9Mà f 1( ) =0 nên x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 10: Giải phương trình : - 2x x2- +2x- 1=(x- 1)2 (1)
Giải
( )1 Û - 2x x2- +2x- 1=x2- 2x+ Û1 2x- 1+ -x 1 2= x x2- +x2- x ( )2
Xét hàm số f t( ) =2t +t.Khi đó phương trình (2) chính là phương trình f x( - 1) =f x( 2- x)
Ta có f t¢ = +( ) 1 2 ln2 0,t > " Ît ¡ nên hàm số f t( ) =2t +t đồng biến trên ¡ .
Do đó từ f x( - 1) =f x( 2- x) Û x- 1=x2- xÛ x= 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x=1
Ví dụ 11: Giải phương trình : x x x x
x x
2
2
1
Giải Đặt u=x2+ +x 1; v=2x2- 2x+3 (u>0;v>0) Þ v u- =x2- 3x+2
v
Xét hàm số f t( ) = +t log3t ta có f t( ) t
t
1
ln3
¢ = + > " > nên hàm số f t( ) = +t log3t đồng
biến khi t>0 Do đó từ (1) ta có
f u f v u v v u x x
x
2
é = ê
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=1;x=2
Ví dụ 12: Giải phương trình: log7x=log 23( + x) (1)
Giải Điều kiện: x>0
Đặt t=log7xÛ x=7t
Khi đó (1) t log 23( 7t) 3t 2 7t 1 2 1t 7 t
æ ö
Û = + Û = + Û = çç ÷çè ø÷+çççè ø÷÷÷ (2)
Xét hàm số ( )
t t
f t 2 1 7
æ ö
= çç ÷çè ø÷+çççè ø÷÷÷ Hàm số này là tổng của hai hàm đơn điệu giảm nên là hàm đơn điệu giảm Hơn nữa f 2( ) =1 nên (2) Û f t( ) =f( )2 Û t= Û2 x=49.
Ví dụ 13: Giải phương trình : x2 3- x2+32x3- 3x+ =1 3x+ +1 3x2+ (1)2
Giải Biến đổi (1)Û 2x3- 3x+ +1 32x3- 3x+ =1 x2+ +2 3x2+ (*)2
Xét hàm số f t( ) = +t 3t Ta có f t( ) t { }
3 2
1
3
Trang 10Do đó hàm số đồng biến
Từ (*)Û f x(2 3- 3x+ =1) f x( 2+2) Û 2x3- 3x+ =1 x2+ Û2 2x3- x2- 3x- =1 0
x
2
1 2
2
é
ê = -ê
ê ê
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 1;x 1 5
±
Ví dụ 14: Giải phương trình x3 + -2 32x2+ =1 32x2- 3x+1
Giải
Ta có x3 + -2 32x2+ =1 32x2 - 3x+ Û1 3x+ +2 3x+ =1 32x2+ +1 32x2 (*)
Xét hàm số f t( ) = 3t+ +1 3t trên ¡
Ta có ( )
t t
¡
3
3
3
-+ Suy ra hàm số đồng biến
x
1
2
é = ê ê
ê = -ê
Vậy phương trình có nghiệm là x 1;x 1
2
Ví dụ 15: Giải phương trình 36x+ =5 x3- 5x- 5
Giải
Ta có 36x+ =5 x3- 5x- 5Û 6x+ +5 36x+ =5 x3+ (*)x
Xét hàm số f t( ) =t3+t trên ¡ Ta có f t¢ =( ) 3t2+ > " Î1 0, t ¡ Suy ra f t( ) =t3+t đồng
biến trên ¡
Từ (*)Û f(36x+ =5) f x( ) Û 36x+ = Û5 x x3- 6x- 5 0= Û (x+1) (x2- x- 5)=0
x
x
1
2
é =
-ê
ê
ê =
ê
ë
Vậy phương trình có nghiệm là x 1;x 1 21
2
±
Ví dụ 16 : Giải phương trình : (8x2+2)x+(x- 6 5) - x =0
Giải
Điều kiện: x£ 5
Ta có (8x2+2)x+(x- 6 5) - x= Û0 (8x2+2)x=(6- x) 5- x
Û éê( )2x2+1 2ùúx=éê( 5- x)2+1 5ùú - x
.(*)
Trang 11Xét hàm số f t( ) =(t2+1)t trên ¡ Ta có f t¢ =( ) 3t2+ > " Î1 0, t ¡
Do đó hàm số f t( ) =(t2+1)t đồng biến trên ¡ .
x2 x
ìï £ £ ïï
Vậy nghiệm của phương trình là x=1
Ví dụ 17: : Giải phương trình : (sinx- 2)(sin2x- sinx+ =1) 3 3sin3 x- 1 1+
Giải Phương trình được viết lại (sinx- 1)3+(3sinx- 1)=(3sinx- 1)+3 3sin3 x- 1 (1) Xét hàm f t( ) t3 3t, f t( ) 3 t2 3 0, t ¡ suy ra f t( ) đồng biến trên ¡
Do đó (1) sinx1 3 3sin 3 x1 sin3x 3sinx 0 sinx 0 x k k ( ¢)
Ví dụ 18: Giải bất phương trình x+lnx£ 1
Giải Điều kiện: x>0
Xét hàm số f x( ) = +x lnx trên (0;+¥ ) Ta có f x( ) x
x
1
¢ = + > " > nên hàm số
( )
f x = +x lnx đồng biến trên (0;+¥ )
Mặt khác f 1( ) =1 Do đó bất phương trình x+lnx£ Û1 f x( ) £ f( )1 Û x£ 1
Kết hợp với điều kiện x>0 ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 0< £x 1
Ví dụ 19: Giải bất phương trình 415+ -x 42- x> (*)1
Giải Điều kiện: - 15£ x£ 2
Xét hàm số f x( ) =415+ -x 42- x trên éë-ê 15;2ùúû.
Ta có ( )
x3 x3
( )
f x = 415+ -x 42- x đồng biến trên éë-ê 15;2ùúû.
Mà f 1( ) =1 nên bất phương trình 415+ -x 42- x> Û1 f x( )>f( )1 Û x>1 Kết hợp với điều kiện - 15£ x£ 2 thì nghiệm của bất phương trình đã cho là 1< £x 2
Ví dụ 20: Giải bất phương trình: log4x<log 35( + x)
Giải Điều kiện: x>0
Đặt t=log4x ta có x=4t
Khi đó, bất phương trình: log4x<log 35( + x)
æö÷ æö÷
è ø è ø (*)
Trang 12Xét hàm số f t( ) 3 1t 2t.
æö÷ æö÷
= çç ÷+çç ÷
Hàm số này là tổng của hai hàm đơn điệu giảm nên là hàm đơn điệu giảm
Hơn nữa f 1( ) =1 nên từ (*) Û f t( ) >f( )1 Û t<1
Với t< ta có 1 log4x< Û1 0< < x 4
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 0< < x 4
Ví dụ 21: Giải bất phương trình 7x+ +7 7x- 6 2 49+ x2+7x- 42 181 14< - x (*)
Giải
Điều kiện: x 6
7
³
Bất phương trình (*) được viết lại dưới dạng
( 7x+ +7 7x- 6) (2+ 7x+ +7 7x- 6)- 182 0< Û 7x+ +7 7x- 6 13 0- <
Xét hàm số f x( ) = 7x+ +7 7x- 6 13- trên 6;
7
ê +¥ ÷÷
Do f x( )
6; 7
çè ø nên hàm số
( )
f x = 7x+ +7 7x- 6 13- đồng biến trên 6
; 7
ê +¥ ÷÷
Mà f 6( ) =0 nên 7x+ +7 7x- 6 13 0- < Û f x( ) <f( )6 Û x< 6
Kết hợp với điều kiện x 6
7
³ ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 6 x 6
7£ <
Qua các ví dụ về giải phương trình và bất phương trình trên thì ta thấy cách giải dùng tính đơn điệu của hàm số hay và tự nhiên
Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình, bất phương trình sau:
1 x+ +5 2x+ £3 9
2 x2+ + -x 1 x2- x+ =1 3 1
-3 x+ x2- x+ -1 x+ +1 x2+ + =x 1 1
4 x2- 2x+ -3 x2- 6x+11> 3- x- x- 1
5 x x+ x+12=12 5( - x+ 4- x)
6 4x- 2+44- x=2
7 2x3+3x2+6x+16- 4- x>2 3
8 x3- 4x2- 5x+ =6 37x2+9x- 4
9 36x+ =1 8x3- 4x- 1
x x
x x
x x
2
2
< -
3 Giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Trang 13Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên tập D
1 Phương trình có nghiệm
2 Bất phương trình có nghiệm
4 Bất phương trình có nghiệm
5 Bất phương trình có nghiệm đúng với
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để giải bài toán tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có
nghiệm ta làm như sau:
1 Biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng f x( ) =g m( ) ( hoặc f x( ) ³ g m f x( ) ( ); £ g m( ))
2 Tìm tập xác định D của hàm số y=f x( )
3 Lập bảng biến thiên của hàm số y=f x( ) ở trên D
4 Tìm minD f x( );maxD f x( )
5 Vận dụng các kiến thức cần nhớ bên trên suy ra giá trị m cần tìm
Lưu ý: Trong trường hợp phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa các biểu thức phức
tạp ta có thể đặt ẩn phụ:
+ Đặt t=j ( )x (j ( )x là hàm số thích hợp có mặt trong f x( ))
+ Từ điều kiện ràng buộc của x DÎ ta tìm điều kiện t Î K
+ Ta đưa PT, BPT về dạng f t( ) =h m( ) ( hoặc f t( ) ³ h m f t( ) ( ); £ h m( ))
+ Lập bảng biến thiên của hàm số y=f t( ) ở trên K
+ Từ bảng biến thiên ta suy ra kết luận của bài toán
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 Tìm m để phương trình x2+mx+ =2 2x+ có 2 nghiệm thực phân biệt1
Giải:
x2+mx+ =2 2x+1 ( )
x2 mx x 2 mx x2 x
1
2
ìï
Xét phương trình mx=3x2+4x- 1 (*)
Do x= Þ0 0.x = - , phương trình này vô nghiệm Nghĩa là không có giá trị nào của m để 1 phương trình có nghiệm x=0
x
1
¹ Þ + - = Ta xét hàm số
( )
f x x
x
1
= + - trên tập 1; \ 0{ }
2
ê- +¥ ÷÷
ë
Ta có f x( )
x2
1 ' = +3 >0 với x 1; \ 0{ }
2
" Î -ê +¥ ÷÷ø
suy ra hàm số f x( ) x
x
1
= + - đồng biến trên 1; \ 0{ }
2
ê- +¥ ÷÷
ë
x
0 0
1
®
÷
x
1
÷
( )
f x =m
xÛÎminD D f x( )£ m£ maxD f x( )
( )
f x £ m
xÎminD D f x( ) m
( )
f x £ m
xÎmaxD D f x( ) m
( )
f x ³ m
xÛÎmaxD D f x( )³ m
( )
f x ³ m
xÛÎminD D f x( ) ³ m