Luận án tiến sĩ toán học: xấp xỉ và khai triển tiệm cận của phương trình hàm phi tuyến trong miền 2 chiều

HỒ CHÍ MINH LÊ THỊ THANH HẢI XẤP XỈ VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHI TUYẾN TRONG MIỀN HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán Giải Tích... HỒ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP HỒ CHÍ MINH

LÊ THỊ THANH HẢI

XẤP XỈ VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHI TUYẾN

TRONG MIỀN HAI CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán Giải Tích

Mã số : 1.01.01

TP.HỒ CHÍ MINH 12/2006

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP HỒ CHÍ MINH

XẤP XỈ VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHI TUYẾN

TRONG MIỀN HAI CHIỀU

Luận văn Thạc sỹ Toán học

Chuyên ngành : Toán Giải Tích

Mã số : 1.01.01

Người hướng dẫn : TS Nguyễn Thành Long

Đại học Khoa học Tự Nhiên

Tp Hồ Chí Minh

Học viên cao học : Lê Thị Thanh Hải

TP HỒ CHÍ MINH 12/2006

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP HỒ CHÍ MINH

Lê Thị Thanh Hải

Bộ môn Toán, khoa Khoa Học Cơ Bản Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp Hồ Chí Minh

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án tại Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh vào lúc .giờ phút, ngày tháng năm 2006

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Đại học Khoa Học Tự Nhiên

Tp Hồ Chí Minh

TP HỒ CHÍ MINH 12/2006

L ỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng kính gửi đến TS Nguyễn Thành Long, người

thầy hết lòng vì học trò của tôi, tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất Thầy chính là người đã động viên, giúp đỡ và mở ra cho tôi thấy được niềm say mê, hứng thú của công việc nghiên cứu khoa học tưởng chừng như rất khô khan này Và đặc biệt xin khắc ghi sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy về mọi mặt trong quá trình giảng dạy cũng như trong quá trình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy, Cô của khoa Toán – Tin

học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy để tôi có được những kiến thức quý báu làm hành trang cho quá trình học tập và nghiên cứu sau này

Xin chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm khoa Toán - Tin học và các Thầy, Cô

thuộc Phòng Quản Lý Khoa Học Sau Đại Học, Ttrường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

Tp Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi về các thủ tục hành chính trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Chủ Nhiệm khoa Khoa Học

Cơ Bản, đặc biệt là các Thầy, Cô trong Bộ môn Toán, Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ

Thuật Tp Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi yên tâm hoàn thành tốt luận văn này

Lời cuối, tôi cũng không quên gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi và lời tri

ân đến tất cả bạn bè tôi, những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn này

Lê Thị Thanh Hải

MỤC LỤC

Trang Bìa phụ

Lời cảm ơn

Mục lục

Chương 1 : Tổng quan 1

Chương 2 : Các ký hiệu và các công cụ cơ bản 5

Chương 3 : Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 7

Chương 4 : Thuật giải hội tụ cấp hai 14

Chương 5 : Khai triển tiệm cận nghiệm 22

Chương 6 : Thuật giải lặp trên hệ phương trình hàm cụ thể 32

Chương 7 : Khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phương trình hàm cụ thể 43

Kết luận 53

Tài liệu tham khảo 55

Chương 1 TỔNG QUAN

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm có dạng sau đây

Trong [11], các tác giả Wu, Xuan và Zhu đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất

nghiệm của hệ (1.1) cụ thể với m n= = 2, φ ≡ 0, Ω = −[ b b, ,] S ijk( )x là nhị thức bậc nhất

trong những điều kiện thích hợp Ở đó, các tác giả đã xây dựng được dãy quy nạp hội

tụ đều về nghiệm của hệ (1.1) và ứng dụng nó vào hệ phương trình hyperbolic

Trong [3], các tác giả Long, Nghĩa, Khôi, Ruy đã khảo sát một trường hợp riêng

của hệ (1.1) như sau

với Ω là khoảng bị chận hoặc không bị chận của R Với những điều kiện phù hợp

được chỉ ra, bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, các tác giả đã chứng

minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ (1.2) Đồng thời, nghiệm này còn ổn

định đối với các hàm g i i ( =1, n) Đặc biệt, nếu a ijk( )x y, =αijk y, αijk∈R S, ijk( )x là nhị

thức bậc nhất, g C∈ r(Ω;R n) và Ω = −[ b b, ,] trong [3] cũng đã thu được một khai triển

Maclaurin nghiệm của hệ (1.2) đến cấp r. Hơn nữa, nếu g i là các đa thức bậc không

quá r, thì nghiệm của hệ (1.2) cũng vậy Sau đó, nếu g i là các hàm liên tục thì nghiệm

f của (1.2) được xấp xỉ bằng một dãy các đa thức hội tụ đều Phần cuối, các tác giả đã

khảo sát một thuật toán số dựa vào thuật giải xấp xỉ theo nguyên tắc ánh xạ co trên hệ

phương trình hàm cụ thể

Tất cả các kết quả thu được trong [3] đã được các tác giả Long, Nghĩa [4] mở

rộng trong trường hợp nhiều chiều với Ωi là các miền compắc hoặc không compắc của

p

R và S ijk( )x là các ánh xạ affine Ngoài ra, cũng trong [4], các tác giả đã chỉ ra những

điều kiện cần thiết để có được một thuật giải hội tụ cấp hai

Trong [5], tác giả Long đã nghiên cứu một hệ phương trình tích phân - hàm trên

Nếu S ijk, X ijk là các nhị thức bậc nhất, g C∈ r( ;Ω R n) và Ω = −[ b b, ] thì chúng ta thu

được một khai triển Maclaurin của nghiệm hệ (1.3) đến cấp r. Tuy nhiên, chỉ khi

0, , ,

ijk i j k

α = ∀ thì với g i là các đa thức bậc không quá r ta mới có được nghiệm của

(1.3) cũng là các đa thức bậc không quá r.

Một trường hợp riêng của hệ (1.1) được khảo sát bởi Long, Diễm [7] và Vân

[10] với φ( )y = y2 , R ijk =S ijk.

Trong [9], tác giả Nghĩa đã khảo sát một hệ tuyến tính trong miền 2 chiều cụ

thể Ở đó, nghiệm của hệ phương trình hàm được xấp xỉ bằng một dãy đa thức hội tụ

đều Đồng thời cũng trong [9], tác giả đã nghiên cứu các trường hợp của hàm g i và

trong mỗi trường hợp tác giả đưa ra công thức tường minh để tính toán được các hệ số

trong nghiệm đa thức của hệ phương trình hàm tương ứng với các g i

Hệ (1.1) cũng đã được nghiên cứu trong [1] với Ω =[ ]a b, hoặc Ω là một

khoảng không bị chận của R. Cũng bằng định lý điểm bất động Banach, tác giả chứng

minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ Hơn nữa, tác giả còn chỉ ra điều kiện

đủ để thuật giải cấp hai hội tụ Và với

Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề trên dạng hệ phương trình hàm (1.1) bao gồm 7 chương, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo

- Chương 1 là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, các kết quả đã được nghiên cứu trước đó và nội dung chính được trình bày trong luận văn

- Chương 2 là phần tóm tắt các ký hiệu và các không gian hàm cần sử dụng trong luận văn

- Chương 3 là phần chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ (1.1) với những điều kiện cần thiết sẽ chỉ ra, dựa trên định lý điểm bất động Banach

- Chương 4 là phần nghiên cứu một điều kiện đủ để có được một thuật giải hội

tụ cấp hai cho hệ (1.1)

- Chương 5 là phần nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bị nhiễu bởi một tham số bé ε. Trong chương này, với φ∈C R R N( ; ), chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) theo tham số ε đến cấp N+ 1 với ε đủ nhỏ

- Chương 6 là phần khảo sát một số hệ phương trình hàm cụ thể thuộc dạng (1.1) ứng với m= 1, n= 2, Ω = −[ 1,1 , ( )] φ y = y2 , R x ijk( ) =S ijk( )x =αijk x. Ở đó, chúng tôi

sẽ khảo sát thuật giải xấp xỉ liên tiếp theo nguyên tắc ánh xạ co kết hợp xấp xỉ với các hàm Spline bậc nhất và một thuật giải hội tụ cấp hai Cuối chương sẽ có kết quả minh hoạ bằng số và bảng so sánh hai thuật giải trên để thấy được tính hiệu quả về mặt tốc

độ của thuật giải hội tụ cấp hai so với thuật giải xấp xỉ liên tiếp

- Chương 7 là phần khảo sát các thành phần trong khai triển tiệm cận nghiệm đến cấp hai của hệ dạng (1.1) ứng với

Đồng thời, cuối chương cũng có kết quả minh hoạ bằng số kèm theo

- Phần kết luận nêu lên một số kết quả thu được cùng với một số ý kiến nhận xét kèm theo Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo

Chương 2 CÁC CÔNG CỤ CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các ký hiệu, các không gian hàm và các công

cụ cơ bản sẽ được sử dụng trong các chương sau

n

f = f f Ω →R liên tục, bị chặn trên Ω với chuẩn (2.1)

Chúng ta chú ý rằng, nếu Ω ⊂R2 là mở thì f ∈ ΩC( ;R n) chưa chắc bị chận Tuy

nhiên, nếu f ∈ ΩC( ;R n) bị chặn và liên tục đều trên Ω thì nó có một mở rộng duy nhất,

bị chặn, liên tục trên Ω Khi đó, C( ;Ω R n) {= f ∈ ΩC( ;R n) : f liên tục đều và bị chặn trên

Ω} là không gian Banach với chuẩn (2.1)

Một điểm trong R2 được ký hiệu bởi x=( , ).x x1 2 Ta gọi 2

(i) Tồn tại duy nhất f ∈K sao cho Tf = f,

(ii) Với mỗi f(0)∈K , xét dãy { }f( )μ cho bởi f( )μ =Tf(μ− 1), μ =1, 2, ta có

Chương 3

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Trong chương này, nhờ vào định lý 2.1, chúng ta chứng minh được sự tồn tại và duy

nhất nghiệm của hệ (1.1) Trước hết, ta viết lại hệ (1.1) dưới dạng phương trình toán tử

trong không gian Banach X =C( ;Ω R n) như sau

ijk X

Do đó

~

1

X X

X

f f

1

X X

ijk X

Vậy bổ đề 3.2 được chứng minh hoàn tất

Định lý 3.1 Với các giả thiết (H1) (− H5). Khi đó, với mỗi ε , ε ε< 0, hệ (3.2) có nghiệm duy nhất fε∈K M

Áp dụng bổ đề 3.1 và phần (i) của bổ đề 3.2, ta được

( ) (0)

ijk

ijk X

⎟⎟

⎠

.1

ijk ijk

M b

ijk ijk

a C M b

ε

σ = ⎡⎣ ⎤⎦

⎡ ⎤

a C M b

ε

σ = ⎡⎣ ⎤⎦ <

⎡ ⎤

Từ (3.4), (3.5), (3.6) ta thấy T K: M →K M là ánh xạ co Áp dụng định lý điểm bất động

Banach, suy ra tồn tại duy nhất fε∈K M sao cho fε =Tfε

Vậy định lý 3.1 được chứng minh hoàn tất.

Chú thích 3.1 Định lý 3.1 sinh ra một thuật toán xấp xỉ nghiệm của hệ (3.2)

ε

σσ

a C M b

⎩ ⎭ hội tụ trong X về nghiệm fε của hệ (3.2) Như vậy, ta thu

được công thức xấp xỉ nghiệm của hệ (3.2) dưới đây dễ sử dụng hơn

ε

σσ

a C M b

Chương 4 THUẬT GIẢI HỘI TỤ CẤP HAI

Trong chú thích 3.1 và 3.2, chúng ta có được thuật giải xấp xỉ liên tiếp theo nguyên tắc

ánh xạ co nghiệm của hệ (3.2) (cũng như (1.1)) là một thuật giải hội tụ cấp 1 Trong

phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu một thuật giải hội tụ cấp hai xấp xỉ nghiệm của hệ

(3.2) với một số điều kiện phụ sẽ đặt sau

Định lý 4.1 Giả sử ta có các giả thiết (H1) (− H3) và φ∈C R R1( ; ). Nếu f(μ−1)∈X thỏa

điều kiện

( ) 1

Vậy T Xμ : →X là ánh xạ co Áp dụng định lý điểm bất động Banach, ta có duy nhất

một nghiệm f( )μ ∈X của hệ (4.2) – (4.4)

Chúng ta xây dựng thêm các giả thiết sau:

2 6

Định lý 4.2 Với các giả thiết (H1) (− H3), (H6), (H7). Giả sử f là nghiệm của hệ (1.1)

và f( )μ được xác định theo thuật giải (4.2) – (4.4) Khi đó, tồn tại 2 hằng số ε, M >0

2 0, sup ''( ) 1

ijk M

g f

μ μ

ijk X

Thay (4.19) vào (4.18), ta được

a M

εβ

Vậy (4.9 ) được chứng minh 

( )iii Chọn f(0) ban đầu thoả điều kiện M (0) 1,

Vậy (4.11) được chứng minh 

Do (4.22) nên khi μ→ +∞ thì f( )μ → f trong X. Do đó, dãy { }f( )μ hội tụ cấp 2 đến

nghiệm f của hệ (1.1)

Chú thích 4.1 Để thuật giải lặp cấp hai hoạt động hiệu quả thì chúng ta phải chọn

bước lặp ban đầu (0)

M

f ∈K thoả (4.22)

Định lý 3.1 sinh ra một thuật giải xấp xỉ liên kết với ánh xạ co T K: M →K M nên ta sẽ

xây dựng dãy lặp đơn { }z( )μ như sau

( ) ( 1) ( ) 1 ( 1) , 1, 2 ,

z μ =Tz μ− ≡ −I B − εAz μ− +g ∀ =μvới (0)

Khi đó, dãy { }z( )μ hội tụ trong X về nghiệm f của hệ (1.1) và ta có đánh giá sai số

M a b

Chú thích 4.2 Từ định lý 4.1 và định lý 4.2, chúng ta có được thuật giải lặp cấp 2 xấp

xỉ nghiệm của hệ (1.1) như sau

Chương 5 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bị nhiễu bởi một

tham số bé ε ε, < 1. Với φ∈C R R N( ; ) và các giả thiết thích hợp trên các hàm S ijk, g i,

trên các số thực a ijk,b ijk, ,ε0 M, chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận nghiệm của

hệ (1.1) đến cấp N+ 1 theo tham số ε với , ε đủ nhỏ theo nghĩa

( )

N r r r

r N

Vậy bổ đề 5.2 được chứng minh 

Bổ đề 5.3 Giả sử ta có các giả thiết từ (H1) (− H5) Khi đó, tồn tại hằng số (1)

N

C chỉ phụ thuộc vào , , [ ]r , 0,1 ,

Eε C ε +

trong đó chúng ta ký hiệu f j[ ]r = f j[ ]r (R x ijk( )), ∀ =r 0,1 N

Áp dụng khai triển Taylor hàm φ( )f j tại điểm [ ]0

N N

1( )

1( )

1( )

Định lý 5.1 Giả sử ta có các giả thiết (H1) (− H3), (H5), (H8). Khi đó, tồn tại hằng số

ε > sao cho với mỗi ε ε ε, < 1, hệ (3.2) có duy nhất nghiệm fε∈K M thoả một đánh

giá tiệm cận đến cấp N+ 1 như sau

N

r X r

N N X

1 sup '( )

Chương 6 THUẬT GIẢI LẶP TRÊN MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ

Trong phần này, chúng tôi sẽ xấp xỉ nghiệm của một số hệ phương trình hàm cụ thể

dạng (1.1) dựa trên thuật giải hội tụ cấp một và cấp hai kết hợp với các hàm Spline bậc

nhất Đồng thời, biểu diễn kết quả bằng số để thấy được hiệu quả của 2 thuật giải trên

Các hàm R x ij( )=S x ij( )=αij x g x, i( ) thoả các giả thiết (H1), (H2)

Hai hằng số ε0, M được chọn để các giả thiết (H1) (− H7) được thoả mãn, nghĩa là

1

0, ( ) : ( ) , , [ , ],

12

2 0

( ) 2 ,

12

ij g

ij

b a

Dựa vào (6.11), ta sẽ tính toán các giá trị f i( )μ ( )x k = f ik( )μ tại một số điểm nút rời rạc x k

của f i( )μ ( )x được xác định như sau

với N là số nguyên dương cho trước

Sau đó, ta sẽ nội suy các giá trị ( )

f = f x tại các điểm nút x k, 0≤ ≤k N i, =1, 2 Sau đó, cho N

tăng dần N =15, 20, 25,30 , bảng 3 và 4 cho thấy sự thay đổi của các sai số theo số nút

N tăng dần

với

ijk M

a

εβ

Dựa trên (6.32), ta sẽ tính toán các giá trị z ik( )ν =z i( )ν ( ),x k i=1, 2 với x k là các nút rời rạc

được xác định như trong (6.15) Sau đó, ta sẽ nội suy các giá trị z ik( )ν , i=1, 2, 0≤ ≤k N

tại các điểm nút x k bằng các hàm Spline bậc nhất (6.17) – (6.19)

trong đó αij( )μ ( ),x g i( )μ ( )x được xác định thông qua f i(μ− 1)( )x nhờ vào (6.28), (6.29)

Dựa vào (6.42), ta tính toán các giá trị f ik( )( )μ η = f i( )( )μ η ( )x k , i= 1, 2 với x k là các nút

điểm rời rạc (6.15) Sau đó, nội suy các giá trị f ik( )( )μ η , i=1, 2, 0≤ ≤k N tại các điểm nút

Xét lại hệ phương trình hàm (6.22) - (6.23) với việc áp dụng một thuật giải lặp cấp hai

để xấp xỉ nghiệm của hệ này, tương ứng với việc chọn các hệ số ε0, M thoả mãn điều

kiện (6.8), (6.9) như sau

Vậy, chúng ta chọn bước lặp đầu là f ik(0) =0, ∀ =i 1, 2, 0≤ ≤k N

Chúng ta cũng có bảng 5 và 6 cho kết quả so sánh các giá trị tính toán ( )

ik

f μ với các giá trị chính xác ex ex( )

f = f x tại các điểm nút x k, 0≤ ≤k N i, =1, 2, tương ứng với N = 10.

Sau đó cho N tăng dần N =20,30, 40,50 bảng 7 và 8 cho thấy sự thay đổi của các sai

số theo số nút N tăng dần Cuối cùng, chúng ta có bảng 9 so sánh sai số e= max{e e1 , 2}

giữa 2 thuật giải theo số nút tăng dần khi mà thuật giải xấp xỉ liên liếp phải cần đến 5

bước lặp trong khi thuật giải hội tụ cấp hai chỉ cần 3 bước lặp

Nhận xét Chúng ta thấy rõ ràng thuật giải lặp cấp hai hiệu quả hơn so với thuật giải

xấp xỉ liên tiếp về mặt tốc độ hội tụ Mặc dù chỉ cần 3 bước lặp nhưng sai số đạt được không khác nhiều so với thuật giải xấp xỉ liên tiếp

Chương 7 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM TRÊN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ

Trong phần này, chúng tôi vẫn khảo sát hệ (6.1) với Ω là miền 2 chiều như sau

tôi xây dựng được nghiệm đa thức của hệ (7.1) tương ứng với các dạng của hàm g Kế

đó, với ε ≠ 0, bằng cách sử dụng các công thức (5.1) – (5.5), chúng tôi sẽ chỉ ra các

thành phần trong khai triển tiệm cận nghiệm đến một cấp cho trước của hệ (7.1) theo

tham số bé ε Hơn nữa, trong phần này, còn có phần minh hoạ bằng số kèm theo .

7.1 Khảo sát nghiệm của hệ (7.1) khi ε = 0.

Hệ (7.1) – (7.3) trở thành hệ tuyến tính sau

( )

2 1

Theo một kết quả trong Long [4] và Nghĩa [9] thì nghiệm f =(f f1 , 2) của hệ (7.3) cũng

là các đa thức có bậc không quá r. Do đó, ta tìm nghiệm của (7.3) dưới dạng