dsp hệ rời rạc tuyến tính bấc biến trong miền tần số

Hej ω là hàm phức của ω với chu kỳ 2π và có thể được biểu diễn bằng phần thực và phần ảo hoặc theo độ lớn và pha... Từ công thức tổng chập biểu diễn cho hệ rời rạc tuyến tính bất biến th

HỆ RỜI RẠC TUYẾN TÍNH BẤT

BIẾN TRONG MIỀN TẦN SỐ

Nếu h[n] là đáp ứng xung của hệ rời rạc LTI trong miền thời gian thì H(ej ω) là đáp ứng tần số bằng cách lấy biến đổi Furie rời rạc của h[n]:

n

) ( )

( e jω h n e jωH

R.4.1

R.4.2 H(ej ω) là hàm phức của ω với chu kỳ 2π và có thể được biểu diễn bằng phần thực và phần ảo hoặc theo độ lớn và pha

Do đó:

) (

im

re ( ) H ( ) H ( ) e

H )

r

)

θ = a : đáp ứng pha

) (e jω

H : đáp ứng biên độ của hệ LTI

R.4.3 Hàm tăng ích G(ω) của hệ LTI được định nghĩa như sau:

A( ω ) = -G( ω ) : hệ số suy hao của hệ LTI

) (

log 20

)

R.4.4 Đối với hệ thống rời rạc được đặc trưng bởi đáp ứng xung thực h[n], hàm biên độ là một hàm chẵn và pha là hàm

lẻ theo ω, nghĩa là:

) (

) (

) (

)

(

ω θ

ω θ

ω ω

Tương tự, ( jω ), H im ( jω )

H tương ứng là hàm chẵn và hàm lẻ

theo ω

R.4.6 Thời gian truyền nhóm của hệ rời rạc tuyến tính bất

biến theo thời gian được định nghĩa như sau:

ω

ω

θ ω

τ

d

d c ( ) )

Trong đó: θc(ω) là hàm trãi pha Nếu pha được tính bằng

radian thì trễ nhóm được tính bằng s

biến hệ số thực có đáp ứng tần số H(e j ω) và tín hiệu vào

x[n] = A cos (ω0n + φ) , với A là hệ số thực được cho như sau:

) ) ( ( cos ) (

]

y

R.4.8 Từ công thức tổng chập biểu diễn cho hệ rời rạc tuyến tính bất biến theo thời gian, ta suy ra đáp ứng tần số của hệ rời rạc LTI được tính bằng tỉ số giữa Y(ej ω) và X(ej ω)

) (

)

( )

( ω jωω

j j

e X

e

Y e

Trong đó : Y(ej ω) là biến đổi Furie của tín hiệu ra y[n]

X(ej ω) là biến đổi Furie của tín hiệu vào x[n]

R.4.9 Đối với hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian được đặc trưng bởi phương trình sai phân hệ số hằng thì đáp ứng tần số H(ej ω) được biểu diễn dưới dạng:

M

k

k

j k

j

e d

e

p e

R.4.10.Biến đổi z, H(z) của chuỗi đáp ứng xung {h[n] }được gọi là hàm truyền đạt hoặc hàm hệ thống Từ công thức tổng chập biểu diễn cho hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian ta suy ra hàm truyền H(z) chính là tỉ số giữa Y(z) (biến đổi z của đầu ra y[n] ) và X(z), (biến đổi z của tín hiệu vào x[n])

) (

)

( )

(

z X

z

Y z

R.4.11 Nếu miền hội tụ (ROC) của H(z) có chứa đường tròn đơn vị thì đáp ứng tần số của hệ rời rạc LTI được tính như sau:

ω

ω

j

e z

j H z e

ω

ω ω

ω ω

ω

j

e z

j j

j j

e

H ( ) 2 = ( ) * ( ) = ( ) ( − ) = ( ) ( −1) =

R.4.13 Một hệ rời rạc LTI được đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng thì hàm truyền H(z) được biểu diễn:

N N

M M z d z

d d

z p z

p

p z

X

z

Y z

−

−

+ +

+

+ +

)

( )

1 0

1 1 0

) 1

(

) 1

( )

(

1 1

0

1 1

−

Π

=

z d

z

p z

H

k

N k

k

M k

λε

Trong đó: ε1, ε2, …., εM là các điểm không

λ1, λ2, …., λN là các điểm cực

Nếu N > M thì thêm (N-M) điểm không tại z = 0

Nếu N < M thì thêm (M-N) điểm cực tại z = 0

R.4.15 Tất cả các điểm cực của hàm truyền nhân quả ổn định đều phải nằm hoàn toàn bên trong đường tròn đơn vị.

trong dải thông , bằng 0 trong dải chắn và có pha 0 bất kỳ Đáp ứng tần số của bốn bộ lọc số pha không lý tưởng với đáp ứng xung hệ số thực được biểu diễn như hình vẽ

R.4.17 Đáp ứng xung hLP[n] của bộ lọc thông thấp lý tưởng có dạng:

[

n

n n

1)

H LP

αα

Trong đó: α<1 thì hệ ổn định Tần số ωc gọi là tần số cắt 3dB và liên hệ với tham số α qua công thức:

c

ω

Hàm truyền của bộ lọc thông cao bậc 1 có đáp ứng xung dài

1 )

H HP

α α

Hệ thống sẽ ổn định khi α<1

R.4.19

Đáp ứng biên độ sẽ bằng 0 tại ω = 0 và ω = π Giá trị cực đại bằng 1 ứng với ω = ω0, ω0 được gọi là tần số giữa của bộ lọc thông dải Khi đó:

) (

Băng thông 3-dB (∆ω3dB) là độ sai khác giữa hai tần số cắt 3dB

và được tính như sau:

2 α ω

-2

z

z ) (1

1

1

2

1 )

(

α α

β

α

+ +

R.4.21 Hàm truyền của bộ lọc chắn dải bậc hai có đáp ứng xung dài vô hạn được tính bằng công thức:

2 1

2 -1

)1

(1

z2

1

2

1)

++

z z

H BS

αα

β

βα

Đáp ứng biên độ bằng 1 tại ω = 0 ,π và bằng 0 tại ω = ω0, ω0

đượcgọi là tần số suy giảm đỉnh của bộ lọc

ω0 và ∆ω3dB cũng được tính như trên

R.4.22.Với K bộ lọc thông thấp bậc 1 mắc nối tiếp thì hàm truyền của hệ thống sẽ là:

K LP

z z

1.2

1)

(

αα

Tham số α và K liên hệ với tần số cắt 3dB qua biểu thức

c

2 c

c

cos1

2sin

cos)1

Trong đó B =2(K−1)/ K

x[n] H(z) v[n] u[n] H(z)

w[n]

u[n] = v[-n], y[n] = w[-n]

với chiều dài hữu hạn không theo thời gian thực một cách dễ dàng nếu điều kiện nhân quả được relaxed Trong sơ đồ sau, tín hiệu vào hữu hạn được đưa qua bộ lọc nhân quả hệ số thực có hàm truyền là H(z), tín hiệu ra sau đó được lấy nghịch đảo và được đưa qua bộ lọc thêm một lần nữa Quá trình này được mô

tả như sau:

R.4.24 Chúng ta có thể thiết kế hàm truyền với đáp ứng xung

hữu hạn (FIR) và đáp ứng pha tuyến tính Nếu hàm truyền có

đáp ứng xung đối xứng thì:

N n

0 ,

] [

] [ n = −h N − n ≤ ≤

h

N : bậc của hàm truyền và h[n] có chiều dài là N + 1 Có 4 loại hàm truyền:

Loại 1: Đáp ứng xung đối xứng với chiều dài lẻ

Loại 2: Đáp ứng xung đối xứng với chiều dài chẵn

Loại 3: Đáp ứng xung phản đối xứng với chiều dài lẻ

R.4.25 Hàm truyền FIR loại 2 có một không tại z = -1, do đó không thể dùng để thiết kế bộ lọc thông cao Hàm truyền FIR loại 3 có không tại z = 1 và z = -1 nên cũng không thể dùng để thiết kế bộ lọc thông thấp, thông cao và chắn dải Bộ lọc FIR loại 4 cũng không thể dùng để thiết kế lọc thông thấp do xuất hiện không tại z = 1 Chỉ có bộ lọc FIR loại 1 mới được sử dụng để thiết kế các loại bộ lọc.

R.4.26. Hàm truyền H(z) hệ số thực gọi là nhân quả và ổn định nếu:

ω

ω ) ≤ 1, ∀

(e j H

tần số, nghĩa là:

ω

ω ) = 1 , ∀

(e j 2A

thì A(z) được gọi là hàm truyền thông tất Khi đó hàm truyền thông tất IIR hệ số thực bậc M nhân quả có dạng:

) (

)

( )

(

1

z D

z D

z z

R.4.28 Hàm truyền nhân quả và ổn định với tất cả các điểm không nằm bên trong hoặc trên đường tròn đơn vị gọi là hàm truyền pha cực tiểu Ngược lại hàm truyền nhân quả và ổn định với tất cả các điểm không nằm ngoài đường tròn đơn vị gọi là hàm truyền pha cực đại.

được gọi là bù trễ lẫn nhau nếu tổng các hàm truyền của chúng bằng một bội số nguyên lần của trễ đơn vị, nghĩa là:

0

, )

Hàm truyền bù trễ H1(z) và hàm truyền FIR pha tuyến tính loại 1 H0(z) có chiều dài L lẻ liên hệ với nhau qua biểu thức:

)()

(

1

1

z A z

H M

M

j

e H

R.4.32 Để Am(z) là hàm thông tất hệ số thực bậc m thì:

m m

m m

m m

m m

m m

z d z

d z

d z

d

z z

d z

d z

d

d z

+ +

+

+ +

+ +

+

1

1 1

1 1

) 1 ( 1

2 2

1 1

1

) (

Suy ra hàm thông tất hệ số thực bậc m-1 có dạng:

) 1 ( '

1

) 2 ( '

2

1 ' 1

) 1 ( )

2 ( ' 1

1 '

2

' 1 - m 1

1

d

) ( 1

) (

+ +

+ +

m m

m m

m

m m

m

m m

z d

z d

z d

z z

d z

d

z A

k

k z

A z

z A

Trong đó:

1-m1,2, ,i

,

i i

d

d d d

d

Đặt km = Am(∞) Để Am(z) ổn định thì km2 < 1 và Am-1(z) là hàm thông tất ổn định Để kiểm tra tính ổn định của Am-1(z) ,

ta tạo hàm thông tất bậc m-2 và cứ tiếp tục ta sẽ có một tập hàm thông tất bậc giảm dần:

Am(z), Am-1(z),…, A2(z), A1(z), A0(z) = 1

Với các hệ số : km, km-1,……, k2 , k1

Hàm thông tất Am(z) ổn định khi và chỉ khi kl2 < 1,

với l = m, m-l,… ,l