Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C BD HSG vật lý lớp 12 (hay)

Theo chương trình cải cách giáo dục thì từ năm học 2007 – 2008 thì bộ môn vật lí đã chuyển hình thức từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm. Lượng kiến thức trong mỗi bài thi rất lớn gần như bao quát toàn bộ chương trình mà thời gian thi cũng ít hơn khi các em thi tự luận vì vậy đòi hỏi các em phải có cách tư duy làm bài nhanh nhưng đòi hỏi phải chính xác. Phần điện xoay chiều là phần rất quan trọng trong bố cục đề thi vì vậy tôi đã viết chuyên đề “ Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C” để đưa ra cho các em một số dạng bài đặc biệt giúp các em nhận diện và có cách giải nhanh nhất

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN KHÔNG PHÂN NHÁNH R,L,C

Tác giả: Đào Thị Loan

Giáo viên trường : THPT Yên Lạc

Đối tượng bồi dưỡng : Học sinh lớp 12

Số tiết dự kiến: 12 tiết

LỜI NÓI ĐẦU

Theo chương trình cải cách giáo dục thì từ năm học 2007 – 2008 thì bộmôn vật lí đã chuyển hình thức từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm Lượng kiếnthức trong mỗi bài thi rất lớn gần như bao quát toàn bộ chương trình mà thời gianthi cũng ít hơn khi các em thi tự luận vì vậy đòi hỏi các em phải có cách tư duylàm bài nhanh nhưng đòi hỏi phải chính xác Phần điện xoay chiều là phần rấtquan trọng trong bố cục đề thi vì vậy tôi đã viết chuyên đề “ Một số bài toán cựctrị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C” để đưa ra cho các em một số dạngbài đặc biệt giúp các em nhận diện và có cách giải nhanh nhất

nghệ của trường THPT Yên lạc; các em học sinh và gia đình đã giúp đỡ tôi khitôi viết chuyên đề này.

PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT MẠCH R – L – C KHÔNG PHÂN

NHÁNH

1 Mạch R – L – C không phân nhánh:

Mắc vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u = U0 cos( t + u) gồm một điện trở thuần R, cuộn dây có độ tự cảm L, điện trở trong r và một tụ điện có điện dung C ta có :

*) Biểu thức cường độ dòng điện : i = I0 cos( t + i) (A) Với I0 là cường độdòng điện cực đại, và lµ tần số góc, ilà pha ban đầu của dòng điện

- Biểu thức hiệu điện thế : u = U0 cos( t + u) (V) Với U0 là hiệu điện thế cực đại, ulà pha ban đầu

U



*) Công suất tiêu thụ của mạch:

+ Nếu cuộn dây thuần cảm: P = I2 R = UI cos

+ Nếu cuộn dây có điện trở trong r : P = I2 (R+ r); PR= I2R; Pd= I2r

VD: Nếu trong mạch không có phần tử nào ta bỏ phần tử đó trong công thức tổng quát

* Mạch có điện trở thuần mắc nối tiếp với tụ điện R – C:

+ Công suất tiêu thụ của mạch: P = I2R =UI cos

* Mạch có điện trở thuần mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm: R – L

U I Z

+ Độ lệch pha giữa u và i tan Z L 0

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ TRONG MẠCH NỐI TIẾP R,L,C

Bài toán 1: Mạch có R thay đổi

Cho mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh trong đó R có thể thay đổi được (R còn được gọi là biến trở) Các giá trị khác L; C;  ; U là các hằng số Tìm giá trị của R để :

1 Điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực đại

2 Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây thuần cảm)

3.Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây có điện trở trong r);

Pmach cực đại

* Hướng dẫn giải:

Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất

phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi theo đại lượng thay đổi

Bổ đề :

• Bất đẳng thức Cosi : Cho hai số không âm a, b khi đó a b  2 ab

Nên (a b )min 2 ab, Dấu bằng xảy ra khi a = b

• Hàm số bậc hai y ax 2 bx c , với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

2 min

Khảo sát bài toán công suất trên R của mạch gồm R, L, C không phân nhánh

0

Pmaxx

*) Nếu trong mạch khuyết phần tử nào ta bỏ phần tử đó trong công thức (1.4)

+ Mạch chỉ có R – C mắc nối tiếp Có hai giá trị của R khi thay đổi cho cùng một

công suất thì

Trong mạch điện RLC mà cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r thì ta có thể tìm công suất mạch cực đại và công suất tỏa nhiệt trên R cực đại

Trường hợp 1: Công suất tỏa nhiệt P trên toàn mạch cực đại:

Dấu bằng xảy ra khi R = R + rM Z L Z C  R = Z -Z - r L C (1.12)

+ Hiệu điện thế 2 đầu của điện trở thuần khi đó

Nếu Z L  Z c r thì ta lấy R = 0 và công suất khi đó

Cho mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm có độ tự

cảm L và một tụ điện có điện dung C Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u U c 0 os( )t

1 Thay đổi R ta thấy hiệu điện thế trên hai đầu của điện trở thuần R và tụ điện (Rmắc liên tiếp với C) có giá trị không đổi Tính URC và tần số cộng hưởng trong mạch

(1.18)

2 Thay đổi R ta thấy điện áp giữa hai đầu của URL vuông góc với hai đầu của

Bài toán 3: Mạch R – L – C không phân nhánh gồm điện trở thuần R, tụ điện C

và cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L có thể thay đổi được Mắc vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều u U c 0 os( )t

1 Xác định L để

+ I = Imax

+ P = Pmax

+ UR =URmax; UC =UCmax ; URC = URcmax

+ Hệ số công suất cos =1 ; u,i cùng pha

2 Xác định L để ULmax

3 Xác định L để URL cực đại (R mắc liên tiếp với L)

4 Khi thay đổi L ta thấy với L = L1 và L = L2 thì UL có giá trị không đổi thiết lậpcông thức giữa L1 ; L2 với L sao cho UL cực đại

5 Khi thay đổi L ta thấy với L = L1 và L = L2 thì ta thấy P1 = P2 Xác định L để mạch cộng hưởng

1 Ta thấy khi xác định cực trị của các đại lượng I; P; UR; URC; UC; cos thì ta nhận thấy độ tự cảm L chỉ xuất hiện ở mẫu số ( có đồng thời cả ZL và ZC) thì khi

đó để các đại lượng đạt cực đại thì

 thì Y = (R2 Z X C2) 2  2Z X C 1Tìm Y min

4

C C

L

C C

Ta thấy URL cực đại khi Y = Ymin

Mặt khác ta khảo sát hàm số Y theo ZL ta được : Y =

*) Từ công thức (3.8) ta thấy ZL > ZC khi đó mạch có tính cảm kháng

*) Khi URL đạt giá trị cực đại thì ta có U L2  U U L C  U R2 0 (3.9)

`

*) Khi URL đạt cực đại ax 2 2

2 R 4

RLM

U U

 (3.11)

Với L sao cho UL = ULmax

5 Khi L = L 1 và L = L 2 ta thấy công suất P1 = P2 ta có:

Từ công thức (3.12) thì tan -1 tan2  1 2 (3.14)

Hệ số công suất trong hai trường hợp đó bằng nhau cos1 cos2

(3.12)

PHẦN 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VÍ DỤ:

Ví dụ 1: (ĐH – 2009) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào

hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện Dung kháng của tụ điện là 100Ω Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị R1 và R2 công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R1 bằnghai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R2 Các giá trị R1 và R2 là:

* Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có P1 = P2 theo công thức (1) phần 5 ta có R1R2 = ZC2 = 1002

Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi R =

Ví dụ 2: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và

một biến trở R được mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện thế xoay chiềuu 120 2 os(120 )( )c t V Biết rằng ứng với hai giá trị của biến trở: R1 =18Ω và R2 = 32Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau Tính công suất cực đại của mạch và công suất P

Ví dụ 3 (ĐH 2011): Một đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối

tiếp Đoạn mạch AM gồm điện trở thuần R1 mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung

C, đoạn mạch MB gồm điện trở thuần R2 mắc nối tiệp với cuộn cảm thuần có độ

tự cảm L Đặt điện áp xoay chiều có tần số và giá trị hiệu dụng không đổi vào haiđầu đoạn mạch AB Khi đó, đoạn mạch AB tiêu thụ công suất bằng 120 W và có

hệ số công suất bằng 1 Nếu nối tắt hai đầu tụ điện thì điện áp hai đầu đoạn mạch

AM và MB có cùng giá trị hiệu dụng nhưng lệch pha nhau

3



, công suất tiêu thụ trên đoạn mạch AB trong trường hợp này bằng

* Hướng dẫn giải:

+ Khi tụ điện chưa bị nối tắt mạch gồm hai đoạn AM có R1 nốitiếp với tụ điện C, đoạn mạch MB có R2 mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần L vì hệ số công suất bằng

1 nên trong mạch có hiện tượng cộng hưởng -> ZL = ZC

Theo đầu bài công suất của mạch khi đó là P1 = 120W

Vì mạch có cộng hưởng điện nên ta có : P1 =

2 1

2

R R

Ví dụ 4: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu

Công suất của mạch là P = 100 2W

1 Chứng minh rằng P = 100 2W chính là giá trị công suất cực đại của mạch

2 Với hai giá trị R1và R2 thì mạch có cùng công suất P’ Tính P’ và R2 biết R1

a) Tính công suất ứng với R1 và R2

b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với R1, R2

2

U I Z

Ví dụ 7 : Đoạn mạch xoay chiều gồm có tụ điện mắc nối tiếp với biến trở R rồi

mắc vào mạch điện xoay chiều u = U0 cos (t) ta thấy khi R = R1 và R= R2 thì độ

Ví dụ 8 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch không phân nhánh gồm một biến trở R,

cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L và một tụ điện có điện dung

3

1013

của mạch

* Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có UR = 60 V; UC = 130 V

Theo giả thiết khi điện áp giữa hai đầu điện trở và cuộn dây vuông pha với điện

áp hai đầu đoạn mạch thì:

Ví dụ 9 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u100 2 os( )c t

(V) gồm một điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được

và một tụ điện có điện dung C Khi thay đổi L ta thấy UL đạt cực đại và hiệu điệnthế hai đầu tụ điện bằng hiệu điện thế hai đầu điện trở thuần Viết biểu thức điện

áp giữa hai đầu của u

* Hướng dẫn giải:

*) Nhận xét: Thông thường khi viết biểu thức điện áp của hai đầu đoạn mạch nào

đó ta phải tính được điện áp cực đại giữa hai đầu đoạn mạch đó và độ lệch pha của nó so với cường độ dòng điện trong mạch Đối với bài này thì để làm như vậy rất dài so với thời gian của một bài trắc nghiệm

Tuy nhiên ta có thể làm việc đó tương đối đơn giản nếu chú ý đến những giữ kiện bài toán cho

+ Theo giả thiết UC = UR  Z C Rnên từ công thức (3.2)

U Z

Ví dụ 10 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều

Ta có theo giả thiết khi L thay đổi  +RL=

3

C L

V Z

hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại thì giá trị cực đại đó bằng 100 V và điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ điện bằng 36 V Giá trị của U là

* Hướng dẫn giải:

Khi điều chỉnh L để ULmax thì khi đó uRC vuông pha với uAB nên ta có

2 2 2 2 2

2

U U U U U

U LMAX  RC   R  C 

VỚI U R2 U2  (U LMAX U C) 2nên ta có :

V U

U U

U U

U U

U LMAX2 LMAX. C 2 0 LMAX 2 LMAX. C 80

Ví dụ 14: Cho mạch điện RLC,điện áp hai đầu mạch điện là u = 200 2

cos(100πt) (V) L thay đổi được Khi mạch có L = L1

Theo bài thì i1 và i2 lệch pha nhau góc

3



nên có một biểu thức là nhanh pha hơn

u và một biểu thức chậm pha hơn u

Do Z L1 300 3 , Z L2 100 3 nên i1 nhanh pha hơn u còn i2 chậm pha hơn u

tương tự ta có: os(100 )

6

i c t (A)

Ví dụ 15: Đặt một hiệu điện thế xoay chiều có tần số góc  vào hai đầu cuộn

dây có R, C thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch là P1= 100 W Nếu nối tiếp mạch với cuộn dây có độ tự cảm là L với 2LC 2 1và đặt vào hiệu điện thế trên thì công suất tiêu thụ là P2 Tính giá trị của P2

* Hướng dẫn giải:

Cường độ dòng điện trước khi mắc tụ điện C: 1 2 2

C

U I

(100 ) 2

có điện dung C và một cuộn cảm có độ tự cảm L thay đổi được Điều chỉnh L để điện áp giữa hai đầu cuộn dây đạt cực đại thì khi đó điện áp giữa hai đầu của tụ điện là UC = 100 V Hãy viết biểu thức giữa hai đầu của R và C : uRC

* Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết khi L thay đổi UL đạt cực đại thì :

U U U U U

Ví dụ 18: Đặt một điện áp xoay chiều u = 200 2 cos(100 t) vào hai đầu đoạn

mạch mắc nối tiếp theo thứ tự các phần tử gồm một biến trở R có điện trở thay đổi từ 0 đến  ,tụ điện có điện dung C =

a) Xác định công suất cực đại của mạch

b) Xác định công suất cực đại trên R

Bài 1: Cho mạch điện RLC; u = 30 2 cos(100πt) (V).R thay đổi được Khi mạch

có R = R1 = 64Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ1 Khi mạch có R = R2 = 36Ω thì

độ lệch pha giữa u và i là φ2 biết 1 2

Bài 2: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch

a Hệ số công suất của mạch là 3 2

b Hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu điện trở là UR = 100V

c Mạch tiêu thụ công suất P = 100W

Bài 3: Cho mạch điện như hình vẽ, u = U 2 cos100πt (V), C = 10 3

9  F



, R = 120Ω

Bài 4(CĐ-20Ω, R10Ω, R): Đặt điện áp u = U 2 cos t  (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm cuộn cảm thuần mắc nối tiếp với một biến trở R Ứng với hai giá trị R1 = 20  và

R2 = 80  của biến trở thì công suất tiêu thụ trong đoạn mạch đều bằng 400 W Giá trị của U là

Bài 5(CĐ-20Ω, R10Ω, R): Đặt điện áp u = 200cos100t (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm

một biến trở R mắc nối tiếp với một cuộn cảm thuần có độ tự cảm 1

 H Điều chỉnh biến trở để công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt cực đại, khi đó cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch bằng

Bài 6(ĐH-20Ω, R0Ω, R8): Đoạn mạch điện xoay chiều gồm biến trở R, cuộn dây thuần

cảm có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp Biết hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu đoạn mạch là U, cảm kháng ZL, dung kháng ZC (với ZC  ZL)

và tần số dòng điện trong mạch không đổi Thay đổi R đến giá trị R0 thì công suấttiêu thụ của đoạn mạch đạt giá trị cực đại Pm, khi đó R0 và công suất có giá trị:

Bài 7(ĐH-20Ω, R0Ω, R7): Đặt hiệu điện thế u = U0sinωt (U0 và ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch RLC không phân nhánh Biết độ tự cảm và điện dung được giữ khôngđổi Điều chỉnh trị số điện trở R để công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt cực đại Khi đó hệ số công suất của đoạn mạch bằng

Bài 8: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ Điện trở R = 20, cuộn dây

thuần cảm có độ tự cảm thay đổi được, tụ điện có điện dung C cũng thay đổi

được

Hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch u200cos(100 )(V)t

1) Điều chỉnh L và C để L = 31,8 mH và C = 106 F

Tính công suất của mạch

2) Thay đổi L và C sao cho hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu cuộn dây gấp 2 lần

hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu tụ và cường độ dòng điện qua mạch lệch pha

3



so với hiệu điện thế hai đầu mạch Tính công suất của mạch trong trường hợp này

và các giá trị của L và C

3) Thay đổi L sao cho LC2 1 tính công suất trong mạch khi đó

Bài 9: Cho mạch điện như hình vẽ: L là cuộn thuần cảm

Có độ tự cảm thay đổi được; R là biến trở

200 3 os(100 )( )

AB

1 Đặt khóa K ở vị trí số 1 và điều chỉnh L có giá trị L1, điện trở có giá trị R1

người ta thấy UAM = 100 6( )V , UMB = 200 2( )V Viết biểu thức uAM.

R

K

2 Chuyển khóa K sang vị trí 2, điện trở R2 = 100 2 Điều chỉnh độ tự cảm L =

3

 H thì thấy UL = ULmax Tính C2 của tụ

Bài 10Ω, R: Cho mạch AB gồm cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 1,6H

và một biến trở có R thay đổi được từ 0 đến 400

, mắc nối tiếp nhau Đặt vào hai dầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều

uAB = 400 os(100 )( )c t V

1 Điều chỉnh R để công suất tiêu thụ trên mạch đạt giá trị cực đại Pmax Tìm R và

Pmax và biểu thức của cường độ dòng điện khi đó

2 Tính R để công suất tiêu thụ trên mạch bằng 3/5 Pmax Viết biểu thức cường độdòng điện khi đó

2) Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 Một mạch gồm điện trở thuần R , một tụ điện có điện dung C và cuộn

dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được mắc nối tiếp Mắc vào hai đầu đoạnmạch một điện áp xoay chiều u = U0cost Khi điện áp hai đầu cuộn dây đạt cựcđại Kết luận nào sau đây là đúng?

A uL sớm pha hơn uR một góc /2

B uRC cùng pha với u giữa hai đầu đoạn mạch

C uRC trễ pha hơn điện áp hai đầu mạch u một góc /2

D uRL sớm pha hơn u một góc /2

Câu 2 Đặt một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng U không đổi nhưng

tần số f thay đổi vào hai đầu một đoạn mạch R,L,C nối tiếp Công suất toả nhiệttrên điện trở

phụ thuộc f

Câu 3 Cho một đoạn mạch điện xoay chiều gồm một biến trở R mắc nối tiếp với

một cuộn thuần cảm L = 2/ H Điện áp đặt vào hai đầu mạch u = 100 2cos100t (V) Thay đổi R, ta thu được công suất toả nhiệt cực đại trên biến trởgiá trị đó bằng

Câu 4 Cho mạch điện xoay chiều gồm biến trở R, cuộn dây thuần cảm L, và

điện dung của tụ điện C mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu đoạn mạch hiệu điện thếxoay chiều có biểu thức u 120 2 cos(120 ) t V Biết rằng ứng với hai giá trị củabiến trở :R1=16,R2=25 thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mach như nhau.Công suất cực đại của mạch đạt được:

Câu 5: Đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U = 240V vào hai đầu

đoạn mạch biến trở R, cuộn dây có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C nối