bài toán liên quan ôn thi đại học năm 2013

Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không tồn tại điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó với đồ thị song song với trục hoành.. Tìm trên đồ thị hàm số các điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó song song

TIẾP TUYẾN

Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong.

Cho hàm số yf x  có đồ thị  C1 và y g x   có đồ thị C2

Để  C1 tiếp xúc với C2 khi và chỉ khi hệ phương trình    

   

f x g x

f x g x









nghiệm

Bài 1: Cho hàm số y x 3  x2  x 1 Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không tồn tại điểm

mà tiếp tuyến tại điểm đó với đồ thị song song với trục hoành

Bài 2: Cho hàm số 3 2

1

y x  x  x Tìm trên đồ thị hàm số các điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Bài 3: Cho hàm số 3 2

1

y x  x  x Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không tồn tại hai điểm sao cho tiếp tuyến tại hai điểm này vuông góc với nhau

Bài 4: Cho hàm số y x 3  x2  x 1 Với giá trị nào của k để có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó vuông góc với đường thẳng y=kx k 

Bài 5: Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số y x 3  3x 1 không tồn tại hai điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau

Bài 6: (Đại học QGTPHCM): Cho hàm số  

2

3m 1 x m m y

x m



là tham số và m khác không Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị (Cm) với trục hoành tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y=x-10 Viết phương trình tiếp tuyến này

Bài 7: (Đại học công đoàn): Cho hàm số y x  3  3x 2  3x 5  Xác định k để trên đồ thị

có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d:y=kx+1

Bài 8: Cho hàm số 3 2

y  x  6x  9x 5  Tìm trên đồ thị hàm số những điểm mà tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó nằm ngang

Bài 9(Đại học thủy lợi): Tìm m để trên đồ thị hàm số  

3

2

x

3

tiếp tuyến nằm ngang

Bài 10 (CĐSP TPHCM): Cho hàm số y ax  2  bx 3  Tính a, b để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y=2x+4 tại điểm có hoành độ bằng 1

Bài 11: Cho hàm số y ax+b, c ad - bc 0

cx+d

này không thể có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Bài 12 (Đề khối D năm 2005): Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 1 3 m 2 1

là điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng 5x-y=0

Bài 13 (ĐH KT): Cho hàm số 3 2

y x   6x  9x 1  Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x=2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Bài 14 (Đại học quốc gia Hà Nội): Cho hàm số y x  3  3x có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng x=2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được đúng 3 tiếp tuyến

Bài 15: Cho hàm số y x  4  x 2  1 có đồ thị (C) Tìm trên trục tung các điểm kẻ đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

Bài 16: Cho hàm số y 2x  3  9x 2  12x 1  Tìm điểm A trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến tại A song song với đường thẳng d: 12x-y=0

Bài 17 (Dự bị năm 2003): Cho hàm số y 2x 1

x 1





 có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng IM

Bài 18(Đề dự bị năm 2002): Cho hàm số y x 3 3x 2 4 Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;4) và có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, M, N sao cho tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau

x 1



 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác cân Khối A

Bài 20: Cho hàm số y x 1

x 2





 Tìm m để đường thẳng d: y=x+m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến tại hai điểm này song song với nhau

Bài 21: (KD 2007): Cho hàm số 



2x y

x 1 Tìm M thuộc đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến

tại M cắt hai trục tọa độ tại A và B và tam giác OAB có diện tích bằng 1/4

Bài 22: Cho hàm số  



x 3 y

x 1 Gọi M x ;y thuộc đồ thị hàm số Tiếp tuyến tại M cắt  0 0

các tiệm cận tại các điểm A và B Chứng minh M là trung điểm của AB.

với đồ thị hàm số.

CỰC TRỊ

Bài 1: Cho hàm số y x 3  2m 1x2 2  m x  2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực trị đó dương

Bài 2: Cho hàm số y (m 2)x3 3x2mx 5 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực trị đó dương

Bài 3: Cho hàm số 2 3 2  2  2

2 3 1

y x  mx  m  x (1)

1 Khảo sát hàm số khi m=1

2 Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho x x1 2  2x1 x2  1

Bài 3: (Đại học giao thụng vận tải): Cho hàm số y x 3 3 m 1 x   29x m, m là số thực Xỏc định m để hàm số đó cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x 1 x 2 2 6

Bài 4: (ĐH Cảnh Sỏt 97): Cho hàm số y x 3 m 2 x  21 m x 3m 1    Tỡm m để hàm số đạt cực trị tại x ,x 1 2 thỏa điều kiện x 1 x 2 2

Bài 5: Cho hàm số y x 3 m 1x2  2m 1x 2 Với giỏ trị nào của m thỡ hàm số đạt cực trị tại cỏc điểm cú hoành độ x x1 , 2 thỏa món 2 2

1 2 2

x x 

Bài 6: Cho hàm số y x 3 3m 2 x2 9x m  1 Tỡm m để hàm số đạt cực trị tại cỏc điểm

1 , 2

x x sao cho x1  x2  2

Bài 7: Cho hàm số y x 3 (1 2 )  m x2 (2  m x m)   Xỏc định 2 m để hàm số đó cho đạt cực trị

tại x x1, 2 sao cho x1 x2 1

3

 

      Xỏc định m để hàm số đó cho đạt cực trị

tại x x1, 2 sao cho x1 2x2  1

Bài 9: Cho hàm số y 4x3mx2–3x Tỡm m để hàm số cú hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa

x1 4x2.

Bài 10: Cho hàm số y 2x  3  x 2 Giả sử đường thẳng y=a cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phõn biệt cú hoành độ x ,x ,x 1 2 3 Tớnh 2 2 2

x  x  x

Bài 11: Cho hàm số y x 3 2x2 (1  m x m)  (Cm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1.

2 Tìm m để đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt x1 ,x2 ,x3 thỏa mãn điều kiện 2 4

3

2 2

2

1 x x 

Bài 12: Cho hàm số y 4x 3m 3 x  2 mx Tỡm m để hàm số nghịch biến trờn đoạn

cú độ dài bằng 1

hoành độ điểm cực đại và cực thỏa: x 1x 2 2

Bài 14: Cho hàm số y 2x 3 2a 1 x  3    2 6a a 1 x 1    Chứng minh rằng với mọi a

hàm số luụn đạt cực đại và cực tiểu tại hai điểm x ,x 1 2 với x2 x1 khụng phụ thuộc vào tham số a

Bài 15(ĐHĐN): Cho hàm số y x 3  2m 1xm2  3m 2x 4 Tỡm m để hàm số cú cực đại và cực tiểu ở về hai phớa của trục tung.

Bài 16(Học viện quan hệ quốc tế): Cho hàm số y 4x3  mx2  3x m Chứng minh rằng với mọi m hàm số luụn cú cực đại và cực tiểu, đồng thời chứng minh rằng hoành độ điểm cực đại

và cực tiểu luụn trỏi dấu.

ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1(Dự bị 2006): Cho hàm số

3 2

N đối xứng nhau qua trục tung

Bài 2(Đại học Quốc gia TPHCM): Cho hàm số y x 33x 2 Tìm trên đồ thị (C) của hàm số các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(2;18)

Bài 3(Đại học Thái Nguyên): Cho hàm số y x 3 3mx 23 m 2  1 x 1 m   2 Tìm m

để trên đồ thị hàm số có hai điểm đối xứng nhau qua gốc toại độ

Bài 4(Đại học Đà Nẵng 97): Cho hàm số y x 3 m 3 x  2mx m 5  Tìm m để đồ thị có hai điểm đối xứng nhau qua trục tung

Bài 5(ĐH QGHN 97): Cho hàm số y 2x 3kx 2  12x 13 , a là tham số Với giá trị nào của k thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua trục tung

qua gốc tọa độ.

Bài 7(ĐH Y HCM 96): Cho hàm số y x 3mx  3 2  4m3 Xác định m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y=x

2

x y x





 Tìm trên đồ thị hàm số các điểm cách đều hai trục tọa độ

TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM

Bài 1: Cho hàm số y 4x 3 3x 1 Giả sử A là điểm nằm trên (C) có hoành độ xA=1

và d là đường thẳng qua A có hệ số góc m Xác định m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác A

Sử dụng sơ đồ Hocner để chia đa thức:

- Nếu pt: ax 3bx 2cx d 0 (a 0)   có nghiệm x= 

- Thì ax 3 bx 2cx d 0   x  ax 2 Bx C  0

   4x 3 3 m x m 1 0     x 1 4x   2 Bx C   0

- Như vậy ta thực hiện phép chia đa thức để tìm B và C.

1 4 B=1.4+0=4 C=1.B+(-3-m)=1-m D=1.C+(m-1)=0

Khi chia 4x 3 3 m x m 1 cho x-1, tức là chia bậc ba cho bậc nhất nên từ bậc ba sẽ     giảm xuống còn bậc hai Do đó kết quả là bậc hai với các hệ số a=4, B=4, C=1-m.

Bài 2: Cho hàm số y x 3m x 2  1 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

Bài 3: Cho hàm số y x 3mx 21 Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng d: y=-x+1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau ĐHQG 96.

Bài 4: Cho hàm số y x 3 6x 2 9x Tìm tất cả các đường thẳng đi qua A(4;4) và cắt

đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 5: Cho hàm số yx 2 x   2mx m 2 3 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục

hoành tại ba điểm phân biệt.

Bài 6: Cho hàm số y x 3 6x 29x 1 có đồ thị (C) Gọi d là đường thẳng qua A(2;1) và có

hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biêt.

    và đường thẳng d: y mx 8

3

  Tìm m để d cắt đồ

thị hàm số tại ba điểm phân biệt: ĐS: m 35 , m 4

8

Bài 8: Cho hàm số y x 32x 2 mx 1 có đồ thị (C m ) Chứng minh rằng với mọi m (C m ) cắt đồ thị hàm số y x 32x 27 tại hai điểm A và B khác nhau.

để d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt.

Bài 10: Cho hàm số y x 3mx 2 2 m 1 x m 3     có đồ thị (C m ) và đường thẳng (d m ) có phương trình: y=mx-m+2 Tìm m để đường thẳng (d m ) cắt đồ thị (C m ) tại ba điểm phân biệt.

góc k>-3 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, I, B đồng thời I là trung điểm của AB.

Bài 12: Cho hàm số y 2x 1

x 1





 Với giá trị nào của m thì đường thẳng (dm) đi qua A(-2;2) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số:

a/ Tại hai điểm phân biệt

b/ Tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị

2

2 3

1

m

m

 có ba

nghiệm phân biệt, với m là tham số ĐS: Với mọi m .

CẤP SỐ CỘNG

Bài 1: Cho hàm số y x 3x  3 2 9x m  Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ lặp thành cấp số cộng

Bài 2: Cho hàm số y x 3ax  3  2  4a 3 Xác định a để đường thẳng y=x cắt đồ thị hàm

số tại ba điểm phân biệt A, B, C với AB=BC

Bài 3: Cho hàm số y x  4 m 1 x   2 m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và có hoành độ lặp thành cấp số cộng

Bài 4: Cho hàm số y x  4  5x 2  4 Tìm m để đường thẳng d: y=m chắn trên đồ thị hàm số ba đoạn thẳng bằng nhau

Bài 5: Cho hàm số y x  4 2 m 1 x   2 2m 1  Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành

9

Bài 6(ĐH Kiến Trúc 93): Cho hàm số y x  4  ax 2  b Giả sử đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm lập thành một cấp số cộng Chứng minh rằng: 9a 100b 0 2  

M     M    

- Pt bậc ba: ax3 bx2cx d 0 a 0 (*)     

- Nếu pt (*) có ba nghiệm phân biệt x ,x ,x 1 2 3 thì :

1 2 3

b

a d

x x x

a

c

x x x x x x

a



  



















- Nếu a+b+c+d=0 thì pt (*) có nghiệm x 0 =1.

- Nếu a-b+c-d=0 thì pt (*) có nghiệm x 0 =-1.

- Ngoài ra ta có thể nhẩm nghiệm x0  p