Nghiệm lặp của phương trình phi tuyến với toán tử Accretive mạnh trong không gian Banach

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ DƯƠNG VĂN SÁNG NGHIỆM LẶP CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI TOÁN TỬ ACCRETIVE

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - -

DƯƠNG VĂN SÁNG

NGHIỆM LẶP CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI TOÁN TỬ ACCRETIVE MẠNH TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Thị ThuThủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm

và nhiệt tình của Cô trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn.Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo sư,Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin thuộcViện Hàn lâm và Khoa học Việt Nam, các Thầy Cô trong Đại học TháiNguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việcnghiên cứu và công tác của bản thân Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày

tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoahọc và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đạihọc Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian họctập tại trường

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vịcông tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhấtcho tôi khi học tập và nghiên cứu

Tác giảDương Văn Sáng

Mục lục

1.1 Toán tử accretive, toán tử không giãn 5

1.2 Bài toán điểm bất động 8

1.3 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động 9

1.4 Phương trình toán tử accretive 16

2 Phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến với toán tử accretive mạnh 18 2.1 Sự hội tụ trong trường hợp toán tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz 18

2.2 Sự hội tụ trong trường hợp toán tử accretive mạnh và liên tục đều 24

Bảng ký hiệu

X Không gian Banach thực

X∗ Không gian liên hợp của X

A∗ Toán tử liên hợp của toán tử A

D(A) Miền xác định của toán tử A

xn → x Dãy {xn} hội tụ mạnh tới x

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của toánhọc như bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán chấp nhận lồi,bài toán cân bằng

Cho X là một không gian Banach thực, C là một tập con của X,

phương trình T x = x là một trong những hướng nghiên cứu quan trọngđược nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm Điểm x∗ thỏamãn T x∗ = x∗ còn được gọi là điểm bất động của toán tử T

Trong nhiều trường hợp quan trọng, việc tìm nghiệm của một phươngtrình toán tử được đưa về bài toán tìm điểm bất động của một toán tửthích hợp Chẳng hạn nghiệm của phương trình toán tử Ax = f, ở đây

động của toán tử S xác định bởi Sx = Ax + x − f với x ∈ X

Nếu T là toán tử không giãn thì A := I − T là toán tử accretive, ở đây

I là toán tử đơn vị trong X Do đó bài toán tìm điểm bất động của toán

tử không giãn được đưa về bài toán giải phương trình toán tử accretive.Mục đích của đề tài luận văn này nhằm nghiên cứu phương pháp lặpMann và phương pháp lặp Ishikawa giải phương trình toán tử accretivetrong không gian Banach

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 giớithiệu một số kiến thức cơ bản về toán tử accretive đơn trị, toán tử khônggiãn, bài toán điểm bất động và phương trình toán tử accretive Phần cuốicủa chương giới thiệu một số dãy lặp cổ điển xấp xỉ điểm bất động, đó làdãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa Chúng tôi cũng giới thiệu lịch sử củacác dãy lặp này trên cơ sở các mở rộng của Deiling, Chidume, Liu, Zhou,Osilike và Ding (xem [6], [2], [8], [12], [10], [4], [5])

Trong chương 2, chúng tôi trình bày một số phương pháp lặp giải phươngtrình phi tuyến với toán tử accretive mạnh trong không gian Banach Sựhội tụ của các dãy lặp kiểu Mann và Ishikawa được chứng minh chi tiết

trong các trường hợp toán tử accretive mạnh đơn trị, liên tục Lipschiz vàliên tục đều.

Đóng góp chính của chúng tôi trong luận văn là đọc, dịch, tổng hợp kiếnthức trong các tài liệu [1]-[12] Toàn bộ phần chứng minh các định lý trongchương 2 được chúng tôi làm rõ từ các kết quả nghiên cứu đã có trong [1],

và không được chứng minh tường minh trong tài liệu này

Cho X là một không gian Banach thực, X∗ là không gian liên hợp của

X và hx∗, xi là ký hiệu giá trị của x∗ ∈ X∗ tại x ∈ X Ký hiệu 2X là một

họ các tập con khác rỗng của X Cho A là một toán tử với miền xác định

là D(A) và miền giá trị là R(A)

Định nghĩa 1.1 Toán tử J : X → 2X∗ (nói chung đa trị) được gọi làtoán tử đối ngẫu chuẩn tắc của X nếu

Trong trường hợp đơn trị ta ký hiệu là j Tính đơn trị của toán tử đốingẫu chuẩn tắc của không gian Banach X được cho trong mệnh đề sauđây

Mệnh đề 1.2 Giả sử X là một không gian Banach Khi đó,

ii) J là toán tử đơn trị khi X∗ là không gian lồi chặt Trong trường hợp

X là không gian Hilbert thì J ≡ I-toán tử đơn vị trong X

Một bất đẳng thức đơn giản và thông dụng thường được dùng để thiếtlập mối quan hệ giữa toán tử đối ngẫu chuẩn tắc J và chuẩn k.k trongkhông gian Banach là bất đẳng thức Petryshyn [11]

Định nghĩa 1.3 Cho X là một không gian Banach thực, J : X → 2X∗

là toán tử đối ngẫu của X Khi đó

với mọi x, y ∈ X và j(x + y) ∈ J (x + y)

Bất đẳng thức (1.1) được gọi là bất đẳng thức Petryshyn

Định nghĩa 1.4 Toán tử đơn trị A : X → X được gọi là

i) accretive nếu

hAx − Ay, J(x − y)i ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);

ii) accretive chặt nếu dấu bằng ở bất đẳng thức trên chỉ đạt được khi

x = y;

iii) accretive đều nếu tồn tại một hàm tăngγ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0, sao cho

hAx − Ay, J(x − y)i ≥ γ(kx − yk), ∀x, y ∈ D(A);

iv) k-accretive mạnh nếu γ(t) = kt2, k > 0 là một hằng số;

v) m-accretive nếu R(I + λA) = X, ∀λ > 0

Định nghĩa 1.5 Toán tử T : X → X được gọi là liên tục Lipschitz nếutồn tại một hằng số L > 0 thỏa mãn

Số L được gọi là hằng số Lipschitz của T.

giãn, nghĩa là

Tính chất accretive và không giãn của toán tử T có mối liên hệ sau đây.Cho X là một không gian Banach và C là một tập con của X Khi đó

tử accretive Hơn nữa, nếu C trùng với X thì A := I − T là một toán tử

m-accretive

Định nghĩa 1.6 Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một toán tử

(i) Toán tử T được gọi là giả co nếu với mỗi x, y ∈ D(T ), tồn tại

ở đây I là toán tử đồng nhất trong X

Chú ý rằng, bất đẳng thức (1.6) được viết dưới dạng

Trong không gian Hilbert, bất đẳng thức (1.6) và (1.7) tương đương và

với mọi x, y ∈ D(T ) và λ = 1 − k < 1 Khi λ = 0 thì bất đẳng thức (1.8)

có dạng

1.2 Bài toán điểm bất động

Định nghĩa 1.7 Phần tử x ∈ D(T ) trong không gian Banach X đượcgọi là một điểm bất động của toán tử T nếu x = T x

Ký hiệu tập các điểm bất động của toán tử T là F ix(T ) Chú ý rằngtập điểm bất động của toán tử không giãn T trong không gian Banachlồi chặt X nếu khác rỗng là một tập lồi và đóng Bài toán điểm bất độngđược phát biểu như sau: Cho C là một tập con lồi của không gian Banach

Hãy tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho T x∗ = x∗ (1.10)Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.10) tương đương vớiviệc giải phương trình toán tử

Định lý 1.8 (Định lý điểm bất động Banach) Cho (X, d) là một khônggian metric đầy đủ và T : X → X là một toán tử co Khi đó T có mộtđiểm bất động duy nhất trong X và với mỗi x0 ∈ X mọi dãy lặp {Tnx0}

đều hội tụ đến điểm bất động này

Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của Banachvào năm 1992, nó được sử dụng để thiết lập sự tồn tại nghiệm của phươngtrình tích phân Kể từ đó, vì sự đơn giản và hữu dụng, nó đã trở thànhmột công cụ rất phổ biến trong việc giải quyết các vấn đề tồn tại trongnhiều ngành của toán học giải tích Chú ý rằng, nếu một toán tử không

{xn} được xác định bởi xn+1 = T xn với n = 0, 1, 2, có thể không hội tụtới điểm bất động của T Ví dụ, cho T : R →R xác định bởi T x = 1 − x

Định lý 1.9 Cho T là một toán tử liên tục từ tập compact [a; b] vào chính

nó Khi đó dãy {xn} trong [a; b] được xác định bởi:

hội tụ tới một điểm bất động của T

Hầu hết các nghiên cứu về phương pháp lặp Mann với dãy {xn} được

Định lý 1.10 Cho C là tập con compact lồi của không gian Hilbert H và

Năm 1974, Deimling [6] đã chứng minh định lý điểm bất động cho toán

tử giả co chặt (giả co mạnh) liên tục trong không gian Banach

Định lý 1.11 Cho X là không gian Banach, K là tập con lồi đóng khácrỗng của X và T : K → K là toán tử giả co chặt (giả co mạnh) Khi đó

T có duy nhất điểm bất động trong K

Năm 1987, Chidume [2] đê chứng minh định lý về sự hội tụ mạnh củadêy lặp Mann xâc định bởi (1.13) trong Lp (p ≥ 2) như sau:

Định lý 1.12 Cho X = Lp, p ≥ 2 vă T : X → X lă toân tử accretivemạnh vă liín tục Lipschitz Với f ∈ X cho trước, toân tử S : X → X xâcđịnh bởi Sx = f − T x + x Khi đó dêy lặp Mann {xn} xâc định bởi (1.13)hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của phương trình T x = f

Định lý 1.13 Cho X = Lp, p ≥ 2 vă C lă tập con lồi đóng bị chặn khâcrỗng của X Nếu T : C → C lă toân tử giả co mạnh vă liín tục Lipschitzthì dêy lặp Mann {xn} xâc định bởi (1.13) hội tụ mạnh tới điểm bất độngduy nhất của T

Cũng tại thời điểm năy, Chidume đặt ra câc cđu hỏi mở dưới đđy:Cđu hỏi mở (I): Định lý 1.12 vă 1.13 có mở rộng được cho không gian

Lp với 1 < p < 2 hay không?

Cđu hỏi mở (II): Dêy lặp Ishikawa {xn} xâc định bởi (1.14) có thể mởrộng cho Định lý 1.12 vă 1.13 không?

Năm 1995, Liu [8] đê giới thiệu dêy lặp Ishikawa vă Mann với sai số vă

đê chứng minh định lý hội tụ mạnh trong không gian Banach trơn đều vẵng cũng tìm ra được cđu trả lời cho cđu hỏi mở (I) vă (II)

Định nghĩa 1.14 Giả sử X lă một không gian tuyến tính định chuẩnthực với số chiều lớn hơn hoặc bằng 2, vă x, y ∈ X Mô đun trơn của X

Ta có định nghĩa về không gian trơn đều như sau

Định nghĩa 1.15 Một không gian Banach X được gọi lă trơn đều nếu

Định lý 1.16 Cho X là không gian Banach trơn đều và T : X → X

là toán tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz với hằng số k ∈ (0; 1) và

{un} và {vn} là hai dãy khả tích trong X và {αn}, {βn} là hai số thựctrong [0; 1] thỏa mãn:

Khi đó, dãy lặp {xn} xác định bởi:

(

hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T

Chidume cũng đưa ra câu hỏi mở dưới đây:

Câu hỏi mở (III): Định lý 1.17 có phát triển được cho dãy lặp Ishikawa

{xn} xác định bởi (1.14) hay không?

Năm 1997, Zhou [12] đã đưa ra một câu trả lời mang tính kết luận chocâu hỏi mở (III) bằng việc chứng minh kết quả dưới đây

Định lý 1.18 Cho X là không gian Banach thực trơn đều, K là tập con

bị chặn và lồi đóng khác rỗng của X và T : K → K là toán tử giả comạnh và liên tục Giả sử {αn} và {βn} là dãy thực trong [0; 1] thỏa mãncác điều kiện sau:

hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T

Năm 1997, Liu [8] đã chứng minh được kết quả sau đây

Định lý 1.19 Cho X là không gian Banach thực, K là tập con lồi đóng

bị chặn khác rỗng của X và T là toán tử giả co mạnh và liên tục Lipschitz.Gọi {cn} là dãy số thực thỏa mãn các điều kiện sau:

i) 0 ≤ cn < 1, n ≥ 0,

hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T.

Theo ý tưởng của Liu, Chidume và Osilike [4] đã mở rộng Định lý 1.19thành quá trình lặp Ishikawa như sau

Định lý 1.20 Cho X là không gian Banach thực, K là tập con lồi đóngkhác rỗng của X, và T : K → K là toán tử giả co mạnh và liên tụcLipschitz Gọi {αn} và {βn} là các dãy thực trong [0; 1] thỏa mãn các điềukiện sau:

hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T

Năm 1997, Osilike [10] cũng đã chứng minh kết quả dưới đây bằng việc

sử dụng ý tưởng và phương pháp của Liu

Định lý 1.21 Cho X là không gian Banach bất kì và T : X → X là toán

tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz với hằng số k ∈ (0; 1) và L ≥ 1.Cho {un}, {vn} là hai dãy trong X và {αn}, {βn} là dãy thực trong [0; 1]

Khi đó, với bất kì f ∈ X, dãy lặp {xn} trong X xác định bởi:

hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của phương trình T x = f

Năm 1997, Ding [5] cũng đã chứng minh một kết quả sau, kết quả nàytổng quát hóa kết quả đã đưa ra trong Osilike

Định lý 1.22 Cho X là không gian Banach bất kì và T : X → X là toán

tử k-accretive mạnh và liên tục Lipschitz với miền xác định D(T ) và miềngiá trị R(T ) Giả sử phương trình T x = f có nghiệm với bất kì f ∈ D(T ).Cho {un}, {vn} là hai dãy trong X và {αn}, {βn} là hai dãy thực trong

Định lý 1.23 Cho X là không gian Banach bất kì và T : X → X là toán

tử k-accretive mạnh và liên tục Lipschitz với miền xác định D(T ) và miềngiá trị R(T ) Cho {un}, {vn} là hai dãy trong X và {αn}, {βn} là hai dãy

thực trong [0; 1] thỏa mãn các điều kiện từ i) đến iv) trong Định lý 1.22.Giả sử với x0 ∈ D(T ) nào đó, dãy lặp kiểu Ishikawa {xn} với sai số xácđịnh bởi:

Ta có mối liên hệ giữa toán tử accretive và giả co như sau

Bổ đề 1.24 Cho A : D(A) ⊂ X → X là một toán tử Khi đó,

i) A là toán tử accretive khi và chỉ khi I − A là toán tử giả co;

ii) A là toán tử accretive mạnh khi và chỉ khi I − A là toán tử giả comạnh,

ở đây I là toán tử đơn vị trong X

Như vậy việc xấp xỉ nghiệm của phương trình phi tuyến với toán tửaccretive hoặc accretive mạnh được đưa về bài toán điểm bất động của

toán tử giả co hoặc giả co chặt Trong chương 2 chúng tôi sẽ làm rõ mốiliên hệ này trên cơ sở chứng minh sự hội tụ mạnh của các dãy lặp tươngứng.

tục Lipschitz

Ký hiệu L ≥ 1 và k ∈ (0; 1) là hằng số Lipschitz và hằng số accretivemạnh của toán tử T Đặt L∗ = 1 + L và r là bất kỳ, nhưng cố định trong

0; k2

Định lý 2.1 Cho X là một không gian Banach thực bất kỳ và T : X → X

là một toán tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz, {αn} và {βn} là cácdãy số thực trong [0; 1] thỏa mãn các điều kiện sau:

L∗(1 + L∗), n ≥ 0,

Với bất kỳ f ∈ X, toán tử S : X → X được xác định bởi Sx = f − T x + x

với mọi x ∈ X Khi đó, dãy lặp Ishikawa

hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của phương trình T x = f

Chứng minh VìT : X → X là toán tử accretive mạnh và liên tục Lipschitznên theo Bổ đề 1.24S : X → X là toán tử giả co mạnh và liên tục Lipschitzvới hằng số Lipschitz L∗ = 1 + L Rõ ràng rằng, x∗ là nghiệm của phươngtrình T x = f khi và chỉ khi x∗ là điểm bất động của S Mà theo Định lý1.11 thì S có điểm bất động duy nhất trong X, nên phương trình T x = f

có nghiệm trong X

Bây giờ ta sẽ chứng minh dãy lặp Ishikawa {xn} xác định bởi (2.1) hội

tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của phương trình T x = f, tức là điểmbất động duy nhất x∗ của S Thật vậy, ta có

Tác động với j(xn+1) ∈ J (xn+1) trong đẳng thức (2.2) ta thu được

kxn+1− x∗k ≤ (1 − αn) hxn− x∗, j (xn+1− x∗)i

+ αnhSxn+1 − x∗, j (xn+1− x∗)i

− αnhSxn+1− Syn, j (xn+1 − x∗)i

≤ (1 − αn) kxn− x∗k kxn+1 − x∗k+ αnhSxn+1 − Sx∗, j (xn+1− x∗)i

Hệ quả 2.2 Cho X, T, S, {αn} như trong Định lý 2.1 Khi đó dãy lặpMann {xn} được xác định bởi

(

hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của phương trình T x = f

Chứng minh Cho βn = 0 với mọi n ≥ 0 trong Định lý 2.1 ta nhận đượcđiều cần chứng minh

Hệ quả 2.3 Cho X, T, S, {αn} như trong Định lý 2.1 Khi đó dãy lặpPicard {xn}

(

hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của phương trình T x = f

Định lý 2.4 Cho X là không gian Banach thực và T : X → X là toán

tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz, {αn} và {βn} là các dãy số thựctrong [0; 1] thỏa mãn các điều kiện sau:

Toán tử S : X → X được xác định bởi Sx = f + x − T x với mọi x ∈ X

ta có đánh giá

k

vuuu

có nghiệm trong X

Bây giờ ta sẽ chứng minh dãy lặp Ishikawa {xn} xác định bởi (2.9) hội

tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của phương trình T x = f, tức là điểmbất động duy nhất x∗ của S Thật vậy, vì S là giả co mạnh nên tồn tại

≤ (1 − αn)2kxn− x∗k2+ 2αnhSyn− Sxn+1, j (xn+1− x∗)i+ 2αnhSxn+1 − Sx∗, j (xn+1− x∗)i

≤ (1 − αn)2kxn− x∗k2

(2.11)