Học sinh thường gặp khó khăn khi ôn tập để chuẩn bị thi đại học và cao đẳng vì không biết các dạng toán cơ bản thường gặp , không biết hệ thống hóa các kiến thức đã học,để từ đó có thể vận dụng giải các đề thi.
Trang 1SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Lê Thị Mai Hà
2. Ngày tháng năm sinh: 12/ 06 / 1965
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: trường THPT Nam Hà
Mã số:
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY VÀ ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
Người thực hiện: Lê Thị Mai Hà
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ môn: toán
- Lĩnh vực khác:
Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN
Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác
Năm học: 2011- 2012
BM02-LLKHSKKN
Trang 21.Nam, nữ: Nữ
2 Địa chỉ: B2- cư xá Phúc Hải- Tân Phong- Biên Hòa
3 Điện thoại: (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: 0916 617 464
5 Chức vụ:
6 Đơn vị công tác: THPT Nam Hà
II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học sư phạm toán
- Năm nhận bằng: 1987
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán
Số năm có kinh nghiệm: 24 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
1 Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ đối với hình chóp (2006-2007)
2.Ôn tập véc tơ và các phép toán về véc tơ (2007 – 2008)
3 Ôn tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (2008 – 2009)
4 Ôn tập hàm số, phương trình, hệ phương trình (2009 – 2010)
5 Ôn tập phương trình và bất phương trình mũ, logarit (2010 – 2011)
Trang 3LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Học sinh thường gặp khó khăn khi ôn tập để chuẩn bị thi đại học và cao đẳng vì không biết các dạng toán cơ bản thường gặp , không biết hệ thống hóa các kiến thức đã học,để từ đó có thể vận dụng giải các đề thi
I TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1 Cơ sở lý luận
Hệ thống các dạng toán , giúp học sinh chủ động trong học tập, biết trao đổi kiến thức và học hỏi lẫn nhau
2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
A MỘT SỐ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN
1 Phương trình mũ-logarit
a Phương trình mũ :
4Đưa về cùng cơ số
+0<a¹1: af(x)=ag(x) (1)¹ f(x)=g(x)
+ 0<a¹1: af(x)=b ¹ b f x( )0 log b
a
ì >
ïï
íï =
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1)¹(a-1)[f(x)-g(x)]=0
4Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3), (7 4 3),… Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx}và không có hệ số tự do ta có thể chia hai vế cho
b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=(
x
a b
(hoặc t=
x
b a
4Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x)¹ f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c¹1
b P hương trình logarit :
4Đưa về cùng cơ số:
+logaf(x)=g(x)¹
x g
a x f
a 1 0
+logaf(x)= logag(x)Û
x g x f
x g x
f a
0 0
0
4Đặt ẩn phụ.
2 Bất phương trình mũ-logarit
a Bất phương trình mũ :
4 af(x)>ag(x)
¹
-
0 1
0
x x f a a
4 af(x)³ag(x)
¹
³
-
0 1
0
x x f a a
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) ¹ f(x)>g(x)
af(x)³ag(x)
¹ f(x)¹g(x)
* Nếu 0<a<1 thì: af(x)>ag(x) ¹ f(x)g(x)
af(x)¹ag(x)
¹ f(x)£g(x)
b Bất phương trình logarit :
Trang 44logaf(x)>logag(x)¹ ( ) ( )
( ) [ ( ) ( ) ]
a
ìï < ¹ ïï
ïï > >
íï
ïïî 4logaf(x)³logag(x)Û
³
-
0 1
0 ,
0 0
x g x f a
x g x
f a
Đặt biệt:
+ Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x) ¹
0
x g
x g x f
+ Nếu 0<a<1 thì: logaf(x)>logag(x) ¹
0
x f
x g x f
B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I Biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2 x - 4.2x2 -x - 2 2x 4 0 2x2 -x - 1 2 2x - 4 0
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do
đó ta phải phân tích thành tích:2x2 -x 1 2 2x 4 0
- - Đây là phương trình tích đã biết cách giải
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2
2 log x log logx 2x - 1 1
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:
log x 2 log 2x 1 1 log x 0
Đây là phương trình tích đã biết cách giải
Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau : 2
2x+ log (x - 4x+ 4) > - 2 (x+ 1)log (2 - x) Điều kiện : x < 2
Biến đổi bất phương trình về dạng tích (x- 1) 2 log (2[ - 2 - x)]> 0
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2 1x - x log (2 + x) (2 - x+ + x- 1)log (2 + x) 2 - = 0
Điều kiện: x ³ 0 Biến đổi phương trình về dạng tích
[ 1 - x log (23 + x) 2 2 log (2 - ][ x 3 + x) 1 + =] 0
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt
ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích
II Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình: 9x 2(x- 2)3x 2x- 5 0 Đặt t = 3x (*), khi đó ta có:
t x- t x- t- t - x Thay vào (*) ta tìm được x
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi D là số chính phương.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2
log x 1 x- 5 log x 1 - 2x 6 0 Đặt t = log3(x+1),
ta có: t2 x- 5t- 2x 6 0 t 2,t - 3 x x = 8 và x = 2
Trang 5Ví dụ 2: Giải phương trình: log (1 2 + x) = log 3x
Trong bai toán này không hy vọng chuyển về cùng một cơ số,mà ta tìm được sự lien hệ giữa 1+ x và x nếu đặt u = log x3
Đặt u= log ( 3x x> 0) , ta có log (1 2 + x) = Þu x= 3u và 1+ x = 2u
Ta có phương trình 1 3 1
u
æö÷ ç ÷
ç ÷+ç ÷ =
è ø çè ø (*)
Vế trái của phương trình (*) là hàm số luôn nghịch biến, nên phương trình (*) nếu
có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta thấy u = 2 là một nghiệm và là nghiệm duy nhất
Cuối cùng, ta có log 3x= Û 2 x= 9
III Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình
f(x)=k (kÎR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b)
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì "u, v Î(a,b) ta có
( )
f u f v u v
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì
phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b)
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên
khoảng (a;b) thì cÎa;b:
a b
a F b F c F
- ' Khi áp dụng giải phương trình nếu
có F(b) – F(a) = 0 thì Îc a b F c; : ' 0 F x' 0 có nghiệm thuộc (a;b)
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0
sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D
Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2.3 log 2x 3
Hướng dẫn: x 2.3 log 2x 3 2.3 log 2x - 3 x, vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 2
3
+ +
Áp dụng tính chất đơn điệu của hàm số f(t) trên tập D, ta có: f(u) = f(v) Û u = v Phương trình có nghĩa với mọi x Î ¡
Đặt u=x2+ +x 3;v=2x2+4x+ Þ5 v u- =x2+3x+2
Vậy phương trình có dạng log 3u- log 3v= -v uÛ log 3u u+ = log 3v v+
Xét hàm số f(t) = log 3t+t t, > 0
Ta có: '( ) 1 1, 0
ln3
t
= + " > nên hàm số f(t) luôn đồng biến, với mọi t > 0
Trang 6Phương trình có dạng f(u) = f(v) Û u= Ûv x2 + + =x 3 2x2 + 4x+ 5
2
x
x
é = -ê
Û + + = Û ê =-ê
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 21 2 1 0
x
x
x
£
-Điều kiện: x ¹ 0
Gọi f(x) = 21-x- 2x+1, ( )g x =2x - 1, ( )Q x =g x f x( )( )
Viết lại ( ) 2 1 2 1
2
x
f x = æöç ç ÷ çè ø÷÷- x+ Nhận thấy f(x) là hàm số nghịch biến, f(1)=0,, f(0) =
3 >0, f(2) = -2,5 < 0 suy ra x = 1 là nghiệm duy nhất của f(x) trên ¡
Tương tự g(x) = 2x – 1 là hàm đồng biến và g(0) = 0, g(1) = 1 > 0, g(-1) = 1 0
2
- <
Lập bảng xét dấu f(x),g(x), Q(x) ta có ( ) 0 0
1
x
Q x
x
<
é ê
£ Û ê ³ê
IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta th ường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác cơ số:
Ví dụ: Giải phương trình log 7x log ( 3 x 2) Đặt t = log7x x 7tKhi đó phương trình trở thành: 3
7 1 log ( 7 2) 3 7 2 1 2.
t
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu logarit phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình 4 2 2
5 6
log (x - 2x- 2) 2 log x - 2x- 3 Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có log 6t 1 log 5t
Ví dụ 2: Giải phương trình log 6
log x 3 x log x Đặt t log 6x, phương trình tương
2
t
3 Dạng 3: a log x+c b = x ( Điều kiện: b = a + c )
Ví dụ 1: Giải phương trình 4 log 7 x3 x Đặt t log7x 3 7t x 3, phương trình tương đương 4 7 3 4 3. 1 1
7 7
-
Trang 7Ví dụ 2: Giải phương trình 2log3 5 4
x
x Đặt t = x+4 phương trình tương đương
t t
1
log3
2
Ví dụ 3: Giải phương trình 4 log 3 x1 - x- 1 2 log 3x1 - x 0
4 Dạng 4: ax+b
s
s = clog dx + e + αx+βx + β, vớid ac ,e bc
Ph
ương pháp: Đặt ay b log (s dx e )rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy
phương trình hai trừ phương trình một ta được: s ax b acx s ay b acy
at b
f t s act
Ví dụ: Giải phương trình 1
7
7x- 6log (6x- 5) 1 Đặt y- 1 log 6 7 x- 5 Khi đó chuyển
1 7
7 6 1 1 7 6 5
7 6 7 6
1 log 6 5 7 6 5
y
- -
- -
Xét hàm số
7t 1 6
suy ra x=y, Khi đó: 7x- 1 6x 5 0
- Xét hàm số 7 1 6 5
x
dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x
= 2
5 Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình 18 2 1 181
2 1 2 2 2 2 2
x
x- x x- -x
HD: Viết phương trình dưới dạng 18 1 1 1 181
2x- 1 2 -x 2 2x- 2 -x 2
2x 1, 2 x 1 , 0
u - v - u v
Nhận xét: u.v = u + v Từ đó ta có hệ:
8 1 18
u v u v
u v u v
6 Dạng 6: Đặt ẩn phụ và sử dụng tính chất của hàm số
Ví dụ 1: Giải phương trình : 3.25x- 2 + (3x- 10).5x- 2 + - 3 x= 0
Phương trình này có ẩn x ở trên mũ và cũng là một số hạng của tổng Mặt khác
25x- = 5x- nên ta đặt ẩn phụ u= 5x- 2( nhưng không biểu thị x qua u ) và coi đây
là phương trình bậc hai của u, x là tham số
Giải: Đặt u= 5 ,x- 2u> 0 Ta có phương trình :
( ) 2 2
3u + (3x- 10)u+ - 3 x= 0(*), D = 3x- 8 ³ 0
( )
1
3
*
3
u
é =
ê
ê
Û
ê =
-ê
+ 2
5
1
3
x- = Û x=
Trang 8-+ 5x- 2 = - 3 x(**) Ta nhận thấy u = 5x-2là hàm số luôn đồng biến trên ¡ , cón hàm
số v = 3 – x là hàm số luôn nghịch biến trên ¡ , nên phương trình (**) có nghiện x
= 2 là nghiệm duy nhất
Ví dụ 2: Giải phương trình : 2x- 1 - 2x2-x = (x- 1 ) 2
Với kinh nghiệm giải các phương trình không mẫu mực, ta có thể xét hàm số đơn điệu như sau
Biến đổi phương trình thành 2x- 1 + -x 1 2 = x2 -x +x2 - x( )*
Đặt f t( ) = 2t +t t, Î ¡ ta có f t¢ = ( ) 2 ln2 1 0,t + > " Î ¡t nên hàm số đồng biến trên
¡
Phương trình (*) có dạng f x( - 1) =f x( 2 - x) Û x- 1 =x2 - xÛ x= 1
BÀI TẬP
I Giải các phương trình mũ
1 52x-1+5x+1 - 250 = 0 x =2
2 9x + 6x = 2.4x x =0
3 5 4 - 6 25 3 - 4
x
x x =7/5
4 3 4 x - 4 3 2 x 3 0 x =0 và x=
4
1
5 4 x x x4x x =1 và x=3 256
6 2 x 1 2 6 4 x 1 x =
2 1
7 ( 5 - 2 6 )x ( 5 2 6 )x 10 x =2 và x=-2
8 ( 5 21 ) 7 ( 5 1 ) 2 3
- x x x x =0 và x=log 7
2 21 5
9 3x 5x 6x 2 x=0 và x=1
10 2x- 1 - 2x2-x (x- 1 ) 2 x=1
11 5.32 1 7.3 1 1 6.3 9 1 0
-
5
3 log3 ;x=- log35
12 ( 1 ) 2 4 3 1
x - x
x xÎ0 ; 1 ; 3
13 2 1 3 3 2 4 1 2
-
-x y x y x=0,5 và y=0,5
14 3 2x 2 3x4 - 6x2 7 1 2.3 x 1 x=-1
II Giải các phương trình logarit
Trang 91 xlog 2 9 x2 3 log 2x xlog 2 3
- x=2
2 log2( 1 x) log3x x=9
3 log ( 1) log 5 log ( 2) 2log ( 2)
25 1 5
5 1
2
5 x x - x- x= 21/2
4 ( 2 ) log 2 ( 1 ) 4 ( 1 ) log3( 1 ) 16 0
81
80
-
5
2
1 ) 2
1 3
(
x x
2
5
3
- và x =
2
29
9
-
- 2 ) 3
9
(
log2 x=0 và x =3
7 log2x + 2log7x = 2 + log2xlog7x x=7 và x = 4
8 log 2 ( 2 ) log 2 2
x x=2
9 log (4 4) log (2 1 3)
2 1
2 x x- x - x=2
10 logxlog3( 9x - 6 ) 1 xÎ
11 log ( 9 1 4 3 2 ) 3 1
3 x - x - x x=0 và x=log3( 3 15 ) - 1
2
2 6 log 4 log
log
4 x- x x x= 1/4
8 2
2
log x - x x x=2 và x=2 - 24
3
2
log x x - x x- x x=1
15 x log2( 9 - 2x) 3 x=0 và x=3
16 ( 1 ) log 3 log ( 3 1 3 ) log5( 11 3 9 )
5
III Giải bất phương trình mũ Bài 1:
1 22x-1 + 22x-3 - 22x-5 >27-x + 25-x - 23-x x>8/3
2 31 3 31 84
x
x 0<x<1
1
)
2
5
x
x x ³1
1 2
1 2
2 1
-
-x
5 ( 2 1 ) 2 2 1
- x x x
6 x2 2x 1 x2 2x 1 x2 2x
15 34 9
25 - - -
³
7 x x2-x-2 1
8 4 2 3 3 1 2 2 3 2 6
9 2 5x 3x2 2x 2x 3x 2 5x 3x2 4x2 3x
-
3
1 ( 3 )
3
1
(
1 1 2
x
x
11 x xx x
3 2 41
4
Bài 2: Giải bất phương trình sau: 21 1 2 0
2 1
x
-
-
Bài 3: Cho bất phương trình 4x-1 - m 2 x 1 0
Trang 10a Giải bất phương trình khi m=16
9 b Định m để bất phương trình thỏa
x R
" Î
IV Giải bất phương trình logarit Bài 1:
8
log x - 4x 3 1 2 log 3x - log 3x- 3 0
3
log log x - 5 0
5
log x - 6x 8 2 log x- 4 0
5 1
3
5
log log 3
2 x
x ³ 6 logx log 3 9 x - 91
7 log 2.logx 2x2.log 4 2 x 1 8 1
3
4 6 log x 0
x
³
9 log 2x 3³ 1 log 2x- 1 10 8 1
8
2
2 log ( 2) log ( 3)
3
x- x-
Bài 2: log (2 1)log (2 1 2) 2
2 1
2 x - x - - xÎ- 2 log25 ; log23
Bài 3: log log 3 5(log4 2 3)
2 2 1 2
2x x - x - x 8 ; 16
2
1
;
0
Bài4: logx2x logx2x3 x
2
1
; 0 3
) 5 ( log
) 35 (
³
-x
x
a
a
vì: 0<a 1 x Î 2 ; 3
Bài 6: log log ( 1 ) log log ( 2 1 )
5 1 3 2
5 2
1 x x x - x x
-Î
5
12
;
Bài7: log2xlog32x + log3xlog23x ³o x
6
6
;
II HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Học sinh ôn tập tốt hơn, vận dụng để suy luận tốt hơn, sẽ có kinh nghiệm để giải các đề thi tuyển sinh
III ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
IV TÀI LIỆU THAM KHẢO
NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên)
Trang 11SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị :
TrưỜNG THPT Nam Hà
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Biên Hòa ngày 31 tháng 12 năm 2011
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2011 -2012
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm: KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY VÀ ÔN TẬP
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
Họ và tên tác giả: Lê Thị Mai Hà
Chứcvụ: Giáo viên
BM04-NXĐGSKKN
Trang 12Đơnvị: Trường THPT Nam Hà
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực
khác)
- Quản lý giáo dục - Phươngphápdạy học bộ môn:
- Phương pháp giáo dục - Lĩnhvựckhác:
Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị
Trong Ngành
1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)
- Có giải pháp hoàn toàn mới
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có
2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả
3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt
Đạt
Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)