Khóa luận cấu trúc phức và cấu trúc hermit trên không gian vectơ

Trong chương này, em trình bàycác khái niệm về cấu trúc hầu phức, cấu trúc Hermit trên một không gian vectơthực V, các toán tử Hodge, toán tử Lefschetz và toán tử Lefschetz dối ngẫu trên

Mục lục

1.1 Không gian vectơ 4

1.2 Ánh xạ tuyến tính 5

1.3 Không gian vectơ Ơclit 7

1.4 Đại số đa tuyến tính 8

1.4.1 Tích tenxơ 8

1.4.2 Đại số tenxơ 10

1.4.3 Đại số ngoài 11

2 Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit 13 2.1 Cấu trúc hầu phức 13

2.2 Cấu trúc Hermit 18

số ngoài của các không gian cấu trúc như toán tử Hodge, toán tử Lefschetz, toán

tử Lefschetz đối ngẫu và mối quan hệ giữa các toán tử này

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về đại số tuyến tính và đại số đa tuyến

tính, em chọn đề tài "Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit trên không gian vectơ" làm

khóa luận tốt nghiệp đại học

Khóa luận gồm hai chương nội dung:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, em trình bày các kiến thức

cơ bản về đại số tuyến tính và đại số đa tuyến tính làm cơ sở nghiên cứu chương 2.Chương 2: Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit Trong chương này, em trình bàycác khái niệm về cấu trúc hầu phức, cấu trúc Hermit trên một không gian vectơthực V, các toán tử Hodge, toán tử Lefschetz và toán tử Lefschetz dối ngẫu trên đại

số ngoài của không gian vectơ V, không gian vectơ VC và mối quan hệ giữa cáctoán tử này

Do thời gian và năng lực có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những hạn chế

và thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạnsinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn

Trong quá trình thực hiện khóa luận, em luôn nhận được sự hướng dẫn, giúp

đỡ tận tình của Tiến sĩ Trần Huệ Minh - Giảng viên khoa Toán, trường Đại học

Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Em xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến

cô Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa, các thầy cô giáo và cácbạn sinh viên Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã quantâm, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để em hoàn thành khóa luận này

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian vectơ

Giả sử K là một trường

Định nghĩa 1.1 Tập hợp V khác rỗng được gọi là một không gian vectơ trên K

nếu nó được trang bị hai phép toán gồm:

(a) Phép cộng vectơ:

”+ ” :V × V → V

(α, β) 7→ α+ β,(b) Phép nhân vectơ với vô hướng:

” · ” :K × V → V(a, α) 7→ aα;

Các phép toán này thỏa mãn những điều kiện (hoặc tiên đề) sau đây:

(V6) a(α+ β) = aα + aβ,

Một không gian vectơ trên K còn được gọi là K-không gian vectơ, hay đơn giản

là một không gian vectơ nếu K đã rõ

Khi K = R, V được gọi là một không gian vectơ thực Khi K = C, V được gọi

là một không gian vectơ phức

Định nghĩa 1.2 Giả sử W1, , Wmlà các không gian vectơ con của V Tập hợp

W1+ + Wm = {α1 + + αm|αi ∈ Wi, i = 1, , m}

hiển nhiên lập nên một không gian vectơ con của V

Khi đó, không gian vectơ W1 + + Wm được gọi là tổng của các không gian

W1, , Wm Nó được ký hiệu bởi Pm

i =1Wi.Nếu mọi vectơ trong tổng W1 + + Wm đều được viết duy nhất dưới dạng

α = α1 + + αm, với αi ∈ Wi(i = 1, , m) thì W1 + + Wm được gọi là tổng trực

tiếpcủa các không gian W1, , Wm, và được ký hiệu là W1 ⊕ ⊕ Wm

1.2 Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 1.3 Ánh xạ f : V → W được gọi là một ánh xạ tuyến tính (hoặc rõ

hơn, một ánh xạ K-tuyến tính), nếu

f(α+ β) = f (α) + f (β),

f(aα) = a f (α),với mọi α, β ∈ V và mọi vô hướng a ∈ K

Ánh xạ tuyến tính cũng được gọi là đồng cấu tuyến tính, hay đồng cấu.

Định nghĩa 1.4 Giả sử V và W là các K-không gian vectơ Tập tất cả các ánh xạ

tuyến tính từ V vào W được ký hiệu là L(V, W) (hoặc Hom(V, W))

Định nghĩa 1.5 Một đồng cấu (tuyến tính) f : V → W đồng thời là một đơn ánh,

toàn ánh, song ánh lần lượt được gọi là một đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu(tuyến

tính)

Định nghĩa 1.6 Một đồng cấu (tuyến tính) từ không gian vectơ V vào chính nó

được gọi là một tự đồng cấu (tuyến tính) của V Một tự đồng cấu của V đồng thời

là đẳng cấu được gọi là một tự đẳng cấu của V.

Không gian vectơ tất cả các tự đồng cấu của V được ký hiệu là End(V) Tậphợp tất cả các tự đẳng cấu của V được ký hiệu là GL(V)

Định nghĩa 1.7 Không gian V∗ = L(V, K) các ánh xạ tuyến tính từ V vào K được

gọi là không gian vectơ đối ngẫu của V Mỗi phần tử của V∗ được gọi là một dạng

Định nghĩa 1.8 Ánh xạ tuyến tính f∗ : W∗ → V∗ được gọi là đồng cấu (hay ánh

xạ ) đối ngẫu của đồng cấu f : V → W.

Định nghĩa 1.9 Giả sử f là một tự đồng cấu của K-không gian vectơ V Nếu có

vectơ α , 0 và vô hướng λ ∈ K sao cho f (α) = λα thì λ được gọi là một giá trị

Định nghĩa 1.10 Giả sử λ là một giá trị riêng của tự đồng cấu f : V → V Không

gian vectơ Ker( f − λidV) gồm vectơ 0 và tất cả các vectơ riêng của f ứng với giá

trị riêng λ được gọi là không gian riêng của f ứng với giá trị riêng λ.

1.3 Không gian vectơ Ơclit

Định nghĩa 1.11 Giả sử V là một không gian vectơ thực Hàm

η : V × V → Rđược gọi là song tuyến tính nếu nó tuyến tính với từng biến khi cố định biến còn

lại Mỗi hàm song tuyến tính như thế được gọi là một dạng song tuyến tính trên V.

(iv) Một dạng song tuyến tính, đối xứng và xác định dương trên V được gọi là

một tích vô hướng trên V.

Tích vô hướng trên không gian V thường được ký hiệu là h, i

Không gian vectơ thực V cùng với một tích vô hướng trên V được gọi là một

Định nghĩa 1.12 Hai vectơ α, β ∈ V được gọi là trực giao với nhau, và được ký

hiệu là α ⊥ β, nếu hα, βi = 0

Định nghĩa 1.13 Cho V là một không gian vectơ trên trường K Một ánh xạ tuyến

tính từ V vào V được gọi là một toán tử tuyến tính của của V.

Một toán tử tuyến tính ϕ của V được gọi là một toán tử trực giao nếu ϕ là một

ánh xạ đẳng cự

Định nghĩa 1.14 Cho ϕ là một toán tử tuyến tính của V Ánh xạ (α, β) → hϕ(α), βi

cũng là một dạng song tuyến tính trên V Khi đó, tồn tại duy nhất một toán tử tuyếntính ϕT của V sao cho

hα, ϕ(β)i = hϕT(α), βivới mọi vectơ α, β ∈ V

Toán tử tuyến tính ϕT được gọi là toán tử liên hợp với ϕ

Định nghĩa 1.15 Giả sử V là một không gian vectơ phức Một hàm η : V × V → C

được gọi là một dạng Hermit trên V nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

(i) η tuyến tính đối với biến thứ nhất:

η(α1 + α2, β) = η(α1, β) + η(α2, β), ∀α1, α2, β ∈ V,

η(aα, β) = aη(α, β), ∀a ∈ C, α, β ∈ V

(ii) η là một hàm liên hợp đối xứng:

η(β, α) = η(α, β), ∀α, β ∈ V,trong đó η(α, β) là liên hợp phức của η(α, β)

Định nghĩa 1.16 Dạng Hermit η được gọi là một tích vô hướng nếu nó có tính xác

định dương:

η(α, α) ≥ 0, ∀α ∈ V,η(α, α) = 0 ⇔ α = 0

Không gian vectơ phức V cùng với một tích vô hướng đã cho trên V được gọi

là một không gian Unita

1.4 Đại số đa tuyến tính

1.4.1 Tích tenxơ

Định nghĩa 1.17 Một đại số trên trường K là một K-không gian vectơ V được

trang bị một phép nhân · : V × V → V, (α, β) 7→ αβ thỏa mãn những điều kiện sau:

(a) V cùng với phép cộng và phép nhân lập thành một vành.

(b) Các phép nhân với vô hướng và phép nhân của V liên hệ với nhau bởi hệthức

(aα)β = α(aβ) = a(αβ),với mọi a ∈ K, α, β ∈ V

Định nghĩa 1.18 Giả sử L, M, N là các không gian vectơ trên trường K Ánh xạ

ϕ : L × M → N được gọi là song tuyến tính nếu

ϕ(α1+ α2, β) = ϕ(α1, β) + ϕ(α2, β),

ϕ(aα, β) = aϕ(α, β),ϕ(α, β1 + β2) = ϕ(α, β1)+ ϕ(α, β2),

ϕ(α, aβ) = aϕ(α, β),với mọi α, α1, α2 ∈ L, β, β1, β2 ∈ M, a ∈ K Nói cách khác, ánh xạ song tuyến tính

là một ánh xạ tuyến tính với mỗi biến khi cố định biến kia

Gọi F(L × M) là tập hợp tất cả các hàm có giá hữu hạn từ L × M vào trường K,

tức là các hàm chỉ khác 0 tại một số hữu hạn điểm nào đó của L × M Tập hợp nàylập nên một K-không gian vectơ đối với các phép toán cộng và nhân với vô hướngđược định nghĩa theo giá trị của hàm, cụ thể như sau:

( f + g)(α, β) = f (α, β) + g(α, β),(a f )(α, β) = a f (α, β),với mọi f , g ∈ F(L × M), a ∈ K, (α, β) ∈ L × M

Mỗi phần tử (α, β) ∈ L × M được định nghĩa như sau:

(α, β) :L × M → K,

(α, β) 7→ 1,(α0, β0

) 7→ 0, ∀(α0, β0

) , (α, β)

Giả sử f ∈ F(L × M) là hàm chỉ khác 0 trên tập hữu hạn {(αi, βi)|i ∈ I}, với

f(αi, βi) = αi Dễ thấy rằng f = Pi∈Iai(αi, βi)

Như vậy, một cách trực giác, ta có thể hiểu F(L × M) là tập các tổng hình thức có

giá hữu hạn của các phần tử trong L × M với hệ số trong K

Gọi H là không gian vectơ con của F(L × M) sinh ra bởi các phần tử có dạngsau đây:

(α1 + α2, β) − (α1, β) − (α2, β),(aα, β) − a(α, β),

(α, β1 + β2) − (α, β1) − (α, β2),(α, aβ) − a(α, β),

trong đó α, α1, α2 ∈ L, β, β1, β2 ∈ M, a ∈ K

Ta gọi không gian vectơ thương F(L × M)/H là tích tenxơ của các không gian

Lvà M Nó được ký hiệu bởi L ⊗ M, hoặc chi tiết hơn L ⊗K M

Định nghĩa 1.19 Mỗi phần tử của không gian Tqp(L) được gọi là một tenxơ kiểu

Ta viết gọn đẳng cấu trên dưới dạng

Định lý sau đây được kiểm nghiệm không mấy khó khăn

Định lý 1.20 T (L) là một đại số trên trường K.

Định nghĩa 1.21 T (L) được gọi là đại số tenxơ của không gian vectơ L.

1.4.3 Đại số ngoài

Gọi Bq là không gian vectơ con của Tq(L) sinh bởi các phần tử có dạng

α1 ⊗ ⊗ αq trong đó αi = αj với các chỉ số i , j nào đó

Định nghĩa 1.22 Không gian thương

Vq(L) := Tq(L)/Bq

được gọi là lũy thừa ngoài bậc q của L.

Định nghĩa 1.23 Giả sử M là một K-không gian vectơ Ánh xạ đa tuyến tính

η : L(q) → M được gọi là thay phiên nếu

η(α1, , αq) = 0,

với mọi α1, , αq ∈ Ltrong đó αi = αj với các chỉ số i , j nào đó

Hợp thành của ánh xạ đa tuyến tính chính tắc

t = tq : L(q) → Tq(L),t(α1, , αq)= α1 ⊗ ⊗ αq

và phép chiếu tuyến tính π = πq : Tq(L) → Vq(L) là ánh xạ đa tuyến tính

ξ = ξq : L(q) →

q

^(L),ξ(α1, , αq) = π(α1 ⊗ ⊗ αq)

Theo định nghĩa của lũy thừa ngoài, ξ là một ánh xạ thay phiên

Hơn nữa, cặp (ξ,Vq

(L)) có tính phổ dụng sau đây: Với mọi ánh xạ đa tuyến tính

thay phiên η : L(q) → M, trong đó M là một K-không gian vectơ bất kỳ, tồn tại duynhất một ánh xạ tuyến tính h : Vq(L) → M làm giao hoán biểu đồ

L(q) ξ //

ηCC!!C C

h {{wwwwww

www

Mtức là η = h ◦ ξ

Chương 2

Cấu trúc phức và cấu trúc Hermit

2.1 Cấu trúc hầu phức

Trong phần này ta quy ước V là không gian vectơ thực hữu hạn chiều

Định nghĩa 2.1 Một tự đồng cấu I: V → V với I2 = −id được gọi là một cấu trúchầu phức trên V

Một không gian vectơ thực được trang bị một cấu trúc hầu phức sẽ có cấu trúccủa không gian vectơ phức Điều đó thể hiện ở mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.2 Nếu I là một cấu trúc hầu phức trên không gian vectơ thực V thì V

có cấu trúc tự nhiên của không gian vectơ phức.

trong đó a, b ∈ R, v ∈ V Vì I là R-tuyến tính và theo giả thiết I2 = −id nên((a+ ib)(c + di) · v) = (a + bi)((c + di) · v) và đặc biệt i(i · v) = −v

Dễ dàng kiểm tra được các tiên đề khác của định nghĩa không gian vectơ

Do đó, cấu trúc hầu phức và cấu trúc phức là những khái niệm tương đươngtrên các không gian vectơ Đặc biệt, cấu trúc hầu phức chỉ có thể tồn tại trên mộtkhông gian vectơ thực có số chiều chẵn

Hệ quả 2.3 Một cấu trúc hầu phức bất kỳ trên V đều cảm sinh một hướng tự nhiên

trên V.

được trang bị một hướng tự nhiên Ta giả sử n= 1 và sử dụng hướng tự nhiên trên

C xác định bởi cơ sở (1, i) Hướng này bất biến dưới nhóm các C-tự đẳng cấu tuyến

Cho một không gian vectơ thực V, không gian vectơ phức V ⊗RC được ký hiệu

là VC Do đó không gian vectơ thực V được chứa trong không gian vectơ phức VCqua ánh xạ v 7→ v ⊗ 1 Ta có liên hợp phức trên VC xác định bởi (v ⊗ λ) := v ⊗ λ,

v ∈ V, λ ∈ C

Giả sử V được trang bị một cấu trúc hầu phức I Khi đó, ta cũng ký hiệu

I : VC → VClà mở rộng C-tuyến tính của I lên VC, cho bởi I(v ⊗ α) = I(v) ⊗ α Rõràng, giá trị riêng của I trên VClà ±i

Ứng với các giá trị riêng ±i của I trên VC sẽ có các không gian riêng được biểudiễn như thế nào, ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.4 Cho I là một cấu trúc hầu phức trên không gian vectơ thực V và

I : VC → VC là mở rộng C-tuyến tính của nó Khi đó, ta gọi các không gian riêngứng với các giá trị riêng ±i tương ứng của nó là V1,0 và V0,1, tức là:

Liên hợp phức trên VC cảm sinh một R-đẳng cấu tuyến tính từ V1,0 vào V0,1.

Do không gian vectơ đối ngẫu V∗ của V cũng là một không gian vectơ thực, tacũng có thể trang bị trên V∗ một cấu trúc hầu phức Ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.6 Cho V là không gian vectơ thực được trang bị một cấu trúc hầu

(V∗)C = HomR(V, C) = (VC)∗được cho bởi

(V∗)1,0 = { f ∈ HomR(V, C)| f (I(v)) = i f (v)} = (V0,1)∗(V∗)0,1 = { f ∈ HomR(V, C)| f (I(v)) = −i f (v)} = (V1,0)∗

Nếu V được cung cấp một cấu trúc hầu phức I thì số chiều d của nó là số thựcchẵn, d = 2n, và VC có khai triển VC = V1,0 ⊕ V0,1 với V1,0 và V0,1 là không gianvectơ phức n chiều.

Định nghĩa 2.7 Ta định nghĩa

^p,q

V := ^p

V1,0 ⊗C ^qV0,1,trong đó tích ngoài của V1,0 và V0,1 được lấy như tích ngoài của các không gianvectơ phức Một phần tử α ∈ Vp,qV được gọi là song bậc (p, q)

Mệnh đề 2.8 Cho một không gian vectơ thực V được trang bị một cấu trúc hầu

phức I, ta có:

i)Vp,q

V là không gian vectơ con củaVp +qV

C ii)Vk

VC = L

p+q=k

Vp,q

V.

Chứng minh. Cho v1, v2, , vn ∈ V1,0

V = V1,0 và w1, w2, , wn ∈ V0,1

V = V0,1 làcác C-cơ sở Khi đó vJ1⊗wJ2 ∈ Vp,qVvới J1 = {i1 < < ip}và J2 = { j1 < < jq}

Ngược lại, nếu v ∈ V thì 12(v − iI(v)) ∈ V1,0 Do đó, nếu hxi, yi := I(xi)i là một

cơ sở của không gian vectơ thực V thì zi = 1

2(xi − iyi) là một cơ sở của không gianvectơ phức V1,0

Ta cũng có một kết quả tương tự trên V∗ đối với cơ sở đối ngẫu Cho hxi, yiilà

cơ sở của V∗ đối ngẫu với hxi, yii Khi đó, zi = xi + iyi và zi = xi − iyi là các cơ sởcủa V1,0∗ và V0,1∗ đối ngẫu với cơ sở hziivà hziitương ứng Ta có công thức

(2i)m(z1 ∧ z1) ∧ ∧ (xm∧ ym) = (x1∧ y1) ∧ ∧ (xm∧ ym)

Chú ý rằng I(xi) = −yi và I(yi) = xi Ta sử dụng phép đẳng cấu tự nhiên

VkV∗  (VkV)∗ cho bởi (α1 ∧ ∧ αk)(v1 ∧ ∧ vk) = det(αj(vj))i, j

Định nghĩa 2.10 Đối với khai triển tổng trực tiếp (1.1) và mệnh đề 2.8(ii) ta định

nghĩa các phép chiếu tự nhiên

VC → V∗

VC là toán tử tuyến tính tác động trên Vp,q

V bằng cáchnhân với ip−q, tức là

I = P

p,qip−q·Qp,q

Toán tửQkkhông phụ thuộc vào cấu trúc hầu phức nhưng các toán tử I vàQp,q

lại phụ thuộc I Chú ý rằng I là mở rộng của cấu trúc hầu phức I trên VC nhưng Ikhông phải là một cấu trúc phức hầu khắp Mặt khác, I được định nghĩa trên khônggian vectơ thực V, nên I là một tự đẳng cấu của đại số ngoài thựcV∗

Định nghĩa 2.11 Một cấu trúc hầu phức I trên V được gọi là tương thích với tích

vô hướng h, i nếu hI(v), I(w)i = hv, wi với mọi v, w ∈ V, tức là I ∈ O(V, h, i)

Ví dụ sau đây chỉ ra sự tồn tại của cấu trúc hầu phức tương thích với tích vôhướng trên một không gian vectơ thực hai chiều định hướng

Ví dụ 1 Cho V là không gian vectơ thực hai chiều đã định hướng cố định Nếu h, i

là một tích vô hướng, thì tồn tại một cấu trúc hầu phức tự nhiên I trên V tương thích

với nó xác định như sau: Cho bất kỳ 0 , v ∈ V, vectơ I(v) ∈ V là xác định duynhất bởi ba điều kiện sau: hv, I(v)i = 0, ||I(v)|| = ||v|| và {v, I(v)} có hướng dương.Điều này tương đương với I là phép quay góc π2 Do đó, I2 = −id, vậy I là cấu trúchầu khắp Ta thấy I ∈ S O(V), và vì vậy I tương thích với h, i.

Hai tích vô hướng h, i và h, i0 được gọi là tương đương bảo giác nếu tồn tại một

vô hướng λ (dương) sao cho h, i0 = λ · h, i Rõ ràng, hai tích vô hướng tương đươngbảo giác cùng xác định một cấu trúc hầu phức Ngược lại, cho cấu trúc phức hầuphức bất kỳ I, luôn tồn tại một tích vô hướng h, i liên kết với I

Bây giờ ta xét một không gian vectơ Ơclit (V, h, i), I có số chiều tùy ý đượctrang bị một cấu trúc hầu phức tương thích I Ta định nghĩa dạng cơ bản liên kếtvới (V, h, i, I) như sau:

Định nghĩa 2.12 Dạng cơ bản liên kết với (V, h, i) là ánh xạ ω : V × V → R được

cho bởi:

ω := −h(), I()i = hI(), ()iMệnh đề sau chỉ ra dạng cơ bản liên kết với (V, h, i), I là một song bậc (1, 1)

Mệnh đề 2.13 Cho (V, h, i) là không gian vectơ Ơclit được trang bị một cấu trúc

(Iω)(v, w) = ω(I(v), I(w)) = hI(I(v)), I(w)i = ω(v, w),

ta tìm được I(ω) = ω, tức là ω ∈ V1,1

V∗