một số tính chất địa phương và toàn cục của mặt đối chiều hai trong không gian lorentz-minkowski bản tóm tắt tiếng việt

Chúng ta điểm qua một số kết quả chính cho lĩnh vực này như sau.Bằng cách sử dụng tính chất của độ cong liên kết với một trường vectơpháp để nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai,

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẶNG VĂN CƯỜNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CỤC CỦA MẶT ĐỐI CHIỀU HAI TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 62 46 10 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN – 2013

Người hướng dẫn khoa học:

vào hồi……… ….giờ…………phút, ngày………tháng……….năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

[1] Binh Ng D, Cuong D V , Hieu D Th (2013), “Hyperplanarity of surfaces in four dimensional spaces”, pre-print

[2] Cuong D V (2008), “The flatness of spacelike surfaces of codimension two in  '', Vinh university Journal of science.,37 (2A), n1

[5] Cuong D V (2012), “ LS -valued Gauss maps and pacelike r

surfaces of revolution in 41'', App Math Sci., 6 (77), 3845 - 3860

[6] Cuong D V and Hieu D Th (2012), “ HS -valued Gauss maps and r

umbilic spacelike sufaces of codimension two”, submitted

[7] Cuong D V (2013), “Surfaces of Revolution with constant

Gaussian curvature in four-Space”, Asian-Eur J Math., DOI

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Việc nghiên cứu các tính chất địa phương và toàn cục của mặt là mộttrong những vấn đề cơ bản của hình học vi phân Tính chất địa phươngcủa mặt là những tính chất liên quan đến tham số hóa địa phương củamặt, còn tính chất toàn cục là những tính chất thể hiện trên toàn bộ mặt

mà không chịu sự chi phối của tham số hóa địa phương

Chúng ta đã biết, trong hình học vi phân cổ điển, một trong nhữngcông cụ cơ bản để nghiên cứu các tính chất địa phương của mặt là ánhxạ Gauss ánh xạ Gauss đưa đến các khái niệm độ cong bao gồm: độcong Gauss; độ cong trung bình; độ cong chính, Với các mặt đốichiều một, mặt trong R3 và siêu mặt trong Rn, ánh xạ Gauss đã chứng tỏ

là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất địa phương của chúng.Chẳng hạn, dựa vào tính chất của độ cong chúng ta nhận được kết quả:một mặt chính quy trong R3 là mặt rốn khi và chỉ khi nó là (một phầncủa) một mặt cầu hoặc (một phần của) một mặt phẳng

Đối với các tính chất toàn cục của mặt, một trong những công cụ đểtìm được mối liên hệ giữa tính chất địa phương với tính chất toàn cục làtrường Jacobi dọc theo một đường trắc địa Thông qua công cụ này một

số tính chất toàn cục của mặt trong R3 đã được đưa ra trong lý thuyếthình học vi phân cổ điển Chẳng hạn, một mặt chính quy trong R3 có độcong Gauss đồng nhất bằng không khi và chỉ khi nó là mặt kẻ khả triển.Việc tìm hiểu các kết quả thể hiện các tính chất hình học của lớpmặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski,tương tự như trường hợp của mặt trong R3, là một trong những vấn đề

được chúng tôi quan tâm

1.2 Hình học của mặt trong R4 đã được quan tâm nghiên cứu bởi một sốnhà toán học như Romero Fuster, Izumiya, Pei, Little, Ganchev, Milou-sheva, Weiner, Chúng ta có thể điểm lại một số kết quả chính đã

đạt được trong lĩnh vực này như sau Vào năm 1969, Little đã xây dựngcác bất biến hình học, chẳng hạn như elip độ cong, để nghiên cứu tính

kỳ dị của đa tạp con đối chiều hai trong không gian Ơ-clít Cũng trongbài báo này tác giả đã chỉ ra được rằng mặt trong R4 thoả mãn điềukiện mọi trường vectơ pháp là trường trùng pháp khi và chỉ khi nó làmột mặt kẻ khả triển Đến năm 1995, Mochida và một số tác giả khác

đưa ra một số điều kiện cần và đủ về sự tồn tại trường trùng pháp của

mặt trong R4 Trong bài báo này các tác giả đã khẳng định điều kiệncần và đủ để mặt trong R4 chấp nhận đúng hai trường trùng pháp là lồingặt địa phương Các kết quả này được mở rộng lên mặt đối chiều haitrong Rn+2 bởi Mochida và một số tác giả khác vào năm 1999 Hướngnghiên cứu này được tiếp tục bởi Romero-Fuster và Sánchez-Brigas vàonăm 2002, để nghiên cứu khái niệm rốn trên mặt Trong bài báo này, cáctác giả đã chỉ ra mối quan hệ tương đương giữa các lớp mặt: ν-rốn, tồntại hai phương tiệm cận trực giao với nhau tại mọi điểm, nửa rốn và độcong pháp đồng nhất bằng không Đến năm 2010, Nueno-Ballesteros vàRomero-Fuster xây dựng khái niệm quỹ tích độ cong (curvature locus),

nó là một mở rộng của khái niệm elip độ cong cho mặt đối chiều haitrong Rn+2, để nghiên cứu tính chất của các đa tạp con đối chiều hai.Trong bài báo này các tác giả cũng đã chuyển một số kết quả về mặttrong R4 lên đa tạp con đối chiều hai trong Rn+2

Việc phát triển các kết quả nghiên cứu về mặt trong R4 lên mặt kiểukhông gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski cũng làmột trong những vấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu

1.3 Những năm gần đây một số kết quả nghiên cứu mặt kiểu khônggian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski đã được công

bố Chúng ta điểm qua một số kết quả chính cho lĩnh vực này như sau.Bằng cách sử dụng tính chất của độ cong liên kết với một trường vectơpháp để nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai, vào năm 2004Izumiya và một số tác giả khác đã chỉ ra rằng nếu mặt chứa trong mộtgiả cầu thì nó là mặt ν-rốn, trong đó ν là trường vectơ vị trí của mặt Vớichiều ngược lại của mệnh đề này, các tác giả đã bổ sung thêm giả thiếtsong song của ν để mặt ν-rốn chứa trong một giả cầu Trong bài báo nàycác tác giả cũng đã trình bày lại cách xây dựng khái niệm elip độ congcho mặt kiểu không gian hai chiều trong không gian Lorentz-Minkowski

số chiều lớn hơn 3 và chỉ ra mối liên hệ giữa mặt ν-rốn và mặt nửa rốn,

nó là mặt mà elip độ cong suy biến thành một đoạn thẳng Xuất phát

từ tính chất mặt phẳng pháp của một mặt kiểu không gian đối chiều hai

là một 2-phẳng kiểu thời gian, dễ dàng chỉ ra được rằng nó có một cơ

sở giả trực chuẩn với một vectơ kiểu không gian và một vectơ kiểu thờigian Bằng cách sử dụng tổng và hiệu của hai vectơ trong cơ sở này củamặt phẳng pháp, vào năm 2007 Izumiya và một số tác giả khác đã xâydựng khái niệm ánh xạ Gauss nón ánh sáng và nghiên cứu khái niệm dẹttrên các mặt kiểu không gian đối chiều hai

Tìm cách xác định một trường vectơ pháp trên mặt kiểu không gian

đối chiều hai, xem như ánh xạ Gauss, thuận tiện cho việc nghiên cứu các

tính chất hình học của mặt, cũng là một trong những vấn đề chúng tôiquan tâm.

1.4 Nghiên cứu tính phẳng, điều kiện chứa trong mặt phẳng, của một

đường cong trong R3 là một bài toán cổ điển của hình học vi phân Tínhphẳng của đường cong phụ thuộc vào độ xoắn của đường cong, đườngcong là phẳng khi và chỉ khi độ xoắn của nó đồng nhất bằng không Điềunày tương đương với trường vectơ trùng pháp của đường cong là trườngvectơ hằng Ngoài ra một số tính chất của mặt phẳng mật tiếp của đườngcong cũng cho chúng ta một số điều kiện đủ để đường cong phẳng.Tìm kiếm các điều kiện đủ để một mặt kiểu không gian trong R41chứa trong một siêu phẳng cũng là một trong những vấn đề chúng tôiquan tâm

1.5 Việc nghiên cứu các lớp mặt đặc biệt trong không gian, chẳng hạnmặt kẻ, mặt tròn xoay, , cũng là một trong những vấn đề được cácnhà hình học quan tâm Khi xây dựng một công cụ nào đó để nghiêncứu các lớp mặt, công cụ đó thực sự có giá trị nếu nó có thể đưa ra mộtphân loại cho các lớp mặt đặc biệt này Chúng tôi cũng mong muốn đưa

ra các định lí phân loại cho các lớp mặt đặc biệt, chẳng hạn như mặt kẻcực đại, mặt tròn xoay cực đại hay khảo sát khái niệm rốn trên các lớpmặt này

Bởi các lý do nêu ở trên, tôi chọn đề tài “Một số tính chất địa phương và toàn cục của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz- Minkowski" làm đề tài luận án tiến sĩ

2 Mục đích nghiên cứu

Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất hình họccủa mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski với các mục

đối chiều hai và mặt kiểu không gian rốn đối chiều hai

(3) Nghiên cứu mối quan hệ giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng

(4) Nghiên cứu các điều kiện chứa trong siêu phẳng của mặt trongkhông gian R4 sau đó mở rộng lên mặt kiểu không gian trong R41.(5) Sử dụng các kết quả đạt được theo hướng nghiên cứu để ứng dụngvào việc khảo sát tính chất hình học của một số lớp mặt kiểu khônggian đặc biệt trong không gian Lorentz-Minkowski R41, đó là mặt

kẻ và mặt tròn xoay

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án bao gồm: mặt kiểu không gian

đối chiều hai; các công cụ nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiềuhai; các tính chất hình học của mặt kiểu không gian đối chiều hai trongkhông gian Lorentz-Minkowski Vậy nên, nếu không được nhắc lại, đốitượng mặt trong luận án được hiểu là mặt kiểu không gian đối chiều hai

4 Phạm vi nghiên cứu

Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất địa phương

và toàn cục trên mặt kiểu không gian đối chiều hai, nghiên cứu một

số lớp mặt kiểu không gian đối chiều hai đặc biệt trong không gianLorentz-Minkowski

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp lý thuyết trong quá trình thực hiện

đề tài Bằng cách sử dụng các công cụ là các độ cong trên mặt, chẳnghạn độ cong liên kết với một trường vectơ pháp; elip độ cong; độ congGauss, chúng tôi tìm kiếm các tính chất hình học của mặt đối chiều haithỏa mãn tương ứng các điều kiện của các độ cong này cũng như mốiliên hệ giữa các lớp mặt đó

6. ý nghĩa khoa học và thực tiển

6.1 Luận án góp phần giải quyết các bài toán của mặt đối chiều haitrong không gian Lorentz-Minkowski sau:

(1) Đưa ra hai phương pháp để xác định một trường vectơ pháp khả

vi trên phân thớ pháp của mặt đối chiều hai, đó là một cặp trườngvectơ pháp kiểu không gian và một cặp trường vectơ pháp kiểu ánhsáng

(2) Sử dụng trường vectơ pháp ν (được xác định ở trên) vào việc nghiêncứu khái niệm dẹt trên mặt và đưa ra một số định lí thể hiện đượctính chất hình học của mặt ν-dẹt

(3) Đưa ra một số định lí có tính phân loại đối với các mặt chứa trongmột giả cầu thoả mãn điều kiện ν-rốn hoặc mặt thoả mãn điều kiệnrốn

(4) Đưa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trường vectơ pháp là trườngtrùng pháp Xác định quan hệ giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng.(5) Đưa ra các điều kiện đủ để mặt trong không gian 4-chiều (R4 và

R41) chứa trong một siêu phẳng

(6) Đưa ra các định lí thể hiện tính chất hình học của một số mặt kiểukhông gian đặc biệt trong R4

1 bao gồm: mặt kẻ cực đại; mặt trònxoay (kiểu hypecbolic và kiểu eliptic) cực đại; mặt tròn xoay (kiểuhypecbolic và kiểu eliptic) rốn Chỉ ra số lượng trường trùng pháptrên mặt kẻ, mặt tròn xoay (kiểu hypecbolic hoặc eliptic) Đưa racác điều kiện tương ứng với số lượng trường trùng pháp trên mặttròn xoay với kinh tuyến phẳng Xác định các trường vectơ pháp

Phần kiến thức cơ sở của luận án được giới thiệu trong chương 1

Đây là khối kiến thức rất căn bản nhưng nó được sử dụng nhiều trongluận án nên không thể bỏ qua Đóng góp của luận án được trình bàytrong các chương 2, 3 và 4 Trong chương 2, chúng tôi đưa ra hai phươngpháp để xác định một cặp trường vectơ pháp khả vi trên mặt, một cặp kiểukhông gian và một cặp kiểu ánh sáng, đồng thời ứng dụng các trường

vectơ pháp này để nghiên cứu tính chất hình học của mặt ν-rốn, mặt rốn.Chương 3 đưa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trường vectơ pháp trênmặt là trường trùng pháp, nghiên cứu mối quan hệ giữa mặt ν-rốn và mặtν-phẳng đồng thời xác định số lượng trường trùng pháp trên mặt ν-rốn.Trong Chương 3 chúng tôi cũng nghiên cứu các điều kiện đủ để một mặttrong không gian 4-chiều, R4 và R41, chứa trong một siêu phẳng Trongchương 4, chúng tôi khảo sát một số tính chất hình học của hai lớp mặt

đặc biệt trong R41, đó là mặt kẻ kiểu không gian và mặt tròn xoay kiểukhông gian

7.1.1Việc nghiên cứu lớp mặt ν-rốn đối chiều hai, trước hết cần kể đếncác tác giả Izumiya, Pei, Romero-Fuster, Các tác giả đã giả sử trênmặt tồn tại một trường vectơ pháp ν (kiểu không gian, kiểu thời gian hoặckiểu ánh sáng), xây dựng các độ cong liên kết với trường vectơ pháp ν,sau đó đưa ra một số tính chất hình học của mặt ν-rốn Tuy nhiên, sự tồntại các trường vectơ pháp ν như thế nào thì chưa được nhắc đến Điềunày có ý nghĩa về mặt lý thuyết nhưng lại khó khăn khi thực hành tínhtoán trên các mặt cụ thể Cho đến thời điểm này, khi cho một mặt dướidạng tham số hoá, việc xác định một trường vectơ pháp trên mặt đồngthời kiểm soát được thuộc tính (kiểu không gian, kiểu thời gian hoặc kiểu

ánh sáng) của nó vẫn đang là vấn đề chưa được nghiên cứu cụ thể TrongChương 2 của luận án này chúng tôi đưa ra hai phương pháp để xác địnhhai cặp trường vectơ pháp trên một mặt được cho dưới dạng tham số, đó

là một cặp trường vectơ pháp kiểu không gian và một cặp trường vectơpháp kiểu ánh sáng Điều này có ý nghĩa về mặt thực hành, khi chomột mặt tham số chúng ta sẽ xác định được trường vectơ pháp cụ thểtrên mặt (kiểu không gian hoặc kiểu ánh sáng) từ đó ta tính được các độcong liên kết với nó để nghiên cứu các tính chất hình học của mặt Quátrình này được tổng quan lại như sau: Với mỗi điểm p ∈ M, mặt phẳngpháp NpM của M tại p là một 2-phẳng kiểu thời gian, nó sẽ cắt n-khônggian hypebolic tâm v = (0, 0, , 0, ư1) bán kính R = 1 (t.ư nón ánhsáng) theo một hypebol (t.ư hai tia) Với một số thực r > 0, siêu phẳng

xn+1= r cắt hypebol (t.ư hai tia) theo đúng hai vectơ, ký hiệu là n±

r

(t.ư l±r) Chúng ta chứng minh được các trường vectơ n±r (t.ư l±r) là cáctrường vectơ kiểu không gian (t.ư kiểu ánh sáng) khả vi (Định lí 3.1.3)

và vì vậy có thể tính toán các độ cong liên kết với chúng để tiến hành

nghiên cứu mặt n∗r-rốn và mặt l∗r-rốn Không cần giả thiết n∗r là trường

vectơ pháp song song, M là mặt n∗r-dẹt khi và chỉ khi n∗r là trường vectơhằng, điều này tương đương với M chứa trong một siêu phẳng kiểu thờigian không chứa trục xn+1 (Định lí 2.1.5) Chúng tôi cũng đưa ra một

số điều kiện tương đương để các mặt chứa trong một giả cầu hypebolic

là mặt n∗r-rốn (Định lí 2.1.12) Vì n∗r không là trường vectơ pháp song

song nên nếu M là mặt n∗r-rốn thì nói chung (ngay cả khi M chứa trong

một giả cầu) hàm độ cong n∗r-chính không là hàm hằng Định lí 2.1.14cho chúng ta các tính chất hình học của mặt chứa trong giả cầu hypebolic

thỏa mãn điều kiện n∗r-rốn và n∗r -độ cong chính là hàm hằng Với mặt

không giả thiết chứa trong giả cầu, điều kiện n∗r-rốn và n∗r song songtương đương với điều kiện M chứa trong giao của một giả cầu hypebolicvới một siêu phẳng xn+1 = c (Định lí 2.1.15) Chúng tôi cũng đưa

ra một điều kiện tương đương với điều kiện song song của n∗r (Định lí2.1.16) Để có một phân lớp giữa mặt ν-rốn, mặt rốn, mặt chứa trong giảcầu và mặt ν-rốn với hàm độ cong hằng chúng tôi đưa ra các ví dụ trongmục 2.1.4 Các kết quả nhận được là tương tự khi sử dụng trường vectơpháp l∗rđể nghiên cứu mặt l∗r-rốn Điều này được thể hiện trong các Định

lí 2.2.7, 2.2.8 và 2.2.9 Điều đáng lưu ý ở đây là ánh xạ l±r-Gauss thực

sự hữu dụng với lớp mặt chứa trong giả cầu de Sitter, nơi mà sử dụng

ánh xạ n∗r-Gauss có phần không thuận lợi trong việc khảo sát khái niệmrốn của mặt Tổng hợp các kết quả về mặt ν-rốn và kết hợp với sự tồntại trường mục tiêu gồm các trường vectơ song song trên một liên thôngdẹt, chúng tôi nhận được đặc trưng hình học của mặt rốn đối chiều haitrong Định lí 2.3.2

kiểm tra một trường vectơ pháp là trường trùng pháp, nghiên cứu mốiquan hệ giữa mặt ν-rốn và mặt ν-phẳng và phát triển một số kết quả vềmặt trong R4 lên mặt trong R41, nghiên cứu các điều kiện đủ đểm mặttrong R4 chứa trong một siêu phẳng và phát triển lên mặt kiểu khônggian trong R41

Trước hết, sử dụng tích ngoài của 3 vectơ, chúng tôi đưa ra một điềukiện để kiểm tra một trường vectơ pháp có phải là trường trùng pháphay không (Mệnh đề 3.1.2) Về quan hệ bao hàm giữa mặt ν-rốn vàmặt ν-phẳng, Định lí 3.1.3 chỉ ra rằng trên mặt ν-rốn (không ν-dẹt) luôntồn tại ít nhất 1 và nhiều nhất 2 trường trùng pháp, tức nó là một mặtν-phẳng Hơn thế, chúng tôi cũng cho các ví dụ để chỉ ra sự tồn tại cácmặt ν-phẳng nhưng trên nó không tồn tại bất kỳ trường vectơ pháp νnào để nó là mặt ν-rốn Điều này có nghĩa lớp mặt ν-rốn chứa trong lớpmặt ν-phẳng, nhưng chiều ngược lại thì không đúng Ngoài ra, Mệnh đề3.1.10 cho chúng ta một điều kiện cần và đủ để mặt hoàn toàn phẳng.Tiếp theo chúng tôi nghiên cứu một số điều kiện đủ để một mặt trongkhông gian bốn chiều chứa trong một siêu phẳng Trước hết, chúng tôi

có các ví dụ để chỉ ra rằng việc mở rộng các điều kiện đủ để đườngcong trong R3 chứa trong một siêu phẳng lên mặt trong trong khônggian 4-chiều chứa trong một siêu phẳng nói chung là không đúng (Ví dụ3.2.1, 3.2.2) Từ tính chất của các mặt phẳng tiếp xúc, Mệnh đề 3.2.5cho chúng ta hai điều kiện đủ để một mặt là mặt ν-dẹt Mở rộng lên tínhchất của siêu phẳng ν-pháp trên mặt Mệnh đề 3.2.6 cho các điều kiện để

để mặt là mặt ν-phẳng Tuy vậy, các điều kiện này chưa đủ để suy ramặt chứa trong siêu phẳng Bằng cách bổ sung các điều kiện mạnh hơnchúng tôi nhận được bốn điều kiện đủ để một mặt trong R4 chứa trongmột siêu phẳng (Mệnh đề 3.2.7) ý tưởng của việc đưa ra các điều kiệnnày xuất phát từ việc mở rộng các kết quả về điều kiện phẳng của đườngcong trong R3 Mặc dù các kết quả của các Mệnh đề 3.2.5, 3.2.6 và 3.2.7

được phát biểu cho mặt trong R4 nhưng nó vẫn đúng đối với mặt kiểukhông gian trong R4

1 Khi trường vectơ pháp là trường vectơ kiểu khônggian hoặc kiểu thời gian thì các kết quả tính chất của mặt trong trong

R4 và mặt kiểu không gian trong R41 nói chung là trùng nhau Sự khácbiệt về tính chất của mặt kiểu không gian trong R4

1 với mặt trong R4 thểhiện khi trường vectơ pháp của mặt là trường kiểu ánh sáng Các Mệnh

đề 3.2.13 và 3.2.15 đưa ra các điều kiện phẳng của mặt kiểu không giannhưng nó chỉ đúng khi trường vectơ pháp là trường vectơ kiểu ánh sáng.Chúng tôi cũng đưa ra các ví dụ để chỉ ra các kết quả này không đúng

đối với mặt trong R4 cũng như đối với mặt kiểu không gian mà trườngvectơ pháp không là trường kiểu ánh sáng

Phần cuối của Chương 3 chúng tôi đưa ra các ví dụ minh hoạ cho cáckết quả đạt được, các phản ví dụ cho các kết quả cũng như khẳng địnhtính tối ưu của các giả thiết được đưa ra trong các mệnh đề và các địnhlí

quả có tính phân loại các lớp mặt cụ thể, chẳng hạn mặt kẻ hay mặt trònxoay, là một trong các vấn đề được các nhà hình học thực sự quan tâm.Như một ứng dụng của Chương 2 và Chương 3, trong Chương 4 chúngtôi tập trung khảo sát một số tính chất hình học của mặt kẻ và mặt trònxoay kiểu không gian trong R41 Tương ứng với các điều kiện cụ thể,Mệnh đề 4.1.3 xác định số lượng phương trùng pháp tại mỗi điểm trênmặt kẻ Mệnh đề 4.1.5 chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để một mặt kẻcực đại là nó cực đại trong một siêu phẳng kiểu không gian, lớp mặt kẻkiểu không gian ν-rốn và rốn là trùng nhau Với mặt tròn xoay trong

R41, chúng tôi xét hai loại mặt, đó là xoay một đường cong trong khônggian ba chiều quanh một mặt phẳng (mặt tròn xoay kiểu hypebolic và

kiểu eliptic) và xoay một đường cong phẳng đồng thời quanh hai mặtphẳng với tốc độ quay khác nhau (mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng).

Định lí 4.2.4 và Định lí 4.2.10, bằng cách ứng dụng ánh xạ l±r-Gauss,cho chúng ta xác định được phương trình tham số của mặt tròn xoay(kiểu hypebolic và kiểu eliptic) thỏa mãn điều kiện rốn Tiếp tục ứngdụng ánh xạ l±r-Gauss, chúng ta xác định được phương trình tham số hóacủa mặt tròn xoay (kiểu hypebolic và kiểu eliptic) là mặt cực đại (Định

lí 4.2.6, Định lí 4.2.12) Mệnh đề 4.2.8 và Mệnh đề 4.2.14 khẳng địnhtrên mặt tròn xoay kiểu hypebolic và kiểu eliptic (không chứa trong siêuphẳng) tồn tại đúng hai trường trùng pháp và tồn tại duy nhất một trườngvectơ pháp ν để mặt ν-rốn Định lí 4.2.16 chỉ ra rằng tính chất hằng của

độ cong Gauss đối mặt tròn xoay kiểu hypebolic và eliptic trong R41 làtrùng nhau và chỉ phụ thuộc vào hàm bán kính quay Khi đó, công thứcxác định bán kính quay chỉ phụ thuộc vào dấu của độ cong Gauss Vớimặt tròn xoay có kinh tuyến phẳng, chúng tôi đưa ra được các điều kiệncủa tham số hoá đường kinh tuyến tương ứng với việc xác định số lượngtrường trùng pháp trên mặt Chúng tôi cũng cho các ví dụ chỉ ra sự tồntại của các lớp mặt tương ứng với các điều kiện được đưa ra

7.2 Cấu trúc luận án

Nội dung của luận án được chia làm 4 chương Ngoài ra luận án còn

có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận vàKiến nghị, Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan

đến luận án, Tài liệu tham khảo và chỉ mục

Chương 1 là chương kiến thức cơ sở bao gồm 2 mục Mục 1.1 trìnhbày khối các kiến thức cơ bản về không gian Lorentz-Minkowski Mục1.2 giới thiệu một số công cụ nghiên cứu mặt đối chiều hai trong khônggian Lorentz-Minkowski mà luận án sử dụng, nó được chia thành 2 mụcnhỏ bao gồm: Mục a) trình bày các kiến thức về các độ cong liên kếtvới một trường vectơ pháp cũng như các khái niệm mặt tương ứng vớimột số trường hợp đặc biệt của các độ cong này; Mục b) giới thiệu kháiniệm elip độ cong của mặt trong không gian Lorentz-Minkowski.Chương 2 trình bày các nội dung nghiên cứu các khái niệm rốn (ν-rốn) trên mặt đối chiều hai, bao gồm 3 mục Mục 2.1 trình bày cách

xây dựng ánh xạ n±r-Gauss và ứng dụng của nó để đưa ra một số tínhchất hình học của mặt ν-rốn; Mục 2.2 trình bày cách xây dựng ánh xạ

l±r-Gauss và ứng dụng của nó vào việc nghiên cứu mặt ν-rốn; Mục 2.3trình bày phân loại mặt rốn Nội dung trong chương chủ yếu nghiên cứu

tính chất địa phương trên mặt, riêng các tính chất n±r-dẹt và l±r-dẹt thểhiện tính chất toàn cục trên mặt.

Chương 3 nghiên cứu tính chất hình học của mặt ν-phẳng và điềukiện chứa trong siêu phẳng của mặt trong không gian 4-chiều, bao gồm 3mục Mục 3.1 đưa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trường vectơ pháp

là trường trường trùng pháp và xác định mối quan hệ giữa mặt ν-rốn, mặtν-phẳng và mặt rốn Mục 3.2 trình bày nghiên cứu các điều kiện đủ đểmặt trong không gian 4-chiều chứa trong siêu phẳng, bao gồm hai mụcnhỏ Mục a) nghiên cứu các điều kiện đủ để mặt trong R4 chứa trongsiêu phẳng và Mục b) mở rộng các kết quả vừa đạt được trong R4 lênmặt kiểu không gian trong R4

1 Mục 3.3 trình bày một số ví dụ về mặtν-phẳng và một số phản ví dụ cho các phát biểu trong chương này Cáckết quả trong mục 3.1 thể hiện các tính chất địa phương trên mặt, riêngcác kết quả trong mục 3.2 thể hiện được tính chất toàn cục trên mặt.Chương 4 trình bày một số tính chất của mặt kẻ và mặt tròn xoaytrong R41, bao gồm 2 mục Mục 4.1 trình bày một số tính chất hình họccủa mặt kẻ kiểu không gian trong R4

1 Mục 4.2 trình bày một số tính chấthình học của mặt tròn xoay trong R41, bao gồm: Mục a) trình bày cáckết quả nghiên cứu về mặt tròn xoay kiểu hypebolic, Mục b) trình bàycác kết quả nghiên cứu về mặt tròn xoay kiểu eliptic và Mục c) trình bàymột số tính chất của mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng trong R41

Chương 1

Kiến thức cơ sở

1.1 Không gian Lorentz-Minkowski

Rn+11 , là không gian vectơ Rn+1 được trang bị một dạng song tuyến tính

đối xứng và không suy biến, xác định bởi

Định nghĩa 1.1.2. Một vectơ x ∈ Rn+11 được gọi là

1 kiểu không gian (spacelike) nếu hx, xi > 0 hoặc x = 0,

2 kiểu thời gian (timelike) nếu hx, xi < 0,