Bài toán Parabolic liên quan đến sự xuyên thấu của từ trường trong 1 vật chất

Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán–Tin học, trường Đại Học Sưphạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2007

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Long

Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh

Người nhận xét 1: PGS.TS Nguyễ n Bích Huy

Khoa Toán –Tin học, Đại học Sưphạm TP Hồ Chí Minh

Người nhận xét 2: TS Trần Minh Thuyế t

Khoa Toán –Tin học, Đại học Kinh tế TP Hồ Chí Minh

Học viên cao học: Trương Văn Chính

Trường Cao đẳng Sưphạm Bình Thuận

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận văn tại Trường Đại học Sưphạm TP Hồ Chí Minh

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thưviện Trường Đại học Sưphạm TP Hồ Chí Minh

Thành phố Hồ Chí Minh – 2007

Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tôi trân trọng kính gởi đến Thầy

Nguyễ n Thành Long người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc

Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán–Tin

học, trường Đại Học Sưphạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa

học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạt kiến thức cũng nhưcác hỗ trợ khác về tinh thần và tưliệu cho tôi trong suốt thời gian học tập và làm việc

Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong Ban Chủ nhiệm Khoa Toán –Tin học, Quý Thầy, Cô thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đại học, trường

Đại học Sưphạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ, động viên,

tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính cho tôi trong suốt quá trình

học tập

Chân thành cảm ơn Quí Thầy Nguyễ n Bích Huy, Trần Minh Thuyế t đã đọc

và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tôi

Xin cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp và các bạn cùng lớp cao học giải tích khóa 15 đã luôn động viên và quan tâm trong thời gian học tâp và làm luận

văn Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành

của các bạn bè đồng nghiệp

Trương Vă n Chính.

TrangTrang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

i 1 i i

1

2 2N

ởđây H, B lần lượtlà cường độvà cảm ứng từtrường, là suất dẫn điện của

vật chấtvà hằng sốc là vận tốc của ánh sáng trong chân không Ta thu đượcphương trình thứnhất của (0.5) bởiviệc khửE từhệ:

(0.6)

1 B

c t4

có nhiệt độtrong đó là , phụthuộc vào suấtdẫn điện  Giảsửrằng suất

dẫn điện  phụthuộc vào nhiệtđộ ,  ta thêm vào (0.5) phương trìnhgây ra nhiệt nhờsựnóng lên của Joule:

t



 trong đó Cv là nhiệt dung của vật chất mà trong trường hợp tổng quát cũngphụthuộc vào nhiệt độ  Đểhệđơn giản ta sẽgiảsửrằng độthấm từ1

và B=H Do đó, dựa vào định luật j và từ(0.6), hệ(0.5), (0.7) được viếtEtheo dạng dướiđây:

Laptev biến đổi(0.8), (0.9) thành một phương trình bởihàm s() dướiđây:

Các hàm C ( ),v   là dương nhờvào ý nghĩ a vật lý của chúng, như

vậy hàm s là đơn điệu tăng Do đó nó có duy nhấtmột hàm ngược, ký

4Giảsửrằng trường w có dạng

Hiện tượng này được chú ý trong cảhai trường hợp bán dẫn và plasmas

Trong [4] Laptev thiết lập các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho

bs a ' s ds

Đểnớirộng kết quảcủa Laptev, trong bài báo [6], Long và Alain Phạm

đã chứng minh các định lý tồn tại, duy nhất và dáng điệu của nghiệm khi

t  cho bài toán (0.1)-(0.4) trong trường hợp 2 

Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:

Phần mởđầu tổng quan vềbài toán khảo sát trong luận văn, điểm quacác kết quảđã có trước đó, đồng thờinêu bốcục của luận văn

Chương 1, chúng tôi trình bày một sốcông cụchuẩn bị, bao gồm việc

giữa các không gian hàm

Chương 2, chúng tôi trình bày sựtồn tạivà duy nhất của nghiệm yếu

Chương 3 là phần nghiên cứu tính trơn của nghiệm yếu của bài toán(0.1) – (0.4), theo tính trơn của điều kiện đầu Cụthểlà chúng tôi tăng cường

o o

u H  cùng với một sốđiều kiện trên các

Chương 4: Nghiên cứu tính bịchận của nghiệm yếu của bài toán (0.1) –(0.4) theo tính bịchận của điều kiện đầu Trong chương này, nếu uoL 

cùng với một sốđiều kiện khác trên các hàm f, F, a, luận văn chứng tỏnghiệm yếu u thuộc vềL Q T

Chương 5 đề cập đến dáng điệu tiện cận của nghiệm yếu của bài toán(0.1)–(0.4) khi t  

Cuối cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1 CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

1 Các không gian hàm thông dụng.

Ta kí hiệu  là một miền mở, bị chận, có biên  đủ trơn,N T

Q (0,T), T 0, và bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng:

v v , v H Chứng minh bổ đề 1.1 có thể tìm thấy trong [2]

Ta cũng sử dụng một không gian Sobolev đặc biệt hơn đó là khônggian

(1.7)

1

H 1

H là hai chuẩn tương

đương Điều này cho bởi bất đẳng thức Poincarré sau:

Bổ đề 1.2 (Bất đẳng thức Poincaré) Tồn tại hằng số CC phụ thuộ c vào , sao cho

(1.8)

1

2 2N

1 o

) thì cũng triệt tiêu trên (H1

u : (0, T)X đo được sao cho:

T

p X 0

Khi đó ta có các bổ đềmà chứng minh của chúng có thể tìm thấy trong Lions[5]

Bổ đề 1.4 (Lions[5]): Lp

(0,T;X),1  p là không gian Banach.

Bổ đề 1.5 (Lions[5]): Gọi X’ là đối ngẫu của X Khi đó, với

3 Phân bố có giá trị véctơtrong không gian Banach.

Đị nh nghĩ a 1.1 Cho X là không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D((0,T)) vào X được gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trịtrong X Tập hợp các phân bố có giá trị trong X kí hiệu là:

0

T , v(t) (t)dt, D(0, T)

Ta có thể nghiệm lại rằng TvD '(0, T; X) Thật vậy,

i.1/ Ánh xạT : D(0, T)v X là tuyến tính

i.2/ Ta chứng minh T : D(0, T)v X là liên tục vì:

Giả sử   i D(0, T), sao cho i 0 trong D(0,T) ta có,

Bổ đề 1.8 (Lions[5]) Nế u f, f’ L1

(0,T;X) thì f bằ ng với hầu hết một hàm liên tụ c từ [0,T] vào X.

Chứng minh Bổ đề 1.8 được thực hiện qua nhiều bước

Bướ c 1 Đặt

t 0

H(t)f '(s)ds Khi đó H : [0,T]X liên tục, vìf’ L1

(0,T;X)

Trước hết, ta chứng minh dH df f '

dt   theo nghĩdt a phân bố Thật vậy, do

Cv(t)(t)dt, từ (1.8) ta suy ra:

T 0

(v(s)  C) (s)ds  0, D(0,T)



Vậy v(t) = C trong D’(0,T;X)

Bướ c 3 Ta sử dụng tính chất sau:

Nếu w L1

(0,T;X) và

T 0

Từ các bước 1, 2, 3 ta suy ra f = H + C theo nghĩa phân bố

Tương tự ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.9 (Lions[5]) Nế u f, f’ Lp

(0,T;X) thì f bằ ng hầu hế t một hàm liên

tụ c từ [0,T] vào X.

5 Bổ đề về tính compact của Lions.

Cho ba không gian Xo, X1, X với Xo X X1 sao cho

có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact

Bổ đề 1.10 (Bổ đề về tính compact của Lions[5])

Với giả thiế t (1.20), (1.21) và nế u 1 pi , i=0,1 thì phép nhúng

o

p

W(0,T)L (0,T;X) là compact.

Chứng minh Có thể tìm thấy trong Lions[5], trang 57

6 Bổ đề về sự hội tụ yếu trong L q

Chứng minh bổ đề có thể tìm thấy trong Lions[5], trang 12.

Trong luận văn ta kí hiệu u(t), u '(t) u (t)t u(t), u ''(t)u (t)tt u(t),

x x x x x

u (t), u (t), u (t),u(t) để lần lượt chỉ

2 2

CHƯƠNG II

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Trong chương này chúng tôi trình bày định lý tồn tại và duy nhấtnghiệm yếu cho bài toán giá trịbiên và ban đầu sau:

i 1 i i

1

2 2N

phần này định lý Schauder về điểm bất động được sửdụng trong việc chứngminh tồn tạinghiệm xấp xỉGalerkin

Trước hết ta thành lập các giảthiết sau:

(A1) uoL ,2

(A2) aC (1   thỏa các điều kiện:; )

(i)

1 2 2 0

(ii) tồn tại các hằng sốao, a1sao cho 2b ao a(s)  a ,1 s 0

(A3) Hàm F C (o  thỏa các điều kiện:; )

(i) F(x,0) = 0,  x ,

(ii)   2

F(x, u)F(x, v) (u  v) u v , u, v , a.e.x,

2 o

Ta có định lý sau:

Định lý 2.1 Giả sử các giả thiế t (A1) – (A4) đúng Khi đó, bài toán (2.1) –

o

uL (0,T;H )L (0,T;L ) , vớ i mỗi T > 0.

Chứng minh Chứng minh định lý 2.1 là tổ hợp phương pháp compact

và lý luận về tính đơn điệu và được thực hiện qua nhiều bước Trước hết ta chứng minh các bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 Giả sử A là toán tử được xác đị nh bởi (2.4) Khi đó, ta có bất đẳng thức:

(2.5)

2 o

Toán tửA : L (0,T;H )2 10 L (0,T;H )2 1 nhưtrong (2.4) được xác địnhnhưsau:

(2.13)

t

2 0

J, w(t) dt.

2 2

1

L (Q ) L (Q ) 0

T

2 T

ds

dtds

s( x,T, ) T

T

2 2

0 0 2

2 T

2 T

o

0 0

T

2 2

0 0

T

2 1

T 0

có u mw u mạnh khi m  Do F liên tục nên tồn tại dãy con của

  vẫn kí hiệu làm   sao cho:m

(2.26) F(x, umw)F(x,u) hầu khắp nơi trong QT,

(2.33) F(x, umw)F(x,u) trong L2(QT) yếu,

do đó ta có (2.7) Nhưvậy Bổđề2.2 đã được chứng minh

Trởlạ i chứng minh đị nh lý 2.1 Định lý được chứng minh qua nhiều

bước

Bướ c 1 Phương pháp Galerkin (được giới thiệu bởi Lions [5])

Xét cơsở đặc biệt của 1

0

H là  w ,j j=1,2, được hình thành từ các hàm riêng của toán tửLaplace -:

(2.39)

t n

2 '

t t n

phương trình điểm bất động

2

j 1 0 0 t

i 0

t

i i i

0 n

Ta ký hiệu M  

X

B  c X : c M là quảcầu đóng tâm O, bán kính M.Dùng định lý điểm bất động Schauder, ta sẽ chứng minh rằng tồn tại các

hằng sốM > 0, Tn(0,T) sao cho toán tửU : BM BM có điểm bất động Điểm bất động này cũng chính là nghiệm của hệ (2.42), (2.43)

(i) Trướ c hế t ta chứng minh U là ánh xạ từ BM vào chính nó.

Do (Uc) (t)i i(t)(Vc) (t)i xác định theo (2.43) nên (Uc)iliên tục theo biến t với mọi i = 1, 2, …,n, nghĩa là Uc Mặt khác, ta lại cóX

2

j 1 0 0 t

Nhưvậy (i) được chứng minh.

(ii) Chứng minh U liên tục trên B M

Giả sử với mọi dãy  cm B , cM m c trong B ,M ta chứng minh

2 2

j 1 0 0 0

s s n

2 2

m j j i

j 1 0 0 Q

m X m X n j

j 1 2 n

T

2 m

0 T

c/ Chứng minh U(B )M là tậ p compact của X.

j

t ' t '

1

T 21

2 2

t ' t (2)

t t ' t

2 (3)

j 1 t ' 0

t s n

j 1 1

T 2 1

2

1 1 0

Uc(t) Uc(t ') (Uc) (t) (Uc) (t ')

Mặt khác, ta lại có U(B )M BM nên họ các hàm UBM Uc, cBMlà

đẳng liên tục và bị chận Áp dụng định lý Arzela-Ascoli ta có U(B )M là tập compact trong X

Từ các chứng minh (i), (ii), (iii), áp dụng định lý điểm bất độngSchauder, ta được toán tử U : BMBM có một điểm bất động cBM, điểm

bất động này cũng chính là nghiệm của hệ (2.39), (2.40)

Bổ đề 2.3 đã được chứng minh

Từ chứng minh trên ta có, với mỗi n, tồn tại nghiệm un(t) dạng (2.35) thỏa (2.36), (2.37) trên khoảng đủ nhỏ [0,Tn], với 0 Tn T Các đánh giátiên nghiệm sau đây cho phép ta lấy Tn= T, với mọi n.

Bướ c 2 Đánh giá tiên nghiệm.

1F(x, u ( )), u ( ) d u f ( ), u ( ) d

2 2 o

n 2 o

0 0

t t 2

2 2 o

2 o 2 2

n n n 2 o n

o 2

(2.101) un u trong L (0,T;H )2 10 yếu,

(2.102) Aun trong L (0,T;H )2 1 yếu,

(2.103) F(x, u )n 1 trong L (0,T;L ) 2 yếu *,

Bướ c 3 Qua giới hạn

Nhân (2.36) với D([0,T]) và lấy tích phân theo biến thời gian, tathu được

T

n j 0

n n 0

T T t

T

1 0

Sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1) – (2.4) đã được chứng minh.

Bướ c 4 Chứng minh nghiệ m duy nhất.

Giảsửu, v là 2 nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.4) Khi đó w = u-v

là nghiệm yếu của bài toán:

1w(t) Au( ) Av( ), w( ) d 0

CHƯƠNG 3 TÍNH TRƠN CỦA NGHIỆM

Trong chương này, luận văn muốn đề cập đến tính trơn của nghiệm yếu

của bài toán (0.1)-(0.4) theo tính trơn của điều kiện đầu Cụ thể là chúng tôi

tăng cường giả thiết về điều kiện đầu 1

(3.1)

1

2 22

(iv) Với mỗitập con bịchận BH ,10 tồn tại hằng sốKB> 0 phụthuộc vào B sao cho

F(x, u)F(x, v) K    u v , u, v B,(B4) fL (0,T;H ).2 1o

Khi đó, ta có định lý sau:

Định lý 3.1 Giả sử các giả thiế t (B1) – (B4) đúng Khi đ ó bài toán (2.1) –

(2.4) có duy nhấ t nghiệ m yế u u thoả:

2 1 2 1

uL (0,T;H H )L (0,T;H ) và ut L (Q ),2 T với mỗ i T > 0.

Chứng minh.

Sự tồ n tại nghiệ m yếu.

Giống nhưchứng minh định lý 2.1, ta xét hệ phương trình (2.36),(2.37), trong đó (2.38) được thay bởi

trong đó MT là hằng sốđộc lập vớin và phụthuộc vào T.

Bây giờta thực hiện thêm mộtđánh giá cần thiết khác

Ta đặt Q1 (0,T ), 01  T1 T Do   , thay thế wwj jwj j(x)trong (2.36) bởi  ta đượcwj

(3.6) (u ) ,n t wj Au ,n wj F(x, u ),n wj f (t), w ,j

 Nhân mỗi phương trình của (3.6) với cnj(t), lấy tổng theo j sau đó lấytích phân theo biến thờigian từ0 đến T1ta được:

2 n

i 1 i i

uF(x,u (t)), u (t) F(x,u (t)), (t)

2

n n 0

1

u (T ) a(s (x, t)) u (x, t) dxdt2

F(x, u (t)) u (x, t) dxdtu

i 1 i i0

T

2

n on 0

o 0

2 nn

i, j 1 i j 0

1

2 2

1

1

2 1

T

2 2 2 2

* n * n L (Q ) 0

N 2

i 1 0 i i

2 T

N

n n

2 1

2 2

n n

i 1 0 i i 1 0 i

2 N

2 1

T 2

T

*

3 n 0

Q 0 0

t

2 2 n

T

2 t

Nhân phương trình (2.36) với D(0,T), lấy tích phân trên theo biến thời gian ta được:

Từ (3.55), (3.56) ta có điều kiện đầu u(0) = uo.

Nhưvậy sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.4) đã được chứng minh

Chứng minh nghiệ m duy nhất.

Giả sử u, v là 2 nghiệm yếu của hệ (2.1) - (2.4) Đặt w=u-v Khi đó w lànghiệm yếu của hệ

0 T 0

CHƯƠNG 4 TÍNH BỊ CHẬN CỦA NGHIỆM

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính bịchận của nghiệm yếu

của bài toán giá trịbiên và ban đầu (0.1) – (0.4) theo tính bịchận của điềukiện đầu Cụ thể là, nếu uo  cùng với một số các điều kiện khác trênL ( )các hàm f, F, a Luận văn chứng tỏ rằng nghiệm yếu u cũng thuộc về L (Q ). TPhương pháp chứng minh cũng tương tự nhưtrong [8]

Trước hết chúng tôi thành lập các giả thiết sau:

t N

2

i 1 0 i it

2 0

2 2

2 2

Từ (4.14), (4.15) cho ta

(4.16) u(x, t)  vớihầu hếtM (x, t)Q T

Tức là uL (Q ). T

Đị nh lý 4.1 đã được chứng minh.

CHƯƠNG 5 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM YẾU

Trong chương 2, theo định lý 2.1 bài toán (2.1) – (2.4) có duy nhất

Khi đó ta có định lý sau đây

Định lý 5.1 Giả sử các giả thiế t "

1 3 4

(A ) (A ), (A ) đúng Khi đó, bài toán

0

uL (0, ; H ) L (0, ;L ),  thỏ a đánh giá

n 1 n 2

d

u (t) 2a u (t) 2 u (t) 2 f (t) u (t)dt

KẾT LUẬN

Luận văn khảo sát bài toán biên và ban đầu dạng parabolic phi tuyến

mà ý nghĩa của nó liên quan đến sự xuyên thấu của từ trường trong một vật chất Kết quả tồn tại duy nhất nghiệm với giá trị đầu 2

Qua luận văn nầy, tác giả thực sự bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học một cách nghiêm túc và có hệ thống Tác giả cũng học

tập được phương pháp nghiên cứu trong việc đọc tài liệu, thảo luận trong nhóm sinh hoạt học thuật Chúng tôi cũng học tập được công cụ của Giải tích hàm phi tuyến để khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toánparabolic phi tuyến, chẳng hạn như:phương pháp Galerkin liên hệ với các kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật về tính compact và hội tụ yếu Chúng tôi

cũng có dịp sử dụng được các công cụ cùng với các kỹ thuật đánh giá dángđiệu tiệm cận của nghiệm Tuy nhiên với sự hiểu biết hạn chế của bản thân, tác giả rất mong được sự đóng góp, chỉ bảo của Quí Thầy, Cô trong và ngoài

Hội đồng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Adams R A (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, NewYork

2 Brézis H (1983), Analyse fonctionnelle, Théorie et Applications, Masson

Paris

3 Jangveladze T.A., Kiguradze Z.V (2006), Asymptotics of solution of a

nonlinear system of diffusion of a magnetic field into a substance,

Seberian Mathematical Journal, Vol 47, No 5, pp 867-878.

4 Laptev G I (1988), Mathematical singularities of a problem on the

penetration of a magnetic field into a substance, (Russian) Zh Vychisl.

Mat i Mat Fiz 28, No 9, 1332-1345; translation in USSR Comput Math and Math Phys 28, No.5, 35-45.

5 Lions J L (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes aux

limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris.

6 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, (1993), Nonlinear parabolic

problem associated with the penetration of a magnetic field into a

substance, Math Meth Appl Sci 16, 281-295.

7 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, (1995), Periodic solution of

a nonlinear parabolic equation associated with the penetration of a

magnetic field into a substance, Computers Math Appl 30, 63-78.

8 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, (2006), On a nonlinear

parabolic equation involving Bessel’s operator associated with a mixed inhomogeneous condition, J Computational and Applied Math.

196 (1) 267-284.