SKKN áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin và cosin để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Trong năm học 2011 – 2012 việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm dành thời gian ít hơn, nhưng để giúp cácc em học sinh thích tìm tòi , khám phá trong học tập và làm nền tảng trong thi cao đẳng và Đại học cũng như nâng cao trình độ vận dụng kiến trhức trong kiểm tra đánh giá cuối chương và thi học kỳ I của học sinh khối 11 trung học phổ thông Chính vì vậy bản thân chọn đề tài “áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin và cosin để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số” Để trao đổi cùng các đồng nghiệp nhằm cũng cố kiến thức cơ bản phát huy tư duy và sáng tạo của học sinh trung học phổ thông, chắc chắn trong đề tài còn có thiếu sót rất mong sự trao đổi góp ý của đồng nghiệp.

SKKN:

ÁP DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN

NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong năm học 2011 – 2012 việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm dành thời gian ít hơn, nhưng để giúp cácc em học sinh thích tìm tòi , khám phá trong học tập và làm nền tảng trong thi cao đẳng và Đại học cũng như nâng cao trình độ vận dụng kiến trhức trong kiểm tra đánh giá cuối chương và thi học kỳ I của học sinh khối 11 trung học phổ thông

Chính vì vậy bản thân chọn đề tài “áp dụng giải phương trình bậc nhất theo sin

và cosin để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số” Để trao đổi cùng các đồng nghiệp nhằm cũng cố kiến thức cơ bản phát huy tư duy và sáng tạo của học sinh trung học phổ thông, chắc chắn trong đề tài còn có thiếu sót rất mong

sự trao đổi góp ý của đồng nghiệp.

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

A Các lý thuyết liên quan

+ Dấu nhị thức bậc nhất: f(x)= ax+b ( a0))

a

f(x) Trái dấu với hệ số a 0) Cùng dấu với hệ số a

+ Dấu tak thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c ( a0)), với >0) và x1 < x2

f(x) Cùng dấu với

hệ số a

0) Trái dấu với 0)

hệ số a

Cùng dấu với

hệ số a

+ Giải bất phương trình:

2

f (x) 1   f (x) 1   (f (x) 1)(f (x) 1) 0)   

Xét dấu vế trái (dùng dấu nhị thức và tam thức ) suy ra nghiệm của bất phương trình

+ Lướng giác:

Cos đối: cos(-)=cos(), sin(-)=-sin(),

Sin bù: sin( -)=sin), cos(-)=- cos(),

Phụ chéo: π

sin( α) cos α

2   ,

π cos( α) sin α

2   Công thức cộng:

sin a cos b cos a sin b sin(a b) cos a cos b sin a sin b cos(a b)

Công thức nhân đôi:

cos 2α cos α sin α 2cos α 1 1 2sin α

sin2α=2sinα cos α

Công thức hạ bậc:

Điều kiện để phương trình sinu=a có nghiệm lả a 1 

B Điều kiện để phương trình có nghiệm

asinu+bcosu=c (1) ,(a,b,c 0)) Chia hai vế củ phương trình cho a 2  b , 2 đặt 2a 2 cos α, 2b 2 sin α

a  b  a  b 

Ta có (1) sin u cos α cos u sin α 2c 2

a b



2 2

c sin(u α)

a b

 (2)

Để phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi : 2 2 2

2 2

c

a b    

C Áp dụng:

Phương trình asinu+bcosu=c có nghiệm là a2 b2 c2 để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y 3 sin x cos x 1 

Ta có y  3 sin x cos x 1   3 sin x cos x  y 1

Để phương trình có nghiệm    3 2  12   y 1  2

2

3 y 1

   

Kết luận; Giá trị lớn nhất của hàm số là 1, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -3

Ví dụ 2:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

y 2sin x 3sin x cos x 3cos x  

Ta có : y 2sin x 3sin x cos x 3cos x 2   2

2(1 cos 2x) 3sìnx 3(1 cos 2x) y

2y 3sin2x-5cos2x-1 3sin2x+5cos2x=-2y-1 (*)



Để phương trình (*) có nghiệm  3 2  5 2   ( 2y 1)  2

2

y

2

  , giá trị nhỏ nhất của

hàm số là 1 34

2

 

Ví dụ 3:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

sin x 2cos x

2 sin x







Ta có :

sin x 2cos x y

2 sin x y(2 sin x) sin x 2cos x (1 y)sin x 2cos x 2y







Để phương trình có nghiệm  1 y 2 22 2y2

2

3y 2y 5 0) 5

y 1 3



Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là 1, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3

5



Ví dụ 4:

Cho phương trình sinx+(m+2)cosx=3m+1

Xác định m để phương trình có nghiệm

để phương trình có nghiệm  12 m 2 2 3m 1 2

2

4m m 2 0)

y

thì phương trình đã cho có nghiệm

Ví dụ 5:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2sin x 1

2 cos x







Ta có :

2

2sin x 1

y

2 cos x

2sin x y cos x 2y 1

2y 1 sin(x α)















Để phương trình có nghiệm

2

2y 1

1





y

Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là: 2 13

3

 , giá trị nhỏ nhất của hàm

số là: 2 13

3



Ví dụ 6:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

sin 2x 1

2 cos x 3







Ta có :

2

2

sin 2x 1

y

2 cos x 3

sin2x-ycos2x=4y-1

sin2x- cos 2x

sin2x.cosα-cos2xsinα= , cos α ,sin α

4y-1 sin(2x α)

y 1











Để phương trình có nghiệm

2

1 0) y

15

y 1



Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số là: 8

15 , giá trị nhỏ nhất của hàm số là: 0)

D Một số bài tập.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau:

1 y sin x 2 cos x 3   

2 y sin x 2 cos x sin2x-1  2  2 

3 sin x cos x 2 y

2 cos x 3





4

2

2sin x 3 y

2sin2x+3cos 2x 6







y

4 cos x 3







y sin x-3cos x 7







7

2

2sin x sin2x+1 y

3 cos 2x







8

sin x cos x y

2s in2x 3cos 2x 7





E Kết luận:

Việc áp dụng giải phương trình bậc nhất asinu+bcosu=c để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số tuy áp dụng không nhiều nhưng qua thực tế đa số học sinh khá , khá giỏi rất hứng thú học tập tìm tòi và áp dụng vào trong học tập.các em đã phát huy được tính tư duy sáng tạo trong học tập, kích thích các

em tìm tòi sáng tạo để tự nâng cao hiểu biết của mình

Tuy vậy cũng có những học sinh yếu, trung bình chưa áp dụng được nhiều trong học tập Với một vài suy nghĩ của bản thân rất mong sự giúp đỡ của các đồng nghiệp để trao đổi góp ý nhằm không ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán trên tỉnh nhà Rất chân thành cám ơn