Luận văn thạc sỹ toán học: nghiên cứu thuật giải lặp và khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phương trình phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ NGUYỄN HỮU CHƯỜNG NGHIÊN CỨU THUẬT GIẢI LẶP VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngàn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ

NGUYỄN HỮU CHƯỜNG

NGHIÊN CỨU THUẬT GIẢI LẶP

VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01

THÀNH PHỐ CẦN THƠ

2005

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ

NGHIÊN CỨU THUẬT GIẢI LẶP VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHI TUYẾN

Luận văn Thạc sỹ Toán học

Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Nhân Đại học Kinh Tế Tp Hồ Chí Minh

Học viên cao học: Nguyễn Hữu Chường

THÀNH PHỐ CẦN THƠ

2005

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Cần Thơ

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Nhân

Khoa Thống kê- Toán, Đại học Kinh Tế Tp Hồ Chí Minh

Người nhận xét 1: PGS TS Đặng Đức Trọng

Khoa Toán - tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh

Người nhận xét 2: PGS TS Đinh Ngọc Thanh

Khoa Toán - tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh

Học viên cao học: Nguyễn Hữu Chường

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án tại Trường Đại học Cần Thơ, vào lúc 8 giờ, ngày 26 tháng 11 năm 2005

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại học Cần Thơ

THÀNH PHỐ CẦN THƠ

2005

MỤC LỤC

Chương 1: Phần tổng quan trang 01 Chương 2: Các công cụ chuẩn bị trang 05 Chương 3: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm trang 07 Chương 4: Thuật giải lặp cấp hai trang 12 Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé trang 20 Chương 6: Ví dụ về một hệ phương trình hàm cụ thể trang 28 Phần kết luận trang 38 Tài liệu tham khảo trang 40

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn Thầy hướng dẫn tôi là Tiến sỹ Nguyễn Văn Nhân, Thầy đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trính hoàn thành luận văn

Xin trân trọng cảm ơn PGS TS Đặng Đức Trọng, PGS TS Đinh Ngọc Thanh, TS Nguyễn Thành Long, TS Nguyễn Công Tâm đã đọc qua luận văn và cho những nhận xét quý báu

Xin trân trọng cảm ơn các Thầy, Cô thuộc khoa Toán – Tin học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy cho tôi trong thời gian học tập

Xin trân trọng cảm ơn Phòng quản lý khoa học – Đào tạo sau đại học Trường Đại học Cần Thơ, Ban Giám Hiệu Trường THPT Bán Công Thạnh An đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất chương trình học

Xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, các bạn học lớp Cao học khoá 10 đã luôn động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trính học tập

Chương 1 TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm sau đây:

= =

= =

+ +

Trong trường hợp riêng Φ( )y = y 2 , Rijk = Sijk, hệ (1.1) được nghiên cứu bởi

các tác giả Long, Diễm [6]; Vân [11]

Trong [12], các tác giả Wu, Xuan và Zhu đã nghiên cứu hệ (1.1) sau đây ứng với Ω =[− b , b], m = n = 2 , a ijk = 0 và S ijk là nhị thức bậc nhất

+ +

+

=

+ + +

+ +

c x b f a c x b f a x f

x g c x b f a

c x b f a c x b f a x f

2 23 23 2 23

22 22 2 22 21 21 1 21 2

1 13 13 1 13

12 12 2 12 11 11 1 11 1

(1.2)

với mọi x ∈ Ω =[− b , b],trong đó, các hằng số aij, bij, cij, b cho trước thoả các điều kiện:

, max

, max

,

1 1

3 1

ij

ij j

b

c b

( )

( ) ( )

x f

x f

x f

x f x

f

x g

x f

x f x

f x

f x

f

2 2

2 1

1 2

1 2

2 1

1 1

4

3 4 200 1

2 100

1 3

1 2 200

1 4 100 1

4

1 3 100 1

4

1 4 100

1 2

1 3 200

1 2 100 1

Bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, các tác giả trong [2] đã thu được kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm gi

Trong trường hợp aijk = 0 và Sijk là các nhị thức bậc nhất, g ∈ C r(Ω , IR n) và

[− b , b]

=

Ω các tác giả trong [3] đã thu được một khai triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp r Hơn nữa, nếu gi là các đa thức bậc r, thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc r Sau đó, nếu gi là các hàm liên tục, nghiệm f của (1.1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều Sau đó, các kết quả trên đây đã được nới rộng bởi các tác giả Long, Nghĩa [4] cho miền Ω ⊂ IR p nhiều chiều và Sijk là các hàm affine Hơn nữa, trong [3] cũng tìm được một điều kiện đủ để cho một thuật giải cấp hai là hội tụ [3] Một số kết quả liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.1) theo một tham số bé ε cũng được xem xét trong bài báo của Long, Diễm [6]

Gần đây, Long, Danh và Khôi [5] đã nghiên cứu hệ phương trình tích phân – hàm

= 2

2 1

x j ij ij ij j ij

γ β

γ β

[ , ], ,

b

aijk, ijk, ijk, αijk, βijk, γijk∈ là các hằng số thực cho trước thoả thêm một số điều kiện phụ Các tác giả trong [1, 5, 7] đã thiết lập nghiệm f =(f1, fn) bởi một dãy các đa thức hội tụ đều

Luận văn này được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo

Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số kết quả đã có trước đó và nội dung cần trình bày trong các chương của luận văn

Trong chương 2, chúng tôi tóm tắt công cụ chủ yếu để sử dụng cho các chương sau

Trong chương 3, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1)

Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được thuật giải lặp hội tụ cấp hai cho hệ (1.1) Điều này cho phép gia tăng tốc độ hội tụ của thuật giải lặp so với thuật giải xấp xỉ liên tiếp của ánh xạ co

Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bị nhiễu bởi một tham số bé ε Chúng tôi thu được trong chương này một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp N +1 theo ε thu được, với ε đủ nhỏ theo nghĩa

ε

tức là

N r

i N r

r i

1

1 0

ε ε

suptrong đó C là một hằng số độc lập với ε

Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phương trình hàm cụ thể với thuộc dạng (1.1) ứng với m = 1 , n = 2 , Ω =[ ]− , 1 , Φ( )y = y p , p ≥ 2 , ở đó chúng tôi sẽ khảo sát một thuật giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ

Phần kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và một số chú ý kèm theo Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo

Chương 2 CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi giới thiệu qua về các ký hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cần dùng trong luận văn

2.1 Các ký hiệu

Ta ký hiệu Ω =[ ]a , b hay Ω là khoảng không bị chặn trong IR

Với Ω =[ ]a , b ta ký hiệu X = C(Ω ; IR n) là không gian Banach của các hàm số

= Ω

C

X = Ω ; là không gian Banach của các hàm số f : Ω → IR n liên tục, bị chận trên Ω đối với chuẩn (2.1) Tương tự, với số nguyên không âm m, ta đặt

i

n n

n n

m

Mặt khác, ( ) m( n)

b n

C Ω ; Ω ; cũng là các không gian Banach đối với chuẩn

( )( ) sup

= Ω

m k

f

1 1

(2.2) 2.2 Định lý điểm bất động Banach

Định lý sau đây được dùng nhiều trong các chương sau

Định lý 2.1 (Định lý điểm bất động Banach) Cho X là không gian Banach với chuẩn ⋅ , K ⊂ X là tập đóng Cho T:K→K là ánh xạ sao cho tồn tại số thực

1

0 ≤ σ <

σ , sao cho

, , f g K g

f Tg

Khi đó ta có

(i) tồn tại duy nhất f ∈ K sao cho f = Tf

(ii) Với mỗi f ( ) 0 ∈ K , xét dãy { }f ( ) v cho bởi f v = Tf ( ) v −1, v = 1 , 2 , ta có

Chứng minh định lý 2.1 có thể tìm thấy trong nhiều cuốn sách về nhập môn giải tích

Chương 3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong chương này, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng ta chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1)

Ta viết hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử trong X ≡ C(Ω ; IR n)

, , ,

n n n

Bf Bf

Bf

Af Af

Af

f f f

1 1 1

S f b x

Bf

x R f a x

m k

Bổ đề 3.1 Giả sử [ ]bijk < 1 và Sijk : Ω → Ω liên tục Khi đó :

m k

n

j ijk j ijkx

i x

Bf

sup sup

( )

∑∑∑

= = = Ω

∈

i

m k

( )

sup max

n

x ijk n

g B I B

1

1 0

1

và bổ đề 3.1 được chứng minh. 

Do bổ đề 1, ta viết lại hệ (3.1) như sau:

(I B) (1 Af g) Tf.

Ta thành lập các giả thiết sau:

( )H1 Rijk, Sijk: Ω → Ω liên tục;

( )H4 Φ : R → R thoả điều kiện

g

H

M MC

B M

0 2

1 0

1 0

Φ +

−

<

< ε

Với mỗi M > 0 , ta đặt KM ={f ∈ X : f X ≤ M}.

Khi đó ta có bổ đề sau đây

Bổ đề 3.2 Giả sử ( ) ( )H1 − H4 đúng Khi đó ta có

i) Af X ≤ [ ]aijk (C1( )M f X+ n Φ( )0 ) ∀ f ∈ KM,

X ijk

f A

n i

m k

n

i M

x f a

x R f a

x R f a x

Af K

sup max

Φ +

≤

Φ +

= = ≤ ≤ ∈Ω =

n f M C a

x f M C a

X ijk

n i

m k

n

x ijk n j

max

~ sup

max

~ sup

max

~

~

X ijk

n

x ijk n

m k

n

i i

f f a M C

x f x f a

M C

x f x

f a

x R f x

R f a

x R f x

R f a x

f A x Af

≤

Φ

− Φ

≤

Φ

− Φ

∈

= = ≤ ≤

= Ω

∈

= = ≤ ≤

= Ω

( ) [ ] ~ .

~

X ijk

f A

Khi đó, ta có định lý sau đây

Định lý 3.1 Giả sử ( ) ( )H1 − H5 đúng Khi đó, với mỗi ε , với ε ≤ ε0, hệ (3.2) có

nghiệm duy nhất fε ∈ KM.

Chứng minh Hiển nhiên rằng Tf ∈ X , với mọi f ∈ X xét f ,~f ∈ KM, ta dễ dàng

nghiệm lại rằng, do bổ đề 3.1 và 3.2, rằng

ijk

X X X

X

g n

M MC a

b

g Af B

I g

Af B

I Tf

+ Φ +

−

0 1

1

1 0

1 1

ε

ε ε

ijk

X X

X

f f b

a M C

f A Af B I f

A Af B

I f

1 0

1

ε

ε ε

1 0

ijk

ijk ijk

X ijk

b

a M C và M b

g n

M MC

ε

Ta suy ra từ (3.3), (3.4), (3.5) rằng T : KM → KM là ánh xạ co Khi đó, sử dụng

định lý điểm bất động Banach ta có duy nhất một hàm fε∈ KM sao cho fε = Tfε.

Chú thích 3.1 Nhờ định lý điểm bất động Banach, nghiệm fε của hệ (3.2) được xấp xỉ bởi thuật giải sau :

và

( ) ( ) ( ) , 1 , 2 , ,

1

0 0

Chú thích 3.2 Trong trường hợp riêng Φ( )y = y 2 , Rijk = Sijk, hệ (1.1) được chứng minh tồn tại và duy nhất nghiệm bởi các tác giả Long, Diễm [6]; Vân [11]

Chương 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI Trong định lý 3.1 đã cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.6), theo nguyên tắc ánh xạ co, đó cũng là một thuật giải hội tụ cấp 1 Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1) Một số điều kiện phụ liên quan đến hệ (1.1) ta sẽ đặt sau

4.1 Thuật giải lặp cấp hai

Xét hệ phương trình hàm

+ +

Φ

= m

k

n j

m k

n

ijk j ijk

v j

v j

ii) Giả sử biết f ( ) (f ( ) , , f ( ) v ) X ,

n v

1

1 ta xác định f ( ) (f ( ) f ( ) v) X

n v

v = 1 , , ∈ bởi ( )( ) ∑∑ ( ( )( ( ) ) )

+ m

v j ijk

v j ijk

v j n

j ijk

x R f x R f x R f a

1

1 1

∈ +

b

1 1

2 1

= n

j

m k

n j

m k

v i ijk

v j ijk ijk

v j

v ijk

v

+ m

v j ijk

v j ijk

v j n

j ijk

x R f x R f x

R f a

1

1 1

1 1

.

/

Khi đó ta có định lý sau:

Định lý 4.1 Giả sử ( ) ( )H1 − H3 là đúng Nếu f ( ) v −1 ∈ X thoả

( )( ) [ ] sup

= n

j

m k

n j

m k

v i ijk

j ijk ijk

j

v ijk i

Hiển nhiên rằng Tv: X → X ta chỉ cần nghiệm lại rằng

, , f h X h

f h

T f

n i

m

n i

m k

n

ijk n j n

i

m k

n

v ijk n j

ijk j n

i

n j

m k

n i

n j

m

k ijkijk

j

v ijk

n i

n j

m k

n j

m

k ijk j ijkijk

j

v ijk

f b f

x

x S f b

x R f x

x S f b x

R f x

x S f b x

R f x

~ max

~ sup

max

~ max

~ max

sup

x n

i

m

v ijk x n

Vậy ∑ ( ) ( ) ( ) ( )

= Ω

Định lý 4.2 Giả sử ( ) ( )H1 − H3 đúng Cho aijk∈ IR Khi đó tồn tại hai hằng số,

f 0 ∈ , với hai hằng số M , ε , mà ta sẽ chọn sau

Ta cũng giả sử bằng qui nạp rằng:

( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) sup

max max

sup max max max

X

v X

v ijk

v ijk x

n i

m

X

v X

v ijk n

i

m

X v v

ijk x

n i

v j ijk n

v ijk n

i

m

n i

n j

m k

n i

v i ijk

v j ijk

n i

n j

m

v j

v ijk n

i

v

i

g f

b x

g f

b

f x

g x S f b

x R f x

x g x

S f b

x R f x x

≤

+ +

≤

+ +

v ijk x

n i

y ijk ijk

v j ijk

trong đó M sup /( )y

M

=

≤ 1

Ta suy ra từ (4.14) rằng:

( )( ) [ ] sup

ijk x

v j ijk

v j ijk i

/ /

/ /

0 2

0

0

0 0

1 1

1 1

1

1 1

1 1

1 1

1

1 1

1

Φ +

≤

Φ + Φ

+ Φ

≤

Φ + Φ

− Φ

=

Φ + Φ

− Φ

− Φ

=

Φ

− Φ

x R f x R f x

R f

x R f x R f x

R f x R f

x R f x R f x

R f

x R f x R f x

R f

ijk

v j

ijk

v j ijk

v j ijk

v j

ijk

v j ijk

v j ijk

v j ijk

v j

ijk

v j ijk

v j ijk

v j

ijk

v j ijk

v j ijk

/

1

1 1

1 1

1 1 1

1 1

1

1 1 1

2 0

2 0

2 0

MM n

a g

f M n

a g

x R f M a

g

x R f x R f x

R f a

x g x

g

ijk X

X

v ijk

n i

m

X

n i

m k

n

v j ijk

n j X

ijk

v j ijk

v j ijk

v j n

i

m k

≤

+ Φ +

≤

+ Φ +

≤

Φ

− Φ

f b a

M f

ijk X

X

v ijk ijk

X v

+ Φ +

Với M > 0 đã chọn như trong ( )H5 , ta chọn ε sao cho hai điều kiện sau được

a g

f

ijk ijk

ijk X

ε

ε

(4.20) Điều này khẳng định (4.10)

Ta chú ý rằng (4.19) dẫn đến (4.18), bởi vì (4.19) tương đương với:

g X + ε ijk 2 1+ Φ 0 ≤ 1 − ijk − ε 1 ijk (4.21) Như vậy, ta chỉ cần chọn ε thoả (4.19)

Định lý 4.2 được chứng minh hoàn tất. 

Định lý 4.3 Giả sử ( ) ( ) ( )H1 , H2 , H3 đúng Cho a ijk ∈IR. Khi đó, tồn tại hai hằng số

M ijk

và f là nghiệm của hệ (1.1)

(ii) Nếu f ( ) 0 được chọn đủ gần f sao cho

( ) − f ≤ 1 ( f ( ) 0 − f )2 , ∀ v = 1 , 2 ,

M X

f

f −i) Ta có:

+

=

Φ

− Φ

−

+ Φ

− Φ

=

− + +

Φ

− Φ

=

−

=

n j

m

v j ijk

j ijk i

v

n j

m

v i ijk

v j ijk

v j ijk

i v n

j

m

v j ijk

v j ijk

j ijk

v i i i v

n j

m

v i ijk

v j ijk

j ijk

v i j

v

i

x R f x

R f a x

Be

x R f x R f x

R f a

x Be x

R f x R f x

R f a

x g x g x Be

x R f x R f x

R f a

x f x f x

ε ε

/ / /

j

m

v j ijk

v j ijk

v j

f y

j

v j

v j

v j

v j

Φ

với y = R ( )x , h ( )( )y = f ( ) −1( )y + θ e ( ) v −1( )y , 0 < θ < 1

j j

v j

v j ijk

Φ +

=

n j

m

v j ijk

v j ijk

n j

m

v j ijk

v j ijk

i v v

i

x R e x R h a

x R e x R f a

x Be x

e

1 1

2 1

≤

≤

= Ω

∈

= = ≤ ≤

− Ω

m k

n

v j x

ijk n j

n j

v j x

ijk n

n i

m k

n

v j x

ijk n j

n

i

n i

m k

n

v j x

ijk n j X

v v

i

x R e a

M

x e a

M e

b

x R e a

M

x R e a

M Be

x

e

2 1

1 2

1

1 1 1

2 1

1 2

max

sup max

] sup

max

sup max

v ijk X

v ijk X

v ijk

ijk X

v

e e

a M b

a M

hay

( ) − ≤ ( ) − 1 − 2, ∀ =1,2,

v f

f f

ijk ijk

ijk M

a M b

a M

ε

ε β

X

v M

X

v M M

X

v M

X

v M M X

v M X

v

e e

e e

e e

e

2 0 2

2 2 1 2

3 2 2 1

2 2 3 2

1 2

2 2 1

2 2 2 2

1

1 2 3

2

2 2

+ + + + −

− + +

− +

− +

β β

β

β β β

( )1 2 ( )0 2 1 ( ( )0 )2 ,

2

X M M X

tức là (4.25) đúng Bất đẳng thức đánh giá này cho phép ta kết luận dãy { }( )v

f

hội tụ cấp 2 đến nghiệm f của hệ (1.1) nếu ( ) 0

f được chọn thoả (4.24). 

Chú thích 4.1 Về việc chọn bước lặp ban đầu ( )

X M

X

Vậy ta chọn bước lặp ban đầu f ( ) 0 = z ( ) η 0  

Chương 5 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bị nhiễu bởi một tham số bé ε Với các giả thiết trên các hàm Sijk, g và các số thực

r

trong đó C là một hằng số độc lập với ε

Trong phần này, ta giả sử rằng các hàm Sijk, g và các số thực aijk, bijk, ε0, M

thoả các giả thiết ( ) ( )H1 − H5 ,lần lượt

Giả thiết

( )H6 Φ ∈ C N(IR ; IR).

Ta xét hệ bị nhiễu (3.2), trong đó ε là một tham số bé, ε ≤ ε0. Đặt L = I − B

Ta hãy xét dãy hàm { }[ ] [ ]

M r

1 0

r ijk

1

1

γ η γ

ở trên, ta đã sử dụng các ký hiệu sau:

Với một đa chỉ số ( , , ) N ,

j j

N j j j

A U f A

=

−

− +

Trước tiên, ta cần các bổ đề sau đây

Bổ đề 5.1 Ta có

γ ε γ ε

2 2

(

, ,

0 0

2 1 2 1 2

1

2 1 2 1

2 1

γ γ γ

γ γ

γ

γ γ

, ,

=

= + +

0 0 0

3 2 1 3 2 1 3

2 1

3 2 1 3 2 1

3 2 1

γ γ γ γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

x x

N N

r N

x

r x

x x

r x

N

i ii

N

γ γ γ

γ

γ γ γ

γ γ

γ

!

0

2 1 2

1 1

ε γ

!

2 2 1 1

∑

=

+ + +

r

γ

γ γ

γ γ

ε γ

3 2 1 2

1 2 3 2

p p

r

x r x

r

γ γ

Vậy bổ đề được chứng minh. 

Bổ đề 5.2 Ta có

p r

N r

rN r

p rp

p rp

1

N p

P r

N r

N r

=

1

1 1

1 1

2 1

1 1 1 2

1 1 1 2

1

1

1

N p

N N

p N

α α

1 1

1

N r

rN r p

N r

rN N p

p rp N

r p

p rp

1

N r

N r

p rN N

p N r

N p

N r

p rN N

p p

C

Vậy bổ đề 5.2 được chứng minh. 

Bổ đề 5.3 Giả sử ( ) ( )H1 − H5 đúng Khi đó, ta có

Chứng minh Trong trường hợp N= 1 , chứng minh của bổ đề 5.3 thì dễ dàng,

do đó ta bỏ qua chi tiết, mà ta chỉ chứng minh với N≥ 2

Để cho gọn, ta bỏ qua R ijk( )x trong các cách viết

A

1 1

0 0

0

Bằng việc khai triển Taylor của hàm ( [ ] 0 ) ( )[ ] 0

j j

f đến cấp N, sau đó áp dụng các bổ đề 5.1, 5.2 sắp xếp lại theo bậc của ε ,

ta thu được (ta bỏ qua đối số S ijk( )x trong các cách viết )

0 0

0

=

+ Φ

+ Φ

= Φ

− +

r

N j j j j N r

j j r j

j

N U f r f

r N

r

r j r r

U

γ η γ

γ ε γ

ε

, 1

,

!

! r (do bổ đề 5.1)