CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG

Trong hoạt động dạy v{ học của nh{ trường, vấn đề tìm tòi đúc kết n}ng tầm giải to|n theo hướng tổng qu|t, từ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n ở dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu v{ có nhiều cơ hội s|ng tạo, đó cũng chính l{ đổi mới phương ph|p dạy học . L{ gi|o viên giảng dạy ở bộ môn to|n trung học phổ thông, chúng tôi đ~ gặp nhiều trắc trở trong công t|c giảng dạy nhiều dạng to|n ở bậc phổ thông trung học. Vì mỗi b{i to|n có nhiều c|ch giải kh|c nhau, mỗi c|ch giải thể hiện kh|i niệm to|n học của nó. Trong c|c c|ch giải kh|c nhau đó, có c|ch giải thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có c|ch giải thể hiện tính s|ng tạo của to|n học. Những va ́n đe ̀ lie n quan đe ́n tam giác luo n là va ́n đe ̀hay và khó ở pho ̉tho ng đo ́ i với cả người dạy và người học. Vìcác he ̣ thức trong tam giác rát nhièu, phong phú và đa dạng. Trong lua ̣n va n này chúng to i xin đưa ra mo ̣t so ́ cách pha n loại các he ̣ thức, cách tìm ra các he ̣ thức trong tam giác đẻngười học tháy ván đèbản cha ́t hơn. Lua ̣n va n đượ c chia làm ba chương: Chương 1: KIe ́n thức chuâ ̉n bị Chương này he ̣tho ́ng lại các định li, ́ co ng thức và mo ̣t so ́ đa ̉ng thức, ba ́t đa ̉ng thức cơ bản nha ́t của tam giác như định líhàm so ́ sin, hàm sócos,…, các co ng thức tính die ̣n tích, đường cao bán kính… Pha ̀n 1.9 he ̣ tho ́ng lại những đa ̉ng thức ve ̀ ye ́u to ́ góc cơ bản trong tam giác Pha ̀n 1.10 ne u lại mo ̣t so ́ ba ́t đa ̉ng thức cơ bản dùng trong lua ̣n va n đe ̉ chứng minh các bài toán ba ́t đa ̉ng thức trong tam giác. Chương 2: Tìm mối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giác Trong chương này đưa ra hai cách đe ̉tìm đượ c các he ̣ thức trong tam giác.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

HÀ TRỌNG HẬU

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM

GIÁC VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2013

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

HÀ TRỌNG HẬU

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM

GIÁC VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 604640

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2013

Mục Lục

MỞ ĐẦU 3

LỜI CẢM ƠN 5

NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG 6

LUẬN VĂN 6

Chương 1: 7

KIẾN THỨC CHUẨN BI ̣ 7

1.1 Đi ̣nh lí hàm số sin: 7

1.2 Đi ̣nh lí hàm số cos: 7

1.3 Đi ̣nh lí hàm số tan: 7

1.4 Công thức tính diê ̣n tích tam giác: 7

1.5 Công thư ́ c tính bán kính: 7

1.6 Công thư ́ c đường trung tuyến : 8

1.7 Công thư ́ c phân giác trong: 8

1.8 Công thư ́ c hình chiếu: 8

1.9 Mô ̣t số đẳng thức cơ bản trong tam giác 8

Chương 2: 10

TÌM MỐI LIÊN HỆ CHO NHỮNG ĐẠI LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 10

2.1 Đưa vào những thông số thích hợp cho tam giác 10

2.1.1 Đưa thông số mơ ́ i vào tam giác 10

2.1.2 Những đại lượng biểu diễn công thức (2.1.4) thỏa mãn những bất phương trình (2.1.1) 12 2.1.3 Những miền con của G, tương ứng với những tam giác tù, tam giác nhọn và tam giác vuông 13 2.1.4 Tìm biểu thức của những đại lượng cơ bản trong tam giác thông qua thông số p,x,y 15

2.1.5.Tìm mối liên hệ giữa những đại lượng trong một tam giác 17

2.2 Phương tri ̀nh bâ ̣c ba theo các yếu tố trong tam giác 22

2.2.1 Phương tri ̀nh bâ ̣c ba theo yếu tố ca ̣nh của tam giác 22

Chương 3: 23

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 23

3.1 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào miền giá trị của hàm số cos và sin 23

3.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức côsi để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác 23 3.3 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Trêbưsep để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác 23 3.4 Phương pha ́p chứng minh bất đẳng thức trong tam giác nhờ bất đẳng thức Jenxen 25

KẾT LUẬN 30

Tàiliệuthamkhảo 32

MỞ ĐÂ ̀U

Trong hoạt động dạy v{ học của nh{ trường, vấn đề tìm tòi đúc kết n}ng tầm giải to|n theo hướng tổng qu|t, từ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n ở dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu v{ có nhiều cơ hội s|ng tạo, đó cũng chính l{ đổi mới phương ph|p dạy học

L{ gi|o viên giảng dạy ở bộ môn to|n trung học phổ thông, chúng tôi đ~ gặp nhiều trắc trở trong công t|c giảng dạy nhiều dạng to|n ở bậc phổ thông trung học Vì mỗi b{i to|n có nhiều c|ch giải kh|c nhau, mỗi c|ch giải thể hiện kh|i niệm to|n học của nó Trong c|c c|ch giải kh|c nhau đó, có c|ch giải thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có c|ch giải thể hiện tính s|ng tạo của to|n học

Những va ́n đe ̀ lie n quan đe ́n tam giác luo n là va ́n đe ̀ hay và khó ở pho ̉ tho ng đo ́i với cả người dạy và người học Vì các he ̣ thức trong tam giác rát nhièu, phong phú và đa dạng Trong lua ̣n va n này chúng to i xin đưa ra mo ̣t so ́ cách pha n loại các he ̣ thức, cách tìm ra các he ̣ thức trong tam giác đẻ người học tháy ván đè bản cha ́t hơn

Lua ̣n va n được chia làm ba chương:

Chương 1: KIe ́n thức chuâ ̉n bị

- Chương này he ̣ tho ́ng lại các định lí, co ng thức và mo ̣t so ́ đa ̉ng thức, ba ́t đa ̉ng thức cơ bản nha ́t của tam giác như định lí hàm so ́ sin, hàm só cos,…, các co ng thức tính die ̣n tích, đường cao bán kính…

- Pha ̀n 1.9 he ̣ tho ́ng lại những đa ̉ng thức ve ̀ ye ́u to ́ góc cơ bản trong tam giác

- Pha ̀n 1.10 ne u lại mo ̣t so ́ ba ́t đa ̉ng thức cơ bản dùng trong lua ̣n va n đe ̉ chứng minh các bài toán ba ́t đa ̉ng thức trong tam giác

Chương 2: Tìm mối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giác

Trong chương này đưa ra hai cách đe ̉ tìm được các he ̣ thức trong tam giác

Cách thứ nhát là đưa vào tho ng só thích hợp cho tam giác

Cách thứ hai là chỉ ra các yéu tó trong tam giác là nghie ̣m của phương trình ba ̣c

ba tương ứng từ đó dựa vào tính chát nghie ̣m tìm ra các he ̣ thức trong tam giác

2.1 Đưâ vào những thông số thích hợp cho tâm giác

Ta sẽ xa y dựng ra các đa ̉ng thức và ba ́t đa ̉ng thức trong tam giác Thie ́t la ̣p ra các

co ng thức của các ye ́u to ́ trong tam giác như góc, đo ̣ dài trung tuye ́n, đo ̣ dài

đường cao, đo ̣ dài các loại bán kính, co ng thúc die ̣n tích

Ấp dụng đẻ giải mo ̣t só bát đảng thức trong tam giác

2.2 Phương trình bâ ̣c bâ theo cấc ye ́u to ́ trong tâm giấc

Các yéu tó trong tam giác có thẻ bién đỏi theo ba đại lượng, có thẻ gọi là ba đại lượng cơ bản của tam giác đó là R, r, p Ta sẽ chỉ ra ràng các yéu tó của tam giác (cạnh, đường cao, hàm só lượng giác của các góc…) là nghie ̣m của phương trình

ba ̣c ba mà he ̣ so ́ theo ba ye ́u to ́ cơ bản của tam giác

Chương 3Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong tâm giấc

Chương này là dùng kie ́n thức pho ̉ tho ng, các bát đảng thức quen thuo ̣c như mie ̀n giá trị của hàm sin, hàm cos, ba ́t đa ̉ng thức Cauchy, ba ́t đa ̉ng thức

Chebyshev, bất đẳng thức Jenxen đẻ chứng minh cũng như xa y dựng các ba ́t

đa ̉ng thức trong tam giác Pha ̀n này là đúc rút của chúng to i qua quá trình bo ̀i dưỡng , dạy o n thi Đại học và học sinh giỏi

LỜI CẢM ƠN

Lua ̣n va n được hoàn thành dưới sự hướng da ̃n ta ̣n tình của Tha ̀y, Ts Le Đình Định Tha ̀y đã he ́t lòng giúp đỡ, dạy bảo, đo ̣ng vie n trong suo ́t quá trình học ta ̣p cũng như làm lua ̣n va n To i xin gửi tới Tha ̀y lời cảm ơn sa u sa ́c nha ́t!

To i xin bày tỏ lời cảm ơn cha n thành đe ́n ta ́t cả các tha ̀y co trong khoa toán – cơ – tin của trường ĐHKHTN – ĐHQGHN đã chỉ bảo ta ̣n tình trong suo ́t quá trình to i học ta ̣p tại trường

Nha n dịp này, cho to i bày tỏ lòng bie ́t ơn tới gia đình, cảm ơn tới bạn bè đã cỏ vũ,

đo ̣ng vie n to i trong suo ́t quá trình học

Do thời gian có hạn, trình đo ̣ bản tha n còn hạn ché ne n lua ̣n va n kho ng thẻ kho ng có những thiéu sót To i ra ́t mong được sự đóng góp ý kie ́n của tha ́y co và các bạn đẻ lua ̣n va n được hoàn thie ̣n hơn Xin cha n thành cảm ơn

Vĩnh Phúc, 10\05\2013

Hà Trọng Ha ̣u

NHỮNG KÍ HIE ̣U DÙNG TRONG

LUA ̣N VĂN

∆ 𝐴𝐵𝐶 ∶ Tam giác ÂBC

A, B, C : Các đỉnh của tam giác hay só đo góc trong tam giác ÂBC

a, b, c : Đo ̣ dài các cạnh đói die ̣n các góc Â, B, C

𝑙𝑎, 𝑙𝑏,𝑙𝑐: Đo ̣ dài các đường pha n giác trong xuát phát từ Â, B, C

𝑅: Đo ̣ dài bán kình đường tròn ngoại tiép ∆ 𝐴𝐵𝐶

𝑟: Đo ̣ dài bán kính đường tròn no ̣i tiép ∆ 𝐴𝐵𝐶

𝑟𝑎, 𝑟𝑏, 𝑟𝑐: Đo ̣ dài bán kính đường tròn bàng tiép trong các góc A, B, C của ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑝: Nửa chu vi

𝑆: Die ̣n tích tam giác

Chương 1:

KIE ́N THỨC CHUA ̉N BỊ

1.1 Định lí hầm so ́ sin:

𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐴 =

𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵 =

𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶 = 2𝑅.

1.2 Định lí hầm so ́ cos:

= 𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) (co ng thức He-ron)

1.5 Công thức tính bấn kính:

 Bán kính đường tròn ngoại tiép

𝑅 = 𝑎2𝑠𝑖𝑛𝐴 =

𝑏2𝑠𝑖𝑛𝐵 =

𝑐2𝑠𝑖𝑛𝐶 =

𝑎𝑏𝑐4𝑆

 Bán kính đường tròn no ̣i tiép

= 𝑆𝑝

 Bán kính đường tròn bàng tiép:

𝑚𝑏2 = 𝑐

2 + 𝑎2

𝑏24

𝑙𝑐 = 2𝑎𝑏

𝑎 + 𝑏𝑐𝑜𝑠

𝐶2

𝑙𝑎 = 2𝑏𝑐

𝑏 + 𝑐𝑐𝑜𝑠

𝐴2

1.8 Công thức hình chie ́u:

1.9Mo ̣t so ́ đâ ̉ng thức cơ bẩn trong tâm giấc

Bài tâ ̣p 1.9.4 Chứng minh ra ̀ng với x, y, z là ba góc ba ́t kì ta có những đa ̉ng thức

sau

Nhâ ̣n xét :Thay{ 𝑥, 𝑦, 𝑧} trong các co ng thức của bài ta ̣p 1.9.4 bởi

của bài tập 1.9.1; bài tập 1.9.2; bài tâ ̣p 1.9.3

Chương 2:

TÌM MỐI LIÊN HỆ CHO NHỮNG ĐẠI LƯỢNG TRONG

TAM GIÁC

2.1 Đưâ vào những thông số thích hợp cho tâm giác

Ta ký hiệu 𝑐 và 𝑎 là độ dài tương ứng cạnh lớn nhất và nhỏ nhất của một tam giác

3 4𝑏 – (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 𝑏 + 2𝑏 − (𝑎 + 𝑐) < 𝑏 + 2(𝑎 + 𝑐) − (𝑎 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏 +𝑐) ,

5 Ta nhân ba bất đẳng thức sau 𝑎 − 𝑏 ≤ 0, 𝑐 − 𝑏 ≥ 0, 8 > 0, ta nhận đƣợc 8𝑏2 + 8𝑎𝑐 − 8𝑏𝑐 − 8𝑎𝑏 ≤ 0, mà nó có thể viết lại đƣợc

5𝑏2 − 3𝑎2 − 3𝑐2 + 2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎

≤ 2 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) (3𝑏 − 𝑎 − 𝑐) − (3𝑏 − 𝑎 − 𝑐)2Hoặc là

Biểu thức (2.1.5) cho t có nghĩa Thật vậy, từ (2.1.3) ta có

Thông qua 2.1.1 và 2.1.2ta đã thiết lập quan hệ giữa những cặp số (a,b,c) và (x,y, p) thỏa mãn (2.1.1) và (2.1.3) Mối quan hệ này là tương ứng một - một Ta có thể nói p

bằng nửa chu vi tam giác là phần tử tuyến tính Thông số 𝑥 và 𝑦 là những đại lượng góc Với sự cố định một 𝑥 và một 𝑦 thỏa mãn

0 < 𝑥 < 1; 𝑥 < 𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥2 (2.1.10) Thì tất cả những tam giác (𝑥, 𝑦, 𝑝) là đồng dạng Bất đẳng thức (2.1.10) xác định

trong hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦 một miền giới hạn bởi đường thẳng 𝑦 = 𝑥 và parabol 𝑦 = 2𝑥 −

𝑥2, nhưng không tính những điểm nằm trên đoạn OM, còn những điểm nằm trên cung OM trừ hai điểm đầu đều thuộc tập G tương ứng với vô hạn những tam giác, mà chúng đồng dạng với cùng một tam giác Những điểm của miền G xác định tất cả những tam giác với những lớp đồng dạng

2.1.3 Những miền con củâ G, tương ứng với những tâm giác tù, tâm giác nhọn và tâm giác vuông

Ta ký hiệu 𝐶 là góc lớn nhất của tam giác, ta có

𝑐𝑜𝑠𝐶 = 𝑎

2 + 𝑏2 − 𝑐22𝑎𝑏

Và suy ra tam giác tù , tam giác nhọn , tam giác vuông phụ thuộc vào biểu thức

3 − 2 2 ≤ 𝑥 < 1, 𝑦 = −7𝑥

2 − 10𝑥 − 1(𝑥 − 3)2

Với những điểm trên cung PM của T trừ điểm M

2 Những tam giác tù nhận được từ những điểm trong miền

0 < 𝑥 < 3 − 2 2, 𝑥 < 𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥2,

𝑥 = 3 − 2 2, 3 − 2 2 < 𝑦 < 8 2 – 1 (2.1.12)

3 − 2 2 < 𝑥 < 1, 𝑥 < 𝑦 < −7𝑥

2 − 10𝑥 − 1(𝑥 − 3)2

nghĩa là tất những điểm giới hạn bởi đường cong T, đường thẳng 𝑦 = 𝑥, và parabol

Kết luận, tất cả những tam giác cân tương ứng với những điểm trên cung parabol

OM Điểm Q tương ứng với những tam giác đều Đặc biệt những tam giác nhọn đều tương ứng nằm trong miền 3 − 2 2 < 𝑥 < 1, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2, những tam giác tù đều tương ứng nằm trong miền 0 < 𝑥 < 3 − 2 2, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2, tam giác vuông đều tương ứng tại điểm P

2.1.4 Tìm biểu thức của những đại lượng cơ bản trong tam giác thông quâ thông số p,x,y

2.1.4.1.Diện tích S của tam giác theo công thức Heron

𝑕𝑏 = 2𝑝 𝛼

𝑥+1(2.1.20)

𝑕𝑐 = 𝑝 𝛼( 3 − 𝑥 − 𝑡)

2(1 + 𝑦 − 2𝑥) =

4𝑝 𝛼 ( 3 − 𝑥 + 𝑡)

2.1.4.7 Những góc của tam giác theo mối liên hệ 𝑏𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑎𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝐵 = 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐶 =2𝑆 và

𝑐𝑜𝑠𝐴 = (𝑏

2 + 𝑐2) − 𝑎22𝑏𝑐 , 𝑐𝑜𝑠𝐵 =

(𝑐2 + 𝑎2) − 𝑏22𝑐𝑎 , 𝑐𝑜𝑠𝐶 =

(𝑎2 + 𝑏2) − 𝑐22𝑎𝑏

Ta nhận được

𝑠𝑖𝑛 𝐴 = 8𝛼

(𝑥 + 1)( 3 − 𝑥 + 𝑡) , 𝑐𝑜𝑠𝐴 =

𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 3 − 𝑥 𝑡(𝑥 + 1)( 3 − 𝑥 + 𝑡)

(1 + 𝑦 − 2𝑥) , 𝑐𝑜𝑠𝐵 =

1 − 𝑦 (1 + 𝑦 − 2𝑥) , (𝟐 𝟏 𝟐𝟏)

𝑠𝑖𝑛𝐶 = 8𝛼

(𝑥 + 1)( 3 − 𝑥 − 𝑡) , 𝑐𝑜𝑠𝐶 =

𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 3 − 𝑥 𝑡(𝑥 + 1)( 3 − 𝑥 − 𝑡)

2.1.4.8 Bán kính đường tròn ngoại tiếp từ công thức

2.1.5.Tìm mối liên hệ giữa những đại lượng trong một tâm giác

Qua những thông số ta đưa vào có thể tìm ra hang loạt mối liên hệ giữa những đại lượng của một tam giác Hoặc dung các thông số để chứng minh hàng loạt các đẳng thức và bất đẳng thức giữa các đại lượng của một tam giác một cách giải tích Chú ý

rằng khi sử dụng x và y chúng phải thỏa mãn (2.1.10) Hãy chứng minh rằng trong

mọi tam giác đều thỏa mãn những bất đẳng thức sau:

Ví dụ 2.1.1 p 2

≥ 3 3 𝑆

Lời giải: Từ công thức (2.1.14) , bất đẳng thức có dạng

Với 𝑥 > 7

9, bất đẳng thức đúng nếu bất đẳng thức sau đúng

𝑥 ≥ −10𝑥2 + 7𝑥 + 1

7 − 9𝑥Nhưng bất đẳng thức đó biển đổi tương đương với bất đẳng thức hiển nhiên đúng

(1 − 𝑥)(3𝑥 − 1)2 ≥ 0và hiển nhiên đúng Dễ thấy rằng bất đẳng thức ban đầu trở thành đẳng thức khi tam giác đó đều

1 − x2>0

Với 𝑥 < 3

5 , bất đẳng thức (2.1.27) được thỏa mãn nếu bất đẳng thức sau đúng

2𝑥 − 𝑥2 < 6 𝑥

2 − 3𝑥 − 15𝑥 − 3Nhưng bất đẳng thức này biến đổi vào dạng tương đương

Nhưng bất phương trình này có thể viết dưới dạng

(x2 – 4x − 1+4y)2+ 3 (x − 1)2t2 ≥ 0 và hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy ra khi 𝑥 và 𝑦 thỏa mãn hai phương trình 𝑥2– 4𝑥 − 1 + 4𝑦 = 0, 𝑥2+10𝑥 + 1 − 8𝑦 = 0, mà nó xảy

Nhưng bất phương trình này biến đổi về dạng (2.1.26) và như vậy đúng, đẳng

thức chỉ xảy ra khi tam giác đều

( 𝑥 − 3 − 2 2 )[(𝑥 − 2 2 + 1)2 + 16 ( 2 − 1)] > 0

2.2Phương trình bâ ̣c bâ theo cấc ye ́u to ́ trong tâm giấc

Các yéu tó trong tam giác có thẻ bién đỏi theo ba đại lượng, có thẻ gọi là ba đại lượng cơ bản của tam giác đó là R, r, p Ta sẽ chỉ ra ra ̀ng các ye ́u to ́ của tam giác (cạnh, đường cao, hàm só lượng giác của các góc…) là nghie ̣m của phương trình

ba ̣c ba mà he ̣ so ́ theo ba ye ́u to ́ cơ bản của tam giác

2.2.1 Phương trình bâ ̣c bâ theo ye ́u to ́ cậnh củâ tâm giấc

Chương 3:

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG

THỨC TRONG TAM GIÁC

3.1 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựâ vào miền giá trị củâ hàm số cos và sin

Trong mục này, ta sẽ chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác dựa vào 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤

Bất đẳng thức Trêbưsep với trường hợp n=3

Cho hai d~y số xếp thứ tự giống nhau

𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3

𝑏1 ≤ 𝑏2 ≤ 𝑏3

Ta có bất đẳng thức 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 ≤ 3(𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3) Nếu hai dãy 𝑎𝑖 𝑖=13 , 𝑏𝑖 𝑗 =13 sắp xếp theo thứ tự ngược nhau thì:

𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 ≥ 3(𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3) Nhận xét 1: trong ∆𝐴𝐵𝐶, nếu 𝐴 ≥ 𝐵 ≥ 𝐶 thế thì

𝑠𝑖𝑛𝐴 ≥ 𝑠𝑖𝑛𝐵 ≥ 𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑐𝑜𝑠𝐴 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝐵 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑐𝑜𝑡𝐴 ≤ 𝑐𝑜𝑡𝐵 ≤ 𝑐𝑜𝑡𝐶

𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐

𝑕𝑎 ≤ 𝑕𝑏 ≤ 𝑕𝑐…

Nhận xét 2: Trong ∆𝐴𝐵𝐶 nhọn, nếu 𝐴 ≥ 𝐵 ≥ 𝐶 thì:

𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐴 ≥ 𝑠𝑖𝑛𝐵 ≥ 𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑡𝑎𝑛𝐴 ≥ 𝑡𝑎𝑛𝐵 ≥ 𝑡𝑎𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛2𝐴 ≤ 𝑠𝑖𝑛2𝐵 ≤ 𝑠𝑖𝑛2𝐶 … Với hai nhận xét v{ bất đẳng thức Trêbưsep với 𝑛 = 3 ta có c|c ví dụ v{ b{i tập sau

Bài tập áp dụng:

Bài 3.3.1: Chứng minh rằng nếu:

Hướng dẫn: |p dụng định lý h{m sin v{ BĐT Trêbưsep

Bài tập 3.3.2:Trong ∆𝐴𝐵𝐶, chứng minh rằng:

𝑎 𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐶

12

Bài tập 3.3.3:Trong ∆𝐴𝐵𝐶, chứng minh rằng:

𝑕𝑎 + 𝑕𝑏 + 𝑕𝑐 ≥ 9𝑟

Hướng dẫn: Áp dụng BĐT Trêbưsep v{ kết quả b{i tập 3.3.2

Bài tập 3.3.4: Cho ∆𝐴𝐵𝐶 nhọn, chứng minh rằng:

Trong mục này ta sử dụng tính cha ́t lo ̀i lõm củahàm só lượng giác đẻ chứng minh

mo ̣t so ́ dạng ba ́t đa ̉ng thức trong tam giác Cũng như sử dụng tính chát lòi, lõm của hàm lượng giác và bát đa ̉ng thức Jenxen đe ̉ xa y dựng ra các bài toán ba ́t đa ̉ng thức trong tam giác

Định lí 3.4.1Cho0 < 𝑥𝑖 < 𝜋, (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) ta có

Đẳng thức xảy ra khi v{ chỉ khi 𝐴 = 𝐵 = 𝐶

Tương tự ta cũng có đẳng thức với chiều ngược lại

Từ đó tâ xây dựng được các bài tập tiếp theo:

Bài tập 3.4.17: Chứng minh rằng với mọi tam gi|c 𝐴𝐵𝐶 ta luôn có :

1 + 1𝑠𝑖𝑛𝐴 1 +

1𝑠𝑖𝑛𝐵 1 +

1𝑠𝑖𝑛𝐶 ≥ 1 +

2 3

1𝑠𝑖𝑛𝐴+

1𝑠𝑖𝑛𝐵+

1𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵

≥ 1 + 2

𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵+

1 𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵

Suy ra

1 + 1𝑠𝑖𝑛𝐴 1 +

1𝑠𝑖𝑛𝐵 ≥ 1 +

1𝑠𝑖𝑛 𝐴+𝐵

2 2

Tương tự

1 + 1𝑠𝑖𝑛𝐶 1 +

1𝑠𝑖𝑛600 ≥ 1 + 1

3

≥1

8 1 − 𝑐𝑜𝑠

𝐴 + 𝐵2

3

= 𝑠𝑖𝑛6 𝐴 + 𝐵

4 Suy ra

3

Hướng dẫn

𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐵 + 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐶 + 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 2 2cos⁡ 𝐴 −𝜋4 cos⁡ 𝐵 −𝜋

4 cos⁡ 𝐶 −𝜋

4 Nếu max 𝐴, 𝐵, 𝐶 ≥ 3𝜋

4 => xong ! Nếu max 𝐴, 𝐵, 𝐶 ≤ 3𝜋