Slide bài giảng Giải Tích 1 cô Đặng Lệ Thúy

Tài liệu này thuộc bản quyền của trường Đại học Công nghệ thông tin ĐHQG HCM Giáo viên trình bày: Đặng Lệ Thúy Nội dung: gồm 5 chương: Chương 1 : Phép tính vi phân hàm một biến Chương 2 : Phép tính tích phân hàm một biến Chương 3 : Lý thuyế
t chuỗi Chương 4 : Phép tính vi phân của hàm nhiều biến Chương 5 : Ứng dụng của hàm nhiều biến

f : X Y

x y f x

Cho là song ánh Khi ó, v i m i , t n t i

duy nh t m t ph n t sao cho f(x) = y Ánh x

2

nh ngh a 2 (theo ngôn ng dãy)

x

o

x x

1.1.2 Gi i h n vô cùng và gi i h n vô cùng (Xem giáo trình)

xlim f xx l f xl

xlim f xx l f x

xlim f xx l xlim f xx xlim f xx l

x 0

sin xlim

1.1.5 M t s k t qu gi i h n c n nh

x

1 x

1 x

T+ng ho c tích c a hai VCB khi là m t VCB khi

Tích c a m t VCB khi và m t hàm b ch n trong lân c n c a

xo là m t VCB khi

; trong ó g là VCB khi

* Gi s f và g là hai VCB khi và Khi ó

N u l = 0 thì ta nói f là VCB b c cao h n g, ký hi u là f = o(g)

N u l = thì ta nói f là VCB b c th p h n g

N u thì ta nói f và g là các VCB cùng b c, ký hi u là

f = O(g)

c bi t, n u l = 1 thì ta nói f và g là các VCB t ng ng, ký hi u là

1 x 2

VD 2 Tìm gi i h n

Chú ý Quy t c VCB t ng ng không áp d ng c cho hi u ho c t+ng c a các VCB n u chúng làm tri t tiêu t ho c m/u c a phân th c.

Sai

úngúng

SaiSai

* T nh ngh&a suy ra: ngh ch o c a m t VCB là m t VCL vàngh ch o c a m t VCL là m t VCB nên ta c!ng có các k t qu

x 4 2 x 3 x lim

x 4 x

-(d ng Peano)

– Khai tri%n Taylor t i i%m xo = 0 c g i là khai tri%n Maclaurin c a hàm f Khi ó ta có:

– Khai tri%n Maclaurin c a m t s hàm s c p:

a)

b)

c)

Chú ý Công th c Taylor c ng d ng % tính g n úng và tính

gi i h n (Xem giáo trình)

VD 1 Tìm khai tri%n Maclaurin n c p 3 c a hàm

VD 2 Tìm khai tri%n Maclaurin n c p 5 c a hàm

VD 3 Tìm khai tri%n Taylor t i xo = 2 n c p 3 c a hàm

nh lý (Quy t c L’Hospital )

Gi s f, g là hai hàm s xác nh, kh vi trên kho ng (a, b) và

trên kho ng này N u

và t n t i (h*u h n hay vô h n) thì

nh lý (Quy t c L’Hospital )

Gi s f, g là hai hàm s xác nh, kh vi trên kho ng (a, b) và

trên kho ng này N u

và t n t i (h*u h n hay vô h n) thì

$#

#&

VD Tính các gi i h n

2 a

x 0

sin x log 1 x9) lim

x sin x

Ch ng 2 Phép tính tích phân hàm m t bi n

§1 TÍCH PHÂN SUY R0NG

1.1 Tích phân suy r ng lo i m t (Tích phân v i c n vô t n)

1.1.1 nh ngh a. Cho hàm f xác nh trên , kh tích trên

m i o n Gi i h n (n u có) c g i làtích phân suy r ng lo i m t c a hàm f trên và ký hi u là:

nh ngh&a t ng t$, ta c!ng có các tích phân suy r ng lo i

N u gi i h n t n t i h*u h n thì ta nói tích phân h i t , ng c l i

n u gi i h n không t n t i ho c b,ng vô cùng thì tích phân phân k1.Hai v n i v i tích phân suy r ng:

f x dx F x F F a

1

1 x

1

2x 0

I 1 e cos xdx

ii) N u phân k1 thì phân k1

VD 1 Kh o sát s$ h i t

VD 2 Kh o sát s$ h i t

VD 3 Kh o sát s$ h i t

2 1

dxI

2x sin 3x

1

3 1

ln xdxI

x 5

1

H qu (Tiêu chu n so sánh 2)

Gi s f, g là các hàm kh tích trên

và Khi ói) N u A = 0 và h i t thì h i t

ii) N u và phân k1 thì phân k1

5x ln x

1

2 1

arctan xdxI

2x 2 ln x

1

0

dxI

3x 1 x 1

1

2

1/ x 1

3xdxI

2x sin 3x

1

x ln 2x

1

2 1

cosx

1 x

1

1.2 Tích phân suy r ng lo i hai (Hàm d i d u tích phân

N u gi i h n t n t i h*u h n thì ta nói tích phân h i t , ng c l i

n u gi i h n không t n t i ho c b,ng vô cùng thì tích phân phân k1

N u i%m k1 d duy nh t c a f là i%m thì

(Tích phân v trái h i t khi và ch- khi c hai tích phân v ph i

f x dx F x F b F a

1

x 2

1

3 0

dxI

x 1

1

1 0

dxI

1.1.2 Các tiêu chu n h i t

T ng t$ tích phân suy r ng lo i m t: có hai tiêu chu2n so sánh cho tích phân hàm không âm Khái ni m h i t tuy t i c!ng t ng t$ trong tích phân suy r ng lo i m t: h i t tuy t i thì h i t

ii) N u phân k1 thì phân k1

T ng t$ cho tr "ng h p a là i%m k1 d duy nh t c a f

/a, b 0 f x g x ;

/

x a, b

b a

f x dx

1

b a

g x dx

1

b a

g x dx

1

b a

f x dx

1

g x dx

1

b a

g x dx

1

b a

g x dx

1

b a

f x dx

1

b a

f x dx

1b

x 1

1

5 3 1

x 0

ln 1 x dxI

e 1

14 0

dxI

x 2

1

1 30

sin xdxI

x

1

2 2

dxI

x 4 x

1

1 Xét s$ h i t và tính (trong tr "ng h p h i t ) các tích phân sau

1) 4) 2) 5) 3)

x

dx

4 x

12

2 0

dx

x 1

1

2 3 1

3) 9)

4) 10) 5) 11)

6) 12)

7) 13)

8) 14)

2 0

I 1 e dx

x 1

arctan x

1 x

1

15) 21)

16) 22) 17) 23)

ln x

1 x

11 0

dxI

x 2 x

1

2 0

dxI

dxI

e 1

11

sinx 0

xdxI

e 1

11

sinx 0

ln 1 x

e 1

12 1

dxI

ln x

11 0

dxI

ln x 1

1

2 1

I 1 s in(x )dx

27)

28) 29)

1 0

dxI

x 1

1

1 0

dxI

tan x x

1

1

x 0

dxI

e cos x

1

Chú ý. nh lý trên ch- là i u ki n c n ch không ph i i u ki n Ch#ng h n, xét chu i s (chu i i u hòa) Ta có:

, nh ng chu i phân k1

K t qu c s d ng % kh o sát s$ h i t :

Chu i i u hòa phân k1

T nh lý trên suy ra n u ho c thì chu i

3

n

1lim u lim 0

n

n 1

1n

3

n 1

1n

3

n

n 1

1n2

2.4 Tiêu chu n Cauchy

2.5 Tiêu chu n tích phân

nh lý Cho hàm s f liên t c, không âm và gi m trên

VD 1 Kh o sát s$ h i t c a chu i (chu i Riemann)

n ln n12)

3.2 Chu i an d u

nh ngh a Chu i s có d ng hay , trong

ó: un > 0; c g i là chu i an d u

nh lý (Tiêu chu n Leibnitz)

N u chu i an d u th'a mãn 2 i u ki n sau:

3

BTVN 1 Kh o sát s$ h i t c a các chu i s sau

4 2

3) 1 cos 9)

nn

14) ln 1 tan

e e e e e

1 1 n16)

Ký hi u: ; n = 1,2,

c g i là t+ng riêng th n c a chu i (1)

Gi s là mi n h i t c a chu i (1) Khi ó dãy hàm

h i t trên Xo Ta nói chu i (1) h i t

n 2

4.2 Chu i hàm h i t u

nh ngh a Chu i (1) c g i là h i t u v hàm f(x) trên Xo

n u dãy hàm h i t u v hàm f(x) trên Xo, ngh&a là > 0,

<

4.3 Tiêu chu n Weierstrass

Cho chu i (1) N u t n t i m t dãy s d ng

sao cho và chu i s d ng h i t thì chu i (1) h i t tuy t i và h i t u trên X

§5 CHU3I L9Y TH:A

5.1 nh ngh a Chu i l!y th a là chu i hàm có d ng

n 0

a x a (2)

3

n n

5.3 Bán kính h i t

nh lý. i v i chu i (1) luôn t n t i s sao cho (1)

h i t trong kho ng và phân k1 trong các kho ng

và T i chu i (1) có th% h i t ho c phân k1 Khi

Công th c tìm bán kính h i t c a chu i l y th!a (1):

5.4 Các tính ch t c a chu i l y th!a (Xem giáo trình)

5.5 Chu i Taylor. (Xem giáo trình)

n 1 n

n

alim L

a

1R

L

n n

5x1) 1 nx 3)

n!

nx2) n!x 4)

n 1

Cho i%m và s th$c r > 0 Khi ó

B ( Mo , r) = { M : d ( Mo , M ) < r }: c g i là hình c u m

tâm Mo, bán kính r : c g i là hình c u óng tâm Mo, bán kính r

T p h p : c g i là m t c u óng

tâm Mo, bán kính rCho i%m T p c g i là lân c n c a Mo n u

t n t i r > 0 sao cho

Cho t p và i%m Khi ó

– i%m Mo c g i là i m trong c a t p E n u t n t i r > 0 sao cho

n o

T p c g i là t p óng n u nó ch a m i i%m biên c a nó.

( Ho c: T p E óng trong khi và ch- khi m trong )

T p c g i là b ch n n u t n t i r > 0 sao cho

( hay d(M,O) < r; m i ), v i O(0, ,0)

o

n o

1.2 S$ h i t trong

nh ngh a Ta nói dãy i%m h i t t i i%m

( hay i%m Mo là gi i h n c a dãy {Mn}) n ukhi ( t c ) và vi t

§2 GI<I H=N C>A HÀM NHI?U BI@N

2.2 nh ngh a gi i h n hàm nhi u bi n

nh ngh a (Gi i h n kép)

Cho hàm f xác nh trên , i%m Mo(xo, yo) là i%m gi i h n

c a A Ta nói hàm f có gi i h n là l khi n u v i m i dãy i%m mà khi

2.3 Gi i h n l p

Gi i h n theo t ng bi n khi Mn d n t i Mo c g i là gi i h n l p c a hàm f t i i%m Mo Hai gi i h n l p c a hàm hai bi n f t i i%m Mo có

xylim lim f x , y lim 1

y

2

A 4 , f : A

Chú ý S$ t n t i gi i h n l p không kéo theo s$ t n t i gi i h n

10) lim y32 xy22

x y

§3 TÍNH LIÊN TAC C>A HÀM NHI?U BI@N

nh lý 1. Hàm f liên t c t i i%m khi và ch- khi

m i dãy i%m mà khi thì

VD 1 Xét tính liên t c c a hàm s sau

VD 2 Xét tính liên t c c a hàm s sau t i i%m (0,0)

BTVN Xét tính liên t c c a các hàm s sau t i i%m (0,0) 1)

)

))

) )

))

T ng t$, o hàm riêng c a hàm f theo bi n y t i i%m (xo, yo) là

– Các o hàm riêng c a hàm s nhi u h n hai bi n c nh ngh&a

t ng t$

Nh n xét Khi tính o hàm riêng c a m t hàm s theo bi n nào thì

xem nh hàm s ch- ph thu c bi n s ó, các bi n s khác c coi

*

))

Cho hàm f xác nh trên t p m và i%m

L y các s gia sao cho Bi%u

Khi ó bi%u th c c g i là vi phân toàn ph n c a hàm f t i i%m Mo và ký hi u là

– Hàm f c g i là kh vi trên D n u nó kh vi t i m i i%m c a D

Nh n xét N u hàm f kh vi t i i%m Mo thì f liên t c t i i%m ó Vì

v y, n u hàm f không liên t c t i i%m Mo thì f không kh vi t i i%m

Chú ý. i v i hàm m t bi n, s$ kh vi và s$ t n t i o hàm t i m t i%m là t ng ng Nh ng i v i hàm nhi u bi n t s$ t n t i các

o hàm riêng t i m t i%m không suy ra c s$ kh vi t i i%m ó Ngh&a là nh lý o c a nh lý 1 không úng Ch#ng h n, xét hàm s

§5 =O HÀM VÀ VI PHÂN C>A HÀM HCP

5.1 o hàm c a hàm h p

1) Hàm h p v i m t bi n c l p

Cho z = f(x, y) là hàm kh vi i v i x, y và x = x(t), y = y(t) là nh*ng hàm kh vi i v i bi n c l p t Khi ó, z = f(x(t), y(t)) là hàm h p

2) Hàm h p v i hai bi n c l p

Cho z = f(x, y) là hàm kh vi i v i x, y và x = x(u, v), y = y(u, v) là nh*ng hàm kh vi i v i hai bi n c l p u, v Khi ó, hàm h p c a hai bi n u, v là z = f(x(u, v), y(u, v)) kh vi Ta có:

BTVN 1) Kh o sát s$ liên t c và s$ t n t i, liên t c c a các o

hàm riêng c a hàm s

2) Ch ng minh r,ng hàm s z = yln(x2 – y2) th'a mãn ph ng trình

3) Cho f(u) là hàm m t bi n kh vi Ch ng minh r,ng hàm

§6 =O HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN C7P CAO

Hàm s nhi u h n hai bi n và o hàm riêng c p cao h n 2 c

6.2 Vi phân c p cao

Xét hàm s z = f(x, y) Vi phân toàn ph n df n u t n t i c g i là

vi phân toàn ph n c p m t c a f Vi phân toàn ph n c a df n u t n t i

c g i là vi phân toàn ph n c p hai c a f và c ký hi u là d2f

Công th c vi phân c p hai c vi t l i d i d ng công th c hình th c

– Khai tri%n Taylor t i i%m Mo = (0,0) c g i là khai tri%n

Maclaurin c a hàm f Khi ó ta có:

VD 1 Khai tri%n hàm f(x, y) = xy (x > 0) theo công th c Taylor lân

c n i%m (1, 1) n s h ng b c ba

VD 2 Khai tri%n hàm f(x, y) = 2x2 – xy – y2 – 6x – 3y + 5 theo công

th c Taylor lân c n i%m (1, –2)

99

)

99

y y

s d ng công th c tính o hàm c a hàm h p, o hàm hai v ph ng trình (2) theo x ta c:

7.2 Hàm n nhi u bi n

T ng t$ nh hàm 2n m t bi n, ph ng trình F(x, y, z) = 0 có th% xác

nh hàm 2n theo hai bi n x, y Ph ng trình F(x1, , xn, z) = 0 có th% xác nh hàm 2n theo n bi n xi,

Gi s ph ng trình F(x, y, z) = 0 xác nh m t hàm 2n z = f(x, y) sao cho: F(x, y, f(x, y)) = 0 (*); v i m i (x, y) thu c mi n xác nh

c a hàm z Khi ó s d ng công th c tính o hàm c a hàm h p, o hàm hai v ph ng trình (*) theo x ta c:

thì t n t i duy nh t m t hàm s 2n z = f(x,y) th'a mãn ph ng trình

F(x,y,z) = 0 trong m t lân c n nào ó c a i%m (xo,yo) sao cho

z = f(xo,yo), f liên t c, có các o hàm riêng liên t c trong lân c n nói trên và

F F

VD 1 Tìm vi phân c a hàm 2n z = f(x, y) cho b.i ph ng trình

x y

z z** ** z**

z y

z xe 0

x y

u , u* *

x zu

y z

ze xe ye

nh ngh a 2 i%m mà t i ó các o hàm riêng c p m t t n t i

và b,ng 0 c g i là i%m d ng

i%m mà t i ó các o hàm riêng c p m t t n t i và b,ng 0 ho c không t n t i c g i là i%m t i h n

nh lý 2 ( i u ki n c a c"c tr )

Gi s hàm s z = f(x, y) có i%m d ng là Mo và có các o hàm riêng liên t c n c p hai trong lân c n c a Mo t

Mo và các o hàm riêng không ng th"i b,ng 0 t i Mo Khi ó

nh lý 2 ( i u ki n c a c"c tr có i u ki n)

Gi s f, F, Mo th'a mãn nh lý 1 (Mo c g i là i%m d ng), các hàm f, F có o hàm riêng liên t c n c p hai trong lân c n i%m

§3 GIÁ TRF L<N NH7T, GIÁ TRF NHH NH7T

C>A HÀM NHI?U BI@N

Bài toán Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh' nh t c a hàm z = f(x, y)

liên t c trên t p óng, b ch n D

Theo nh lý Weierstrass, vì f liên t c trên mi n óng, b ch n D nên f t giá tr l n nh t, nh' nh t trên D N u f t giá tr l n nh t hay nh' nh t t i m t i%m n,m trong D thì i%m ó ph i là i%m c$c

tr t$ do c a f, dó ó nó ph i là i%m d ng c a f Tuy nhiên f c!ng có th% t giá tr l n nh t hay nh' nh t trên biên c a D Do ó mu n tìm giá tr l n nh t, nh' nh t (c$c tr tuy t i) c a f trên mi n óng, b

ch n D, ta th$c hi n các b c sau:

B1 Tìm các i%m d ng c a hàm f trong D và tính giá tr c a f