Ta sẽ chứng minh u =2 là nghiệm duy nhất của phương trình 1.2... Ta sẽ chứng minh ptr trên vô nghiệm.. Do đó ptr * vô nghiệm.. ***.Phương trình trên còn được mở rộng cho nhiều luỹ thừa v
Trang 1MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Ở BẬC PHỔ THÔNG
Aspvietnam_netuk@yahoo.com
-
A-Cần biết!
1.Nếu hàm ƒ(x) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến thì:
a.Phương trình :ƒ(x) = m có không quá một nghiệm!
b.Phương trình ƒ(x1) = ƒ(x2) ↔ x1 = x2
2.Nếu
≥
≤
a x
g
a x
f
)
(
)
(
∀x thì
=
=
⇔
=
a x g
a x f x
g x f
) (
) ( )
( )
3.Nếu ƒ(x) là hàm lồi(lõm) thì đồ thị cắt đường thẳng y=α.x + β không quá hai điểm
B-Các ví dụ:
1.Dạng :ax + bx = cx
3
+
2
5
1 x
(1.1) Giải
TXĐ:R
Đặt x = -2u
Ptrình đã cho trở thành:3u + 4u = 5u (1.2)
Dễ dàng nhận thấy u =2 là một nghiệm của phương trình (1.2)
Ta sẽ chứng minh u =2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1.2)
Thật vậy,phương trình (1.2) tương đương với ptr:
5
+
5
=1
VT là tổng hai hàm mũ nghịch biến nên nghịch biến,VP là đường thẳng y=1.Vì vậy
chúng chỉ cắt nhau tại đúng một điểm u=2 ⇒ x = -4
VD2: (4 + 15)x
+ (5 − 21)x
= (6 + 35)x
(2.1)
Trang 2Ta có:
4 + 15 =
2
1
.( 5 + 3 )2
5 - 21 =
2
1
.( 7 - 3 )2
6 + 35 =
2
1
.( 7 + 5 )2
(2.1) ⇔ ( )
x x
2
3
x x
2
3
x x
2
5
⇒ ( )2x
3
3
5
7 +
Đặt u =2x và nhận thấy u=1 là nghiệm,chứng minh sự duy nhất của nghiệm tương tự như
ví dụ 1!!!!
5
5
3 − = 4x (3.1)
Nhận xét: (3 + 5 ) > 4 và (3 - 5 ) < 4
Ta sẽ chứng minh ptr trên vô nghiệm
Dạng tổng quát:
x
c
a
+
x
c
b
= 1 (*) trong đó
c
a
>1 và
c
b
< 1
• Xét x ≥ 0 (trường hợp x <0 được xét tương tự) ⇒
x
c
a
≥
0
c
a
= 1 (do tính đồng biến của hàm số )
Hiển nhiên
x
c
b
> 0
Do đó ptr (*) vô nghiệm
®®® Tóm lại: Với phương trình dạng ax + bx = cx thì
*.Nếu a,b > c (nghiêm dương) hoặc a,b < c ( nghiệm âm) thì chỉ ra nghiệm xo và chứng minh sự duy nhất
*.Nếu
<
>
c b
c a
thì phương trình vô nghiệm
***.Phương trình trên còn được mở rộng cho nhiều luỹ thừa và có thêm hệ số
Ví dụ: Giải phương trình: 3.2x + 2.3x = 6x – 6 (4.1)
(4.1) ⇔ 3.2x + 2.3x + 6.1x = 6x
Chia hai vế cho 6x……… (bạn đọc tự giải)
Trang 3Dạng 2: f(x) = g(x);trong đó f(x) là hàm đa thức,g(x) là hàm mũ
Ví dụ 4: Giải phương trình: 22x-1 – 2x
2
=(x-1)2. (4.1) Với những ptrình dạng đặc biệt như thế này ta phải nghĩ ngay tới việc so sánh??? Cách1:
Ta có 2x – 1 ≤ x2 ∀x
⇒ 22x-1 ≤ 2x
2
Nghĩa là VT ≤ 0.Mà VP≥ 0…….(bạn đọc tự giải)
Cách 2:
(4.1) tương đương với phương trình: 22x-1 – 2x
2
= x2 – (2x-1) (4.2)
Đặt
=
=
−
2
2
1
1
2
t
x
t x
Từ (4.2) suy ra 2t1- 2t2= t2- t1 (4.3)
Nhận thấy t1=t2 thoả mãn (4.3)
Nếu t1> t2 ⇒
<
>
0 ) 3 4 (
0 ) 3 4 (
VP VT
Tương tự với trường hợp t1< t2………
Cách 3:Dạng khác của (4.3): 2t1+ t1= 2t2 + t2 (4.4)
Xét ƒ( t ) = t
2 + t là tổng hai hàm đồng biến nên đồng biến
Do đó ƒ(t1)= ƒ(t2) ⇔t =1 t2
Chú ý: Nếu VP có dạng (ax+b)α (α ≥ 2) thì dùng Cách 1
Note:Nếu chuyển t −2 t1 từ cách 2 thành t −1 t2 thì phải dùng cách 3
Bài tập đề nghị:
Giải phương trình:
1 24x−1−2x2 = x2 −4x−1
(gợi ý:Sử dụng C2)
4 3
3 2+2 +5 − 2−2 +5 =
(gợi ý :Sử dụng C3)
3 8cosx −16cos3x= cos3x
-