luận văn thạc sĩ một số yếu tố hình học đại số trong đại số sơ cấp

Đề làm được điều này người ta đã dùng các phương trình đa thức để mô tả các hình học và quy các vấn đề hình học về việc nghiên cứu tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức.. Cụ thê, ch

MỤC LỤC

Lời nói đầu 225222cc HH H02 2

CHUONG I KIEN THUC CHUAN BI

Phan 1 Các kiến thức về hinh hoc dai $6.20 cc ccc cee ccc ceeveceeeetsestestestetesersseen

Phần 2 Tổng quan về chương trình đại số sơ cấp trong toan phé théng 24 CHƯƠNG TT : MỘT SỐ YẾU TÓ HÌNH HỌC ĐẠI SÓ TRONG ĐẠI SÓ SƠ CAP

2.1 Các tập đại số trong đại số sơ cấp - ¿2222222 2222221221112112 112211222 ee 25

2.2 Cau xa, yếu tố ánh xạ liên tục trên Tôpô Zariski sc2sz>szczvz 28 2.3 Thể hiện idéan của tập đại số trong đại số sơ cấp -c2-55zcccc+: 34

Tài liệu tham khảo c 38

Hình học đại số là bộ môn ra đời từ giữa thế kỷ 19 và vào cuối thế kỷ 19 hình

học đại số đã phát triển mạnh mẽ ở Italy với những tên tuổi như Castelnouvo, Zariski và các học trò của ông Hình học đại số là môn toán học dùng các công

cụ đại số để nghiên cứu hình học Đề làm được điều này người ta đã dùng các phương trình đa thức để mô tả các hình học và quy các vấn đề hình học về việc nghiên cứu tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức Qua quá trình giảng

dạy và học tập chuyên ngành Hình học đại SỐ, chúng tôi thấy Hình học đại số

có mối liên hệ với toán phố thông Với mong muốn được hiểu sâu hơn về mối

quan hệ giữa Hình học đại số và Đại số sơ cấp, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS

Nguyén Huynh Phan , tôi chọn đề tài “MỘT SÓ YẾU TÓ HÌNH HỌC ĐẠI

SÓ TRONG ĐẠI SÓ SƠ CÁP” đề làm đề tài luận văn tốt nghiệp

Luận văn được chia làm hai chương:

CHUONG I KIEN THUC CHUAN BI

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ sở liên quan đến nội dung của chương sau Cụ thê, chúng tôi trình bày các định nghĩa và các

tính chất cơ bản của vành giao hoán, tập đại số, iđêan, cấu xạ trong tôpô

Zariski và các nội dung chính của Đại số sơ cấp trong toán phổ thông

CHƯƠNG II MỘT SÓ YÊU TÓ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SÓ SƠ CÁP

Trong chương này, chúng tôi trình bày các yếu tố hình học đại số trong đại

số sơ cấp gồm các nội dung như: Tập đại số trong đại số sơ cấp, cấu xạ, ánh xạ

liên tục trên Tôpô ZarIski và thể hiện iđêan của tập đại số trong Đại số sơ cấp Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vĩnh dưới sự

hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán Nhân địp này, tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán, người đã chỉ dẫn đề cương nghiên cứu cho tác giả và đã tận tình hướng dẫn tác

giả trong quá trình học tập và nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn các

thầy cô giáo trong Khoa Sau Đại học đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong

quá trình công tác và học tập Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Toán trường Đại học Vĩnh đã giảng dạy và hướng dẫn giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp và gia đình, đã

động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học

tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được

hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm on !

Vinh, thang 10 năm 2013 Tác giả luận văn

CHUONG I MOT SO KIEN THUC CHUAN BỊ

PHAN 1 CAC KIEN THUC VE HiINH HOC DAI SO

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về hình học đại số

như : Tập đại số, idean, idean nguyên tố và tập bất khả quy, cấu xạ và các tính

chất của chúng Nhiều tính chất trong này chúng tôi đã chứng minh chỉ tiết mà trong các tài liệu tham khảo đã chứng minh sơ lược hoặc không chứng minh 1.1 VÀNH ĐA THỨC

1.1.1 Định nghĩa

Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và n là một số nguyên không âm

Vành đa thức A[ Xị, Xa, Xa] của n biến xị, xạ, , xạ trên A được định nghĩa

theo quy nạp như sau:

A[ Xi; Xe, ., Xn} = AP Xi, Xe, ., Xai]|[Xa]

Tức là A[ xị Xo, xạ] là vành đa thức của biến xạ trên vành A[ Xị.X¿ Xạ+]-

Ký hiệu: A[X]= A[ Xi Xa Xa]

Khi đó A[X] !à vành giao hoứn có đơn vị với phép cộng và phép nhân đa thức thông thường Các phần tử của A[X] được gọi là các đa fức, mọi đa thức

fe A[X] có dạng

'

với m €Ñ và €,_„„„ aly € A.Các phan tir Cy uaty = 0 được gọi là các hệ số và các lg

biểu thức x{t++x{" được gọi là các đơn thức của

1.1.2 Bậc của đa thức

Với fe A[X] đặt degf:= max{rt + rạ + + rn | " tn +0} néuf #0

và đặt degf = - nếu f = 0 Khi đó đegƒ được gọi là bác của ƒ

Nếu degf= I, ta nói f là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng

f = aiXi † azXa + + anXn + anit

trong đó ít nhất phải có một hệ số gắn biến khác không

Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự các biến và theo

giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là, coi

Ai TA” VAN TP AI LAI? Xin

Chứng minh Mọi đơn thức của fg đều có dang uv voi u là đơn thức của f và v

là đơn thức của g Gọi umax, vmạx lần lượt là các đơn thức bậc lớn nhất của f, g theo thứ tự nêu trên Với mọi u # umạy và V # Vmax fA cÓ uV < u0maxVmax do đó uv

# UmaxVmax Gọi c, d € A la các hệ số tuong tng cla Umax, Vmax Vic, d = 0 nén

cd #£ 0 Khi đó cdumaxVvmax là hang tu cua fg

Do d6: deguv < degumaxVmax = degumnax + degVinax = degf + degg

Vay degfg = degf + degg

1.1.3 Ménh dé Néu A la mién nguyén thi A[X] là mién nguyén va cdc phan tie kha nghich cia A[X] là các phân từ khả nghịch của A

Ching minh Gia su f, g là các đa thức khác 0 trong A[X] Khi đó deg£,

degg =0 nên degfg > 0 và do đó fg £0 Vì vậy A[X] là miền nguyên

Tiếp theo, néu fg = 1 thi degfg = degf +degg = 0, suy ra degf = degg = 0; đo đó

£ g là những phần tử khác 0 của A Vì vậy £ g là những phần tử khả nghịch của A

1.1.4 Nhận xét Nếu K là một trường thì

1/ Với mọi Ê ø e K[X] ta luôn có

deg(fg) = degf + degg

2/ K[X] là miền nguyên vì fg # 0 nếu f g £ 0

3/ K là tập các phần tử khả nghịch của K[X] vì fg = 1 néu f £ K hoặc g £ K 1.1.5 Nghiệm của một đa thức

Cho A là vành giáo hoán có đơn vị và f = ny+ +rn se Ấn x} XE" với meN Với a= (a, aạ, an) 6 A” ta có giá trị:

nếu fa) = 0 và ta cũng nói f #iệt tiêu tại a

Chú ý rằng, mỗi đa thức f xác định một ánh xạf: K” -› K; a r> f{a), gọi là ánh xạ da thức

1.1.6 Bỗ đề Giả sử K là một trường có vô hạn phần tir Néu fla) = 0 với

va e K" thì ƒ= 0

Chứng mình

+) Nếu n= I thì f là đa thức một biến nên nếu f là đa thức bậc d > 1 thì f chỉ có

hữu hạn nghiệm điều này mẫu thuẫn với f{a) = 0 Va e K"

+) Nếu n> 1, giả sử fchứa biến xạ khi đó ta viết f dưới dang:

khác 0 nhưng triệt tiêu trên toàn bộ K

1.1.8 Hệ quả Giả sử K là một trường có vô hạn phân tử: Cho ƒvà g la hai da thức trong KỊXJ Nếu ƒfa) = g() với mọi a e K” thì ƒ= g

Trong luận văn này, từ đây trở đi, /ø luôn giả thiết trường K là vô hạn 1.2 TẬP ĐẠI SÓ

1.2.1 Định nghĩa Tập Ve K” được gọi là tập đại số nếu V là nghiệm của một

họ các đa thức trong K[X], nghĩa là:

1.2.2 Ví dụ

1/ Tập rỗng Ø là tập đại số vì phương trình 1 = 0 vô nghiệm

2/ Mọi điểm a = (ai, 8a, 8n) đều là tập đại số vì a là nghiệm duy nhất của

Giấy † địaẤz Tên đ đạ„„ = Ôị

Qayấ; + Agghg t+" + GayXn = Ủa

AgyXyt AygXz $+ GynXy_ = by

Trong đó hạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính trên bằng n - m và

n-m<p<n

5/Tập tất cả các số thue KR? va tat ca cdc số phức ` là các tập đại số

6/ Lấy K= Ï hoặc É và cho tôpô trên Ïš*,€” là tôpô thông thường ( tôpô sinh

bởi khoảng cách ơcolit d(x,y) = Vlei trong đó x = (XỊ,Xa, ,Xn);

y= (yi.v; ya) Thì mỗi tập dai sé V trong R” va C* là những tập đóng vì các ánh xạ đa thức f: 3? — 3; ar> f(a) là ánh xạ liên tục ( với tôpô thông thường) và tập đại số V= Opes f*(9) là giao của các tập đóng f”(o) nên V đóng trong KR"

Ta chỉ có thể tính Z(Ð trong một số trường hợp cụ thê

b) Ví dụ Trong vành đa thức KỊx, y], cho f = xỶ - y, thì Z(f) = { (a, a*)|a¢

Kỳ

Thật vậy đặt V = { (a.a”) a < K}

*®(a,a) e€V =f{a)= a`—-a`=0 = Vc Z(

* Ngược lại, giả sử (ai, a2) = Z(f) Nếu a: =0 thì a; = 0 nên (ai, a2) = (0, 0°)

€V Khia; +0 = a.=0, tacd

a) Dinh nghia: Cho S là một tập con của K[XỊ], kí hiệu Z(S) = {a € K": f(a) =

0, Vf © S}; Vay Z(S) = f1;„s;Z(ƒ) thé thi Z(S) là một tập đại số và vì vậy moi tap đại số đều là giao của các tập dạng Z(?), khi này ta cũng nói Z(S) là fập

đại số của tập các đa thức S và được gọi là tập Zariski của tập S

b) Nhận xét

1/ Khi n = 1 thì mọi đa thức bậc dương chỉ có hữu hạn nghiệm nên tập đại số của nó trong K là tập hữu hạn Ngược lại mọi tập hữu hạn trong K đều là tập nghiệm của đa thức một biến Vì vậy Z(Ð = © hoặc Z(Ð) là tập hữu hạn hoặc

Z(Ð =K Từ đó suy ra khi n = 1 các tập đại số trong K là các tập rong, tập hữu

hạn hay K

2/Gia sir Sva Sạ là hai tập đa thức trong K[X] Nếu S¡ c S¿ thì Z(S¡) > Z(S¿)

3/ Tập nghiệm của họ các đa thức bậc nhất (n ấn) duge goi da tap tuyến tính c) Bố đề Co S; và S› là hai tập các đa thức trong KỊX).

Đặt ŠS = fz |feS, g €S2} Taco: Z(S)) UZ(S2) = ZS)

Ching minh

*Z(S)U Z(S2) c Z(S)

Thật vậy: Lây phân tử tùy ý a e Z(S¡) U Z(S:) thì l =7(,)

- Nếu a € Z(S,) thi f(a) = 0 véi Vf e S¡ suy ra (fg)(a) = Ñ(a)g(a) = 0 với

=> [ea _¢9 do K là trường nên Ê = X(S,)

=a € Z(S,)U Z(Ss)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

d) Bỗ đề Cho £Sj}¡.¡ là một họ các tập đa thức trong K[X] Khi do:

fñ1„;Z(5,)= Z(U;:rŠ:)

Chứng mình

Lấy phần tử tùy Ya [1;„Z(Š,) khi đó:

a € Z(S;) voi Vi e | © f(a)= 0 với Vf e Si, Vie I

=> f(a) =0 voi Vf € U;.:S;

©ac/(U,.;ŠS,)

Vậy Mier 2(5;) = Zier 5s)

e) B6 dé Cho S CK[X] va T CK[Y] là hai hệ ấa thức từy ý Nếu ta coi SUT như một tập đa thức trong KỊXN, Y] thì: Z(S) x ZT) = ZS VT)

Ching minh

Giả sử a € K" và b e K”, Khi đó (a, b) la nghiém ctia S U T khi và chỉ

khi a là nghiệm của S và b là nghiệm của T Điều này chứng tỏ

Z(S)x Z(T) = Z(S © TT)

1.2.5 Nhận xét Từ các kết quả trên ta tóm tắt lại như sau:

1/ Ø là tập đại số

2/ K" là tập đại số

3/ Hợp của hai tập đại số là một tập đại số

4/ Giao của một họ bất kỳ các tập đại số cũng là một tập đại SỐ

5/ Tích của hai tập đại số là một tập đại SỐ

6/ Tuong img Z: K[X] > K", cho bdi S + Z(S) là một ánh xạ từ họ tat ca các tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian añn

kK"

7/NéuS; > Sz thi ZS) < ZS2);

8/Z(0) = K";

9⁄70 =Ö với OF fe K

'Từ nhận xét trên ta có kết quả sau

1.2.6 Dinh li Ho tat ca các tập đại số trong không gian qịìn K" lập nên một tôpô (theo ngôn ngữ tập đóng)

Chứng mỉnh Ký hiệu Z(K”) là họ tất cả các tập đại số Z(S) trong K” Thế thì

họ này chứa rỗng, chứa K" và đóng kín với hợp hữu hạn, giao tùy ý nên nó lập thành một tôpo (theo ngôn ngữ tập đóng) trên K”

1.2.7 Tô pô Zariski

a) Định nghĩa Họ Ø;= {V | V © K"| V là tập đại số} lập thành một tôpô trên không gian añn K” và gọi là “ôpô Zariski

b) Mệnh đề.(về một số tính chất đơn giản của tôpô Zariski)

1/ Các tập mở dạng DỢ) = K" \ Z0) gọi là tập mở Zariski và chúng lập thành một cơ sở cho tô pô ZarisRi

D@®ND(g) = K" \ Zt) UZ(g) = K* \ Z(fg)

Nhung D(f), D(g) khac réng nén Z(f) va Z(g) khac K", do dé f va g khac 0, vi vay fg +0 Nén Z(fg) + K"

= Dio Dig) = B

4/ Mọi tập mở: Zariski không rỗng đều là tập trù mật (đối với tépo Zariski);

3⁄ Không gian qfìu K” với tôpô Zariski không phải là không gian HausdorƒƑ

Kết luận 4/ và 5/ suy từ 3/ vì nếu Z(S) là tập mở khác rỗng thì mọi tập mở

khác rỗng khác đều giao với nó, cho nên mọi lân cận của mọi điểm trong K”

đều giao khác rỗng với Z(S), nghĩa là Z(S) là tập trù mật trong K"

1/ Tap {0} va A la idean Chung gọi là các iđezn tầm thường Những idean còn

lại goi la idean thuc sw

2/ Voi moi f « A, tap (f) : = {gf; g = A} la mét idean, goi la idean chinh sinh boi f-

3/ Cho S < A la tap con bat ky.

Thế thì tập

(S):= { hiñ + haf› + + h,f ; hy, hy, , hy € S: f,

là một idean bé nhất chứa S, gọi là idean sinh boi S

1.3.3 Mệnh đề

Cho I, J là các iđêan trong vành A, ta có:

1⁄1+J := {ƒtglS L,.qe J} là iđêan nhỏ nhất chứa I và J;

2/TfU := {JE [ tà ƒ j] là một iđêan;

3/ Tập lLJ : = (hự) + hợý; + + hự,, hạ hy h, cl và f, fo,

idéan va dwoc goi la idéan cua tich LJ;

4 IIS 10S va noi chung hai idéan nay khae nhau;

Md + J) = MI + MJ voi moi idéan I, J, M

ven fed } lat

4/ Giả sử u€ /J, khi đó u = hịf + hạt; + + h/f: với hị, hạ, h; =l và Ít,

3/ Phan tử đơn vị 1 e I khi và chỉ khi [ = V;

4/1 # V thì I được gọi là iđêan thực sự của V;

5/ Cho §c V Kí hiệu: (S)=fgifi + of + +g,f/reN,§ eS,g¡£A,¡= 1,7} Lúc đó éŠ) là iđêan và là iđêan nhỏ nhất chứa S, người fa gọi là iđêan sinh bởi

S Đặc biệt khi S có hữu hạn phân tử thì {S)- (fi, fi, ., £.), nếu S có một phần

tử thì (S)= {ƒ}= { thịhe V} được gọi là idéan chính

1.3.5 Ví dụ Cho I = (x’, y) va J = (y) la hai idéan trong vành đa thức hai ẩn

K[x, y], ta co:

V1 + J = (x2,y) vil = 6°f+ yg | £ ge Kix y]} J= {yh| h e KỊx y]} nénI+J={xf+yg+yh|f£g, he K[x y]}={xf+ey|fe e K[x y]}

2/ 1) — (x? y,y?) do II = {(x°f + yg)yh| £ g, h € Kfx, y}}

={xyutyv uve Kx, y]} = (x?y,y?)

3/I NI = (t+ yg| fg € K[x y}} M fyh| he KỊx y]}

= (x yf+ ye|£ e KỊx y]}

— 4x? y, 9)

1.3.6 B6 dé Moi tap dai sé déu la tap dai số của một iđêan nào đó

Ching minh

Gia str S 1a mét tap cac da thite trong K[X] và IE (S) là iđêan sinh bởi S

‘La sé ching minh Z(S) = Z(1), nghĩa là khi đó tập đại số của tập S chính là tập

đại số của iđêan I Thật vậy:

Ta chứng minh Z(S) c Z():

Lấy phần tử bất kỳ a e Z(S) thì f(a) = 0, Vf e S Suy ra g(a) = 0 với

Vg elvig=hf,+ hof + + hại; ñ;eK[X], ñ eS, Vi= 1, và f(a) = 0,

Vậy từ (3) và (4) suy ra Z(S) = Z1) (đpem)

1.3.7 Bồ dé Cho I va J la hai iđêan tùy trong KỊXJ Khi đó:

1.3.8 Dinh li Cho V la tap con ctia K" Khi đó tập

y= Of € K[X] | f@) = 0 voi moi a © V} la idéan cia K[X] va la idéan lon

nhát có tập nghiệm chứa L? ly gọi là iđêan của tập điểm V trong K[X];

Voc Zy) Khi Vo o= fap thi ta viết lý = Ig

Ching minh Đề chứng minh ly là Iđêan ta kiểm tra hai điều kiện sau:

1) Với mọi Ê g e ly thì F+ g e ly:

That vay: Do f, g € ly nén f(a) = 0 va g(a) = 0 voi Va € V, suy ra

(f+ g)(a) = fla) + g(a) = 0 voi Va € V Do dé f+ g e ly (đpem)

ii) Voi moi f € ly va h € K[X] thi fh € ly:

Vi f € Ivy nén f(a) = 0 voi Va € V Do dé (fh)(a) = f(a)h(a) = 0 voi Va € V

Vay fh e ly

Kết luận: Iy là idéan trong K[X]

15

Như vậy, cách xác định tập Z{S) và tập ly cảm sinh hai ánh xạ ⁄ và L được

cho trong sơ đồ sau

Zz

PCK[XD_ PEK");

I trong đó Z.: § E>Z(S) và I : V F> ly; P(X) là ký hiệu họ tất cả các tập

3/ Iq =(X1 — 41, Xa — 8a, Xn—An) VOLA=( a4, a, ., An);

4/ Nếu V c K? la tap vé han diém trén dudng cong y = x° thi ly =(x°-y); 5/ Néu V lad- phang trong K" ma ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng

3/ Dé cho tiện, ta giả sử điểm a là gốc tọa độ, a = (0, 0, , 0) Mọi đa thức

f e K[X] đều viết được dưới dạng

f = hạxị + hạ + + h,x, + b voi be K Nhung (0, 0, ,0) = 0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f có dạng

f = hịxi + hạ; + + huxạ, nghĩa là khi và chỉ khi f s (%xị, xa , Xa ) Vậy lọ = (Xị, Xa , Xa )

4/ Ta chỉ cần chứng minh ly c (x`- y) Coi mọi đa thức f € K[x, y] la da thức của ẩn y với hệ số trong K[x] Tương tự như thuật toán Euelide ta có thé việt

f= h(xÌ`—y) + g với ge KỊ[|

Do Vc Z(x`—y) ={(a.a);a < K} nên với fe< ly thì Ña, a) = g(a)= 0

với mọi a thuộc tập vô hạn trong K nên g là đa thức 0, nên f= h(x’ — y), nghĩa

laf < (x`- y)

5/ Ta có thể viết mọi đa thức trong K[X] dưới dạng

f= haaXaa + hạ¿zXa¿¿ È + hpXn + 8

trong dé g © K[x), Xo, , Xa] Thế thì f‹ ly khi và chỉ khi

f(aj, ag, , ag, 0, 0, ,0) = g(ai, aa, , aạ) = Ö với mọi ai, a2, , ag = K Điều này có nghĩa là g = 0, nên khi đó

f= haan + hasoXarg + † đuXn € Xar, Xatz, Xa).(đpem)

Cho I là iđêan của vành A Ký hiệu: Ï = { fe A, sao cho 3 số tự nhiên r

sao cho f“ e1 } Khi đó ta có bố đề sau:

1.3.10 Hỗ đề Cho I là idéan, thé thi V1 cũng là iđêan và 1 c 2Ï = xϬ[1 Nếu

I =I thil goi la idéan căn

Chứng mình Giả sử £ g = V7 tacdn ching minh Ự ge vi

1.3.11 B6 dé Cho V CK", khi do ly la idéan can

Ching mình Ta cần chứng mình ly — 1y

Thật vậy: Ta có ly c Viv , bay gid ta sé chitng minh Viv cly

Lay phan tir bay ky f € ^ thì ƒ" e ly với m> 0 nào đó Suy ra:

f"(a)=0 voi Va € V, m>0

= fa)= 0 với Va e V

17

=fel,

=> lly cly

Vậy Iy la idéan can (dpem)

1.3.12 Ménh dé Gidi sir I, J la các iđêan trong K[X] Khi do:

=tevyl,fe af Khi do ton tai m, ne N” saocho f™e|, fe J

Do dé f™" e II, nên f € / Tf Suy ra /T7> YIN 7

1⁄ ly ly: Lấy phần tử bất kỳ f € Iy thi f(a) = 0 voi Va e W

= fa)= 0 với Vae VviVcW

=fely

=> lw c ly (dpem)

2/ Đề chứng minh Iy f1Iw = iz¿z ta sẽ chứng minh 7„f17„ Ïzụ;y và

„nIyÐ Tuy.

El,

+) ly Nlw © Lpyqy Lay thy ý f e ly f1 lw suy ra ff _

Ely {fie =0,Va€W

Tacó:VcVUWvàWCVUW Do đó ly ñzuyy và lụ Đ Ïzugy

Vay ly NIw > Ïyujp

Vậy ly + lw © Lyayy (dpem)

1.3.14 Định nghĩa Giao của một họ các tập đại số chứa V là tập đại số nhỏ nhất chứa V và được gọi là bao đóng của V Kí hiệu là: ¥

1.3.15 Bố đề Cho V là một tập tùy ý trong K" Khi đ6:

Do V là tập dai sé nén V= V’ Theo bé dé 3.1.13 thì ƒ = Z(Iy)

Từ đó suy ra V = Z(Iy) (đpem)

1.3.17 Bé dé Cho V va W là hai tập điểm tùy ý trong K" Khi đó

VxIW=Ÿ xử

Ching minh

Ta có: ƒ - Z(Iy) W = Z(Iy) nên ƒ , WY 1a cdc tp dai số Vì thế ƒ +Ïf là tập

đại số, suy ra ƒ x W =Z(Ivxw)

Tương tự ta cũng có: V x W =Z(ly„„w)

Bây giờ ta sẽ chứng minh: Ï+„;„— Ee agp

Do ƒ xIJƑ c ƒ x PŸ nên ñ+~„;„ lz„;p Ta cần chứng minh ï„.;„ C Ïz.„;p

That vay: Lay phan tir bat ky f E ï„„;„ thì f{(a, b) = 0 với Va e V, Vb e W

=> fla, Y)=0 trén W

=f, Y) e lự

= fla, b’) voi Vb’ e Zw)

Tuong tu ta duge f(X, b’) € Iv

= fa’, b’) =0 voi Va’ eZ(Iy)=F’

Vay tia’, b') = 0 với a'ef, b elf suy ra f € i„„¡„„ tức là lz„;ự © ly„;g.