Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toàn elliptic phi tuyến cong-Võ THị Thanh Loan

CÁC KÝ HIỆU VÀ ĐỊNH NGHĨA Chúng ta bỏ qua các định nghĩa của các không gian hàm thông dụng Cm Ω , Lp Ω, HmΩ, W1,pΩ.. : tích vô hướng trên L2Ω hoặc cặp tích đối ngẫu của một phiếm hàm tu

MỤC LỤC

Trang

Chương 3 Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn với Ω có biên đa giác 22 Chương 4 Xấp xỉ bài toán biên cong bởi bài toán biên đa giác 33

PHẦN MỞ ĐẦU

Trong luận văn này chúng tôi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán elliptic phi tuyến hai chiều :

( ) ( x , y , u x , y ) sin u ( ) x , y G ( ) x , y , ( ) x , y , g

y , x y

u , y , x M y y

, x x

u , y , x M

Ω

∈

= +

u , y , x

trong đó ν = (ν1, ν2) là pháp vectơ đơn vị trên Γ1 hướng ra ngoài đối với miền Ω M1, M2,

g, G, H là các hàm số cho trước thỏa mãn một số điều kiện sẽ chỉ ra sau Hàm ϕ xác định trên Ω thỏa điều kiện :

(0.4) ϕ liên tục trên [ 0 , 1 ] và C1-từng khúc trên (0 , 1) , ϕ (x) > 0 ∀ x ∈ (0 , 1)

Trường hợp một chiều với Ω = (0 , 1), bài toán tương tự(0.1) – (0.3) đã được khảo sát bởi Tucsnak [6], và N.T Long, T.V Lăng [5]

Trong [6], Tucsnak đã xét bài toán:

u

, 1 x 0 , 0 x u sin 1 ' G x F x

' u M dx

d

1

1 0

= γ

− γ + λ

− +

−

Bài toán (0.5) mô tả sự uốn của một thanh đàn hồi phi tuyến có khối lượng riêng

γ0 được nhúng trong một chất lỏng có khối lượng riêng γ1, trong đó λ > 0 là hằng số, F(x) và G(x) là các hàm số cho trước có một ý nghĩa cơ học nào đó, u là góc giữa tiếp tuyến của thanh ở trạng thái bị uốn tại điểm có hoành độ cong x và trục thẳng đứng

Trong [5], các tác giả đã xét bài toán:

, 0 0

u

, 1 x 0 , 0 x u sin x u , x g x ' u , x M dx

d

= +

=

<

<

= +

−

Để giải bài toán (0.6), các tác giả trong [5] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cấp 1, một chiều

Bài toán (0.1)-(0.3) mà chúng

tôi khảo sát ở đây là trường hợp hai

chiều với miền Ω có biên ∂Ω gồm ba

cạnh thẳng OA, AB, OC và một phần

biên cong Γ0 = BC , trong đó O (0,0),

Vì vậy để sử dụng phương

pháp phần tử hữu hạn với các đa thức

xấp xỉ cấp 1 cần xấp xỉ biên cong Γ0

thành biên có “hình răng cưa” (đường

gấp khúc)

A

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 5 chương

Chương 1 giới thiệu một số ký hiệu và các kết quả chung chuẩn bị để khảo sát

trong các chương sau

Trong chương 2 chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất lời giải của bài toán

(0.1)-(0.3) Kết quả thu được ở chương này đã tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [5],[6]

Trong chương 3 chúng tôi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn tam giác để xấp

xỉ lời giải chính xác bài toán (0.1)-(0.3) trong trường hợp Ω xác định bởi hàm ϕ liên tục và bậc nhất từng khúc trên [0 , 1], tức là biên ∂Ω là đa giác Kết quả thu được trong phần này là đánh giá sai số giữa lời giải xấp xỉ và lời giải chính xác theo một cấp độ phụ thuộc vào tính “trơn” của lời giải chính xác Cũng trong phần này chúng tôi cho kết quả cụ thể ứng với trường hợp riêng M1(x,y,z) = M2(x,y,z) = z Kết quả trong phần này tổng quát hóa các kết quả trong [5]

Chương 4 áp dụng kết quả của chương 3 cho miền Ωn, trong đó Ωn ⊂ Ω và biên

∂Ωn định bởi ba cạnh thẳng OA, AB, OC và đường gấp khúc xác định bởi hàm ϕn liên tục và bậc nhất từng khúc trên [0 , 1], ϕn “xấp xỉ” ϕ trên [0 , 1] Kết quả của chương này là các đánh giá sai số giữa lời giải phần tử hữu hạn và lời giải chính xác trong trường hợp

Ωn Ngoài ra chúng tôi cũng đánh giá được sai số giữa lời giải xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn trên Ωn và lời giải chính xác trên Ω

Chương 5 cho một ví dụ với M1, M2, G, H, g, ϕ cụ thể Trong chương này chúng tôi đã tính toán cụ thể cho ra các kết quả số

CHƯ ƠNG 1 :

KÝ HIỆU VÀ ĐỊNH NGHĨA

1 CÁC KÝ HIỆU VÀ ĐỊNH NGHĨA

Chúng ta bỏ qua các định nghĩa của các không gian hàm thông dụng Cm (Ω ), Lp (Ω),

Hm(Ω), W1,p(Ω) Cần thiết ta có thể tham khảo trong [1], [2], [4]…

Ta ký hiệu

p : số thực , p > 1

' p

1 p

1

= +

. : tích vô hướng trên L2(Ω) hoặc cặp tích đối ngẫu của một phiếm

hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một không gian hàm

V ⊂ L2(Ω) mes(Ω) : độ đo Lebesgues của tập Ω

mes(Γ) : độ đo Lebesgues của tập Γ

2 MỘT SỐ CÁC BỔ ĐỀ QUAN TRỌNG

Trên V ta định nghĩa nửa chuẩn

( ) ( )

p p

u u

∂

∂

=

Ω Ω

Bổ đề 1.1: (Xem [1], [3], [4] )

(i) V là không gian Banach phản xạ, khả ly (với chuẩn W 1 , p( )Ω )

(ii) Nửa chuẩn trên V (như định nghĩa trong (1.3)) là một chuẩn trên V và tươ ng

đương với chuẩn W 1 , p( )Ω

Bổ đề 1.2: (Định lý vết) (Xem [1], [4])

Cho Ω là tập mở bị chặn trong IR N , có biên Γ = ∂Ω “đủ trơn” Khi đó tồn tại :

γ0 được gọi là ánh xạ vết

(Đôi khi người ta vẫn viết vΓ thay cho γ0 v mặc dù v ∈ W1,p(Ω))

Bổ đề 1.3: (Bổ đề Brouwer) (Xem [4] )

Cho V m là không gian hữu hạn chiều với chuẩn

~

u , V

Bổ đề 1.4: (Xem [4])

Cho Q là tập mở bị chặn trong IR N và G m , G ∈ L q (Q), 1 < q < ∞ sao cho

( ) C

Gm L q Ω ≤ , C là hằng số không phụ thuộc m và G m → G hầu hết x ∈ Q Khi đó G m → G yếu trong L q (Q)

CHƯ Ơ NG 2 :

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT LỜI GIẢI

1 CÁC GIẢ THIẾT

Với p > 1 đặt

1 p

p ' p

:

g

là các hàm thỏa điều kiện Caratheodory, nghĩa là:

∀ z ∈ IR, các hàm M i ( , , z), g ( , , z) đo được trên Ω, và với hầu hết (x, y) ∈ Ω các hàm M i (x, y, ) và g (x, y, ) liên tục theo z, i=1,2

(H5) M 1 , M 2 đơn điệu tăng theo biến thứ 3, tức là:

2 , 1 i

y , x e a , z~

z , IR z~

, z , 0 z~

z z~

, y , x M z , y ,

V

W 0

p , 1

(H8) p > 2 thỏa:

( ) ( ) p

0 p

0 3 1

' 1

' p

p o 3 1

L 0

' V '

p 0 3 ' p

CC 3 C

C C

C 4 C

C C

H

C ~ C G

C C p

2

1











 π

<

−

Ω +





















−

+ +

Ω













trong đó mes 1 ( ) x dx ,

0

∫ ϕ

= Ω

= Ω

sup

p , 1

( C tồn tại do phép nhúng W1 , p( ) Ω ⊂→ C ( ) Ω là compact)

CÕ là hằng số trong định lý vết chương I,

C v : v sup

1













= Ω

∈

Γ

(H9) Với mỗi α ∈ (0, π/3) có hai hằng số dương gα và kα sao cho:

(i) kα ≤ gαcotg α ;

(ii) g(x,y,z) ≥ gα , ∀ z ∈ [-α, α ], a.e (x,y) ∈ Ω ;

(iii) g(x,y,z 1 ) –g(x,y,z 2 ) ≤ kαz 1 – z 2  , ∀ z 1 , z 2 ∈ [-α, α], a.e (x,y) ∈ Ω

Bài toán (0.1)-(0.3) được đưa về bài toán biến phân như sau:

Bài toán (P):

Tìm u ∈ V sao cho

(2.1)

V.

w

, Hwds w , G

w , u sin u , y , x g y

w , y

u , y , x M x

w , x

u , y , x

M

1

2 1

∈

∀ +

=

+ +

∂

∂













∂

∂ +

∂

∂













∂

∂

∫

Γ

2 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT LỜI GIẢI

Định lý 2.1:

Giả sử M 1 , M 2 , g, G, H thỏa (H1)-(H7) Khi đó bài toán (P) có lời giải Hơn nữa, nếu thêm vào các giả thiết (H8) và (H9) thì lời giải của (P) là duy nhất

Chứng minh:

Định lý được chứng minh qua nhiều bước:

Bước 1: Xấp xỉ Galerkin

Vì V tách được nên tồn tại một “cơ sở” đếm được { } wj j=1,2, theo nghĩa:

• wj ∈ V,

• ∀ m, { w1 , , wm} độc lập tuyến tính,

• Tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn các wj trù mật trong V

Ta tìm lời giải xấp xỉ dưới dạng:

(2.2) ( ) ∑ ( ) ,

=

1 j

j m

y

w , y

u , y , x M x

w , x

u , y , x M

1

j j

j m m

j m

2 j

m 1

= +

= +

Đặt Vm là không gian hữu hạn chiều sinh bởi wj , j = 1 m

Coi Pm : Vm → Vm xác định bởi

(2.4) ( ) ∑ ( ) ,

=

1 j

j m m m

y

w , y

u , y , x M x

w , x

u , y , x M u

P

1

j

j j

j m m

j m

2 j

m 1

m m

=

−

− +

y

u , y

u , y , x M x

u , x

u , y , x M

c u P u

, u

P

1

j j

m

m m

m m m

m m

2 m

m 1

m

1

V m m m

C y

u , y

u , y , x M x

u , x

u , y , x M

' 1

p V m 1

m m

2 m

m 1

p 0 3 V m ' p 0 3 m

m

u , y , x

C

C ~

1 '

' 1

p V m

p 0 3 1 V

m m m

u H

C

C ~ G

C C

C 2 u

C C C u

, u

P

' p m

Γ

+ +

( ) ( 1 m V 1)

p V m

p 0 3

L 0 '

V '

p 0 3

H C

C ~ G

C

C

1 ' p

−

+ +

' 1

m 1

' p

1 u

β + ε

V m

p 0 3 1 V

m m m

p

2 ' p

1 u

2

1 C C C u

, u

V m

p 0 3

p

2 1 p u

C C C 2

2 V V

m 1

m

Chọn ~ ρm > 0 thỏa ρ = ρ

m 1 m

Vậy (2.8) thỏa, do đó áp dụng bổ đề Brouwer suy ra (2.6) có lời giải um thỏa

(2.21) um V ~m

m ≤ ρ

Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm

Từ Pm (um) =0 , với tính toán tương tự dẫn đến (2.18), ta suy ra:

p

2 1 p

' p 1 p

2 L

m 1

p

' p '

u h

C x

u , y , x

u , y , x M

' p

C là hằng số độc lập với m

Tương tự với M2 ta cũng có:

(2.26)

( )

C x

u , y , x M

' p

C là hằng số độc lập với m

Chú ý rằng phép nhúng V ⊂→ Lp (Ω) là compact, khi đó từ (2.23), (2.25), (2.26) suy ra tồn tại một dãy con của {um } vẫn ký hiệu là {um } sao cho

(2.32) M2(x,y,∂um/ ∂y) → χ2 trong L (Ω) yếu

Mặt khác từ giả thiết (H4) suy ra:

(2.33) g(x,y,um) sin um → g(x,y,u) sin u a.e (x,y) ∈ Ω

Aùp dụng bổ đề 1.4, chương 1 với

N = 2 , q = p’, Q = Ω ,

Gm = g(x,y,um) sin um và G = g(x,y,u) sin u,

từ (2.27) và (2.33) suy ra

(2.34) g(x,y,um) sin um → g(x,y,u) sin u trong L p’ (Ω) yếu

Bước 3: Qua giới hạn

Qua giới hạn trong phương trình (2.3), sử dụng (2.31), (2.32) và (2.34) ta suy ra u thỏa phương trình:

(2.35)

V w , Hwds w

, G

w , u sin u , y , x g y w , x w , 1 2 1 ∈ ∀ + = + ∂ ∂ χ + ∂ ∂ χ ∫ Γ Như vậy để chứng minh u là lời giải bài toán (P) ta chỉ cần chứng minh       ∂ ∂ = χ x u , y , x M1 1 và       ∂ ∂ = χ y u , y , x M2 2 Từ (2.3) ta có (2.36) ( x , y , u ) sin u , u G , u Hu ds

g

y u , y u , y , x M x u , x u , y , x M 1 m m m m m m m 2 m m 1 ∫ Γ + + − = ∂ ∂       ∂ ∂ + ∂ ∂       ∂ ∂ Sử dụng (2.28), (2.29), (2.34), (2.35) và qua giới hạn trong (2.36) ta có (2.37)

y u , x u ,

y

u , y

u , y , x M x

u , x

u , y , x M

2 1

m m

2 m

m 1

m

lim

∂

∂ χ +

∂

∂ χ

=

















∂

∂













∂

∂ +

∂

∂













∂

∂

∞

→

Từ (2.28), (2.31)-(2.33) và (2.37) suy ra

u , , y , x M

y

u , , y , x M y

u , y , x M

x

u , , y , x M x

u , y , x M

2 2

2 2 1

1 1

1

2

m 2

2

m 2

1

m 1

1

m 1

− χ + φ

−

∂

∂ φ

− χ

−

∂

∂ φ

u , , y , x

∂

∂ φ

− χ + φ

−

∂

∂ φ

−

( ) Ω

∈ φ φ

0, ,

L w ,

w x

u

2

p 1 1

∈ λ

Cho λ → 0+ , sử dụng giả thiết (H6)(ii) và do định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta suy

1

x

u , y , x

Lý luận tương tự, từ (2.39) ta cũng có

(2.43)

y

u , y , x

Vậy sự tồn tại lời giải u của bài toán (P) được chứng minh

Bước 4 : Sự duy nhất lời giải

Trước hết ta chú ý rằng lời giải của bài toán (P) tồn tại và bị chặn trong V

(2.44) u V ≤ ρ,

trong đó ρ được xác định từ (2.23) Từ giả thiết (H8) và (2.15) ta có:

(2.45) ( )

3 CC

u , y , x M y

u , y , x M

x

w , x

u , y , x M x

u , y , x M

2 2

1 1

2 2

1 2

2 1

1 1

∈

∀

=

− +

sin u , y , x g

u u y

, x

u , y , x M y

u , y , x M

u u x

, x

u , y , x M x

u , y , x M

2 1 2 2

1

2 1 2 1

1

2 1

2 2

1 2

2 1

2 1

1 1

=

−

− +

−

− +

, y , x g u , y , x g

u u , u sin u

sin u , y , x g

2 2 1

2 1 2 2

1

2 1 2 1

1

≥

− α

− α

≥

−

− +

−

−

α α

3 TRƯỜNG HỢP RIÊNG

Trong trường hợp riêng với

∂

∂

ΓBài toán biến phân tương ứng với (2.50)-(2.51) là:

, G w

, u sin u , y , x g w , u a

u x

w x

u w

, u

Ta cũng chú ý rằng V là không gian Hilbert đối với tích vô hướng a ( , ) và chuẩn sinh

bởi tích vô hướng là

(H5') Tồn tại hằng số dương 2

1

H 0

(H6') Với mỗãi α ∈ (0, π/3) có hai hằng số dương gα và kα sao cho:

(iv) kα ≤ gαcotg α ,

(v) g(x,y,z) ≥ gα , ∀ z ∈ [-α , α ], a.e (x,y) ∈ Ω ,

(vi) g(x,y,z 1 ) –g(x,y,z 2 ) ≤ kα z1 – z 2  ,∀ z 1 , z 2 ∈ [-α, α ], a.e (x,y) ∈ Ω

Định lý 2.2:

Giả sử các giả thiết (H1’)-(H5’) là đúng Khi đó bài toán (P’) có lời giải Hơn nữa, nếu thay thế giả thiết (H2’) bởi giả thiết

(H2’’) G ∈ L 2 (Ω)

thì bài toán (P’) có lời giải u ∈ H 2 (Ω) ∩ V

Hơn nữa, nếu bổ sung thêm giả thiết (H6’) và thay giả thiết (H2’) bởi giả thiết (H2’’) sao cho

(H7’) ( ) ( )

1 2

L

2 1

0

H G dx

Tương tự định lý 2.1, định lý 2.2 được chứng minh qua nhiều bước

Bước 1: Xấp xỉ Galerkin

Giả sử { } wj j=1,2, “cơ sở” đếm được của V Ta tìm lời giải xấp xỉ dưới dạng:

(2.57) ( ) ∑ ( ),

=

1 j

j m

(2.58) ( ) ( )

m

1, ,

j

ds Hw w , G w , u sin u , y , x g w , u a 1 j j j m m j m = + = + ∫ Γ Trước hết ta chứng minh hệ (2.58) có lời giải bị chặn Đặt V m là không gian hữu hạn chiều sinh bởi wj , j = 1 m Coi Pm : V m → V m (2.59) ( ) ∑ ( )m = = m 1 j j m m m u P u w P j (2.60) ( ) ( ) ( ) , m 1, ,

j

ds Hw w , G w , u sin u , y , x g w , u a u P 1 j m m j m m j j j m = − − + = ∫ Γ ( ) = 0 ân tục ( ) ∑ ( ) = = m 1 j m j m x , y c w x , y u j Khi đó (2.58) tương đương với: (2.61) Pm um Ta có thể nghiệm lại không khó khăn rằng: (2.62) Pm : V m → V m lie Để áp dụng bổ đề Brouwer (bổ đề 1.3, chương 1) ta chỉ cần chứng minh tồn tại ~ρ sao cho 0 m > (2.63) ( ) 0

m ≥ , u , u P ~ u m m m m m m ν = ρ ⇒ ν trong đó m . ν là chuẩn sinh bởi tích vô hướng sau: (2.64) ∑

= ν = m 1 j m m, v m c u m j jd , m với ∑ , = = m 1 j m j m c w u j ∑ = = m 1 j m j m d w v j Ta có

(2.65) ( ) ( ) ( u , u ) g ( x , y , u ) sin u , u G , u Hu ds a

c u P u

, u

P

1

j j

m

m m

m m m

m m

m

1

m m m

∫

∑

Γ

= ν

−

− +

=

=

Từ giả thiết (H5’) suy ra:

(2.66) ( ) 2

m

2 0 3 1 m

2 0 3 m

m m

1

u C C u

C C u

, u sin u , y , x

2 m

2 0 3 V

m m m

u H

C

C ~ G

C C

u C C 1 u

, u

P

1 2

1 m

Γ

ν + +

1 m L

0 '

2 0 3

1 m

2 0 3

1

2 



 +

+ Ω

Do mọi chuẩn trên V m đều tương đương, suy ra có hai hằng số dương C1m và C2m sao cho:

(2.69) C1m v Vm ≤ v 1 ≤ C2m v Vm , ∀ v ∈ V m

Chọn ~ ρm > 0 thỏa ρ = ρ

m 1

L 0 '

2 0 3

C C 1

H C

C ~ G

C

C

1 2

−

+ +

Từ (2.61) và (2.68) ta suy ra:

(2.72) um 1 ≤ ρ ,

với ρ > 0 cho bởi (2.70)

Từ (2.72) và giả thiết (H5’) ta suy ra

(2.73) g ( x , y , um) sin um ≤ C ,

C là hằng số độc lập với m

Chú ý rằng phép nhúng V ⊂→ L2 (Ω) là compact, khi đó từ (2.72) và (2.73) suy ra tồn tại một dãy con của {um } vẫn ký hiệu là {um } sao cho:

(2.74) um → u trong H1 (Ω) yếu,

(2.75) um → u trong L2 (Ω) mạnh,

(2.76) um → u a.e (x,y) ∈ Ω

Từ giả thiết (H4’) suy ra:

(2.77) g(x,y,um) sin um → g(x,y,u) sin u a.e (x,y) ∈ Ω

Aùp dụng bổ đề 1.4, chương 1 với

N = 2 , q = 2, Q = Ω ,

Gm = g(x,y,um) sin um và G = g(x,y,u) sin u,

từ (2.73) và (2.77) suy ra

(2.78) g(x,y,um) sin um → g(x,y,u) sin u trong L 2 (Ω) yếu

Do (2.74) và (2.78), qua giới hạn trong (2.58) ta suy ra rằng u là lời giải của bài toán (P’)

Sự tồn tại lời giải được chứng minh

Bây giờ ta thay giả thiết (H2’) bởi giả thiết (H2’’)

Chú ý rằng lời giải u ∈ V của (P’) thỏa mãn phương trình sau đây:

(2.82) u C ( 2 u ) G

≤

∆

Ta chú ý rằng:

(2.83) Trong H2(Ω) hai chuẩn v H 2( )Ω và v 12 + ∆ v 2 là tương đương

(2.84) Phép nhúng H2(Ω) ⊂→ C ( ) Ω liên tục (n = 2)

Do đó từ (2.83) và (2.84) ta suy ra:

(2.85) ∃ > ( )Ω ≤ ( + ∆ ) ∀ ∈ 2( ) Ω

1 0 C

C C 1

C

~

Γ

+ +

0 3

C C 1

C ~

Γ

+ +

+ Ω +

L

H Γ) đủ nhỏ sao cho

(2.90) α ≤ π/3

Ta sẽ chứng minh rằng bài toán (P’) có lời giải duy nhất trong H2(Ω)∩V

Thật vậy, giả sử u, v ∈ H2(Ω)∩V là hai lời giải của (P’) thỏa

(2.93) ( ( ) ( ) )

( x , y , v )( sin u sin v ) , u v 0 g

v u , u sin v , y , x g u , y , x g v

=

−

− +

−

− +

Tổ hợp (2.93) và (2.94) ta thu được u − v 12 ≤ 0 hay u = v

Định lý được chứng minh g

CHƯ Ơ NG 3 :

XẤP XỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN VỚI Ω CÓ BIÊN ĐA GIÁC

I TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT

Trong phần này ta xét trường hợp:

(3.1) ϕ là hàm bậc nhất từng khúc trên [ 0,1]

Cho h > 0 , gọi τh là tập các tam giác K∈Ω sao cho

(3.2) U

h

K

K τ

=

Ω

∈ ,

2 1 h

2 1 2

0 1

0

K K , K

, K ,

, j l , 1 y

, x

~

\ y

, m

+

− +

Xét bài toán xấp xỉ sau đây:

2 h

h 1

V w , ds Hw w

, G w

, u sin u , y , x g

y

w , y

u , y , x M x

w , x

u , y , x M

1

∈

∀ +

= +

Định lý 3.1:

Giả sử ϕ thỏa (3.1) và M 1 , M 2 , g, G, H thỏa các giả thiết (H2)-(H9) Khi đó

(i) Bài toán (P h ) tồn tại duy nhất lời giải u h ∈ V h

(ii) Lời giải u h hội tụ đều về lời giải duy nhất u của bài toán (P)

Chứng minh:

Tương tự như chứng minh định lý 2.1, chương 2

Sự tồn tại lời giải của uh của (Ph) trong không gian hữu hạn chiều Vh được chứng minh nhờ bổ đề Brouwer (bổ đề 1.2, chương 1) Đánh giá tiên nghiệm tương tự bước 2 trong chứng minh định lý 2.1, chương 2 ta cũng có:

u , y , x M

' p

(3.10)

( )

C x

u , y , x M

' p

trong đó C là hằng số độc lập với h

Ta cũng chú ý rằng với p > 2, phép nhúng V⊂→C ( ) Ω compact nên các đánh giá (3.11) dẫn dến tồn tại một dãy con của {uh} vẫn ký hiệu là {uh} sao cho

(3.8)-(3.12) uh → u* trong V yếu ,

(3.13) uh → u* trong C ( ) Ω mạnh ,

(3.14) M1(x,y,∂uh/ ∂x) → χ1* trong Lp’ (Ω) yếu ,

(3.15) M2(x,y,∂uh/ ∂y) → χ2* trong L p’ (Ω) yếu ,

(3.16) g(x,y,uh) sin uh → g(x,y,u*) sin u* trong L p’ (Ω) yếu

Dùng kỹ thuật toán tử đơn điệu tương tựtrong chứng minh của định lý 2.1 chương 2 ta thu được:

(3.17) χ = M    x , y , ∂ ∂ u x   

* 1

*

1 và χ = M    x , y , ∂ ∂ u y   

* 2

*

Do đó qua giới hạn trong (3.7) ta có thể chứng minh u* là lời giải của bài toán (P) Mặt khác do tính duy nhất lời giải của bài toán (P) ta có u* = u, hơn nữa, toàn bộ dãy {uh} hội tụ về u và thỏa (3.12)-(3.16) thay vì dãy con của nó

Định lý được chứng minh g

Để đánh giá sai số giữa uh và u ta cần đặt thêm một số giả thiết sau:

(H10) Tồn tại p > 2, C4 > 0 sao cho:

2 , 1 i

, y

, x e a , IR z~

, z , z~

z C z~

z z~

, y , x M z

y , x e a , , z~

, z , z~

z m z~

, y , x M z

- Giả sử họ tam giác phân {τ h } là chính qui

Nếu lời giải u ∈ V∩W k+1,p thì ta có đánh giá sai số:

max

ρ Ω

w , y , x M y

u , y , x M

x

d , x

w , y , x M x

u , y , x M d

C

h h

2

h 2

h h

1

h 1

p p , 1 h 4

u , y , x M y

u , y , x M

x

d , x

u , y , x M x

u , y , x M

h 2

h 2

h 1

h 1

w , y , x M y

u , y , x M

x

d , x

w , y , x M x

u , y , x M

h h

2 2

h h

1 1

Chú ý rằng từ (2.1) và (3.7) hai số hạng đầu tiên của vế phải (3.20) được viết lại:

(3.21)

h 2

h 2

h 1

h 1

d , u sin u , y , x g u sin u , y , x g

y

d , y

u , y , x M y

u , y , x M

x

d , x

u , y , x M x

u , y , x M

h h h

1

e sin k

e , u sin u , y , x g u

, y , x g J

Đánh giá J3:

h h

h h

3 g x , y , u sin u sin u sin u , e g cos e

g sin k J J J

Đánh giá số hạng thứ 3 và thứ 4 của vế phải (3.20):

Sử dụng bất đẳng thức Holder suy ra

(3.28)

y

d , y

w , y , x M y

u , y , x M

x

d , x

w , y , x M x

u , y , x M

h h

2 2

h h

1 1

h 2

2

L

h 1

1

d y

w , y , x M y

u , y , x M

x

w , y , x M x

u , y , x M

' p

' p

Chú ý rằng với p > 2 ta có

(3.29) W2 , p( Ω ) ⊂→ W1 , p( Ω ) ⊂→ C ( ) Ω

với các phép nhúng liên tục (thậm chí compact)

Từ giả thiết u ∈ Wk+1,p (Ω)∩V và do bổ đề (3.1) ta suy ra rằng tồn tại β > 0 sao cho:

h 1

x

w , y , x M x

u , y , x M

' p

β Ω

(3.32)

( ) 1,p'

h L

h 2

y

w , y , x M y

u , y , x M

' p

β Ω

hai chuẩn . W 1 , p '( )Ω và . 1,p' tương đương, tức là

(3.35) ( ) ' 1,p'

W '

p ,

p p , 1 h

1 a p

1

1 p

m 2 ' p 1

E e C C g sin k d

C

p p , 1 h

p 1 '

p ' p , 1 h '

p 1

' p , 1 h p , 1 h

' 0 max

p p , 1 h

ε + ε

+

+ α

≤

β

− α

trong đó ε1 được chọn như sau

(3.41)

2

C p

p 1 '

p , 1 h p , 1 h

' 0 max

p p , 1 h

' p

2 E

e C C g sin k 2 d

p , 1 h p , 1 h p

, 1

h 1,p 2 d E 1,p

h 5 ' p p

p , 1 h

p h

h

' p

1 e

p

1 E

e

0 max

1

2 1

Từ (3.42)-(3.44) suy ra rằng:

h 4

p h 4 1 p p

p , 1 h 4

p , 1 p

,

1 C E d

C 2 e

+

h 4

' p h '

p 1 h

h 5 1 p

p , 1 '

p , 1 p

, 1 p ,

' p

2 E

e C 2



 +

ε +







ε + ε

' p h '

p 1

' p ' h 5 ' p 2

p h

p 2 1 p

p , 1 '

p , 1

p , 1 p

, 1

E C E

m 2 ' p 2

E C '

p

1 e

p

1 2

' p

2 C ' p

1 2 e

2

h 4 1 p '

p ' h ' p '

p 1 '

p ' p 2 1 p p

h 4

p , 1 p

, 1 5

p , 1

− β

h 4 '

p ' h ' p '

p 1 '

p ' p 2 4

p p

h

p , 1 p

, 1 5

p ,

' p

2 C ' p

1 C

p ' h 6

p h

p , 1 p

, 1 p

p ,

h p '

p ' h

p , 1 p

,

1 C E